C2 - Juin 2001
Exercice 1
Un système de radiocommunication est constitué de deux capteurs omnidirectionnels :
fo 0B
fo 0B
c1(t) c1(n)
c2(t) c2(n)
w∗2 w∗1
cos2πfot+jsin2πfot s2(t) x(n)
C1
C2
s1(t)
λo
Le système reçoit les signaux provenant de deux sources indépendantes : – Source 1 : direction90o. Modulation d’amplitudes1(t) =m1(t).cos2πfot.
– Source 2 : direction0o. Modulation d’amplitudes2(t) =m2(t).cos2πfot.
Remarque : les capteurs sont espacés deλo et non pas de λ2o.
m1(t)et m2(t)sont des signaux basse fréquence de puissance unité et de bande[−B; +B]. fo est la fréquence porteuse des signaux source ;λo sa longueur d’onde.
1) Exprimer les enveloppes complexes échantillonnées c1(n) et c2(n) des signaux capteurs à partir de celles des signaux sourcesm1(n)et m2(n).
2) Proposer (sans calcul) un jeu de pondérations (w1, w2) de façon à annuler la source1 au niveau de la sortiex(n)de l’antenne. Quelle est l’amplitude de la source2en sortie.
3) Calculer alors la réponse de l’antenne dans la direction 45o puis modifier le jeu de pondérations pour que cette réponse soit égale à1.
4) Les capteurs reçoivent en plus des bruits indépendants de puissance identique σ2. Calculer la puissance du bruit en sortie de l’antenne. Exprimer le gain de rapport signal à bruit (en dB) pour la direction45o.
Exercice 2
Considérons un signal qui peut être modélisé de la façon suivante :
y(n) =α+β.n+x(n) ; n∈[0;N[
α : une composante continue. β.n : composante linéaire. x(n) : composante orthogonale aux deux précédentes.
1) On désire estimer x(n). Pour cela, on choisit de prédire y(n) avec les signaux {1;n}. Expliquer pourquoi l’erreur de prédiction constituera bien une estimation dex(n).
1
2) Représenter ce problème de prédiction grâce à un schéma. Exprimer le vecteur signal et préciser quel est le signal désiré.
3) On adopte le critère des moindres carrés (non pondéré). Calculer la matrice de corrélation du vecteur signal et exprimer le vecteur d’intercorrélation entre le vecteur signal et le signal désiré.
4) Exprimer le vecteur des pondérations en fonction des composantes du vecteur d’intercorrélation.
5) Comment devrait-on choisir les signaux constituant la base de prédiction pour obtenir une matrice de corrélation diagonale. Exprimer alors le nouveau vecteur de pondérations.
2
