On discutera aussi du prolonge- ment des solutions des équations de Born-Infeld au delà de l’apparition de singularités

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DES ONDES AUX PARTICULES ET AUX CORDES

YANN BRENIER

Résumé. Il est traditionnel de dériver la dynamique classique des particules à partir de solutions oscillantes d’équations d’onde de la mécanique quantique (Schrödinger ou Dirac), en passant à la limite sur la fréquence d’oscillation (méthodes WKB, intégrales de Feynman, phase stationnaire, mesures de Wigner etc...). Le but de l’exposé est de montrer qu’on peut non seulement retrouver ces mouvements, mais aussi ceux de cordes classiques, voire de membranes, d’une facon très différente, à partir de solutions de très grande intensité des équations introduites par Born et Infeld en 1934 pour leur théorie non-linéaire du champ électromagnétique. Il s’agit de l’exposé de travaux effectués pour partie avec Wen-An Yong, de l’université de Heidelberg. On discutera aussi du prolonge- ment des solutions des équations de Born-Infeld au delà de l’apparition de singularités.

On obtiendra comme sous-produit une reformulation purement hilbertienne des lois de conservation scalaires unidimensionnelles avec donn´ees initiales monotones.

1. Introduction

Le passage des ondes aux particules est un sujet de recherche courant en physique mathématique. Prenons l’exemple bien connu de l’équation de Schrödinger d’une particule quantique en présence d’un potentiel Φ(t, x) dépendant du temps t et de la variable d’espace x∈R³:

(1.1) i∂tψ+ ²

2∆ψ+ Φψ = 0,

où le paramètre dépend de la constante de Planck et de la masse, après une mise à l’échelle adéquate. Là où la fonction d’onde complexe ψ ne s’annule pas, on peut l’écrire sans ambiguité

ψ(t, x) =p

ρ(t, x) exp(iS(t, x)

)

et on trouve pour les variables ρ >0 et v =∇S, les ´equations de Madelung [15]:

(1.2) ∂tρ+∇ ·(ρv) = 0, ∂tv+ (v· ∇)v =∇Φ + ²

2∇(∆√ρ

√ρ ).

Si l’on néglige dans cette équation (“limite classique”), on retrouve les équations de mécanique classique d’un milieu continu de densité ρ et de vitesse v =∇S:

(1.3) ∂tρ+∇ ·(ρv) = 0 , ∂tv+ (v· ∇)v =∇Φ,

et d’accélération ∇Φ. En effet, en notant X(t, a) la position dans R³ d’une particule d’étiquette a ∈R³ au temps t, la deuxième équation de (1.3), ne fait qu’exprimer la “loi de Newton”:

∂ttX(t, a) = (∇Φ)(t, X(t, a)).

1

(2)

Ainsi, on a un exemple ´el´ementaire (au niveau formel seulement) de passage des ondes aux particules.

Le but de cet exposé est de montrer un autre exemple de passage onde/particule fondé sur la théorie de l’électromagnétisme non-linéaire de Born et Infeld [1]. La transition se fera par concentration avec des solutions de très haute énergie. La théorie de Born- Infeld est la formalisation d’une idée de Born, consistant à corriger de fa¸con non-linéaire les équations de l’électrostatique, de sorte que le champ électrostatique généré par une charge ponctuelle (l’électron) reste inconditionnellement borné par une constante absolue E0 à déterminer (ce que fait Born en fonction de la masse de l’électron supposée d’origine purement électrostatique). Born propose comme Lagrangien de sa théorie électrostatique non-linéaire l’expression

L=− q

E₀²−E²

pour le champ électrique E(t, x), en s’inspirant manifestement de la relativité restreinte (où toutes les vitesses sont supposées bornées par celle de la lumière).

Un petit calcul rapide permet de trouver le champ ´electrostatique correspondant `a une charge ponctuelle. On trouve une solution radiale

E =E(r) =E0

r²₀ pr₀⁴+r⁴,

oùr0 doit être ajusté en fonction de la charge et de E0. Avec son choix de E0, Born voit que cette valeur est atteinte par le champ électrostatique classique (de Coulomb) à une distance de l’ordre de 10⁻¹⁵mètres. Autrement dit, le champ de Born et celui de Coulomb ne diffèrent vraiment qu’à l’échelle atomique. Dans le travail avec Infeld [1], Born passe

à l’électromagnétisme, corrige les équations de Maxwell en proposant le lagrangien L=−

q

E₀²−E²+B²−E₀⁻²(E·B)²

pour le champ électromagnétique (E, B), sujet aux contraintes différentielles:

(1.4) ∇ ·B = 0, ∂tB+∇ ×E = 0.

Dorénavant, nous poserons E0 = 1 (quitte à modifier les unités). Après un calcul de variations élémentaire, on trouve les équations de Born-Infeld (homogènes):

(1.5) ∂tB+∇ ×E = 0, ∂tD− ∇ ×H= 0, ∇.B =∇.D = 0 ,

(1.6) E = B ×V +D

h , H = −D×V +B

h ,

o`u

(1.7) h=p

1 +B² +D²+|D×B|², V =D×B, et | · |d´esigne la norme euclidienne.

Sur le caractère apparemment arbitraire de la théorie non-linéaire de Born-Infeld, il est bon de faire quelques observations. (Au fil de l’exposé, on se convaincra que les

équations de Born-Infeld sont dotées de propriétés tout à fait exceptionnelles.) Rap- pelons que les contraintes différentielles (1.4) ne font qu’exprimer la propriété que le champ

électromagnétique (E, B) dérive (en tant que 2-forme différentielle sur l’espace temps), au

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moins localement, d’un potentiel vecteur (i.e. une 1-forme) A = (A0, A1, A2, A3). Ainsi on a:

Ei =∂tAi+∂iA0, i= 1,2,3, B1 =∂2A3−∂3A2, etc...

Le Lagrangien de Born-Infeld se r´e´ecrit simplement L=−p

−det (g+F)

où Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα et g est la métrique de l’espace-temps, qui, ici, est celle de l’espace plat g = diag(−1,1,1,1). (La métrique g peut, bien entendu, être une métrique de Minkowski quelconque, et même varier selon les équations d’Einstein. Nous ne ferons rien de tel le long de cet exposé. Notons aussi que √

−detg est l’élément de volume de la variété. Le lagrangien de Born-Infeld est donc une sorte de volume généralisé incluant une composante électromagnétique. On retrouve là l’idée assez commune dans les années 30, d’un tenseur g +F unifiant, avec sa partie symétrique, la gravité et, avec sa partie antisymétrique, l’électromagnétisme.)

Dès sa parution, le travail de Born-Infeld [1] attire l’attention (voir [17] par exemple), mais l’intérêt qui lui est porté s’étiole rapidement avec l’émergence de l’électrodynamique quantique. Revivifiée dans les années 50, la théorie de Born-Infeld réapparait en physique des hautes énergies, dans les années 90, en connexion avec le concept de D-branes [16, 11].

Ceci n’est pas surprenant, puisque le lagrangien de base de la théorie des cordes, celui de Nambu-Goto, qui décrit les surfaces extrémales de dimension deux dans l’espace-temps quadridimensionnel de Minkowski, n’est rien d’autre que le lagrangien de Born-Infeld, lorsque le champ (E, B) ne dépend que d’une seule coordonnée spatiale. De même pour les champs ne dépendant que de deux coordonnées spatiales, avecE etB perpendiculaires, le lagrangien de Born-Infeld coincide avec celui des surfaces extrémales de codimension un dans l’espace temps à trois dimension. Typiquement, on écrit B = (−∂2φ, ∂1φ,0), E = (0,0, ∂tφ), oùφ=φ(t, x1, x2) est une fonction scalaire. Le lagrangien de Born-Infeld (avec la normalisation E0 = 1) devient alors

L=−p

1−∂tφ²+|∇φ|²,

i.e. l’élément d’aire (relatif à la métrique de Minkowski) du graphe (t, x1, x2)→(t, x1, x2, φ(t, x1, x2))

dans l’espace-temps tridimensionnel. Les ´equations correspondantes:

∂t(∂tφ

L )− ∇ ·(∇φ L ) = 0,

ont été récemment étudiées, du point de vue des EDP, par Lindblad [14]. Utilisant les

“formes nulles” de Klainerman, Lindblad montre l’existence globale de solutions régulières pour le problème de Cauchy, pour de petites données initiales nulles à l’infini. Dans la foulée, Chae et Huh [8] obtiennent le même type de résultats pour le système complet de Born-Infeld. Ces résultats peuvent être considérés comme perturbatifs par rapport à la théorie classique de Maxwell. Il y a pourtant d’autres régimes intéressants, lorsque les champs (B, D) sont forts. En effet, et c’est l’objet principal de l’exposé, le comporte- ment des solutions s’approchent alors de celui d’un continuum de particules, ou de cordes suivant les échelles. Ainsi, on observe une transition ondes/particules (et ondes/cordes) par un itinéraire très différent de celui de Madelung, décrit au tout début de cette introduction. L’analyse mathématique de cette transition est considérablement simplifiée par

(4)

deux observations, l’une faite dans [4] et l’autre, avec le concours de Wen-An Yong, dans [6]:

1) Plutôt que de considérer les équations de Born-Infeld proprement dites (1.5,1.6,1.7), on leur ajoute quatre lois de conservation supplémentaires régissant h et V (définies par (1.7)), grace au théorème de Noether, et on découple les variables h, V des variables (B, D), en oubliant les contraintes algébriques (1.7). (Introduite dans [4], cette idée a été développée dans une direction un peu différente, pour des modèles généraux d’électromagnétisme non-linéaire, dans [19].)

2) Ecrire les équations augmentées, un système de 10 lois de conservations à 10 incon- nues, sous forme non-divergentielle, ce qui permet de complètement désingulariser les

états correspondant aux champs intenses et, en prime, de complètement symétriser les

´equations.

2. Le système de Born-Infeld et sa version étendue non conservative Les champs de vecteur B et D du système de Born-Infeld sont solutions de

∂tB+∇ ×(B×V +D

h ) = 0, ∇ ·B = 0,

∂tD+∇ ×(D×V −B

h ) = 0, ∇ ·D = 0, (2.1)

o`u

(2.2) h=p

1 +B² +D²+|D×B|², V =D×B,

et| · | d´esigne la norme euclidienne. On voit tout de suite que les ´equations classiques de Maxwell dans le vide

∂tB+∇ ×D = 0, ∇ ·B = 0,

∂tD− ∇ ×B = 0, ∇ ·D = 0, (2.3)

peuvent s’interpr´eter comme limites des ´equations de BI, pour des champs de faible am- plitude B, D <<1.

Comme le lagrangien de la théorie BI n’implique explicitement ni le temps ni l’espace, il en découle, par le théorème de Noether, des lois de conservation supplémentaires (de l’énergie et de l’impulsion, selon la terminologie des physiciens) pour les variables h (énergie) et V (impulsion ou vecteur de Poynting). L’idée de [4] est d’ajouter au système BI ces lois de conservation supplémentaires.

En notant

v =V /h, b =B/h, d=D/h,

on obtient alors un syst`eme de 10 lois de conservation (toujours en dimension 3 d’espace), que nous appelons syst`eme ABI (augmented Born-Infeld):

∂th+∇ ·(hv) = 0,

∂t(hv) +∇ ·(hv⊗v−hb⊗b−hd⊗d) =∇(h⁻¹),

∂t(hb) +∇ ·(hb⊗v−hv⊗b) +∇ ×d= 0,

∂t(hd) +∇ ·(hd⊗v−hv⊗d)− ∇ ×b = 0 (2.4)

(5)

avec les contraintes diff´erentielles:

∇ ·(hb) =∇ ·(hd) = 0.

(2.5)

L’idée principale de [4] est de substituer le système ABI au système BI après avoir noté que ce dernier n’est rien d’autre que le premier restreint à la variété algébrique, que nous appelerons variété BI, définie par:

V =D×B, h=√

1 +D²+B²+V².

Plus précisément, toute solution régulière du système ABI à valeurs dans la variété BI au temps initial le restera pour tous les autres temps. L’écriture du système ABI sous forme non conservative, en utilisant comme variables d, b, v et τ = h⁻¹, est encore plus frappante:

∂tτ+ (v · ∇)τ −τ∇ ·v = 0,

∂tv+ (v· ∇)v−(b· ∇)b−(d· ∇)d−τ∇τ = 0,

∂tb+ (v· ∇)b−(b· ∇)v +τ∇ ×d= 0,

∂td+ (v· ∇)d−(d· ∇)v −τ∇ ×b= 0, (2.6)

où on omet les contraintes différentielles (2.5). On est en présence d’un système symétrique (donc forcément hyperbolique) dont les non-linéarités sont quadratiques homogènes. Ce système, que nous appelerons NCABI (non-conservative augmented Born-Infeld equations), possède une série de propriétés remarquables que nous allons examiner.

2.1. Domaine de définition. Le système NCABI est bien défini pourtoutétat (τ, v, d, b)∈ R¹⁰. En particulier, les états pour lesquels τ = 0 et même τ <0 sont mathématiquement acceptables.

2.2. Conservation de la variété BI. La variété BI s’écrit très élégamment sous la forme

τ > 0, τ²+b²+d²+v² = 1, τ v =d×b . (2.7)

Cette variété est conservée par les solutions régulières du système NCABI.

2.3. Conservation des contraintes différentielles. Les contraintes différentielles (2.5) sont également conservées par les solutions régulières du système NCABI.

2.4. Invariance galiléenne classique. Le système NCABI est invariant selon les transformations galiléennes classiques suivantes:

(t, x)→(t, x+tc), (τ, v, d, b)→(τ, v−c, d, b),

pour toute “vitesse” constante c. Cette propriété est paradoxale, puisque le système BI est relativiste. Le mystère s’éclaircit une fois que l’on a observé que la variété BI (2.7) n’est pas compatible avec de telles transformations.

(6)

2.5. Intégrabilité des solutions unidimensionnelles. Les solutions régulières du système NCABI qui ne dépendent que d’une seule variable d’espace,x1 pour fixer les idées, peuvent se calculer aisément. On introduit d’abord les variables

(2.8) z =

q

b²₁ +d²₁+τ², u= (b1

z,d1

z ,τ

z), w= (b2, b3, d2, d3, v2, v3).

Elles v´erifient les ´equations suivantes:

(2.9) (∂t+v1∂1)z =z∂1v1, (∂t +v1∂1)v1 =z∂1z, (2.10) (∂t+v1∂1)u= 0, (∂t+v1∂1)w=z A(u)∂1w, avec

(2.11) A(u) =







0 0 0 u3 u1 0

0 0 −u3 0 0 u1

0 −u3 0 0 u2 0

u3 0 0 0 0 u2

u1 0 u2 0 0 0

0 u1 0 u2 0 0







=





0 −iu3 u1

iu₃ 0 u₂ u1 u2 0





(avec des notations complexes évidentes). Tant quez reste borné entre αetα⁻¹ pour une constante α >0, on peut effectuer, à chaque tempst, un changement de coordonnées spatiales (eulérien-lagrangien pour reprendre le langage de la mécanique des milieux continus) x→s, défini par:

(2.12) ∂sX(t, s) = z(t, X(t, s)), ∂tX(t, s) = v₁(t, X(t, s)).

En posant

(2.13) U(t, s) =u(t, X(t, s)), W(t, s) =w(t, X(t, s)), on peut réécrire le système (2.9,2.10) sous la forme

(2.14) ∂ttX =∂ssX, ∂tU = 0, ∂tW =A(U)∂sW,

la matrice A étant toujours définie par (2.11). Ainsi on a réduit le système NCABI unidimensionnel à une équation des ondes linéaires et à un système hyperbolique linéaire

`a coefficients variables en espace. Sachant que u²₁ +u²₂+u²₃ = 1, on voit que les valeurs propres de la matrice A sont toujours +1,−1 et 0, chacune de multiplicit´e deux.

2.6. Apparition de singularités en temps fini. L’examen des solutions unidimensionnelles montre que le système NCABI a des solutions régulières tantôt globales tantôt locales en fonction des données initiales. En effet, la réduction à l’équation des ondes en dimension un n’est possible que tant que la transformation (2.12) est valide, ce qui suppose ∂sX >0. Or l’équation des ondes, réécrite sous forme:

(2.15) ∂tX =∂sU, ∂tU =∂sX,

est explicitement r´esolue par la formule de d’Alembert X(t, s) = 1

2(X(0, s+t) +X(0, s−t) +U(0, s+t)−U(0, s−t)), U(t, s) = 1

2(X(0, s+t)−X(0, s−t) +U(0, s+t) +U(0, s−t)).

(2.16)

(7)

On voit tout de suite que la condition d’inversibilité ∂sX > 0 sera globalement assurée (pour −∞< t <+∞) si et seulement si les conditions initiales vérifient:

(2.17) ∂s(X+U)(0, s)> ∂s(U −X)(0,˜s), ∀(s,s)˜ ∈R².

Si cette condition n’est pas satisfaite, une singularité apparait nécessairement en temps fini (positif ou négatif) pour la solution correspondante du système NCABI. (Ce résultat n’est pas nouveau. Voir par exemple [18] (volume II).)

3. Limites de champs forts: particules, cordes et membranes

3.1. Les systèmes réduits. Pour le système NCABI (2.6), l’état τ = 0 n’est en rien singulier. Or il correspond au cas de champs infiniment intenses (puisque τ = h⁻¹). Le système réduit, obtenu en annulant τ dans les équations s’écrit:

∂tv+v· ∇v−b· ∇b−d· ∇d = 0,

∂tb+v· ∇b−b· ∇v = 0,

∂td+v· ∇d−d· ∇v = 0.

(3.1)

On peut encore réduire le système de fa¸con cohérente en annulant la variabledà son tour:

∂tv+v· ∇v−b· ∇b = 0,

∂tb+v· ∇b−b· ∇v = 0.

(3.2)

Finalement, τ = 0, b =d= 0, reduit le système NCABI (2.6) à la simple équation:

∂tv+v· ∇v = 0.

(3.3)

parallèlement, la variété de Born-Infeld (2.7) devient successivement:

b²+d²+v² = 1, d×b= 0, v·b =v·d = 0, (3.4)

b² +v² = 1, v·b= 0, (3.5)

v² = 1, (3.6)

en association respective avec les syst`emes r´eduits (3.1), (3.2) et (3.3).

3.2. Intégration des systèmes réduits. La série des systèmes réduits (3.1), (3.2) et (3.3) a une interprétation simple en termes à la fois géométriques et physiques. En effet, l’équation la plus réduite (3.3) décrit un continuum de particules se mouvant en ligne droite à vitesse constante. Si, la contrainte BI réduite (3.6) est imposée de surcroit, ces particules ont la vitesse 1 (i.e. la vitesse de la lumière) et s’interprètent donc comme des particules sans masse (des photons). On retrouve donc l’optique géométrique. (En milieu homogène, bien entendu, avec une métrique g générale, on obtiendrait l’optique géométrique en toute généralité.)

le système réduit (3.2) est plus subtile et décrit en fait un continuum de cordes vibrantes, comme on va le voir dans un instant. La condition (3.5) assure que ces cordes sont authentiquement relativistes (i.e. correspondent à des surfaces extrémales dans l’espace de Minkowski). Il est notable que (3.2) décrit aussi la magnétohydrodynamique en “eau peu profonde” (shallow water MHD), à condition de négliger la gravité. Voir [12]. De même, le système (3.1) décrit un continuum de membranes vibrantes. Ces observations résultent du résultat élémentaire suivant:

(8)

Proposition 3.1. Soit (s, r, u) ∈ R³ → X(t, s, r, u) une famille de difféomorphismes de R³, paramétrée par t ∈ [−T, T]. Soient λ, µ deux constantes positives ou nulles.

Supposons:

∂ttX =λ∂ssX+µ∂rrX (3.7)

et d´efinissons implicitement

b(t, X(t, s, r, u)) =∂sX(t, s, r, u), (3.8)

d(t, X(t, s, r, u)) =∂rX(t, s, r, u), (3.9)

v(t, X(t, s, r, u)) =∂tX(t, s, r, u)..

(3.10)

Alors(b, d, v)sont des solutions régulières sur [−T, T] respectivement des systèmes (3.1), si λ=µ= 1, (3.2) si λ= 1, µ= 0 et (3.3) si λ=µ= 0.

La preuve est une application directe de la dérivation des applications composées: il suffit de dériver (3.8,3.9,3.10) par rapport à t, d’utiliser (3.7) pour trouver les équations voulues (3.1,3.2,3.3).

L’interprétation géométrique est très simple. Dans le cas λ =µ = 0, chaque trajectoire t→X(t, r, s, u) est droite et (r, s, u) varie dans R³.

Si λ= 1 etµ= 0, chaque surface (t, s)→X(t, r, s, u) est r´egie par l’´equation des ondes

∂ttX =∂ssX,

et correspond à une corde vibrante, alors que (r, u) varie dans R². Notons que les contraintes algébriques (3.5) s’écrivent

∂tX²+∂sX² = 1, ∂tX·∂sX = 0,

ce qui assure que les cordes sont bien relativistes (i.e. sont des surfaces extr´emales dans l’espace de Minkowski).

Finalement, observons que les systèmes réduits, qui sont donc tous intégrables, à l’aide d’équations d’ondes linéaires, ont des solutions régulières globales ou non, selon les données initiales, suivant que (r, s, u)→X(t, r, s, u) reste ou non inversible deR³ dans lui-même.

3.3. Convergence vers les systèmes réduits. La réécriture des équations de Born- Infeld sous la forme du système symétrique NCABI (2.6) rend triviale l’asymptotique des champs intenses, au moins en temps petit, puisque les états τ = 0, ou τ =d= 0, ne sont en rien singuliers! Avec un tel argument, l’intervalle de temps, sur lequel la convergence a lieu, dépend grossièrement de la normeH^sdes données initiales, pours >5/2. Lorsque les systèmes limites ont des solutions sur un intervalle de temps plus grand, éventuellement infini, on s’attend à ce que les solutions approchées du système NCABI convergent sur un intervalle de temps comparable. Ce résultat peut en effet être obtenu par les méthodes d’énergie classique, dans la lignée de [13]. Les détails sont exposés dans [6]. Donnons un exemple de résultat reliant cordes et solutions du système de Born-Infeld lorsque le champ magnétique initial est très intense. (Pour simplifier on le suppose constant.)

(9)

Théorème 3.2. Soit B₀^∗ = (1,0,0) et D^∗₀ un champ régulier à divergence nulle et nul

`

a l’infini sur R³. Pour > 0, considérons (B, D) = (B, D) solution locale du système original de Born-Infeld (1.5) avec donnée initiale:

B(t= 0, x) = B₀^∗

, D(t= 0, x) =D₀^∗(x).

Soit la famille, param´etr´ee para∈R², de cordes vibrantes (relativistes)(t, s)→X(t, s, a), solutions de ∂ttX =∂ssX, avec valeurs initiales:

X(t= 0, s, a) = (s, a),

∂tX(t = 0, s, a) = D^∗₀×B₀^∗

p|B₀^∗|²+|D₀^∗×B₀^∗|²(s, a). (3.11)

Alors il existe ₀ >0 et T >0 tels que, pour tout t∈[0, T] et tout 0< ≤₀: i) (s, a)→X(t, s, a) est un diff´eomorphisme de R³,

ii) (B, D) est r´egulier avec inf0≤t≤T inf_(x,)|B(t, x)|>0, B

pB²+|D×B|²(t, X(t, s, a)) =∂sX(t, s, a) +O(), D×B

pB²+|D×B|²(t, X(t, s, a)) =∂tX(t, s, a) +O(). (3.12)

Esquisse de preuve. Pour montrer ce résultat il suffit d’appliquer les résultats indiqués plus haut pour le système NCABI. Plus précisément on pose d’abord.

τ= 1

p1 +B² +D²+|D×B|² , b =τ B , d=τ D , v =τ D×B.

On note qu’au temps t = 0:

τ =O(), d=O(), b =b^∗₀+O(), v =v^∗₀+O(), o`u

b^∗₀ = B^∗₀

p|B₀^∗|²+|D₀^∗×B₀^∗|², v₀^∗ = D₀^∗×B₀^∗

p|B₀^∗|²+|D₀^∗×B₀^∗|² .

Du caractère bien posé du système NCABI dans les espaces de Sobolev H^s pours >5/2, on déduit immédiatement qu’il existe un temps T >0 et un ₀ >0 pour lequels

1) la solution (τ, v, d, b) est bien d´efinie pour t∈[0, T] et 0< ≤0;

2) cette solution est, en norme H^s, `a distance de la solution “limite” (τ^∗, v^∗, d^∗, b^∗) admettant pour donn´ees initiales (0, v^∗₀, b^∗₀,0).

Compte tenu de l’homogénéité du système NCABI (2.6), la solution limite vérifie τ^∗ = 0, d^∗ = 0 et (v^∗, b^∗) est solution du système réduit (3.2) avec donnée initiale (v₀^∗, b^∗₀). Selon la proposition 3.1, on peut donc intégrer le système réduit (3.2) à l’aide de cordes vibrantes, de sorte que

b^∗(t, X(t, s, a)) =∂sX(t, s, a), v^∗(t, X(t, s, a)) =∂tX(t, s, a), tant que (s, a)→X(t, s, a) reste un diff´eomorphisme de R³.

Vérifions ensuite que |B| reste minoré. Comme (τ, v, d, b) est à distance de

(10)

(τ^∗, v^∗, d^∗, b^∗) = (0, v^∗,0, b^∗), en norme H^savecs >3/2, on a τ²+d² ≤K² sur l’intervalle [0, T] pour une certaine constante K >0. Cela se r´e´ecrit:

1 +D²

K² ≤1 +B²+D²+|D×B|² ≤(1 +B²)(1 +D²).

On en d´eduit que: 1 +B² ≥K⁻¹⁻² et (1 +D²)(1−K²)≤K²(B²+|D×B|²). Ainsi |B| reste minor´e et

B²+|D×B|²

1 +B²+D²+|D×B|² = 1 +O().

Donc:

B

pB²+|D×B|² =b+O() =b^∗+O(), D×B

pB²+|D×B|² =v+O() =v^∗+O(), et les résultats du théorème s’ensuivent sans difficulté.

Observons qu’une démonstration directe de ce théorème serait probablement très lourde sans l’utilisation du système élargi NCABI.

4. Solutions dissipatives au del`a des singularit´es

Les systèmes BI, NCABI et les systèmes réduits à haute énergie sont tous susceptibles de voir apparaitre des singularités en temps fini. C’est en particulier le cas du plus simple d’entre eux (3.3), bien connu (souvent sous le nom d’équation de Burgers). La question se pose naturellement de prolonger ces solutions au delà des singularités et de voir si l’on peut ainsi rendre le problème de Cauchy bien posé globalement dans un espace de solutions peu régulières. La procédure la plus simple (et dont la pertinence est à discuter en fonction du contexte physique) est de nature dissipative et ne concerne que le problème de Cauchy progressif (i.e. pour les t > 0). On connait ainsi, pour les équations de type Burgers et sous certaines conditions, la théories des solutions entropiques, remontant à Kruzhkov et Volpert dans les années 70, fondée sur l’espace L¹ et celle des solutions de viscosité, due à Crandall et Lions et fondée sur l’espace C⁰, dans les années 80. Elles permettent de donner un sens à des solutions généralisées et de montrer le caractère bien posé des

équations correspondantes dans les espaces appropriés (L¹ et C⁰ respectivement). Il est remarquable que les équations couvertes par ces deux théories décrivent des particules se déplacant en ligne droite, selon l’équation ∂ttX = 0, ou plus généralement selon une dynamique de particules ponctuelles sous l’action d’une force extérieure imposée. Les

équations qui nous préoccupent dans cet exposé sont plus complexes. Typiquement, le système NCABI en dimension un et le système réduit (3.2) décrivent des cordes vibrantes selon le système (2.15). Les singularités apparaissent dès qu’une solution (t, s)→X(t, s) de ce système (2.15) viole la condition de passage eulérien lagrangien, à savoir, dans le cas unidimensionnel: ∂sX >0. Or, la théorie classique des opérateurs maximaux montones [7] permet de rendre les solutions globales en imposant la contrainte relachée ∂sX ≥0. Il suffit pour cela, de considérer l’espace H =L²(R)² et d’y définir un potentiel convexe Φ par

(4.13) Φ(X) = 0, si ∂sX ≥0, Φ(X) = +∞ sinon.

Au lieu de r´esoudre (2.15) on cherche plutˆot les solutions de:

(4.14) 0∈∂tX−∂sU+ (∂Φ)(X), ∂tU =∂sX,

(11)

avec les notations de l’analyse convexe [7]. Les solutions sont bien définies dans l’espace des fonctions continues du temps à valeurs dansH =L²(R)²,t→(X(t,·), U(t,·)) et forment, pour t≥0, un semi-groupe de contraction dans H. En particulier deux solutions (X, U) et (Y, V) vérifient toujours:

||X(t,·)−Y(t,·)||^L²+||U(t,·)−V(t,·)||^L² ≤ ||X(s,·)−Y(s,·)||^L²+||U(s,·)−V(s,·)||^L² , pour toust≥s ≥0. Plus concrètement, les solutions de (4.13,4.14) peuvent être obtenues par approximation, des deux fa¸cons différentes suivantes.

Approximation numérique. On introduit un réseau discret pour les variables (t, s), de pas uniformes δt >0 en t et δs >0 en s. On imposeδt =δs de sorte que les ondes générées par (2.15) se propagent exactement sur le réseau. L’approximation numérique Xn,i de la solution X(nδt, iδs) est définie, pour chaque pas de temps n = 0,1,· · ·, en deux étapes.

On utilise d’abord la formule de d’Alembert (2.16) et on pose:

X˜n+1,i= 1

2(Xn,i+1+Xn,i−1+Un,i+1−Un,i−1), Un+1,i = 1

2(Xn,i+1−Xn,i−1+Un,i+1+Un,i−1).

(4.15)

La suite obtenue i→X˜_n+1,i n’étant pas forcément croissante, on la rérrange dans l’ordre croissant, ce qui fournit les valeurs valeurs Xn+1,i désirées. On alors:

Théorème 4.1. Lorsque δt = δs → 0 les solutions approchées fournies par le schéma numérique et convenablement initialisées convergent vers les solutions de (4.13,4.14).

La démonstration est essentiellement la même que celle utilisée dans [5] pour la théorie des cordes vibrantes “bien ordonnées”. Cette théorie a d’ailleurs été développée pour rendre globales les solutions de (3.2), dans le cas particulier de solutions (b, v) de la forme:

b= (b1(t, x1, x3),0,1), v = (v1(t, x1, x3),0,0).

Une simulation numérique. Les deux figures suivantes montrent une simulation numérique du système dissipatif (4.13,4.14) qu’on approche par le schéma (4.15), réarrangement compris, avec δt=δs= 0.005.

La première figure montre les trajectoires t ∈ [0,2]→ X(t, s), pour−1 ≤ s ≤3. (L’axe vertical correspond au temps et l’axe horizontal à l’espace.) On y voit les concentrations de trajectoires se développer rapidement avec une intensité maximale entre t = 0.25 et t= 0.5. Sur la seconde figure on voit l’évolution de l’énergie totale

100

200

X

i=2

(|Xn,i−Xn,i−1|²+|Un,i−Un,i−1|²) et celle de l’´energie cin´etique:

100

200

X

i=2

|Un,i−Un,i−1|².

On observe la diminution rapide de l’énergie totale dans la phase de concentration maximale. Ensuite l’énergie totale stationne peu après t= 0.5: c’est la fin des concentrations dissipatives d’énergie. La solution devient alors périodique en temps.

(12)

0 0.5 1 1.5 2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

"fort.59"

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

"fort.58"

Approximation parabolique. Voici un second procédé d’approximation du système dissipatif (4.13,4.14). On prend n’importe qu’elle fonction convexeτ →ψ(τ), valant +∞pour τ <0, régulière pourτ >0 et nulle en τ = 1. Par exemple, ψ(τ) =τlogτ,ψ(τ) =−logτ ou ψ(τ) = 1/τ −1 conviennent. Ensuite, on introduit un petit paramètre > 0 et on remplace dans (4.14) la fonctionnelle X →Φ(X), qui ne prend que les valeurs 0 et +∞, par

X → Z

ψ(∂sX)ds.

Ecrite en clair, l’´equation r´esultante devient (au moins formellement):

(4.16) ∂tX =∂sU +∂s(ψ⁰(∂sX)), ∂tU =∂sX,

(13)

ce que l’on peut interprêter comme l’équation d’un milieu viscoélastique. Formellement, le pendant eulérien, au travers des formules (2.12), de cette équation dissipative est une approximation de type “Navier-Stokes” du système (2.9), à savoir:

(∂t+v1∂1)z =z∂1v1,

(∂t+v1∂1)v1 =z∂1z+∂1(µ(1/z)∂1v), (4.17)

où µ(τ) = τ ψ⁰⁰(τ). (Par exemple ψ(τ) = τlogτ conduit à une “viscosité” constante:

µ= 1 et ψ(τ) =−logτ donne µ(1/z) =z.)

5. Reformulation des lois de conservation scalaires

La version dissipative (4.13,4.14) de l’équation des ondes avec vitesse de propagation 1 (2.15) se généralise aisément au cas où la vitesse de propagation est une constante γ >0.

Ainsi

(5.18) ∂tX =∂sU, ∂tU =γ²∂sX a pour version dissipative:

(5.19) 0∈∂tX−∂sU+ (∂Φ)(X), ∂tU =γ² ∂sX.

Le cas dégénéré γ = 0 est instructif. On trouve:

(5.20) f ∈∂tX+ (∂Φ)(X),

où f = ∂sU devient une donnée, indépendante du temps. La propriété de contraction se réduit alors, pour deux données distinctesf et g, avec solutions correspondantesX etY: (5.21) ||X(t,·)−Y(t,·)||^L² ≤ ||X(s,·)−Y(s,·)||^L²+ (t−s)||f −g||^L²,

pour t ≥ s. Bien entendu, on peut approcher les solutions de (4.13,5.20) par le schéma numérique dérivé de (4.15) lorsque γ →0. Ce schéma consiste à réarranger, dans l’ordre croissant, à chaque pas de temps n, la suite i→Xñ+1,i donnée par:

X˜n+1,i=Xn,i+δtfi .

Or ce sch´ema (introduit par l’auteur dans [3] sous le nom de “transport-collapse method”) est connu pour permettre l’approximation de la loi de conservation scalaire

(5.22) ∂tu+∂xF(u) = 0, x∈R, t ≥0,

pour toute fonction F Lipschitz continue et toute donnée initiale x → u0(x) monotone croissante (avec valeurs 0 et 1 lorsquex tend respectivement vers −∞et +∞, pour fixer les idées). (Pour plus de détails sur la théorie des lois de conservation hyperboliques, voir [9], [18].) Plus précisément, on prend N >0 entier, on pose pour i= 1,· · ·, N :

fi =N(F( i

N)−F(i−1 N )), et on choisit X0,i sur l’axe r´eel de sorte que

u0(X0,i−0) = i−1/2

N .

(14)

Selon [3], pour tout t≥0, l’unique solution (au sens de Kruzhkov) x→u(t, x) de (5.22), telle que u(0,·) = u0, est la limite (localement dans L¹) de l’approximation

uN(nδt, x) = 1 N

N

X

i=1

H(x−Xn,i)

(oùH désigne la fonction d’Heaviside), lorsque nδt→t etN →+∞. Il en découle aisément:

Théorème 5.1. Les solutions de Kruzhkov u(t, x) de la loi scalaire (5.22), avec donnée initiale monotone variant de 0 à 1 sur la droite réelle, s’écrivent exactement:

u(t, x) = Z 1

0

H(x−X(t, s))ds, o`u X est solution de (4.13,5.20) avec f =F⁰.

On a donc obtenu, dans le cas très simple des lois de conservation scalaires avec données initiales monotones et flux arbitraires, une formulation impliquant un semi-groupe con- tractant dans L². Ainsi, on a une structure hilbertienne sous-jacente des lois de conservation scalaires, ce qui semble n’avoir jamais été observé à ce jour.

Remarque. Pour deux solutions à la Kruzhkov, u et v avec flux F et G, la propriété de contraction (5.21) peut se réécrire:

dW,2(∂xu(t,·), ∂xv(t,·))≤dW,2(∂xu(s,·), ∂xv(s,·)) + (t−s)||F⁰−G⁰||^L² ,

pourt≥s, oùdW,2 désigne la distance de “Wasserstein” d’exposant 2 entre deux mesures de probabilité (voir [20] par exemple). Sous cette forme, le résultat était déjà connu de [2] (dans le cas F =G).

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CNRS, FR 2800, Universit´e de Nice Sophia-Antipolis, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2, France

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