I. Quelques rappels sur l’étude de fonctions

(1)

CH III : Fonctions usuelles

L’étude des fonctions polynomiales et notamment les considérations sur la recherche de racines, la factorisation et le signe du trinôme du second degré ont été traitées dans le chapitre précédent.

I. Quelques rappels sur l’étude de fonctions

I.1. Étude graphique de fonctions

La méthodologie d’étude d’une fonction f (dérivable) est la suivante.

1) Déterminer l’ensemble de définition Df de la fonction (si celui-ci n’est pas donné).

2) Calcul def⁰ (là oùf est dérivable).

3) Construction du tableau de variations def (étude du signe de f⁰).

4) Étude des limites de f aux bornes de l’intervalle d’étude.

5) Calcul des tangentes def en certains points (généralement l’énoncé pré- cise ces points).

(on y reviendra dans un chapitre ultérieur . . . ) 6) Étude graphique : dans un repère, on place :

× les points particuliers (ceux dont l’abscissex vérifie f⁰(x) = 0),

× les droites particulières (tangentes) de la courbe.

× on peut éventuellement placer des points supplémentaires.

On trace alors Cf la courbe représentative de f.

I.2. Règles de dérivation

Pourf,gdes fonctions réelles, poura∈R, les égalités suivantes sont vérifiées sur les ensembles où les fonctions f etg sont dérivables.

(af)⁰ = af⁰ (f+g)⁰ = f⁰+g⁰ (f×g)⁰ = f⁰g+f g⁰

1 g

0

= −g⁰ g² f

g 0

= f⁰g−f g⁰ g²

Pour les règles de dérivation de l’inverse et du quotient, il faut ici veiller à se placer sur un ensembleE sur lequel g ne s’annule pas.

Remarque

Cette liste n’est pas exhaustive et il faudra la compléter avec les règles que l’on verra dans l’année. Par exemple : (√

f)⁰ = f⁰ 2√

f est vérifiée pourf sur tout ensembleE oùf est dérivable et strictement positive.

I.3. Théorème de la bijection

I.3.a) Un premier théorème Théorème 1.

Soient a etb deux réels tels que a < b.

Soit f : [a, b]→Rune fonction :

× continue sur[a, b].

× strictement croissante sur[a, b].

On a alors :

∀y∈[f(a), f(b)],∃!c∈[a, b], y=f(c)

(2)

Autrement dit :

• Pour y fixé dans [f(a), f(b)] l’équation en x : y = f(x) a une unique solution dans l’intervalle [a, b].

• Ou encore, tout élément y dans[f(a), f(b)]possède un unique antécédent parf dans [a, b].

Remarque

Ce théorème est aussi connu sous le nom deThéorème desValeursIntermédiaires (cas de la stricte monotonie). Des énoncés similaires existent :

× pour tout type d’intervalle ([a, b[,]a, b[,]a, b]).

× lorsquef strictement décroissante. Dans ce cas, la conclusion est :

∀y∈[f(b), f(a)],∃!c∈[a, b], y=f(c) (et on peut encore prendre tout type d’intervalle . . . )

I.3.b) Les fonctions bijectives Définition Fonction bijective

SoientE etF deux sous-ensembles deR. Soit f :E →F une fonction.

• On dit que f est une bijection de E surF si :

∀y∈F,∃!x∈E, y=f(x)

• Sif :E→F définit une bijection de E surF, alors elle permet de définir la fonction qui à tout réel y ∈ F associe l’unique antécédent de y par f dans l’ensemble E. Cette fonction est notée f⁻¹ :F → E et est appelée fonction réciproquede f.

(faire un dessin !)

Représentation graphique.

Soitf :E→F une application bijective de E surF.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

E f F

f⁻¹

• Par définition de la bijectivité, tout élément yi de F possède un unique antécédent x_j dansE parf.

• Par définition de fonction, tout élément x_j de E ne possède qu’une image yi dansF.

De manière non formelle, sif :E →F est une bijection deE surF, alors il y a « exactement autant » d’éléments dansE et dansF.

Graphiquement, cela se traduit par le fait que l’on peut relier lesx_j au y_i :

× par les flèches rouges. C’est la fonction f :E →F.

× par les flèches vertes, obtenues en orientant dans l’autre sens les flèches rouges. C’est la fonction f⁻¹ :F →E.

Propriété

Soit f :E→F une bijection de E surF. Et f⁻¹:F →E sa réciproque.

On a alors :

1) ∀x∈E,∀y∈F, (y=f(x) ⇔ x=f⁻¹(y)) 2) ∀y∈F, f(f⁻¹(y)) =y

3) ∀x∈E, f⁻¹(f(x)) =x

4) f⁻¹:F →E est une bijection deF surE.

(3)

Démonstration.

1) Soientx∈E ety∈F.

(⇒) Supposons y = f(x). Autrement dit, x est un antécédent (il est unique puisquef est bijective) de yparf. Or, par définition,f⁻¹associe à chaque élément y ∈ F son unique antécédent dans E par f : c’est précisémentx. Cela démontre quef⁻¹(y) =x.

(⇐)Supposonsx=f⁻¹(y). Par définition,f⁻¹(y)est l’unique antécédent dans l’ensembleE de l’élémenty par la fonction f. On a doncy=f(x).

2) Soity∈F. Par définition,f⁻¹(y)est l’uniquexdansE tel quey=f(x).

Ainsi, f(f⁻¹(y)) =f(x) =y.

3) Soitx∈E. Notonsy=f(x). On a doncx=f⁻¹(y)(d’après la propriété 1)). Ainsi,f⁻¹(f(x)) =f⁻¹(y) =x.

4) On doit démontrer que :∀v∈E,∃!u∈F, v=f⁻¹(u).

Soit v ∈ E. D’après la propriété 3), f⁻¹(f(v)) = v. Ainsi, en notant u=f(v), on a bien trouvé un élémentu∈F tel quef⁻¹(u) =v. Il reste à démontrer l’unicité. S’il existe t ∈ F tel que f⁻¹(t) = v, alors par la propriété 1), on at=f(v). Ainsi, t=f(v) =u.

Remarque

Soit f : E → F une fonction bijective de E dans F et x ∈ E, y ∈ F deux éléments tels que y = f(x). D’après la propriété 1), on a alors aussi x=f⁻¹(y). On a donc :

× xest l’antécédent de y parf.

× y est l’image dex parf.

× xl’image de y parf⁻¹.

× y est l’antécédent dex parf⁻¹.

I.3.c) Le théorème de la bijection Théorème 2. Théorème de la bijection

Soit aet b deux réels tels quea < b.

Soit f : [a, b]→Rune fonction :

× continue sur[a, b].

× strictement croissante sur[a, b].

On a alors :

1) f est une bijection de [a, b] sur [f(a), f(b)].

2) De plus, sa bijection réciproquef⁻¹ : [f(a), f(b)]→[a, b]est :

× continue sur [f(a), f(b)].

× strictement croissante sur [f(a), f(b)].

Démonstration.

1) C’est l’énoncé du TVI traduit avec le vocabulaire des fonctions bijectives.

2) On en reparlera . . . Remarque

Les extensions précédentes peuvent aussi être appliquées à ce théorème : on peut l’écrire avec des intervalles du type [a, b[, ]a, b], ]a, b[; si la fonctionf initiale est strictement décroissante, la conclusion sera alors la stricte décroissance def⁻¹.

Par exemple :

Soitf :]a, b]→Rune fonction :

× continue sur ]a, b]

× strictement

décroissante sur ]a, b]











⇒

• f est une bijection de]a, b]sur[f(b), f(a)[

• f⁻¹ : [f(b), f(a)[→ ]a, b]est :

× continue sur[f(b), f(a)[

× strictement croissante sur [f(b), f(a)[

(4)

II. Fonction valeur absolue

II.1. Définition Définition

On appelle fonction valeur absolue, notée |.|, la fonction suivante.

|.| : R → R⁺ x 7→ |x| =

x si x>0

−x si x <0 Remarque

• Dans la définition, il est implicite que pour tout truc élément de R, la quantité |truc|est positive. En effet :

× sitruc>0,|truc|vaut truc,

× sitruc <0,|truc|vaut l’opposé detruc, à savoir−truc (>0).

• On a notamment les calculs suivants :

1) | −5|= 5 2) |(x−2)²|= (x−2)² 3) | −(x−2)²|= (x−2)² Exercice. (valeur absolue)

Écrire sans valeur absolue les quantités suivantes.

a. |x²+x−2| b. |x+ 1|+|x+ 2| c. |x²−1|−|x²+1|+|2x²−x+1|

Traitons la question a.

x Signe de x² +x − 2

Valeur de

|x² +x −2|

−∞ −2 1 +∞

+ 0 − 0 +

x²+x−2 −x²−x+ 2 0 x²+x−2

On retiendra l’intérêt de faire un tableau qui est une représentation lisible de la situation.

II.2. Propriétés

Propriété

1. ∀x∈R, |x|>0 2. ∀x∈R, |x|=| −x|

(ceci signifie que la fonction | .|est paire) 3. ∀x∈R, |x|= 0 ⇒ x= 0

4. ∀x∈R,∀y∈R, |x|=|y| ⇒ x=y OU x=−y 5. ∀x∈R,∀y∈R, |x×y|=|x| × |y|

6. ∀x∈R,∀y∈R^∗, x y

= |x|

|y|

7. Inégalité triangulaire. Pour toutx∈Ret touty∈R, on a :

|x+y|6|x|+|y| |x−y|6|x|+|y| ||x| − |y||6|x−y|

Propriété de dérivée

1) La fonction |.|est dérivable sur ]0,+∞[. ∀x∈ ]0,+∞[,(|x|)⁰= 1 2) La fonction|.|est dérivable sur]− ∞,0[. ∀x∈]− ∞,0[,(|x|)⁰ =−1 II.3. Représentation graphique

x

y y =|x|

y =|x−2|

y =|3x+ 2|

(5)

II.4. Interprétation

Interprétation

• Pour tout couple (x, y) ∈R×R,|x−y|est la distance entre les points x ety (|x−y|=d(x;y)), autrement dit l’écart entre le pointx et le pointy sur la droite réelle.

y x

|x−y|

• Ainsi, |x|est la distance entre les pointsx et0.

Application Soita∈Retr >0.

• Résolution de |x−a|=r

Les élémentsxvérifiant cette égalité sont les éléments situés à une distance r du réela. Autrement dit, ce sont les élémentsx=a−r etx=a+r.

a−r a a+r

r r

• Résolution de |x−a|6r

Les élémentsxvérifiant cette égalité sont les éléments situés à une distance inférieure (ou égale) à r du réel a. Autrement dit, ce sont les éléments x de l’intervalle [a−r, a+r].

a r r

a+r a−r

• Ainsi, on a : |x|6r ⇔ −r 6x6r

III. Fonction inverse

Définition

On appelle la fonction inverse la fonction : 1

. : R^∗ → R^∗ x 7→ 1

x

Dans ce qui suit, on noteraf la fonction inverse. On réalise l’étude graphique de f à l’aide de la méthodologie présentée en début de chapitre.

1) Df =R^∗.

2) ∀x∈R^∗, f⁰(x) = −1 x² 6 0.

3) Construction du tableau de variations de f.

x Signe de f⁰(x) Variation

de f

−∞ 0 +∞

− −

0 0

−∞

+∞

1 1 4) Les limites sont affichées dans le tableau de variation.

5) L’équation de la tangente au point d’abscisse a(i.e. au point (a, f(a))) est donnée par la formule :

y=f⁰(a)(x−a) +f(a) On en déduit que :

× la droitey=−x+ 2est la tangente de la fonction au point (1,1).

× la droitey=−x−2est la tangente de la fonction au point (−1,−1).

(6)

6) Représentation graphique

x y

y= 1/x

Remarque Parité et représentation graphique . . .

• Par définition, on dira qu’une fonctionf estimpairesi :

∀x∈Df, f(−x) = −f(x) Dans ce cas, on a alors l’équivalence suivante :

x f(x)

∈Cf ⇔

−x

−f(x)

∈Cf

Ainsi, sif est une fonction impaire, sa courbe représentativeCf admet le point (0,0)comme centre de symétrie.

• Par définition, on dira qu’une fonctionf estpairesi :

∀x∈Df, f(−x) = f(x) Dans ce cas, on a alors l’équivalence suivante :

x f(x)

∈Cf ⇔

−x f(x)

∈Cf

Ainsi, si f est une fonction paire, sa courbe représentativeCf admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

• La fonction inverse est impaire puisque : ∀x∈R^∗, 1

−x = − 1 x .

On en déduit que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère ((0,0)). Ainsi, le tracé deCf sur]− ∞,0[se déduit, par symétrie, du tracé deCf sur]0,+∞[.

On réduit ainsi l’étude de cette fonction à l’ensemble ]0,+∞[.

IV. Fonctions puissances entières

IV.1. Définition

Définition Fonctions puissances (entières)

• Soient x∈R etn∈N^∗. La fonction élévation à la puissancen est définie comme suit.

.ⁿ : R → R x 7→ xⁿ =

n−1multiplications

z }| { x×x×. . .×x

• On peut aussi définir l’élévation à une puissance entière négative.

Six∈R^∗ etn∈N^∗, la quantitéx⁻ⁿ est définie par : x⁻ⁿ = 1 xⁿ

• Par convention, l’opérateur élévation à la puissance0est la fonction constante égale à1 : ∀x∈R, x⁰ = 1

(7)

IV.2. Propriétés

Propriété

1. ∀m∈N,∀n∈N,∀x∈R, x^m+n=xⁿx^m 2. ∀m∈N,∀n∈N,∀x∈R, x^mn= (x^m)ⁿ 3. ∀n∈N,∀x∈R, (xy)ⁿ=xⁿyⁿ

4. ∀n∈N,∀y∈R^∗, y⁻ⁿ= 1 yⁿ =

1 y

n

5. ∀n∈N,∀x∈R,∀y∈R^∗, x

y n

= xⁿ yⁿ Propriété de dérivée

1. Pour tout n∈Z, on a :

× sin>0, la fonction x7→xⁿ est définie et dérivable surR.

∀x∈R, (xⁿ)⁰ = nxⁿ⁻¹

× sin <0, la fonction x7→xⁿ est définie et dérivable surR^∗.

∀x∈R^∗, (xⁿ)⁰ = nxⁿ⁻¹

(même formule, seule l’ensemble de dérivabilité est modifié) 2. Siu:R→Rest une fonction, on a :

∀n∈Z, (uⁿ)⁰ = nuⁿ⁻¹×u⁰

,→ si n∈N, cette règle de dérivation est valable sur tout ensemble où la fonction u est dérivable.

,→ si n est un entier strictement négatif, cette règle de dérivation est valable sur tout ensemble où la fonction u est non nulle et dérivable.

Exercice

Ensemble de dérivabilité et calcul des dérivées des fonctions suivantes.

a. f :x7→(5x²+ 2x+ 7)³ b. g:x7→ 1 3x²+ 5

Étude pour les petites valeurs de n

• Si n= 2 : la fonction x 7→ x² est paire, strictement décroissante sur R⁻, strictement croissante sur R⁺.

• Sin= 3: la fonction x7→x³ est impaire, strictement croissante surR. IV.3. Représentation graphique

x y

npair n >0

x y

npair n <0

x y

nimpair n >0

x y

nimpair n <0

(8)

V. Fonction racine carrée

V.1. Définition Définition

La fonction f :x7→x² est :

× continue sur [0,+∞[,

× strictement croissante sur [0,+∞[.

D’après le théorème de la bijection on a donc :

1) f est une bijection de l’ensemble [0,+∞[sur l’ensemble : f([0,+∞[) = [f(0), lim

x→+∞f(x)[= [0,+∞[.

2) f admet une bijection réciproque, continue et strictement croissante sur [0,+∞[: c’est la fonctionracine carrée.

√. : R⁺ → R⁺ x 7→ √

x De par cette définition, on a les propriétés suivantes.

1) ∀x∈R⁺,∀y∈R⁺, (y=x² ⇔ x=√ t) 2) ∀y∈R⁺, (√

y)² =y 3) ∀x∈R⁺, p

(x²) =x

V.2. Propriété

Propriété

1. ∀x∈R⁺,∀y∈R⁺, √

xy=√ x×√

y

2. ∀x∈R⁺,∀y∈R^+∗, rx

y =

√x

√y ^3. ∀x∈R,

√

x²=|x|

Propriété de dérivée 1. La fonction√

.est dérivable sur]0,+∞[. ∀x∈]0,+∞[, (√

x)⁰= 1 2√ x

2. Siu:R→R est une fonction, on a : (√

u)⁰= u⁰ 2√ u Cette formule est valable sur tout ensemble E sur lequel :

× la fonction uest positive (pour que √

u soit définie),

× la fonction uest dérivable (pour que u⁰ soit définie),

× la fonction une s’annule pas (pour que ^√¹

u soit définie).

Exercice

a. f :x7→√

x²−2 ^b. g:x7→p

(x²+ 2)⁵

V.3. Représentation graphique On obtient la courbe de la fonction √

.par symétrie de la courbe élévation au carré par rapport à la droitey=x.

x

y y=x² y=x

y=√ x

(9)

Parenthèse : retour sur la fonction inverse

On peut aussi appliquer le théorème de la bijection à la fonction f :x7→ ¹_x.

× f est continue sur]0,+∞[,

× f est strictement décroissante sur]0,+∞[, D’après le théorème de la bijection, on a donc :

1) f est bijection de l’ensemble ]0,+∞[sur l’ensemble : f(]0,+∞[) = ] lim

x→+∞f(x), lim

x→0⁺ f(x)[ = ]0,+∞[.

2) Sa bijection réciproquef⁻¹ :]0,+∞[→ ]0,+∞[, continue et strictement décroissante n’est rien d’autre qu’elle même ! On a en effet :

∀x∈R^+∗, 1/(1/x) =x

Ainsi, Cf admet la droite y = x comme axe de symétrie et on aurait pu limiter l’étude de la fonction inverse à l’intervalle]0,+∞[.

VI. Fonctions logarithme et exponentielle

VI.1. Fonction logarithme

VI.1.a) Définition Définition

• La fonction logarithme népérien, notée ln (.) est la primitive sur R^+∗

qui s’annule en 1de la fonction inverse.

• Autrement dit, c’est la fonction définie par : ( ln (1) = 0

∀x∈R^+∗, (ln(x))⁰ = 1 x

VI.1.b) Propriétés Propriété fondamentale

∀x∈R^+∗,∀y∈R^+∗, ln (xy) = ln (x) + ln (y) Démonstration.

Soity∈R^+∗. On considère la fonctionϕ:x7→ln (yx)−ln (x)−ln (y).

Elle est définie sur R^+∗ et dérivable sur cet ensemble. Soit x∈R^+∗. ϕ⁰(x) = y

yx− 1 x = 0

Ceci démontre que la fonctionϕest constante sur ]0,+∞[.

Enfin, on a :ϕ(1) = ln(y)−ln(1)−ln(y) = ln(1) = 0.

On en déduit que : ∀x∈R^+∗, ϕ(x) = 0, ce qui démontre la propriété.

Il faut faire attention aux ensembles de définitions des propriétés.

• Par exemple, on a : ln((−3)×(−5)) 6= ln(−3)

| {z } non déf.

+ ln(−5)

| {z } non déf.

• Par contre,(−3)×(−5) = 3×5.

On a donc : ln((−3)×(−5)) = ln(3) + ln(5)

Propriété immédiates

1. ∀x∈R^+∗,∀n∈N, ln (xⁿ) =nln (x) 2. ∀x∈R^+∗, ln

1 x

=−ln (x)

3. ∀x∈R^+∗,∀y ∈R^+∗, ln x

y

= ln (x)−ln (y)

(10)

Exercice

Faire l’étude graphique des fonctions :

a. f :x7→ln(x²) ^b. g:x7→2 ln(x) Propriété de dérivée

1. La fonction ln(.) est dérivable sur ]0,+∞[. ∀x∈R^+∗, (ln (x))⁰ = 1 x

2. Siu:R→Rest une fonction, on a : (lnu)⁰ = u⁰ u

Cette formule est valable sur tout ensemble E sur lequel :

× la fonction u est strictement positive(pour que ln(u) soit définie),

× la fonction u est dérivable(pour que u⁰ soit définie),

× la fonction u ne s’annule pas(pour que _u¹ soit définie).

Exercice

a. f :x7→ln(x²−2) b. g:x7→ln(p

(x²+ 2)⁵)

Propriété de limite 1. lim

x→0⁺ ln(x) =−∞ 2. lim

x→+∞ ln(x) = +∞

Exercice

Montrer (dans cet ordre !) les propriétés suivantes.

1) ∀x∈R^+∗,ln (x)6x 2) ∀x∈R^+∗,ln (x)62√

x

3) lim

x→+∞

ln(x) x = 0 4) lim

x→0⁺ xln(x) = 0

Croissances comparées

• En+∞, la fonctionln(.)admet une croissance beaucoup plus faible que les fonctions puissances entières. En d’autres termes, pour tout entierp∈N^∗ etq ∈N^∗, on a :

x→+∞lim

(ln(x))^p x^q = 0

• On dit aussi qu’en +∞, la croissance logarithmique est plus faible que la croissance polynomiale.

• On peut démontrer, à l’aide de la propriété précédente que :

x→0lim⁺ x^p (ln(x))^q= 0

VI.1.c) Représentation graphique

x y

y= ln(x)

(11)

VI.2. Fonction exponentielle

La fonction f :x7→ln(x) est :

× continue sur ]0,+∞[,

× strictement croissante sur ]0,+∞[.

1) f est une bijection de l’ensemble ]0,+∞[sur l’ensemble : f(]0,+∞[) = ] lim

x→0⁺ f(x), lim

x→+∞f(x)[ = ]− ∞,+∞[ =R

2) f admet une bijection réciproque, continue et strictement croissante sur ]0,+∞[: c’est la fonctionexponentielle.

exp : R → R^+∗

x 7→ e^x

De par cette définition, on a les propriétés suivantes.

1) ∀x∈R^+∗,∀y∈R, (y= lnx ⇔ x=e^y)

2) ∀y∈R, ln(e^y) =y 3) ∀x∈R^+∗, e^ln(x) =x

VI.2.b) Propriétés Propriété fondamentale

∀x∈R,∀y∈R, e^x+y =e^x×e^y Démonstration.

Soitx∈Rety∈R. On a :

e^x+y =e^x×e^y ⇔ ln(e^x+y) = ln(e^x×e^y) ⇔ x+y= ln(e^x)

| {z }

x

+ ln(e^y)

| {z }

y

Propriété immédiates

1. ∀x∈R,∀n∈N, (e^x)ⁿ=e^nx

2. ∀x∈R, e^−x= 1

e^x ^3. ∀x∈R, ∀y∈R, e^x−y = e^x e^y Propriété de limite

1. lim

x→−∞ e^x= 0 2. lim

x→+∞e^x= +∞

1. La fonction expest dérivable sur R. ∀x∈R, (e^x)⁰ =e^x 2. Siu:R→R est une fonction, on a : (e^u)⁰ =u⁰×e^u

Cette formule est valable sur tout ensemble E sur lequel :

× la fonction uest dérivable (pour que u⁰ soit définie).

Croissances comparées

• En+∞, la fonctionexpa une croissance beaucoup plus forte que les fonctions puissances entières. En d’autres termes, pourp∈N^∗ etq∈N^∗ :

x→+∞lim (e^x)^p

x^q = +∞

• On dit aussi qu’en +∞, la croissance exponentielle est plus forte que la croissance polynomiale.

• On peut démontrer, à l’aide de la propriété précédente que :

x→+∞lim x^p(e^−x)^q = 0

En −∞, cette fonction tend aussi beaucoup plus vite vers 0 que les fonctions élévation à la puissance entière ne tendent vers l’infini.

(12)

VI.2.c) Représentation graphique

Les fonctions exponentielle et logarithme étant bijections réciproques l’une de l’autre, la courbe représentative de la fonction exponentielle est obtenue par symétrie de la courbe représentative de la fonctionlnpar symétrie d’axe y=x.

x y

y=x

y= ln(x) y= e^x

VI.3. Puissances quelconques

Pour α ∈R, la fonction élévation à la puissance α, noté x7→ x^α est définie surR^+∗ à l’aide des fonctions exponentielle et logarithme :

R^+∗ → R⁺

x 7→ x^α = e^α^{ln (x)}

VI.3.b) Propriétés Propriété immédiates

1. ∀α∈R,∀x∈R^+∗, ln(x^α) =αln(x) 2. ∀α∈R,∀x∈R^+∗,∀β ∈R, x^α+β =x^αx^β 3. ∀α∈R,∀x∈R^+∗,∀β ∈R, x^α−β = x^α

x^β 4. ∀α∈R,∀y∈R^+∗, y^−α = 1

y^α

5. ∀α∈R,∀x∈R^+∗,∀y∈R^+∗, (xy)^α=x^αy^α 6. ∀α∈R,∀x∈R^+∗,∀β ∈R, (x^α)^β =x^αβ

7. ∀α∈R,∀x∈R^+∗,∀y∈R^+∗, x

y α

= x^α y^α

(13)

1. La fonction x7→x^α est dérivable sur R^+∗.

∀α∈R,∀x∈R^+∗, (x^α)⁰ =α x^α−1

2. Siu:R→Rest une fonction, on a : (u^α)⁰ =α u^α−1×u⁰ Cette formule est valable sur tout ensemble E sur lequel :

× la fonction u est strictement positive(pour que u^α soit définie),

× la fonction u est dérivable(pour que u⁰ soit définie).

Démonstration.

1. Soit α∈R. Notons f :x7→x^α =e^α^ln(x) etu(x) =αln(x).

La fonction f est dérivable sur tout ensembleE sur lequel :

× u est dérivable.

Ainsi, f est dérivable sur ]0,+∞[.

Pour tout x∈]0,+∞[, on a : f⁰(x) = u⁰(x) e^u(x) = α

x e^α^ln(x) = α x^α

x = αx^α−1

2. Cette règle s’obtient en écrivant : u^α = e^α^ln(u). Exercice

a. f :x7→x¹³ b. g:x7→(x²+ 2x+ 1)¹³

Remarque Puissance entière ou puissance quelconque ?

À n∈N^∗ fixé, nous avons deux définitions pour la fonctionx7→xⁿ :

× la définition « classique » : la quantité xⁿ est le produit denquantités x.

Avec cette définition,x7→xⁿest alors définie sur R.

× la définition « puissance quelconque » : la quantité xⁿ est définie à l’aide des fonctions expetlncommexⁿ=eⁿ^ln(x).

Avec cette définition,x7→xⁿest alors définie sur R^+∗.

Il convient de remarquer que ces deux définitions coïncident surR^+∗. VI.3.c) Représentation graphique

x

y α >1 α= 1

0< α <1

α= 0 α <0

Exerciceoù l’on démontre que −1 = 1 . . . Commenter la démonstration suivante.

−1 = (−1)¹= (−1)²² = ((−1)²)¹² = (1)¹² = 1

(14)

VI.4. BONUS : définition des fonctions racines n^ème

VI.4.a) Via le théorème de la bijection Sin∈N^∗, la fonction f :x7→xⁿ est :

× continue sur [0,+∞[,

× strictement croissante sur [0,+∞[.

1) f est une bijection de l’ensemble [0,+∞[sur l’ensemble : f([0,+∞[) = [f(0), lim

x→+∞f(x)[ = [0,+∞[.

2) f admet une bijection réciproque, continue et strictement croissante sur [0,+∞[: c’est la fonctionracine n^ème.

√n

. : R⁺ → R⁺ x 7→ √ⁿ

x

De par cette définition, on a les propriétés suivantes.

1) ∀x∈R⁺,∀y∈R⁺, (y=xⁿ ⇔ x= √ⁿ y)

2) ∀y∈R⁺, (√ⁿ

y)ⁿ=y 3) ∀x∈R⁺, pⁿ

(xⁿ) =x

VI.4.b) Via les puissances quelconques

Pour n∈N^∗, la fonction racine n^ème peut aussi être définie comme un opé- rateur puissance quelconque. Plus précisément :

√n

. : R^+∗ → R⁺ x 7→ √ⁿ

x=xⁿ¹

• Dans ce cas, la fonction racinen^èmeest définie seulement surR^+∗. On peut la prolonger par continuité en0 en posant :(0)¹ⁿ = 0.

• Cette définition coïncide avec celle obtenue par le théorème de la bijection sur l’ensemble R⁺.

Remarque

Pourn∈N^∗, la définition de √ⁿ

.comme une fonction élévation à la puissance quelconque possède les deux avantages suivants.

• Les propriétés s’écrivent de manière naturelle :

× ∀y∈R⁺, (√ⁿ

y)ⁿ = (y¹ⁿ)ⁿ = y

× ∀x∈R⁺, (√ⁿ

xⁿ) = (xⁿ)¹ⁿ = x

• On obtient les propriétés de dérivée : 1. ∀x∈R^+∗, (xⁿ¹)⁰ = 1

n xⁿ¹⁻¹ 2. (√ⁿ

u)⁰ = (u¹ⁿ)⁰ = 1

nuⁿ¹⁻¹×u⁰ Bijection réciproque de x7→x³ La fonctionf :x7→x³ est :

× continue sur R,

× strictement croissante sur R.

C’est donc une bijection deR surf(R) =R.

Formellement, on peut donc définir sa bijection réciproque f⁻¹ sur R tout entier. La fonction √³

. définie précédemment peut alors être vue comme restriction sur l’ensembleR⁺ de la fonction f⁻¹.

+ Par convention, on définit la fonction√³

. est définie surR⁺même si, par application du théorème de la bijection, on pourrait définir la réciproque de x7→x³ surRtout entier.

(15)

VII. Fonction partie entière

VII.1. Définition Définition

On appelle fonction partie entièrela fonction suivante.

b .c : R → Z

x 7→ bxc = le pus grand entier n∈Ztel que n6x Remarque

• On peut aussi définir bxc comme l’unique entier relatif vérifiant la pro- priété :n6x < n+ 1.

• De manière informelle, bxc peut être défini comme étant « l’entier relatif directement plus petit quex».

• De ce fait, on parle parfois de partie entière par défaut, ce qui permet aussi de marquer la différence avec la fonctionpartie entière par excès, notée dxe et définie comme suit.

d.e : R → Z

x 7→ dxe = le pus petit entiern∈Ztel que x6n

• On peut aussi définir dxe comme l’unique entier relatif vérifiant la pro- priété :n−1< x6n.

• De manière informelle, dxe peut être défini comme étant « l’entier relatif directement plus grand que x».

• Il est immédiat que : a. ∀n∈Z, bnc = n b. ∀n∈Z, dne = n c. ∀x∈R, dxe − bxc =

0 si x∈Z 1 sinon

VII.2. Propriétés Propriété fondamentale

1) De par la définition : ∀u∈R,∀n∈Z, (buc=n ⇔ n 6 u < n+ 1) 2) ∀u∈R, u−1<buc6u et ∀u∈R, u6due< u+ 1

Propriété

• Pour tout k∈Z, on a :

× sur tout intervalle[k, k+ 1[, la fonctionx7→ bxcest constante égale àk,

× sur tout intervalle]k, k+ 1[, la fonction x7→ bxcest continue.

• On a : lim

x→−∞ bxc=−∞ et lim

x→+∞bxc= +∞

• Pour tout k∈Z, on a :

× sur tout intervalle]k, k+1], la fonctionx7→ dxeest constante égale à k+ 1,

× sur tout intervalle]k, k+ 1[, la fonction x7→ dxeest continue.

• On a : lim

x→−∞ dxe=−∞ et lim

x→+∞dxe= +∞

VII.3. Représentation graphique

x y y=x

y=x−1

Fonctionx7→ bxc

x y y=x+ 1

y=x

Fonction x7→ dxe

(16)

Exercice

Montrer que : ∀x∈R, dxe=−b−xc. En déduire la valeur de b−xc+bxc.

Exercice

Tracer la courbe représentative de la fonctionx7→x− bxc.

Quelle est cette fonction ?

Étude graphique d’une fonction contenant une partie entière On considère ici une fonction f : x 7→ bg(x)c où g(x) est une quantité dépendant dex. L’étude graphique def peut se faire comme suit.

1. On commence par l’étude de g.

On déterminera notamment l’ensembleIm(g), image de la fonction g.

2. Pour tout x∈Dg, on a :

bg(x)c=k ⇔ k 6 g(x) < k+ 1

Pour k ∈ Z∩Im(g), on va donc chercher à déterminer l’ensemble des éléments x tels que : k 6 g(x) < k+ 1.

3. D’après la propriété fondamentale, on a : g(x)−1 < bg(x)c 6 g(x).

En traçant les courbes des fonctionsx7→g(x)−1 etx7→g(x) on repère graphiquement les intervalles où bg(x)c=k.

Exemple

Étude de la fonction f :x7→ b(x−2)²c.

1. La fonction g:x7→(x−2)² est à valeurs dansR⁺ (Im(g) =R⁺).

2. Soit k∈Z∩R⁺ autrement ditk∈N.

b(x−2)²c=k ⇔ k 6 (x−2)² < k+ 1

⇔ k 6 (x−2)² ET (x−2)² < k+ 1

⇔ √

k 6 p

(x−2)² ET p

(x−2)² < √ k+ 1

⇔ √

k 6 |x−2| ET |x−2| < √ k+ 1

⇔ √

k 6 |x−2| < √ k+ 1

Deux cas se présentent alors :

a) Six−2>0: on a alors|x−2|=x−2 et : b(x−2)²c=k ⇔ √

k 6 x−2 < √ k+ 1

⇔ 2 +√

k 6 x < 2 +√ k+ 1

⇔ x∈ [2 +√

k, 2 +√ k+ 1[

b) Six−2<0: on a alors|x−2|=−x+ 2et : b(x−2)²c=k ⇔ √

k 6 −x+ 2 < √ k+ 1

⇔ √

k−2 6 −x < √

k+ 1−2

⇔ 2−√

k+ 1 < x 6 2−√ k

⇔ x∈]2−√

k+ 1, 2−√ k]

3. Représentation graphique.

x y

y=g(x)

y=g(x)−1