Domaine principal 1 : Physique

Chapitre 1:

Chapitre 2:

Dipôle RC.

Dipôle RL.

Chapitre 3:

Chapitre 4:

Circuit RLC série.

Applications: Production d'ondes

électromagnétiques et communication (SP) .

Domaine principal ① : Physique

Sous Domaine ❸ :

I. le comportement d’un condensateur dans un circuit électrique 1-Définitions :

 Un condensateur est un dipôle électrique , qui comporte deux armatures métalliques en face l’une à l’autre et séparées par un isolant appelé « diélectrique » (air, papier, céramique, ...).

 Symbole d’un condensateur :

Chapitre 1: Dipôle RC

 On réalise le circuit de la figure ci- contre, on branche le condensateur dans le circuit, puis on ferme l’interrupteur .

 Le Condensateur se charge :

 Lorsqu’on ferme l’interrupteur , les électrons quittent l’armature A qui se charge positivement q_A > 0 et s’accumulent sur l’armature B qui se charge négativement q_B <0 .

 Puisque la charge se conserve , il faut que q_A + q_B = 0 , donc q_A = −q_B

 La charge du condensateur ou la quantité d’électricité emmagasinée dans le condensateur, est la charge de l’armature positive du condensateur, sont symbole est Q et son unité et le coulomb (C) :

Q = q

= - q

2-Étude expérimentale :

la relation entre les charges électriques des armatures d’un condensateur

3. Charge électrique et intensité du courant:

 la relation entre l’intensité i et la charges électrique q

portées par les armatures.

e-

Remarque : pour le courant continue on écrit :

I =

4. La capacité d’un condensateur ∆𝒕

 On considère le circuit électrique suivant, avec un générateur de courant qui débite un courant constant I0 et on obtient le graphe ci-dessous U_c=f(t).

Exploitation :

1. Montrer qu’ à chaque instant t, le condensateur reçoit une charge q = I₀ . t

 Puisque le générateur de courant délivre une intensité de courant I₀ constante , d’après la relation entre la charge et l’intensité , on a

0

I q

t

 



q

I  t donc : q = I

.t

2. Montrer qu’ à chaque instant t que

: q = C . u

Le graphe obtenue est une droite linéaire d’équation: U_c=k.t Et puisque t = _𝑰^𝒒

𝟎

on déduit l’expression suivante: U_c= k . _𝑰^𝒒

𝟎

Donc q = ^𝑰_𝑲^𝟎 .U_c on pose C= ^𝑰_𝑲^𝟎 et on écrit

q=C.u

C: capacité du condensateur, son unité est le Farad (F)

Conclusion :

À chaque instant , la charge q

de l’armature A du condensateur est proportionnelle à la tension u

aux bornes de ses armatures A et B:

C: est la capacité du condensateur; en Farad (F) q

en coulomb (C)

u

: en volt (V)

q _A = C.u _AB

A B

q

u

II. Association des condensateurs:

1. Association en parallèle

 Considérons un ensemble de deux condensateurs de capacités C₁ et C₂ branchés en parallèle et cherchons la capacité d’un condensateur unique équivalent à cet ensemble .

 D’après loi des nœuds on :

Donc : Puisque:

Donc :

 On conclue que :

2. Association en série

 Considérons un ensemble de deux condensateurs de capacités C₁ et C₂

branchés en série et cherchons la capacité

d’un condensateur unique équivalent à cet ensemble .

On applique la loi d’additivité des tensions entre A et B :

Avec : et

On écrit : donc

On applique une tension U = 300V entre les pôles d'un

ensemble constitué de deux condensateurs associés en série, dont les capacités sont: C

=1µF , C

=2µF

1-Déterminer la tension entre les bornes de chaque condensateur.

2-Calculer la charge emmagasinée dans chaque condensateur.

 Application 1:

1-Nous avons les deux relations: q

= C

.U

et q

= C

.U

Pour notre condensateur équivalent: q = C.U

Avec: Donc:

Puisque: q=q

=q

Donc : C.U = C

.U

= C

.U

AN: U₁=200V و U₂=100V

Donc: et:

2. On a: q

=C

.U

و q

=C

.U

 Correction 1:

Exercice 1

III. la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension:

1-Définition :

 L’association en série d’un condensateur de capacité C et d’un conducteur ohmique de résistance R , constitue un dipôle RC.

 Échelon de tension est un signal électrique u(t) . On distingue deux types : 2-Échelon de tension

Échelon ascendant Échelon descendant

3. Réponse à un échelon de tension – étude expérimentale

 Le condensateur est orienté de l’armature A vers l’armature B , on note:

q

= q et u

= u

 On considère le montage électrique suivant : le condensateur est initialement déchargé ( q = 0 ) E = 6 V ; C = 100 μF ; R = 2 KΩ

 À l’instant t = 0 en place K à la position 1 et on visualise les variation de la tension uc en fonction du temps (courbe 1: charge du condensateur)

 qu’on le condensateur se charge totalement, on bascule K de la position 1 à la position 2 . On obtient ( courbe 2 : décharge du condensateur) .

Régime permanant

Régime permanant Régime

transitoire

Régime transitoire

Courbe 1

Charge du condensateur

Courbe 2

Décharge du condensateur

- La tension uc(t) est une fonction continue - La durée de charge et de décharge est 5τ - On constate 2 régimes:

• Régime transitoire: quand t < 5τ , la tension uc augmente ou diminue.

• Régime permanant: quand t ≥ 5τ, on constate que uc=E lors de la Charge du condensateur et uc=0 lors de la Décharge.

- La durée de charge et de décharge augmente quand C ou R augmente.

4. Réponse à un échelon de

tension montant

D’après l’additivité des tensions on peut écrire :

E = u

+u

D’après la loi d’Ohm on a :

u

=R.i et on a: i = C

Donc

: E = u

+ RC.

𝒅𝒕

On pose τ=RC et déduit l'équation différentielle suivante :

on a q = Cu_C donc u_C= ^𝒒 _𝒄 et on a u_R=R.i = R. ^𝒅𝒒_𝒅𝒕 on remplace dans l’équation et on trouve l’équation différentielle vérifiée par q :

Remarque:

RC

𝒅𝒕

+ 𝐪 = 𝐂𝐄 τ. ^𝒅𝒖

𝒅𝒕 + u

= E

b. Solution de l’équation différentielle :

On montre , en mathématique , que la solution de cette équation différentielle est :

Avec A , B et α des constantes à déterminer:

 Détermination de A et B

En portant cette solution dans l’équation différentielle , on détermine la constante A et la constante B.

On remplace dans l’équation :

Pour que cette équation soit réalisable il faut que : et

• Les conditions initiales permet de déterminer B:

à t=0 on a u_c=0 on remplace dans la solution on trouve :

Donc la solution peut s’écrie sous la forme suivante : C. Expression de l’intensité du courant de charge i(t)

On sait que l’intensité du courant de charge :

5- décharge du condensateur – étude théorique- a. Équation différentielle vérifiée par la tension u_C

D’après l’additivité des tensions on peut écrire :

0 = u

+u

D’après la loi d’Ohm on a :

u

=R.i et on a i=C

𝒅𝒕

Donc 0 =u_c+ RC.^𝒅𝒖𝒄

𝒅𝒕

On pose τ=RC et on déduit l'équation différentielle suivante ^:

Remarque:

On a q=Cu_C donc uc = ^𝒒 _𝒄 et on a u_R=R.i = R. ^𝒅𝒒_𝒅𝒕 on remplace dans

l’équation et on trouve l’équation différentielle vérifiée par q :

RC

𝒅𝒕

+ 𝐪 = 𝟎

τ. ^𝒅𝒖

𝒅𝒕 + u

= 0

b. Solution de l’équation différentielle :

On montre , en mathématique , que la solution de cette équation différentielle est :

Avec A et m, des constantes à déterminer:

Détermination de A et m

En portant cette solution dans l’équation différentielle , on détermine la constante A et la constante m

On remplace dans l’équation :

Pour que cette équation soit réalisable il faut que :

Les conditions initiales permet de déterminer A:

à t=0 on a U_c=E on remplace dans la solution on trouve :

donc la solution s’écrie sous la forme suivante :

C. Expression de l’intensité du courant de charge i(t) On sait que l’intensité du courant de charge :

b. Unité de τ

D’après l’équation des dimensions , on a:

d’autre part et

Donc

 La grandeur τ a une dimension temporelle , son unité dans SI est la seconde (s)

6- constante de temps ԏ a- Définition :

On définit la constante du temps par la relation : τ =R C

   

u

 i i dq

 dt du

C. dt

       ^{i  C .}   ^{u t}        

t . i

C  u

u

 R.i _R ^u

 i      

R u

 i

      ^{C . R  t}

  RC       ^{  C . R}

c

Première méthode : On utilise la solution de l’équation différentielle:

Charge de condensateur

À t = τ on a:

τ est le temps qui correspond à la tension 0.63 E

Deuxième méthode : τ est l’abscisse de l’intersection entre la tangente à la courbe à t=0 et L’asymptote Uc = E

Exercice 2

décharge du condensateur

Première méthode : On utilise la solution de l’équation différentielle:

À t = τ on a:

τ est l’abscisse qui correspond à l’ordonnée 0.37 E

Deuxième méthode : τ est l’abscisse de l’intersection entre la tangente à la courbe à t=0 et L’axe du temps

IV. Énergie stockée dans un condensateur: 1-Étude expérimentale

 Un condensateur peut être utiliser pour stocker de l’énergie .

 On réalise le montage de la figure ci-contre . Avec un générateur de tension, on charge le condensateur en plaçant le commutateur en position 1 .

 On bascule le commutateur en position 2 , le condensateur est alors connecté a la lampe , la lampe s’allume, la tension aux bornes du condensateur diminue ; le condensateur se décharge .

Interprétation :

 Le condensateur chargé possède de

l’énergie. Celle ci est transmise a la lampe qui s’allume.

 On dit que le condensateur emmagasine une énergie électrique qui augmente

lorsqu’on Augmente la valeur de C ou Uc.

2-L’expression de l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur .

 La puissance électrique fournie par le générateur au condensateur :

donc Et on sait que la puissance électrique:

d’où

p  u .i

du

i dq C.

dt dt

 

 dt

dE

p  dt ^E

^{1 .C.u}

^K

 2 

2 C

d 1 dt 2.C.u

 

  

Puisque E_e(t = 0) = 0, condensateur non chargé , u_C(t = 0) = 0 donc K = 0 .

2

e C

E 1 .C.u

 2

Puisque: q = C.u

1

E .q

 2C