GENERALITES SUR LES FONCTIONS TCF I. RAPPELS 1. Vocabulaire a. Fonction numérique Définition

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GENERALITES SUR LES FONCTIONS TCF

I. RAPPELS 1. Vocabulaire

a. Fonction numérique Définition

Une fonction est un procédé qui permet d’associer à un nombre x appartenant à un ensemble D_f un nombre y On note ^f ^:^x f x = y ou encore

 

^y^ ^{f x}

 

On dit que y est l’image de x par la fonction f et que x est un antécédent de y par f.

Exemple :

 

²^{– 2 –15}

f x x x L’image de 7 par f est f

 

⁷ 7 – 2 7 –15 49 –14 –15 20²    . 0 a deux antécédents : 3et 5 car^f

 

^–3 ^ ^f

 

⁵ ^⁰^.

2 est un antécédent de 15car ^f

 

² ^{ }¹⁵^.

b. Ensemble de définition d’une fonction Définition

Pour une fonction ^{f x}

 

donnée, on appelle ensemble de définition l’ensemble D_f des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer cette expression.

COMMENT DETERMINER L'ENSEMBLE DE DEFINITION D'UNE FONCTION ? Il faut retenir :

∎ Lorsque f est une fonction rationnelle, le dénominateur doit toujours être différent de 0.

∎ Toute fonction polynôme est définie sur entier.

∎ Une expression sous radical doit toujours être positive ou nulle.

Exemples :

∎

 

² ⁷

3 – 4 f x x

x

 

Domaine de définition : il faut que 3x 4 0 donc : IR ⁴ – ; ⁴ ⁴;

3 3 3

Df        

 



  

On dit aussi que ⁴

3est une valeur interdite pour la fonction f.

∎ ^{g x}

 

^{  }³^x ⁶

On doit avoir   3x 6 0soit x2 donc :Dg  



^{– ;2}



. Remarques :

• Un réel de l’ensemble de définition a toujours une et une seule image.

• Un réel peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

• Pour les fonctions du type fractions rationnelles, l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres pour lesquels le dénominateur est non nul.

• Pour les fonctions du type racine carrée, l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres pour lesquels l’intérieur de la racine est positif

c. Représentation graphique

Dans tout le reste du chapitre, on munit le plan d’un repère orthonormé( ;O i j; ) . Définition

Un repère étant choisi, on appelle représentation graphique d’une fonction f l’ensemble des points M de coordonnées

 

x y lorsque x prend toutes les valeurs de ^; D_fet que^y^ ^{f x}

 

^.

On dit aussi courbe représentative de la fonction f.

(2)

On dit que la courbe a pour équation^y^ ^{f x}

 

^.

Méthode :

On calcule des images en nombre suffisant, à l’aide de la calculatrice et on présente les résultats dans un tableau de valeurs.

Exemple :

Tracer la représentation graphique de la fonction f, qui à x associe ¹ ₂

1x sur



^–2;3



^.

x _₂ _₁ 0 1 2 3

 

f x ^{0, 2} ^{0, 5} ¹ ^{0, 5} ^{0, 2} ^0,1

Lecture graphique d’images et d’antécédents :

• Pour déterminer l’image de x par f, on place x sur l’axe des abscisses puis on lit l’ordonnée sur la courbe.

• Pour déterminer les antécédents de k par f, on place k sur l’axe des ordonnées puis on cherche les abscisses des points d’intersection de la droite horizontale d’équationykavec la courbe.

Exemples :

Sur la courbe suivante, déterminer : 1. L’ensemble de définition de f.

Df 



^–2;2



.

2. ^f

 

¹ ^; ^f

 

⁰ . ^f

 

¹ ^²^;^f

 

⁰ ^²^.

3. Image de – 2 ; de 2.

L’image de –2 est –1,5et l’image de 2est0. 4. Antécédent(s) de –2 ; de –1,5; de2.

–2 n’a pas d’antécédent ; l’antécédent de –1,5est –2 ; les antécédents de 2sont0et1, 5. 5. x tels que ^{f x}

 

^⁰^; ^{f x}

 

^¹^.

^S^



^{–3 ; –1;2}



^.

c. Sens de variations Définitions

f est une fonction définie sur un intervalleI.

1. Dire que f est croissante surIsignifie que pour tous réels a et b deI , si ab alors ^{f a}

 

^ ^{f b}

 

Autrement dit, les images réels ^{f a et}

 

f b sont rangées dans le même ordre que réels a et b.

 

(3)

2. Dire que f est décroissante surIsignifie que pour tous réels a et b deI, si a b alors ^{f a}

 

^ ^{f b}

 

^.

Autrement dit, les images réels a et b sont rangées dans l’ordre inverse que réels a et b.

3. Dire que f est constante surIsignifie que pour tous réels a et b deI , on a^{f a}

 

^ ^{f b}

 

^.

4. Une fonction monotone surIest une fonction soit croissante surI, soit décroissante surI.

d. Egalité de deux fonctions Définition :

Soient f et g deux fonctions.

On dit que les deux fonctions f et g sont égales si :

(1) f et g ont le même ensemble de définitionDD_f D_g. (2) Pour tout x deD ; ^{f x}

 

^^{g x}

 

^.

On note alors f g.

Il ne faut jamais oublier la première condition, qui est nécessaire.

Exemples :

Considérons les deux fonctions f et g définies par :

2

IR IR :

f

x x



et g:^IR ^IR

x x



Les deux fonctions f et g sont définies sur R et on a, pour toutxIR,^{f x}

 

^^{g x}

 

Les deux fonctions f et g sont donc égales : f g e. Parité d’une fonction numérique

Définition :

Soit f une fonction, de domaine de définitionD_f.

Une fonction est dite paire si l'on a : ^f

 

^{ }^x ^{f x}

 

et si pour toutxD_f , on a : x D_f . Une fonction est dite impaire si l'on a : ^f

 

^{  }^x ^{f x}

 

et si pour tout xD_f,on a : x D_f . Propriété :

Une fonction paire a sa représentation graphique symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Une fonction impaire a sa représentation graphique symétrique par rapport au centre du repère.

f. Périodicité Définition

Une fonction f est dite périodique de période T(ou T-périodique) s'il existe un nombreTpositif tel que :

     

f f

f

x D x T D

f x T f x x D

   

    

 .

(4)

Si Test une période pour f tout multiple de T non nul (c’est à dire 2T; 3T ;4T….) est aussi une période pour f.

Dans les cas usuels, l’une des périodes positives est plus petite que toutes les autres, c'est ce nombre qui est appelé plus précisément période de la fonction f et sera noté T (et par conséquentTdoit être le plus petit possıble)

il faut connaitre la période des fonctions trigonométriques suivantes : Si 0

∴

la fonction ^x ^cos



^^x^ ^p



admet pour période 2

T 

  .

∴

la fonction ^x ^sin



^^x^ ^p



admet pour période 2

T 

  .

∴

la fonction ^x ^tan



^^x^^p



admet pour période T 

  Exemple

La fonction ₁: sin 3 f x  x 5

 

 

admet pour période ² T 3

 . De même la fonction ₂: cos

3 f x  x

  admet pour périodeT 6. g. Extremums

Définition

La fonction f admet un maximum f a en a sur l’intervalle

 

I lorsque, pour tout x deI ;^{f x}

 

^ ^{f a}

 

^.

La fonction f admet un minimum ^{f b}

 

en b sur l’intervalle I lorsque, pour tout x deI ; ^{f x}

 

^ ^{f a}

 

^.

Exemple :

Soi f la fonction représentée ci-dessous. Quels sont les extremums de f ? Pour quelles valeurs sont-ils atteints ?

La fonction f admet un minimum en1 qui vaut –1 et un maximum en 4qui vaut3.

h. Tableau de variations

Etudier les variations d’une fonction signifie trouver les intervalles sur chacun desquels la fonction est monotone. Les résultats sont représentés dans un tableau de variations.

Des flèches schématisent la croissance, la décroissance ou la constance de la fonction.

Exemple :

Donner le tableau de variations de la fonction f définie sur



^–2;3



de la courbe ci-dessus.

(5)

Tableau de variations de f x 2 ³

2 1 ⁵

2 3

 

f x ⁷

2 1 0 0 0 i. Comparaison de deux fonctions

Définition

Soient f et g deux fonctions et I un intervalle inclus dans D_f et dansD_g.

On dit que f est inférieure ou égale à g surI si, pour tout xIon a : ^{f x}

 

^^{g x}

 

^.

On note alors f g. Interprétation graphique

Soient f et g deux fonctions, I un intervalle inclus dans D_f et dans D_g et C_f et C_gles courbes représentatives des fonctions f et g

Comparer les fonctions f et g revient à étudier les positions relatives des leurs courbes représentatives dans un même repère orthonormé.

Pour cela on étudie le signe de ^{f x}

   

^^{g x} , pour tout xI.

La fonction f est inférieure ou égale à la fonction g sur I, si sa courbe représentative est au-dessous de celle de g.