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Correction devoir maison n°13
Exercice 1
1) Le mois de mai compte 31 jours et l’organisateur verse 60 000 000 € chaque jour, ce qui fait un total de 1 860 000 000 €
2)
a. D’après l’énoncé, la somme reversée double chaque jour, donc la suite est géométrique de raison 2.
On a donc : 1 2 2 .
La somme reversée le 10 mai correspond à .
2 512 donc le 10 mai, on doit reverser 512 €. b. La somme totale reversée est égale à 1
1 1 2 1
2 1 2 1 2 147 483 647
On doit donc reverser au total 2 147 483 647 €, autrement dit beaucoup plus que ce que l’organisateur a donné !
Exercice 2
1)
3
9 4,2
3 0 3 alors que 9 3 12 donc la suite n’est pas arithmétique.
Comme 0, la suite ne peut pas être géométrique (sinon tous les termes seraient nuls…) 2)
a. #
3
# $%
#&
&$'% b. Pour tout ( ) *,
# 3
1 3 5 3 1 1 5 3
1
3 3 5 3
1 1
1 5 3 6 2 4 4
#
# 6 2
4 4 1
3 23 1 41 3 1
2 Donc la suite # est une suite géométrique de raison
.
c. On a donc pour tout ( ) * : # # 3 +, d’où # - d. Pour tout ( ) * :
3
1 # . 3 # 1 . 1 # # 3 . # 3
# 1 Cette dernière expression a un sens, car d’après l’expression de # , on a bien # / 1 pour tout ( ) *. Nous avons donc :
23 3
23 1 31 2 3 2 On vérifie : 01
0
31 2
3 2 31 2
3 2 3 31 2
3 2 31 4
3 4 9 31 2
3 2 31 8
3 8 21
5 4,2
Exercice 3
1) 2 et #%2
2 34 53 6% et # %2 34473 6
&2 &89:3&7783 6'$6 et # &%2 &89:334&83 '$$'6
2) 1 et 6%66% %% donc n’est pas arithmétique.
et &
89:33
4 66 donc n’est pas géométrique.
3) Le même type de calcul permet de montrer que # n’est ni arithmétique, ni géométrique.
4) Pour tout ( ) *
a. ; # -%2 --2 --2--2-2-- # ;
Donc la suite ; est géométrique de raison
.
b. Pour tout ( ) *, ; ; +, or ; # 2 1 1. D’où ; +, 5) Pour tout ( ) *
< 3 10# 2# 2 8# 3 10# <
Donc la suite < est constante et < < 3 10# 3 20 2 6) On a donc : = # +,
3 10# 23> ? @ # +, 13 23 10 +, > ?
AB
C # + 3&,
-
+ 3&,
-
>
7) Comme 0 D D 1, lim HI+, 0 donc par addition et division, lim HI lim HI#
