Traitement Numérique du Signal ESCPI- CNAM EI 4

Traitement Numérique du Signal

ESCPI- CNAM

EI 4

Février 2006

M. Terré, [email protected]

L. Féty, [email protected]

1 INTRODUCTION AUX SIGNAUX ALEATOIRES ... 3

2 ANALYSE SPECTRALE... 6

2.1 PROBLEMATIQUE DE L'ANALYSE SPECTRALE... 6

2.2 ESTIMATION SPECTRALE NON PARAMETRIQUE... 6

2.2.1 Périodogramme, Corrélogramme ... 6

2.2.2 Méthode du minimum de variance: méthode de Capon ... 11

2.3 ESTIMATION SPECTRALE PAR DECOMPOSITION HARMONIQUE... 12

2.3.1 Méthode de Pisarenko: ... 12

2.3.2 Méthode de Prony:... 14

2.4 ESTIMATION SPECTRALE PARAMETRIQUE... 16

2.4.1 Modélisation AR... 18

2.4.2 Modélisation MA... 25

2.4.3 Modélisation ARMA ... 26

2.5 CONCLUSION... 27

3 FILTRAGE ADAPTATIF ... 28

3.1 INTRODUCTION ET PRINCIPAUX RESULTATS... 28

3.2 DEMONSTRATION DE LA SOLUTION OPTIMALE... 30

3.3 ALGORITHME LMS ... 34

3.4 ALGORITHME RLS ... 39

3.4.1 Algorithme des moindres carrés récursifs rapides (Fast Kalman) ... 41

3.5 ALGORITHME DU TREILLIS SPATIAL... 43

3.5.1 Principe ... 43

3.5.2 Décomposition LDU ... 43

3.5.3 Erreur a priori, erreur a posteriori... 44

3.5.4 Mise à jour des matrices L et D. ... 45

3.5.5 Algorithme... 51

3.6 CONCLUSION... 52

4 BIBLIOGRAPHIE... 53

1 Introduction aux signaux aléatoires

La démarche la plus intuitive et naturelle pour représenter un signal consiste à exprimer la valeur de ce dernier au cours du temps. La variable choisie est alors le temps t et le signal s'exprime sous la forme d'une fonction x(t).

Lorsque la fonction x

( )

t est parfaitement déterminée, on parle de signal déterministe. De tels signaux ont été rencontrés à de nombreuses occasions lors des cours précédents.

On s'est ainsi intéressé aux signaux sinusoïdaux :x

( )

t =sin

( )

ωt ou à des signaux échelons : x

( )

t =U

( )

t ou encore à d'autre types de signaux.

Cependant, lorsque l'on s'intéresse à des signaux réels, comme la valeur d'une tension aux bornes d'une résistance ou à la valeur du courant parcourant une antenne ou à d'autres exemples; on conçoit bien que les valeurs du signal observé vont être fonction d'une multitude de phénomènes. Si l'on reprend l'exemple de la résistance, la valeur de la tension va varier continuellement autour d'une valeur moyenne en fonction de l'agitation des électrons, pour une antenne l'environnement électromagnétique va être responsable de nombreuses variations et l'on conçoit intuitivement qu'il est impossible de déterminer de manière tout à fait exacte la valeur du signal x

( )

t .

On formalise alors le signal comme étant une variable aléatoire qui évolue dans le temps et l'on parle de processus aléatoire. En formalisant on pourrait introduire la variable aléatoire X

( )

t et la distinguer de x

( )

t qui représente la valeur prise par cette variable aléatoire à l'instant t. Dès lors l'ensemble des valeurs du signal x

( )

t est considéré comme étant une réalisation particulière d'un processus aléatoire.

Dès que l'on introduit cette notion de variable aléatoire on conçoit que l'on va s'intéresser très rapidement aux probabilités liées à cette variable aléatoire, à sa densité de probabilité si la variable est continue et enfin à ses moments statistiques (moyenne, covariance, et éventuellement des moments d'ordres plus élevés).

Un exemple typique, qui sera repris plus en détail dans la suite du cours, est le cas du bruit blanc gaussien que l'on rencontre très souvent dans les problèmes de traitement du signal et de communications numériques. Or ce signal particulier est justement défini par les adjectifs blanc et gaussien qui caractérisent parfaitement sa densité de probabilité (gaussien) et ses moments d'ordre deux (blanc).

Partant dorénavant de signaux aléatoires, ce qui est le cas le plus général que l'on puisse envisager, nous allons dès maintenant considérer un sous ensemble de ces signaux qui seront les signaux stationnaires.

Définition de la stationnarité :

Un signal aléatoire est défini à chaque instant t par la loi de probabilité de son amplitude X

( )

t . Cette loi de probabilité peut s'exprimer par une densité de probabilité ^p_X

( )

^x,t définie de la manière suivante :

( ) [ ]

x

x x t X t x

x p

0 X x

∆

∆ +

≤

= ≤

→

∆

) ( lim Prob

, (1.)

Le signal est stationnaire si ses propriétés statistiques sont indépendantes du temps, c'est à dire, si sa densité de probabilité est indépendante du temps :

( )

x t p

( )

x

p_X , = _X (2.)

Définition d'un signal du second ordre :

Le signal sera dit du second ordre s'il possède un moment d'ordre 1 appelé valeur moyenne, qui est l'espérance mathématique de X

( )

t , notée E

[

X

( )

t

]

et définie par :

( ) [ ]

^+∞

∫ ( )

∞

−

=

=EX t xp x tdx t

m₁ () . _X , (3.)

et un moment d'ordre 2, appelé fonction de covariance :

( ) [ ( ) ( ) ] ∫

₋⁺_∞^∞+∞

∫ ( )

∞

−

=

= _{1 2 1 2 X 1 2 1 2 1 2}

2 1

2 t t E X t X t x x p x x t t dx dx

m , , . , ; , (4.)

où p_X

(

x₁,x₂;t₁,t₂

)

est la densité de probabilité du couple de variables aléatoires

[

X

( ) ( )

t₁ ,X t₂

]

.

Définition de la stationnarité à l'ordre 2 :

Le caractère de stationnarité peut être limité aux moments du premier et du second ordre, on dit alors que le signal est stationnaire à l'ordre 2. On a alors :

[ ]

^+∞

∫ ( )

∞

−

=

=E X t xp xdx

m₁ () . _X , m₁ constante indépendante du temps Pour l'ordre 2, l'indépendance du temps s'écrit :

(

₁, ₂; ₁, ₂

)

= _X

(

₁, ₂; , ₂− ₁

)

= _X

(

₁, ₂;τ

)

X x x t t p x x 0 t t p x x

p avec τ=t₂−t₁ (5.)

Seul intervient l'écart entre les deux instants d'observation. On introduit alors la fonction d'autocorrélation r_XX

( )

τ du signal aléatoire :

( )

τ =E

[

X

( ) (

t X t−τ

) ]

r_XX (6.)

La réalisation x(t) du signal aléatoire X

( )

t possède aussi une moyenne temporelle m_Tdéfinie par :

∫

+

∞ −

→

=

T T T

T x t dt

T 2

m lim 1 () (7.)

Définition de l'ergodicité d'un signal stationnaire à l'ordre 2 :

On dira que le signal est ergodique lorsque que l'on peut confondre la moyenne temporelle m_T avec la moyenne m1 :

∫

+

∞ −

→

=

T T T

1 x t dt

T 2

m lim 1 () (8.)

et lorsque que l'on peut calculer la fonction d'autocorrélation de la même manière, c'est à dire :

( )

⁺

∫

∞ −

→ −τ

= τ

T T T

xx x t xt dt

T 2

r lim 1 () ( ) (9.)

Ce résultat a des conséquences pratiques très importantes car il va permettre d'accéder aux propriétés statistiques du signal à un instant donné à partir de l'observation de ce signal au cours du temps.

Les développements précédents ont essentiellement concerné des signaux à valeurs réelles. Ces signaux correspondent intuitivement et physiquement à la plupart des signaux rencontrés. Lorsque l'on considère une valeur de tension ou de courant et que l'on se place derrière un convertisseur analogique numérique, les signaux sont bien entendu réels. Cependant, dans bien des cas, en particulier en communications numériques, on sera amené à traiter des enveloppes complexes de signaux modulés (voir aussi la définition du signal analytique). Il est donc nécessaire, afin de ne pas restreindre la généralité de la suite des algorithmes et méthodes présentées dans ce cours, de considérer dorénavant des signaux à valeurs complexes.

De plus on a jusqu'alors bien séparé le processus X(t) et sa réalisation x(t). Cependant afin d'éviter de confondre le processus et la Transformée de Fourier X(f) de sa réalisation, on abandonnera à partir de maintenant la notation

) (t

X . Le lecteur avisé sera à même de comprendre les écritures du type ^E

[

^x(t)

]

comme l'espérance de la variable aléatoire.

Résumé :

Le signal aléatoire x

( )

t est une réalisation d'un processus aléatoire.

Le signal sera considéré comme ergodique et stationnaire à l'ordre 2, c'est à dire :

[ ]

^{xt dt m}

T 2 t 1

x E

T T T

=

= ⁺

∫

∞ −

→ ()

lim ) (

[ ] ∫ ^{( )}

+

∞ −

→ −τ = τ

= τ

−

T T T xx

r dt t x t T x 2 t 1

x t x

E () ^*( ) lim () ^*( )

2 Analyse Spectrale

2.1 Problématique de l'Analyse spectrale

La représentation du signal sous la forme x(t) est une démarche est naturelle mais elle ne correspond pas forcément à la meilleure représentation physique des signaux rencontrés. En effet, l'individu ou les systèmes électroniques sont souvent plus sensibles à la puissance et à la fréquence des signaux et la représentation du signal sous la forme de sa répartition de puissance en fonction de la fréquence permet, dans bien des cas, d'extraire de manière plus immédiate l'information qui réside dans ce dernier. Le signal est alors représenté par une fonction P(f) appelée densité spectrale de puissance. Le passage de x(t) à P(f) constitue l'Analyse Spectrale.

Il existe deux grandes classes de méthodes pour estimer la densité spectrale de puissance d'un signal x(t). La première, l'estimation spectrale non paramétrique, n'utilise aucune connaissance a priori sur le signal et part uniquement de l'observation de ce dernier. La deuxième, l'estimation spectrale paramétrique, utilise un modèle paramétrique décrivant le signal, modèle à partir duquel il est aisé d'obtenir la densité spectrale de puissance. Les paramètres du modèle sont adaptés en fonction du signal observé. Entre ces deux méthodes il existe une troisième classe d'approches qui suppose que le signal est composé d'un certain nombre de raies spectrales dont il convient de trouver les fréquences et les puissances. Ce type de méthodes sera classé dans ce cours sous l'appellation d'estimation spectrale par décomposition harmonique.

2.2 Estimation Spectrale non paramétrique

2.2.1 Périodogramme, Corrélogramme

La Transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation r_xx(τ) du processus aléatoire x(t) stationnaire à l'ordre 2 s'écrit:

( )

=

( )

τ ^{− πτ} τ

+∞

∞

−

∫

^{r e d}

f

P _xx ^{j2 f} (10.)

elle est égale à la densité spectrale de puissance P(f) du processus x(t).

En effet, pour τ=0, il vient:

( ) [ ]

r0 =E x t ² = P f e^{j2 0}df = P f df

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫

( ) ( ) ^π ( ) (11.)

En supposant l'hypothèse ergodique vérifiée, l'espérance mathématique s'écrit:

[ ]

E x t

T x t dt P f df

t T

T

( )² lim 1 ( )² ( )

= 2 =

→∞ −

+

−∞

+∞

∫ ∫

^(12.)

P(f) représente donc bien le densité spectrale de puissance du processus x(t). Il s'agit là du théorème de Wiener Kintchine.

L'hypothèse ergodique permettant de confondre l'espérance mathématique avec une moyenne temporelle, le développement de r(τ) donne :

( ) ( ) ( )

τ













τ

−

= ^{− πτ}

+∞

∞

−

+

∞ −

∫

→ ₂¹_T

∫

^{xt x t e d}

f

P ^{j2 f}

T T T

lim * (13.)

On peut aussi introduire le spectre complexe de la réalisation tronquée du processus x(t) :

∫

+

−

π

= − T T

ft 2 T j

2 f xt e dt

X ( ) () (14.)

En prenant le carré de cette expression, il vient :

∫ ∫

+

−

π + π + −

−

=

T T

fv 2 j fu 2 j T

T 2

T

2 xu x v e e dudv

T 2 f 1 T X

2

1 ( ) ( ) ^*( ) (15.)

et en prenant l'espérance de cette expression, on obtient :

∫ ∫

+

−

− π

− +

−

−

=



 



 ^T

T

v u f 2 T j

T xx 2

T

2 r u ve dudv

T 2 f 1 T X

2

E 1 ( ) ( ) ^{( )} (16.)

En effectuant alors le changement de variable suivant





=

−

= τ

v v

v u '

et en prenant garde aux intervalles de variation des nouvelles variables, il vient :

Pour τ≥0, v varie de T' − à T−τ et pour τ≤0, v varie de T à ' −T−τ

( ) ∫ ∫ ( )

∫ ∫

⁻

= τ

τ

−

−

=

τ π

−

= τ

τ

−

−

=

τ π

− τ + τ τ

τ

=



 



 ^2T

0 T

T v

f 2 xx j T

2 0

T T v

f 2 xx j 2

T

2 r e d dv r e d dv

T 2 f 1 T X

2 E 1

' '

' '

)

( (17.)

( ) ( ) _∫ ( ) ( )

∫

⁻

= τ

τ π

−

= τ

τ π

− τ+ τ − +τ τ

τ

− τ

=



 



 ^2T

0

f 2 xx j

T 2

0

f 2 xx j

2 T

2 r 2T e d r 2T e d

T 2 f 1 T X

2

E 1 ( ) (18.)

v'

-2T u

-T +T

+T

-T

v

τ

-T +T

+2T

d'où finalement :

∫ ( )

−

= τ

τ π

− τ











 τ

− τ

=



 



 ^2T

T 2

f 2 xx j

2 T

2 e d

T 1 2 r f

T X 2

E 1 ( ) (19.)

En introduisant alors la fonction I_4T indicatrice de l'intervalle

[

^−2T,+2T

]

, il vient :

( )























 τ

− τ

=



 





T 4 xx

2 T

2 I

T 1 2 r TF f

T X 2

E 1 ( ) (20.)

On obtient donc :























 τ

−

=



 





T 4 2

T

2 I

T 1 2 TF f P f

T X 2

E 1 ( ) ( )* (21.)

Lorsque T tend vers l'infini, le deuxième terme du produit de convolution tend vers δ(f), d'où : )

( ) (

lim X f P f

T 2

E 1 _2T ²

T =

 





∞

→

(22.)

En considérant alors un cas numérique, où l'observation du signal x(t) se résume à N valeurs échantillonnées à la période T_e, la densité spectrale peut être estimée en limitant l'intégrale précédente et en oubliant l'espérance mathématique.

d'où :

( )

1 2 N

0 n

f nT 2 j e e

per x nT e ^e

NT f 1

P

∑

⁻

=

π

= ( ) − (23.)

Cet estimateur de la densité spectrale de la densité spectrale de puissance du signal x(nT_e) est appelé périodogramme.

Il demande, pour être calculé, la mise au carré de la Transformée de Fourier du signal numérique x(nT_e) sur N points. Il est, depuis la mise au point de l'algorithme de Transformation de Fourier Rapide (TFR ou FFT en anglais) par J. Cooley et J. Tuckey en 1965, l'estimateur le plus employé.

Jusqu'à la mise au point de l'algorithme de la FFT, la méthode la plus utilisée consistait à estimer N' valeurs de la fonction d'autocorrélation r(p) avec N'<N et à calculer la Transformée de Fourier Discrète (TFD ou DFT en anglais) sur les N' points obtenus. Cet estimateur de la densité spectrale de puissance, du aux travaux de Blackman et Tuckey, porte le nom de corrélogramme.

( )

^{N 1 j2 pf}

1 N p

xx

cor f r pe

P ^{− π}

−

−

−

=

∑

=

' ) ' (

)

( (24.)

avec :

( ) ∑

⁻

=

−

=

1 N

p n

p n x n N x p 1

r ( ) ( )^* (25.)

pour p=0→N'−1

Pour N'=N les estimateurs du périodogramme et du corrélogramme sont identiques.

En effet,

( )

^{N 1}

( )

^{j2 pf}

1 N p

1 N

p n

cor xnx n p e

N f 1

P ^{− π}

−

−

−

=

−

=

−

=

∑ ∑

^*

) (

)

( (26.)

d'où:

( )

^{N 1 j2 n p f}

1 N p

1 N

p n

nf 2 j

cor x n e x n p e

N f 1

P ^{* ( )}

) (

) ( )

( ^{π −}

−

−

−

=

−

=

π

− −

=

∑ ∑

^(27.)

expression qui peut encore s'écrire:

( )

x n e P

( )

f

N f 1

P _per

1 2 N

0 n

nf 2

cor =

∑

⁻ j =

=

π

) −

( (28.)

Les deux estimateurs sont donc bien identiques pour N'=N.

Propriétés du périodogramme:

Le périodogramme constituant un estimateur de la densité spectrale de puissance du processus x(nT_e), il est nécessaire d'étudier son biais et sa variance.

Le calcul de l'espérance de ^P_per

( )

^{f donne:}

[ ( ) ]













=

∑

⁻

−

−

=

π 1 −

N 1 N p

pf 2 j xx

per f E r pe

P E

) (

)

( (29.)

avec :

∑

⁻

=

−

=

1 N

p n

)*

p n ( x ) n ( N x ) 1 p (

r

d'où:

[ ( ) ]

^{N 1 j2 pf}

1 N p

xx

per e

N p p N r f

P

E ^{− π}

−

−

−

=

∑

⁻

=

) (

)

( (30.)

encore grâce aux propriétés de la Transformée de Fourier:

[ ( ) ] ^{( )}

E P f P f N fN

N f

per = ∗ 

 

 sin

sin π π

2

(31.)

L'estimateur du périodogramme est donc une estimation biaisé de la densité spectrale de puissance P(f) du processus x(nT_e). L'estimateur est en fait le résultat du filtrage, dans le domaine fréquentiel de P(f) par le filtre

2

f N

N fN 







 π π sin

sin . Lorsque N tend vers l'infini ce filtre tend vers δ(f), le périodogramme est donc asymptotiquement

sans biais.

Le calcul de la variance est délicat et conduit, pour des signaux gaussiens à :

( ( ) ) ( ) ( )



















 π + π

=

2

per 2 fN

fN N 2

1 f P f P

Var sin

(32.)

Cette variance peut être diminuée en séparant l'ensemble des N valeurs de x(nT_e) en K

N sous ensembles de K<N valeurs. Il est alors possible de calculer K estimateurs et de faire la moyenne des K estimateurs obtenus. La variance est alors divisée par K². Cette amélioration de la variance de l'estimateur se paye par une diminution de résolution de ce dernier. En effet la résolution spectrale est en

NTe

1 dans le cas de N échantillons et en KTe

1 dans le cas de K

échantillons.

Enfin, les lobes secondaires de

2

fN

N fn







 π

π

sin peuvent être atténués en introduisant des fenêtres de pondérations qui

vont être appliquées directement sur le signal observé x(nT_e).

En conclusion, le périodogramme est un estimateur de la densité spectrale de puissance qui est d'autant meilleur que le signal est observé sur une longue plage de stationnarité. L'algorithme de la Transformée de Fourier Rapide est bien connu et la plupart des processeurs de signaux sont vendus avec des routines de TFR optimisées. Cet estimateur est donc aisé à utiliser et c'est la raison pour laquelle c'est l'estimateur le plus employé aujourd'hui.

Pour calculer un périodogramme il faut donc:

observer N valeurs du signal x(nT_e),

calculer une TFR sur N points avec mise au carré.

2.2.2 Méthode du minimum de variance: méthode de Capon

Pour chaque fréquence f, cette méthode cherche un filtre adapté dont la réponse vaut 1 pour cette fréquence f et 0 partout ailleurs. Une fois ce filtre obtenu l'estimateur P_Cap(f) n'est autre que la puissance de sortie du filtre obtenu pour la fréquence f.

La sortie y(n) de ce filtre s'écrit :

y n h x n i_i

i N

( )= ^* ( − )

=

∑

0

(33.) ou plus simplement sous forme vectorielle :

y n( )=H X n^T ( ) (34.)

avec

















=

N 2 1

h h h

H M et

















+

−

= −

) (

) (

) ( )

(

1 N n x

1 n x

n x n

X M

Le filtre H doit donc minimiser ^E

[

^y(n)2

]

avec la contrainte H^TF =1 avec :





















=

π π π

f N 2 j

f 4 j

f 2 j

e e e

1 F

M

(35.)

Ce qui s'écrit, en utilisant un multiplicateur de Lagrange:

H optimal est tel que ^E

[

^HTX(n)

]

^{2 +α}

(

^1−HTF

)

est minimal soit, en annulant la dérivé par rapport à H :

F 2 R H α _N⁻¹

= (36.)

avec RN =E

[

X(n)X(n)^T

]

matrice d'autocorrélation du signal x(n). en introduisant α dans l'expression de la contrainte H^TF=1, il vient :

F R F

2

1 N T −

=

α (37.)

d'où finalement :

F R F

F H R

N1 T

N1

−

−

= (38.)

Pour estimer P_Cap(f) il ne reste plus qu'à calculer:

[

^{y n}

]

^E

[

^{H X n X n H}

]

E f

P_Cap( )= ( )² = ^T ( ) ( )^T (39.)

F R FF R F

F R R R f F

P 1

T N N1 T

11 N N N1 T

Cap − −

−+

−

= )

( (40.)

F R F f 1

P 1

T N

Cap( )= − (41.)

or :































 ρ

=

π π π

− π

− π

−

−

f N 2 j

f 2 kl j

f N 2 j f 4 j f 2 j N1

T

e e

1 e

e e 1 F R

F [ , , ,..., ] (42.)

d'où:

∑ ∑

= =

− π

ρ −

= N 0 k

N 0 l

f l k 2 kl j Cap

e f 1

P

) (

)

( (43.)

En conclusion pour obtenir l'estimateur de Capon, il faut:

observer N échantillons du signal x(nT_e)

estimer la matrice d'autocorrélation et l'inverser pour obtenir les termes ρ_kl calculer P_Cap(f) pour chaque fréquence f.

Cette méthode souffre donc d'un coût de calcul supérieur aux estimateurs précédents. Il est possible de démontrer que cet estimateur à une variance minimale et c'est la raison pour laquelle il est souvent appelé estimateur du minimum de variance.

2.3 Estimation spectrale par décomposition harmonique

2.3.1 Méthode de Pisarenko:

Dans cette méthode, le signal x(n) est supposé être constitué d'une somme de N sinusoïdes s(n) et d'un bruit blanc additif b(n).

) n ( b ) n ( s ) n (

x = + (44.)

Sachant que toute sinusoïde pure sin(nω) peut s'écrire:

( )

ω = cosωsin

(

−

)

ω−sin( − )ω

sin n 2 n 1 n 2

il est possible d'écrire:

) ( )

(n a s n m

s

N 2

1 m

m −

−

=

∑

=

d'où:

( )

( )

)

(n a sn m b n

x

N 2

1 m

m − +

−

=

∑

=

en remplaçant s(n−m) par x(n−m)−b(n−m), il vient:

) ( )

(n m a b n m

x a

N 2

0 m

m N

2 0 m

m − =

∑

−

∑

=

=

ce qui peut s'écrire matriciellement:

A n B A n

X( )^T = ( )^T avec:

[ ]

[ ]

^T

T T T

N 2 n b 1 n b n b n B

N 2 n x 1 n x n x n X

) ( ),..., (

), ( ) (

) ( ),..., (

), ( ) (

−

−

=

−

−

=

et :

















=

N 2

1 0

a a a

A M

d'où:

[

^{X n X n}

]

^{A E}

[

^{X n B n}

]

^{A E}

[ ⁽

^{S n B n}

⁾

^{B n}

]

^A

E ( ) ( )^T = ( ) ^T( ) = ( )+ ( ) ( )^T

( )

[

^{S n B n B n}

]

^A

E A

R_2N+1 = ( )+ ( ) ( )^T

Or, le bruit est supposé blanc, de variance σ² et décorrélé du mélange de sinusoïdes, cette équation devient donc:

A IA A

R_2N+1 =σ² =σ²

Le vecteur A est donc le vecteur propre associé à la valeur propre σ² avec la contrainte a₀ =1 . Ayant le vecteur A, on peut écrire la transformée en Z de l'équation:

∑

=

−

−

=

N 2

1 m

msn m a

n

s( ) ( )

( )

^{Z 1 a Z 0}

S

N 2

1 m

m m=











−

∑

=

−

les valeurs de Z pour lesquelles cette équation est vérifiée donnent les valeurs des fréquences présentes dans le mélange. Il faut donc extraire les racines du polynôme

∑

=

− − N 2

1 m

mZ m

a

1 pour obtenir les N valeurs de fréquences.

Si N et σ² ne sont pas connus a priori, il suffit de surdimensionner la matrice R et d'analyser ses valeurs propres.

Théoriquement celles ci doivent, au bout de N ordres, atteindre une valeur constante égale à σ². Il existe de nombreux critères qui permettent de détecter ce blocage à σ² des valeurs propres.

Enfin, il est possible d'obtenir les puissances des sinusoïdes détectées. En effet, il est facile de vérifier que, dans le cas d'un mélange de N sinusoïdes de pulsation ωi et de puissance P_i, on a :

N N

2 2

1 1

N N

2 2

1 1

N N 2

2 1 1

N P N

P N P N r

2 P 2

P 2 P 2 r

P P

P 1 r

ω +

+ ω +

ω

=

ω +

+ ω +

ω

=

ω +

+ ω +

ω

=

cos ...

cos cos

) ( ...

cos ...

cos cos

) (

cos ...

cos cos

) (

disposant des pulsations ω_i et des coefficients d'autocorrélation r(i), il "suffit" de résoudre ce système pour trouver les puissances respectives P_i des raies spectrales identifiées.

En conclusion pour analyser un signal selon la méthode de Pisarenko, il faut:

observer N valeurs du signal x(nT_e),

calculer la matrice d'autocorrélation et en faire la décomposition en éléments propres, détecter σ² et en déduire le nombre de sinusoïdes,

extraire les racines d'un polynôme complexe de degré 2N,

enfin si l'on veut les puissances, résoudre un système réel de N équations à N inconnues.

La décomposition en éléments propres reste pour l'instant l'étape la plus délicate à réaliser de manière rapide et c'est le frein principal à l'emploi de cette méthode.

2.3.2 Méthode de Prony:

Dans cette méthode le signal est, comme dans la méthode de Pisarenko, supposé être constitué d'une somme de N sinusoïdes mais le bruit est remplacé par un amortissement sur ces dernières. L'hypothèse de départ s'écrit donc :

∑

=

=

N 1 m

mn mZ b n x( ) avec :

m m j2 f

m e e

Z = ^{α π}

On peut alors fabriquer le polynôme :

(

Z Z

)

a Z avec a 1

Z ₀

N 0 i

i i N N

1 k

k = =

−

=

ψ

∏ ∑

=

−

=

) ( D'après l'hypothèse de départ sur x(n) on a :

∑

=

= −

−

N 1 l

m n lZl

b m n x( )

en multipliant cette équation par a_m et en effectuant une sommation sur m, il vient :

∑

∑ ∑

=

−

= =

=

−

N 1 l

m n l l N

0 m

N 0 m

m

mx n m a b Z

a ( )

ou encore :

∑

∑ ∑

=

−

= =

= −

−

N 0 m

m N m l N

0 m

N 1 l

N n l l

mx n m b Z a Z

a ( )

or a Z 0

N 0 m

m N

m l =

∑

=

− par définition des coefficients a_m du polynôme ψ( )Z dont les racines sont les Z_l, d'où :

∑

=

=

−

N 0 m

mx n m 0

a ( )

et donc :

∑

=

−

−

=

N 1 m

mx n m a

n

x( ) ( )

Les coefficients a_m peuvent donc être obtenus par la résolution du système linéaire de dimension N suivant :

































= +















 +

N 1

a a

N x N

2 x

2 x 1

N x

1 x N

x

N 2 x

1 N x

. . ) ( . . ) (

. . . .

) ( . . ) (

) ( . . ) (

) ( . .

) (

A partir des N coefficients a_m il est possible de former le polynôme : 1

= a avec Z

a

Z ₀

N 0 m

i m m

∑

=

= −

ψ( )

et d'en extraire les N racines complexes. Les modules de ces racines donnent alors les affaiblissements α_m tandis que les phases donnent les fréquences f_m.

Les amplitudes respectives b_m des différentes sinusoïdes peuvent enfin être obtenues en résolvant le système linéaire suivant :





















=





































−

−

−

1 N 0

N 1

1 NN 1

N 1

N 2

1

x x

b b

Z Z

Z Z

Z

1 1

1

. . . . .

.

. . . .

. .

Pour cette méthode il faut donc :

observer 2N valeurs du signal x(nT_e)

résoudre un système linéaire complexede dimension N

extraire les racines d'un polynôme complexe de degré N

et si l'on veut les amplitudes résoudre un système linéaire complexe de dimension N.

2.4 Estimation spectrale paramétrique

A la différence de l'estimation spectrale non paramétrique, qui ne faisait aucune hypothèse sur le signal observé )

(n

x , si ce n'est des propriétés de stationnarité à l'ordre 2, l'estimation spectrale paramétrique suppose que ce signal suit un modèle donné. Ce modèle comporte un certain nombre de paramètres qui sont adaptables en fonction du signal observé. Il existe principalement trois grandes classes de modèles:

Le modèle auto régressif - modèle AR -

Le signal x(n) est supposé être prédictible en fonction d'un certain nombre de ses valeurs antérieures.

x(n) x(n-1) x(n-2) x(n-N)

Il peut donc s'écrire:

( )

^{( )}

)

(n a xn i e n

x

N 1 i

i − +

=

∑

=

équation où les coefficients

( )

^a_{i i=1,N} constituent les paramètres du modèle et où e(n) est un bruit blanc décorrélé de x(n) de variance σ² et qui représente l'erreur de prédiction.

La transformée en Z de cette équation donne alors:

( )

Z 1 a Z E

( )

Z X

N 1 i

i i=









 −

∑

=

−

Le signal x(n) peut donc être vu comme le résultat du passage d'un bruit blanc e(n) de variance σ² à travers un filtre de fonction de transfert H(Z).

) Z ( H )

n (

e x(n)

avec :

( )

∑

=

− −

= N

1 i

iZ i

a 1 Z 1 H

La connaissance des paramètres ai permet donc de calculer la densité spectrale de puissance P(f):

( )

N 2

1 i

fi 2 i j

2 ar

e a 1 f P

∑

=

π

− −

= σ

Le modèle à moyenne ajustée - modèle MA -

Le signal x(n) est supposé pouvoir s'écrire comme une combinaison linéaire d'échantillons décorrélés entre eux, ce qui peut se formaliser comme une combinaison linéaire d'échantillons d'un bruit blanc e(n) :

( )

n be

(

n i

)

x

M 0 i

i −

=

∑

=

Le signal x(n) peut donc être vu comme le résultat du passage d'un bruit blanc e(n) à travers un filtre de fonction de transfert H(Z).

avec :

( ) ∑

=

= − M

0 i

iZ i

b Z H

La densité spectrale de puissance du signal x(n) s'écrit alors :

( )

²

2 fi 2 N j

0 i

i

ma f be

P = ^{− π} σ

=

∑

Le modèle auto régressif à moyenne ajustée - modèle ARMA-

Combinaison des modèles AR et MA où le signal x(n) où le signal x(n) est supposé pouvoir s'écrire en fonction de N valeurs passées et de M échantillons d'un bruit blanc décorrélé.

x n a x n_i i b e n i

i N

i i

M

( )= ( − )+ ( − )

= =

∑ ∑

1 0

d'où:

) Z ( H )

n (

e x(n)

P f

b e a e

arma

i j fi i

M

i j fi i

( )= N

−

−

=

−

=

∑

∑

2 0

2 1

2 2

1

π

π

σ

2.4.1 Modélisation AR

Pour effectuer cette modélisation il faut donc trouver les paramètres a_i du modèle:

x n a x n_i i e n

i N

( )= ( − )+ a( )

=

∑

1

modèle qui correspond à la structure RIF suivante:

Z

^-1

Z

^-1

Z

^-1

a

₁

a

₂

a

_N

x(n) x(n-1) x(n-N)

e (n)

_a

- + + +

(l'erreur e(n) est ici notée e_a(n) pour traduire qu'il s'agit d'une erreur avant correspondant à une prédiction de x(n) à partir de

{

x(n−1) x(n−2) K x(n−N)

}

Il est alors possible d'optimiser un critère de minimisation d'erreur quadratique, c'est à dire, de chercher le jeu de paramètres a_i qui minimisent E

[

ea(n)²

]

. Ce qui peut s'écrire matriciellement de la manière suivante:

AN optimal est tel qu'il minimise:

[ ]

⁼ _^

(

⁻ T ⁻ N

)

²_^

N 2

a n E x n X n 1 A

e

E ( ) ( ) ( )

avec :

[ ]

^T

N n 1 x n 1 x n 2 x n N

X ( − )= ( − ), ( − ),..., ( − ) et :

[

_{1 2 N}

]

^T

N a a a

A = , ,...,

En développant E

[

ea(n)²

]

il vient:

[ ]

⁼ _^

(

^{− −}

) (

⁻ T ⁻ N

)

_^

N T

T N 2 N

a n E x n X n 1 A x n X n 1 A

e

E ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [

T N

]

N N

T N N T

N N

T N 2 2

a n Ex n A X n 1 x n x n X n 1 A A X n 1 X n 1 A

e

E ( ) = ( ) − ( − ) ( )− ( ) ( − ) + ( − ) ( − )

En annulant la dérivée de cette expression par rapport à A_N il vient :

[

^{X (n 1)X (n 1)}

] [

^{EX (n 1)x*(n)}

]

E

A_N = _N − ^T_N − ⁻¹ _N −

ou encore:

Na N1

N R r

A = ⁻ (1)

avec:

R

r r r N

r r

r

r N r r

N =

−

−

















( ) ( ) . ( )

( ) ( ) . .

. . . ( )

( ) . ( ) ( )

*

* *

0 1 1

1 0

1

1 1 0

matrice d'autocorrélation du signal et r r r r N

Na =















 ( ) ( ) .

( ) 1 2

En posant ^{EaN =E e}

[

^{a( )n 2}

]

et en utilisant (1), il vient:

[ ] [ ^{( )} ] [ ]

E_aN =E x n( )² −2E X_N^T (n−1) ( )x n A_N + A E X_N^T _N(n−1)X_N^T (n−1) A_N

[ ] ^{( )}

E_aN =E e_a n =E x n −X_N^T n− A_N

 



( )² ( ) ( 1) ²

E_aN =r( )0 −2r_N^{a T}A_N +r_N^{a T}A_N

E_aN =r( )0 −r_N^{a T}A_N (2)

En écrivant (1) et (2) sous une forme matricielle unique, il vient:

r r

r R A

Na T E

Na

N N

( )0 1 aN

0











 −



 

=

 

 (3)

équation de Yule Walker avant (ou directe ou forward) dans le cas stationnaire

Il est donc possible de trouver le vecteur A_N en inversant la matrice R_N puis de calculer l'énergie d'erreur de prédiction avant. Cependant, le coût de calcul d'une telle approche est alors en ^{o N}

( )

³ ce qui peut s'avérer gênant

lorsque N est important. Il est possible de résoudre cette équation avec un coût de calcul proportionnel à ^{o N}

( )

^{2 en}

utilisant l'algorithme de Levinson.

Algorithme de Levinson :

Pour faire passer le coût de calcul de la résolution de l'équation de Yule Walker de ^{o N}

( )

^{2 à o N}

( )

³ , cet algorithme va utiliser une récurrence sur l'ordre N du modèle prédicteur AR. Pour cela, il est nécessaire d'introduire l'erreur de prédiction arrière.

Le modèle de prédiction avant consistait à estimer x(n) à partir de

{

^x(n−^{1) x(n}−²⁾ K ^x(n−^N)

}

, en inversant l'axe des temps, on peut construire un modèle de prédiction arrière qui va estimer x(n−N) à partir de

{

^{x(n−N+1) K K x(n)}

}

. Cela correspond à l'équation de prédiction arrière suivante : )

( ) ( )

(n N b x n 1 i e n

x _b

N 1 i

i 1

N + − +

=

−

∑

=

− +

modèle, dont la structure RIF est la suivante:

Z

^-1

Z

^-1

Z

^-1

x(n) x(n-1) x(n-N)

b -

b

1

N

b

N-1

e (n)

+ +

b

x(n) x(n-1) x(n-2) x(n-N)

L'équation de prédiction arrière s'écrit de manière matricielle:

T N N

b n x n N X n B

e ( )= ( − )− ( )

avec X_N(n)=

[

x(n),x(n−1),...,x(n−N+1)

]

^T

et B_N =

[

b_N,b_N−1,...,b₁

]

^T

Le vecteur B_N optimal est tel qu'il minimise EbN =E

[

eb(n)²

]

ce qui conduit à: ^{B E}

[

^{X (n)X (n)}

]

^E

^[

^XN^{(n)x(n N)}

^]

T 1

N N

N = ⁻ −

d'où:

Nb N1

N R r

B = ⁻ (4)

avec ^r_N^{b =}

[

^{r(N),r(N−1),...,r(1)}

]

en reportant BN dans l'expression de EbN =E

[

eb(n)²

]

il vient:

[ ] [ ] ^{[ ]} [ ]

E e_b( )n ² =E x n( −N)² −2E x n( −N X) _N( )n B_N +B E X_N^T _N( )n X_N^T( )n B_N d'où:

E_bN =r( )0 −r_N^{b T}B_N (5)

En réunissant (4) et (5) au sein d'une même équation matricielle, il vient:

R r

r r

B E

N Nb Nb T

N

( )0 1 bN

 0











−

 

=

 

 (6)

Equation de Yule Walker arrière (ou rétrograde ou backward) dans le cas stationnaire

L'algorithme de Levinson est obtenu en réunissant les équations avant et arrière.

Il est aisé de vérifier E_aN=E_bN En effet, l'équation (6) peut s'écrire:

R B

N N E

bN +

−

 

=

 



1 1

0

en multipliant à gauche par la coidentité :

J_N =

















0 0 1

0 1 0

1 0 0

et en remarquant que, du fait de la symétrie de R_N :

J R_{N N} =R J_{N N} il vient:

R JB

E

N

N + bN

−



 

=

 



1

1

0 en identifiant avec l'équation avant (3):

R A

E

N

N + aN

−



 

=

 



1

1

0 il vient: A_N = JB_N et E_bN =E_aN =E_N

Ce qui revient à dire que prédire x(n-N) à partir de x(n-N+1),...,x(n) est identique à prédire x(n) à partir de x(n- 1),...,x(n-N). La seule différence entre les deux prédictions est le sens de parcours sur la trajectoire de x(n).

L'algorithme se base sur une récursion sur l'ordre N. Si on connaît A_N-1 etB_N-1 à l'ordre N-1, il vient pour la prédiction avant à l'ordre N:

R r

r r

A

E K

N Nb

Nb T N

N

N

( )0 1 0

1 0

 1









 −

















=

















−

−

avec K_N r N a_{i N} r N i

i N

= − ₋ −

=

∑

−

( ) _{, 1} ( )

1 1

et pour la prédiction arrière:

r r

r R

B

K E

Na T Na

N N

N

N

( )0

0 1

1 0

1











 −

















=

















−

−

d'où:

R A

E K

N N

N

N

+ −

−

−

















=

















1 1

1 1

0

0 et R B

K E

N N

N

N

+ −

−

−

















=

















1 1

1

0 1

0

d'où: R A K

E B E K

N N N E

N N N N

+ − N

− − −

− −

















− −

































= −















1 1 

1 1 1

2 1

1 0

0

1 0

d'où: