1 Coordonnées de vecteurs

1 Coordonnées de vecteurs

A retenir

A(xA;yA)etB(xB;yB)alors −→AB(xB−xA;yB−yA)

Exercice 1

Dans les cas suivants , calculer les coordonnées du vecteur −→AB A(5;8) et B(7;5) : −→AB(7−5; 5−8) donc −→AB(2;−3)

A(−4; 6)etB(3; 4) : −→AB(3 + 4; 4−6) donc −→AB(7;−2)

A(−4;−1)etB(−1;−8) : −→AB(−1 + 4;−8 + 1) donc −→AB(3;−7) Exercice 2

On donne A(−5; 4) , B(7; 8) et C(4;−3).

Calculer les coordonnées de −→AB: −→AB(7 + 5; 8−4) donc −→AB(12; 4) Calculer les coordonnées de −−→BC : −−→BC(4−7;−3−8) donc −−→BC(−3;−5)

Calculer les coordonnées du point D tel que −−→CD = −→AB : Posons D(x;y) . On a : (x −4 = 12

y+ 3 = 4 ⇐⇒

(x = 16

y = 1 donc D(16;1)

Calculer les coordonnées du point E tel que −→AE = 2−−→BC : On pose E(x:y) . On a : (x + 5 = 2−6

y−4 =−10 ⇐⇒

(x =−3

y=−6 donc E(−3;−6)

Calculer les coordonnées du point F tel que −→CF = −→AB −−−→BC :Posons F(x;y) . On a : (x −4 = 12 + 3

y+ 3 = 4 + 5 ⇐⇒

(x = 19

y= 6 donc F(19;6) Exercice 3

Soient les points A(−2; 4) ,B(1; 5) etC(−3;−5)

Calculer les coordonnées du point M tel que −−→M A+−−→M B = −−→M C : On pose M(x;y) . On a:

−2−x+ 1−x = −3−x

4−y+ 5−y = −5−y ⇐⇒

(x = 2

y= 14 donc M(2;14) Exercice 4

Soient les points A(4;−5) ,B(−1; 8) et C(1; 3)

Calculer les coordonnées du point D tel que −−→AD = −−→BC + 2−→AC : Posons D(x;y) . On a :

x−4 = 1 + 1 + 2×(1−4)

y+ 5 = 3−8 + 2×(3 + 5) ⇐⇒

x−4 = −4

y+ 5 = 11 ⇐⇒

x = 0

y = 6 Donc D(0;6)

Calculer les coordonnées du point E tel que −−→BE = −→AB − −−→BC :Posons E(x;y) . On a :

x+ 1 = −1−4−(1 + 1)

y−8 = 8 + 5−(3−8) ⇐⇒

x+ 1 = −7

y−8 = 18 ⇐⇒

x = −8

y = 26 donc E(−8; 26)

2 Parallélogrammes

A retenir

ABCD est un parallélogramme si et seulement si −→AB =−−→DC

Exercice 5

On donne les points A(5;7) , B(8;9) , C(4;5) et D(7;7) .

ABCD est-il un parallélogramme ? Calculons les coordonnées des vecteurs −→AB(3; 2) et −−→DC(−3;−2) . Puisque −→AB 6=−−→DC alors ABCD n’est pas un parallélogramme . Remarque : −−→CD(3;−2) donc −→AB =−−→CD et donc ABDC est un parallélogramme !

Attention

Bien tenir compte de l’ordre des lettres du parallélogramme pour travailler avec les bons vecteurs .

Exercice 6

Dans un repère orthonormé , on donne les points A(1;3) , B(5;−1), C(3;5) et D(7;1) . Calculer les coordonnées de −→AB , −→AC , −−→AD , −−→BC , −−→BD et −−→CD: −→AB(4;−4) , −→AC(2; 2),

−−→AD(6;−2) , −−→BC(−2; 6) , −−→BD(2; 2) et −−→CD(4;−4)

Lequel de ces quadrilatères et un parallélogramme ? ADCB , ABDC ou ACBD ? −→AC =−−→BD donc ACDB est un parallélogramme : c’est aussi le parallélogramme ABDC . Exercice 7

On donne les points A(4;3) , B(7;9) et C(5;8) . Calculer les coordonnées de −→AB : −→AB(3; 6)

ABCD est un parallélogramme si et seulement si −→AB =−−→DC

Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme . Posons D(x;y) alors par la question précédente ,

3 = 5−x

6 = 8−y ⇐⇒

x = 2

y = 2 Donc D(2;2)

Astuce

Faire le schéma à main levée pour visualiser l’ordre des points du parallélogramme

Exercice 8

On donne les points T(9;−2), U(−1;−3) etY(4; 5)

Déterminer les coordonnées de S tel que TYSU soit un parallélogramme . TYSU est un parallélogramme si et seulement si −→T Y = −→U S . Posons S(x;y) . On doit donc résoudre :

4−9 = x+ 1

5 + 2 = y+ 3 ⇐⇒

x = −6

y = 4 Donc S(−6; 4) Exercice 9

Dans un repère orthonormé , on donne A(1;4) , B(5;0) et C(9;4) Faire une figure

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

b

A

b

B

bC

bD

Calculer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme . ABCD parallélo- gramme ⇐⇒ −→AB =−−→DC. Posons D(x;y) alors :

5−1 = 9−x

0−4 = 4−y ⇐⇒

x = 5

y = 8 donc D(5;8)

Conjecturer la nature de ABCD . Il semble que ABCD soit un carré

Démontrer la conjecture . Par l’énoncé , on sait déjà que ABCD est un parallélo- gramme . Calculons AB , BC et AC pour déterminer s’il a deux côtés consécutifs égaux et un angle droit .

AB =p

4²+ (−4)² =√

32 = 4√ 2 BC =

q

(9−5)²+ (4−0)² =√

32 = 4√ 2

AC =p

(9−1)²+ (4−4)² =√ 64 = 8

On a donc AB = BC et ABCD losange .

De plus , AB² +BC² = AC² donc par la réciproque de Pythagore , ABC est un triangle rectangle en B donc ABCD est un carré

A retenir

−

→u(x;y) alors k−→uk=p

x²+y²

3 Colinéarité

A retenir

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles .

OU−

→u(x;y) et−→v(x^′;y^′) sont colinéaires si et seulement si xy^′−x^′y = 0

Exercice 10

Dans les cas suivants , dire si les vecteurs sont colinéaires :

−

→u(5; 4) et −→v (15; 12):oui car −→v = 3−→u

−

→t (7; 5) et −→q 7

3;5 3

: oui car −→t = 3−→q

−

→z(√

3; 1) et −→w(3;√

3) : oui car −→w =√ 3−→z

Exercice 11

On sait que les vecteurs suivants sont colinéaires . Déterminer x dans chaque cas :

−

→u(x; 5)et −→v (13; 22): On doit avoir det(−→u;−→v) = 0 ⇐⇒

x 13 5 22

= 0 ⇐⇒ 22x−13×5 = 0 ⇐⇒ x= 65 22

−

→u(4;x)et −→v (x; 5): On doit avoir det(−→u;−→v) = 0 ⇐⇒

4 x x 5

= 0 ⇐⇒ 20−x² = 0 ⇐⇒ x=±√

20 =±2√ 5

−

→u(7; 12) et−→v(x; 7): On doit avoir det(−→u;−→v) = 0 ⇐⇒

7 12 x 7

= 0 ⇐⇒ 49−12x= 0 ⇐⇒ x= 49 12

Exercice 12

Dans un repère orthonormé , on donne les points A(4;5) , B(7;8) et C(3;2) . Les points A , B et C sont-ils alignés ? A, B et C sont alignés si et seulement si −→AB et −→AC sont colinéaires . Or −→AB(3; 3) et −→AC(−1;−3) . On a :

det−→AB;−→AC

=

3 −1 3 −3

= −9 + 3 = −6 6= 0 donc les vecteurs −→AB et −→AC ne sont pas colinéaires et les points A , B et C ne sont pas alignés

4 Equations de droites

Exercice 13

Soit la droite d’équation 2x−8y+ 7 = 0.

Donner les coordonnées d’un vecteur directeur de cette droite : −→u(8; 2) Donner les coordonnées d’un vecteur normal à cette droite : −→n(2;−8)

Déterminer l’équation réduite de cette droite : 2x−8y+ 7 = 0 ⇐⇒ 8y= 2x+ 7 ⇐⇒ y= 1

4x+7 8

Donner le coefficient directeur de cette droite : 1 4 Exercice 14

Dans un repère orthonormé , on donne les points A(5;7) et B(11;6) . Calculer les coordonnées de −→AB : −→AB(6; 1)

Soit M(x;y) un point de (AB) . Que peut-on dire des vecteurs −→AB et −−→AM ? Ils sont colinéaires puisque les points A, B et M sont alignés

Donner la formule des coordonnées de −−→AM : −−→AM(x−5;y−7) Compléter : det−→AB;−−→AM

= 0

En déduire une équation cartésienne de la droite (AB) .

6 x−5 1 y−7

= 0 ⇐⇒ 6(y−7)− (x−5) = 0 ⇐⇒ −x+ 6y−37 = 0 . Une équation de (AB) est donc −x+ 6y−37 = 0 Exercice 15

En s’inspirant de l’exercice précédent , déterminer une équation de la droite (AB) dans chaque cas :

A(1;3) et B(12;8) . −→AB(11; 5) . On pose M(x;y) un point de la droite (AB) alors

−→AB et −−→AMsont colinéaires donc det−→AB;−−→AM

= 0 ⇐⇒

11 x−1 5 y−3

= 0 ⇐⇒

11(y−3)−5(x−1) = 0 ⇐⇒ −5x+ 11y−28 = 0 Une équation de (AB) est donc

−5x+ 11y−28 = 0

A(−5; 3) et B(1;8) . −→AB(6; 5) . On pose M(x;y) un point de la droite (AB) alors

−→AB et −−→AMsont colinéaires donc det−→AB;−−→AM

= 0 ⇐⇒

6 x+ 5 5 y−3

= 0 ⇐⇒

6(y−3)−5(x+ 5) = 0 ⇐⇒ −5x+ 6y −43 = 0 Une équation de (AB) est donc

−5x+ 6y−43 = 0