1 Le signal s

(1)

Traitement numérique des signaux Transformée de Fourier Discrète

I - Caractérisation de la Transformée de Fourier Discrète (TFD).

On considère le signal analogique xa(t) =e^j2πf⁰^t.

1. Calculer et représenter le spectre X1(f)du signalx1(t):

x₁(t) =x_a(t).Y

τ

(t)

Q

τ(t)est la fonction porte qui vaut1 entre−^τ₂ et +^τ₂ et0 ailleurs.

Vérier le théorème de Parseval.

On pourra calculer : ˆ +∞

−∞

sin(x) x

2

dxen utilisant le résultat : ˆ +∞

−∞

sin(x)

x dx=π(intégrale de Dirichlet).

2. En déduire le spectreXa(f)du signalxa(t):

Xa(f) = lim

τ→∞X1(f) Exprimer X₁(f)à partir deX_a(f).

RetrouverX_a(f)en calculant la série de Fourier dex_a(t). Vérier dans ce cas le théorème de Parseval.

3. Calculer le spectreX₂(f)du signal périodiquex₂(t):

x₂(t) =x₁(t)?

+∞

X

i=−∞

δ(t−iτ) (? signie l'opération de convolution)

Représenter X₂(f)dans le cas où τ f₀=k.X₂(f)représente-il une bonne estimation deX_a(f)? Recommencer dans le cas τ f0=k+¹₂. Vérier le théorème de Parseval.

Exprimer X2(f)à partir deX1(f).

4. Calculer le spectreX3(f)du signal échantillonnéx3(t):

x3(t) =x2(t)×

+∞

X

p=−∞

δ(t−pT e)(oùTe= τ N) Représenter X₃(f)dans le cas où τ f₀=k.

Exprimer X₃(f)à partir deX₂(f).

5. Calculer la TFDX₄(k)de tailleN du signal discretx₄(n):

x4(n) =

+∞

X

p=−∞

x2(pT e).δ(n−pT e)

Exprimer X₃(f)à partir deX₄(k). 6. Que se passe-t-il lorsqueN → ∞?

A N constant, que peut-on faire pour améliorer l'estimation spectrale fournie par la TFD ?

1

(2)

II - Application : On échantillonne à la fréquencefe= 1le signal suivant : s₁(t) =sin(2π0.25t) + 2cos(2π0.625t) 1. Donner les 16 valeurs obtenues sur la durée 06t615.

Le théorème de l'échantillonnage est-il respecté ? Quelle est la conséquence ?

2. Pour déterminer les signaux contenus dans l'ensemble des 16 échantillons obtenus, on eectue une transfor- mée de Fourier discrète (TFD) àN = 16points. Donner les valeurs obtenues et commenter ces résultats.

3. Reprendre la question précédente avec le signal :

s2(t) =cos(2π0.25t) + 2cos(2π0.60t) Comparer les valeurs obtenues avec les précédentes.

4. Vérier la relation de conservation de la puissance dans cette transformation de Fourier discrète.

5. Le signals1(t)est quantié à 6 bits après échantillonnage. Calculer la puissance du bruit de quantication et donner le rapport signal à bruit correspondant. Calculer la TFD du signal d'erreur de quantication et commenter les résultats.

(3)

Correction

I - Caractérisation de la Transformée de Fourier Discrète (TFD).

1. X₁(f) = ˆ +∞

−∞

x₁(t).e^{−j2πf t}dt= ˆ +^τ₂

−^τ₂

e^j2πf⁰^t.e^{−j2πf t}dt= ˆ +^τ₂

−^τ₂

e^{−j2π(f−f}⁰^)tdt=τsin(π(f−f₀)τ) π(f−f0)τ Théorème de Parseval (Énergie dex1(t)) :Ex₁ =´+∞

−∞ |x1(t)|²dt=´+∞

−∞ |X1(f)|²df=τ ˆ +∞

−∞

sin(x) x

² dx=

"

sin(x)² x

#+∞

−∞

− ˆ +∞

−∞

−1

xsin(2x)dx=´ _sin(x)

x dx=π 2. lim

τ→∞

sin(π(f−f₀)τ) π(f−f0)τ =

(1 pourf =f₀ 0 ∀f 6=f0

.

D'autre part ˆ +∞

−∞

τsin(π(f−f0)τ)

π(f−f0)τ df= 1car ˆ +∞

−∞

sin(x) x dx=π donc en dénitive :X_a(f) =δ(f−f₀)

On en déduit que X1(f) =Xa(f)?^{sin(πf τ)}_{πf τ} =T F[xa(t).×Q (t)].

On aurait pu aussi déterminerXa(f)en calculant la série de Fourier du signal périodique xa(t):

ca_n= 1 T₀

ˆ

T0

xa(t).e^−j2π^Tⁿ⁰^tdt=

(1 pourn= 1

0 ailleurs oùT0= 1 f₀

Xa(f) =

+∞

X

−∞

ca_nδ(f− n T0

) =δ(f−f0)

Théorème de Parseval (Puissance dex_a(t)) :P_x_a =

+∞

X

−∞

|can|²= 1 T0

ˆ

T₀

|xa(t)|²dt= 1

3. X2(f) =

+∞

X

n=−∞

c2_nδ(f−n

τ)avecc2_n= 1 τ

ˆ

τ

x2(t).e^−j2πⁿ^τ^tdt= 1 τ

ˆ +^τ₂

−^τ₂

x1(t).e^−j2πⁿ^τ^tdt= 1 τX1(n

τ)

⇒X2(f) =

+∞

X

n=−∞

1 τX1(n

τ)δ(f −n

τ) =X1(f)×1 τ

+∞

X

n=−∞

δ(f −n τ) =T F

"

x1(t)?

+∞

X

i=−∞

δ(t−iτ)

#

4. c2_n= ^sin(π(n−f_π(n−f ⁰^τ))

0τ) . Lorsqueτ f0=kon a doncc2_n =sin(π(n−k))

π(n−k) =δ(n−k)etX2(f) =δ(f−^k_τ) =δ(f−f0). X₂(f)constitue alors une parfaite estimation deX_a(f).

Lorsque τ f0=k+¹₂ :c2_n = ^sin(^π(n−k−¹2))

π(n−k−¹₂) . Ces quantités sont toutes non-nulles et X2(f)est un spectre de raies toutes non-nulles. X₂(f)ne constitue donc pas une bonne estimation de X_a(f) qui ne présente qu'une seule raie en f₀.

Théorème de Parseval :P_x₂ =

+∞

X

n=−∞

|c2n|²= 1 kT0

ˆ

kT₀

|xa(t)|²dt= 1. Lorsqueτ f₀=k:

+∞

X

n=−∞

|c2n|²=|c2k|²= 1.

Lorsque τ f₀=k+¹₂ :

+∞

X

n=−∞

|c2n|²=

+∞

X

n=−∞

sin π(n−k−¹₂)

π(n−k−¹₂) = 1car

+∞

X

n=−∞

sin(n+α)

n+α =π,∀α. 5. x3(t) =x2(t)×

+∞

X

p=−∞

δ(t−pT e)(oùTe=_N^τ)==>X3(f) =X2(f)? Fe +∞

X

p=−∞

δ(f−pF e) =Fe +∞

X

p=−∞

X2(f−pF e)

Lorsque τ f₀=k:X₃(f) =X₂(f)? F_e

+∞

X

p=−∞

δ(f−pF e) =F_e

+∞

X

p=−∞

δ(f−f₀−pF e)

Dans le cas général, lorsque τ f0 n'est pas entier, le résultat est plus dicile à établir. Le spectreX3(f) est une périodisation du spectreX2(f)en sinus cardinal. Pour déterminer son expression plus facile- ment, il est préférable de considérer d'abord l'échantillonnage du signal impulsionnelx1(t)puis ensuite sa périodisation :

x5(t) =x1(t)×

+∞

X

p=−∞

δ(t−pT e)etx3(t) =x5(t)?P+∞

i=−∞δ(t−iN T e)

3

(4)

x5(t) =

+∞

X

p=−∞

x1(pT e)δ(t−pT e) =

+^N−1₂

X

p=−^N−1₂

e^j2πf⁰^{pT e}δ(t−pT e)

X5(f) =

+∞

X

p=−∞

x1(pT e)e^{−j2πf pT e}=

+^N−1₂

X

p=−^N−1₂

e^j2πf⁰^{pT e}e^{−j2πf pT e}=

+^N−1₂

X

p=−^N−1₂

e^{−j2π(f−f}⁰^{)pT e}

X₅(f) =e^j2π(f−f⁰⁾^N−1² ^{T e}

+N−1

X

p=0

e^{−j2π(f−f}⁰^{)pT e} =e^j2π(f−f⁰⁾^N−1² ^{T e}

+N−1

X

p=0

e^{−j2π(f−f}⁰^{)T e}p

X5(f) =e^j2π(f−f⁰⁾^N−1² ^{T e}¹⁻(^e^{−j2π(f−f}^{0 )}^{T e})^N

1−e^{−j2π(f−f}0 )T e =e^j2π(f−f⁰⁾^N−1² ^{T e}

e^{−j2π(f−f}^{0 )}^N2T e

e^+j2π(f−f^{0 )}^N2T e

−e^{−j2π(f−f}^{0 )}^N²^{T e}

e^{−j2π(f−f}^{0 )}¹2T e

e^+j2π(f−f^{0 )}¹2T e−e^{−j2π(f−f}^{0 )}¹2T e =

sin(π(f−f0)N T e) sin(π(f−f0)T e)

Remarque : X₅(f)est un spectre périodique de périodeF e. De même qu'en 3),X₃(f) =T F

"

x₅(t)?

+∞

X

i=−∞

δ(t−iN T e)

#

=X₅(f)× 1 N T e

+∞

X

n=−∞

δ(f −nF e N ) En dénitive : X5(f) =F e

N

+∞

X

n=−∞

sin(π(_Nⁿ −f0T e)N)

sin(π(_Nⁿ −f0T e)) δ(f−nF e N ) 6. X4(k) =_N¹ PN−1

k=0 x4(n)e^−j2π^nk^N =X5(k^{F e}_N)e^−j2πk^{F e}^N ^N−1² ^{T e}

7. LorsqueN → ∞, le pas d'échantillonnage fréquentiel ^{F e}_N tend vers 0 etX₅(f) s'étroitise ; ce qui a pour eet d'améliorer l'estimation de X1(k^{F e}_N)que constitueX4(k).

AN constant, pour améliorer l'estimation spectrale fournie par la TFD, on peut choisir une autre fenêtre que la fenêtre carrée comme par exemple la fenêtre de Hamming.

(5)

1 Le signal s

₁

(n)

Les valeurs des 16 premiers échantillons du signals1(t)peuvent être calculées grâce au code Matlab suivant : t=0 :15 ;

s1=sin(2*pi*0.25*t)+2*cos(2*pi*0.625*t) ;

On obtient :s1(n) ={2 ;−0.414 ; 0 ; 0.414 ;−2 ; 2.414 ; 0 ;−2.414 ; 2 ;−0.414 ; 0 ; 0.414 ;−2 ; 2.414 ; 0 ;−2.414}

Le théorème de l'échantillonnage n'est pas respecté car la plus grande des fréquences (0.625) est supérieure à la demie fréquence d'échantillonnage (0.5).

2 TFD de s

₁

(n)

S1(k) = 1 N

N−1

X

n=0

s1(n)e^−j2π^nk^N

5