Les vecteurs Episode 2 ´
T. Rey
lyc´ee Marlioz http://reymarlioz.free.fr
5 mars 2019
Sommaire
1 Somme de deux vecteurs la relation de Chasles La r`egle du parall´elogramme Dans un rep`ere
2 Multiplication par un r´eel
3 Vecteurs colin´eaires D´efinition
Propri´et´es Dans un rep`ere Exemples
la relation de Chasles
La somme ~u+~v est le vecteur dont on obtient un repr´esentant comme ceci :
~ u
−
→v
~
u −→v
~ u+~v A
B
C
On ´ecrit : −→
AB+−→
BC =−→
AC (relation deChasles).
la relation de Chasles
La somme ~u+~v est le vecteur dont on obtient un repr´esentant comme ceci :
~ u
−
→v
~
u −→v
~ u+~v A
B
C
On ´ecrit : −→
AB+−→
BC =−→
AC (relation deChasles).
la relation de Chasles
La somme ~u+~v est le vecteur dont on obtient un repr´esentant comme ceci :
~ u
−
→v
~
u −→v
~ u+~v A
B
C
On ´ecrit : −→
AB+−→
BC =−→
AC (relation deChasles).
la relation de Chasles
La somme ~u+~v est le vecteur dont on obtient un repr´esentant comme ceci :
~ u
−
→v
~
u −→v
~ u+~v A
B
C
On ´ecrit : −→
AB+−→
BC =−→
AC (relation deChasles).
la relation de Chasles
La somme ~u+~v est le vecteur dont on obtient un repr´esentant comme ceci :
~ u
−
→v
~
u −→v
~ u+~v A
B
C
On ´ecrit : −→
AB+−→
BC =−→
AC (relation deChasles).
la relation de Chasles
La somme ~u+~v est le vecteur dont on obtient un repr´esentant comme ceci :
~ u
−
→v
~
u −→v
~ u+~v A
B
C
On ´ecrit : −→
AB+−→
BC =−→
AC (relation deChasles).
R` egle du parall´ elogramme
Propri´et´e
Si ABDC est un parall´elogramme alors :
−→AB+−→
AC =−→
AD
−→AB
−→AC A
B
C
−→ D AB+−→
AC
R` egle du parall´ elogramme
Propri´et´e
Si ABDC est un parall´elogramme alors :
−→AB+−→
AC =−→
AD
−→AB
−→AC A
B
C
−→ D AB+−→
AC
R` egle du parall´ elogramme
Propri´et´e
Si ABDC est un parall´elogramme alors :
−→AB+−→
AC =−→
AD
−→AB
−→AC A
B
C
−→ D AB+−→
AC
Rappel : coordonn´ ees d’un vecteur
D´efinition
Soit A(xA;yA) etB(xB;yB) deux points dans un rep`ere du plan. Les coordonn´ees du vecteur −→
AB sont (xB −xA;yB −yA). On note :
−→AB(xB −xA;yB −yA) ou −→
AB
xB−xA yB−yA
Coordonn´ ees de la somme
Propri´et´e
On se place dans un rep`ere (O;I,J). Soit u(x;~ y) et ~v(x0;y0) deux vecteurs et leurs coordonn´ees dans ce rep`ere.
Alors le vecteur ~u+~v a pour coordonn´ees (x+x0;y+y0).
Rappel : norme d’un vecteur
Propri´et´e
Dans un rep`ere orthonorm´e du plan, on donneu(x;~ y).
Alors on a :
||~u||=p
x2+y2
Sommaire
1 Somme de deux vecteurs la relation de Chasles La r`egle du parall´elogramme Dans un rep`ere
2 Multiplication par un r´eel
3 Vecteurs colin´eaires D´efinition
Propri´et´es Dans un rep`ere Exemples
D´ efinition
D´efinition
Soit (O;I,J) un rep`ere du plan, λun r´eel et ~u(x;y) un vecteur et ses coordonn´ees dans le rep`ere.
Le vecteur λ~u est le vecteur qui a pour coordonn´ees (λx;λy) dans ce rep`ere.
Exemple
Dans un rep`ere, soit ~u(2;−3) et ~v(−1; 3).
Le vecteur w~ = 3~u a pour coordonn´ees (3×2; 3×(−3)) doncw~(6;−9).
Le vecteur~t=−2~u+~v a pour coordonn´ees :
−2×2 + (−1) =−5
−2×(−3) + 3 = 9
D´ efinition
D´efinition
Soit (O;I,J) un rep`ere du plan, λun r´eel et ~u(x;y) un vecteur et ses coordonn´ees dans le rep`ere.
Le vecteur λ~u est le vecteur qui a pour coordonn´ees (λx;λy) dans ce rep`ere.
Exemple
Dans un rep`ere, soit ~u(2;−3) et ~v(−1; 3).
Le vecteur w~ = 3~u a pour coordonn´ees (3×2; 3×(−3)) doncw~(6;−9).
Le vecteur~t=−2~u+~v a pour coordonn´ees :
−2×2 + (−1) =−5
−2×(−3) + 3 = 9
D´ efinition
D´efinition
Soit (O;I,J) un rep`ere du plan, λun r´eel et ~u(x;y) un vecteur et ses coordonn´ees dans le rep`ere.
Le vecteur λ~u est le vecteur qui a pour coordonn´ees (λx;λy) dans ce rep`ere.
Exemple
Dans un rep`ere, soit ~u(2;−3) et ~v(−1; 3).
Le vecteur w~ = 3~u a pour coordonn´ees (3×2; 3×(−3)) doncw~(6;−9).
Le vecteur~t=−2~u+~v a pour coordonn´ees :
−2×2 + (−1) =−5
−2×(−3) + 3 = 9
Interpr´ etation
Soit ~u un vecteur du plan etλun r´eel. Siλ6= 0 etu~6=~0, le vecteurλ~u a : la mˆeme direction que le vecteur ~u;
le mˆeme sens queu~ siλ >0et le sens contraire de u~ siλ <0 ; une norme ´egale `a celle du vecteur ~u multipli´ee par la valeur sans signedeλ.
Interpr´ etation
Soit ~u un vecteur du plan etλun r´eel. Siλ6= 0 etu~6=~0, le vecteurλ~u a : la mˆeme direction que le vecteur ~u;
le mˆeme sens queu~ siλ >0et le sens contraire de u~ siλ <0 ; une norme ´egale `a celle du vecteur ~u multipli´ee par la valeur sans signedeλ.
Interpr´ etation
Soit ~u un vecteur du plan etλun r´eel. Siλ6= 0 etu~6=~0, le vecteurλ~u a : la mˆeme direction que le vecteur ~u;
le mˆeme sens queu~ siλ >0et le sens contraire de u~ siλ <0 ; une norme ´egale `a celle du vecteur ~u multipli´ee par la valeur sans signedeλ.
Interpr´ etation
Soit ~u un vecteur du plan etλun r´eel. Siλ6= 0 etu~6=~0, le vecteurλ~u a : la mˆeme direction que le vecteur ~u;
le mˆeme sens queu~ siλ >0 et le sens contraire deu~ siλ <0 ; une norme ´egale `a celle du vecteur ~u multipli´ee par la valeur sans signedeλ.
Interpr´ etation
Soit ~u un vecteur du plan etλun r´eel. Siλ6= 0 etu~6=~0, le vecteurλ~u a : la mˆeme direction que le vecteur ~u;
le mˆeme sens queu~ siλ >0 et le sens contraire deu~ siλ <0 ; une norme ´egale `a celle du vecteur ~u multipli´ee par la valeur sans signedeλ.
Illustration graphique
Soit ~u un vecteur. On note~v = 2~u et w~ =−1,5~u.
~ u
~ v
~ w
On a : ||~v||= 2× ||~u|| et ||~w||= 1,5× ||~u||.
Illustration graphique
Soit ~u un vecteur. On note~v = 2~u et w~ =−1,5~u.
~ u
~ v
~ w
On a : ||~v||= 2× ||~u|| et ||~w||= 1,5× ||~u||.
Illustration graphique
Soit ~u un vecteur. On note~v = 2~u et w~ =−1,5~u.
~ u
~ v
~ w
On a : ||~v||= 2× ||~u|| et ||~w||= 1,5× ||~u||.
Illustration graphique
Soit ~u un vecteur. On note~v = 2~u et w~ =−1,5~u.
~ u
~ v
~ w
On a : ||~v||= 2× ||~u|| et ||~w||= 1,5× ||~u||.
Illustration graphique
Soit ~u un vecteur. On note~v = 2~u et w~ =−1,5~u.
~ u
~ v
~ w
On a : ||~v||= 2× ||~u|| et ||~w||= 1,5× ||~u||.
Sommaire
1 Somme de deux vecteurs la relation de Chasles La r`egle du parall´elogramme Dans un rep`ere
2 Multiplication par un r´eel
3 Vecteurs colin´eaires D´efinition
Propri´et´es Dans un rep`ere Exemples
Vecteurs colin´ eaires
D´efinition
Deux vecteurs non nuls sont ditscolin´eaires s’ils ont la mˆeme direction.
Par convention, le vecteur nul est colin´eaire `a tous les vecteurs du plan.
Remarque
Des vecteurs non nuls sont donc colin´eaires si les droites qui les
portentsont parall`eles.
Vecteurs colin´ eaires
D´efinition
Deux vecteurs non nuls sont ditscolin´eaires s’ils ont la mˆeme direction.
Par convention, le vecteur nul est colin´eaire `a tous les vecteurs du plan.
Remarque
Des vecteurs non nuls sont donc colin´eaires si les droites qui les
portentsont parall`eles.
Propri´ et´ es
Propri´et´e
Soit A,B,C et D quatre points du plan avecA6=B etC 6=D. Les droites (AB) et (CD) sont parall`eles si et seulement si les vecteurs−→
AB et
−→CD sont colin´eaires.
Propri´et´e
Soit A,B,C trois points du plan.
Les points A,B etC sont align´es si et seulement si les vecteurs −→
AB et −→
AC sont colin´eaires.
Propri´et´e
Deux vecteurs ~u et~v sont colin´eaires s’il existe un r´eel λtel queu~=λ~v ou~v =λ~u.
Propri´ et´ es
Propri´et´e
Soit A,B,C et D quatre points du plan avecA6=B etC 6=D. Les droites (AB) et (CD) sont parall`eles si et seulement si les vecteurs−→
AB et
−→CD sont colin´eaires.
Propri´et´e
Soit A,B,C trois points du plan.
Les points A,B etC sont align´es si et seulement si les vecteurs −→
AB et −→
AC sont colin´eaires.
Propri´et´e
Deux vecteurs ~u et~v sont colin´eaires s’il existe un r´eel λtel queu~=λ~v ou~v =λ~u.
Propri´ et´ es
Propri´et´e
Soit A,B,C et D quatre points du plan avecA6=B etC 6=D. Les droites (AB) et (CD) sont parall`eles si et seulement si les vecteurs−→
AB et
−→CD sont colin´eaires.
Propri´et´e
Soit A,B,C trois points du plan.
Les points A,B etC sont align´es si et seulement si les vecteurs −→
AB et −→
AC sont colin´eaires.
Propri´et´e
Deux vecteurs ~u et~v sont colin´eaires s’il existe un r´eel λtel queu~=λ~v ou~v =λ~u.
Th´ eor` eme important !
Th`eor`eme
Soit (O;I,J) un rep`ere du plan et dans ce rep`ere on donne deux vecteurs
~
u(x;y) et~v(x0;y0).
Les vecteurs u~ et~v sont colin´eaires si et seulement si xy0−x0y = 0.
Exemple
Dans un rep`ere :A(2;−1), B(8;−4), C(−1; 3) etD(1; 2).
1
−→AC et −→
BD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AC) et (BD) ?
2
−→AB et−→
CD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AB) et (CD) ?
R´eponses :
1 On obtient facilement −→
AC(−3; 4) et−→
BD(−7; 6).
On calculexy0−x0y =−3×6−4×(−7) = 106= 0 donc −→
AC et −→
BD nesont pascolin´eaires donc (AC) et (BD) nesontpasparall`eles
2 De mˆeme,−→
AB(6;−3) et −→
CD(2;−1).
On calculexy0−x0y = 6×(−1)−(−3)×2 = 0 donc −→
AB et−→
CD sontcolin´eaires, donc (AB) et (CD) sontparall`eles.
Exemple
Dans un rep`ere :A(2;−1), B(8;−4), C(−1; 3) etD(1; 2).
1
−→AC et −→
BD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AC) et (BD) ?
2
−→AB et−→
CD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AB) et (CD) ?
R´eponses :
1 On obtient facilement −→
AC(−3; 4) et−→
BD(−7; 6).
On calculexy0−x0y =−3×6−4×(−7) = 106= 0 donc −→
AC et −→
BD nesont pascolin´eaires donc (AC) et (BD) nesontpasparall`eles
2 De mˆeme,−→
AB(6;−3) et −→
CD(2;−1).
On calculexy0−x0y = 6×(−1)−(−3)×2 = 0 donc −→
AB et−→
CD sontcolin´eaires, donc (AB) et (CD) sontparall`eles.
Exemple
Dans un rep`ere :A(2;−1), B(8;−4), C(−1; 3) etD(1; 2).
1
−→AC et −→
BD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AC) et (BD) ?
2
−→AB et−→
CD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AB) et (CD) ?
R´eponses :
1 On obtient facilement −→
AC(−3; 4) et−→
BD(−7; 6).
On calculexy0−x0y =−3×6−4×(−7) = 106= 0 donc −→
AC et −→
BD nesont pascolin´eaires donc (AC) et (BD) nesontpasparall`eles
2 De mˆeme,−→
AB(6;−3) et −→
CD(2;−1).
On calculexy0−x0y = 6×(−1)−(−3)×2 = 0 donc −→
AB et−→
CD sontcolin´eaires, donc (AB) et (CD) sontparall`eles.
Exemple
Dans un rep`ere :A(2;−1), B(8;−4), C(−1; 3) etD(1; 2).
1
−→AC et −→
BD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AC) et (BD) ?
2
−→AB et−→
CD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AB) et (CD) ?
R´eponses :
1 On obtient facilement −→
AC(−3; 4) et−→
BD(−7; 6).
On calculexy0−x0y =−3×6−4×(−7) = 106= 0 donc −→
AC et −→
BD nesont pascolin´eaires donc (AC) et (BD) nesontpasparall`eles
2 De mˆeme,−→
AB(6;−3) et −→
CD(2;−1).
On calculexy0−x0y = 6×(−1)−(−3)×2 = 0 donc −→
AB et−→
CD sontcolin´eaires, donc (AB) et (CD) sontparall`eles.
Exemple
Dans un rep`ere :A(2;−1), B(8;−4), C(−1; 3) etD(1; 2).
1
−→AC et −→
BD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AC) et (BD) ?
2
−→AB et−→
CD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AB) et (CD) ?
R´eponses :
1 On obtient facilement −→
AC(−3; 4) et−→
BD(−7; 6).
On calculexy0−x0y =−3×6−4×(−7) = 106= 0 donc −→
AC et −→
BD nesont pascolin´eaires donc (AC) et (BD) nesontpasparall`eles
2 De mˆeme,−→
AB(6;−3) et −→
CD(2;−1).
On calculexy0−x0y = 6×(−1)−(−3)×2 = 0 donc −→
AB et−→
CD sontcolin´eaires,donc (AB) et (CD) sontparall`eles.
Exemple
Dans un rep`ere :A(2;−1), B(8;−4), C(−1; 3) etD(1; 2).
1
−→AC et −→
BD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AC) et (BD) ?
2
−→AB et−→
CD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AB) et (CD) ?
R´eponses :
1 On obtient facilement −→
AC(−3; 4) et−→
BD(−7; 6).
On calculexy0−x0y =−3×6−4×(−7) = 106= 0 donc −→
AC et −→
BD nesont pascolin´eaires donc (AC) et (BD) nesontpasparall`eles
2 De mˆeme,−→
AB(6;−3) et −→
CD(2;−1).
On calculexy0−x0y = 6×(−1)−(−3)×2 = 0 donc −→
AB et−→
CD sontcolin´eaires,donc (AB) et (CD) sontparall`eles.
Exemple
Dans un rep`ere :A(2;−1), B(8;−4), C(−1; 3) etD(1; 2).
1
−→AC et −→
BD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AC) et (BD) ?
2
−→AB et−→
CD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AB) et (CD) ?
R´eponses :
1 On obtient facilement −→
AC(−3; 4) et−→
BD(−7; 6).
On calculexy0−x0y =−3×6−4×(−7) = 106= 0 donc −→
AC et −→
BD nesont pascolin´eaires donc (AC) et (BD) nesontpasparall`eles
2 De mˆeme,−→
AB(6;−3) et −→
CD(2;−1).
On calculexy0−x0y = 6×(−1)−(−3)×2 = 0 donc −→
AB et−→
CD sontcolin´eaires,donc (AB) et (CD) sontparall`eles.
Exemple
Dans un rep`ere :A(2;−1), B(8;−4), C(−1; 3) etD(1; 2).
1
−→AC et −→
BD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AC) et (BD) ?
2
−→AB et−→
CD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AB) et (CD) ?
R´eponses :
1 On obtient facilement −→
AC(−3; 4) et−→
BD(−7; 6).
On calculexy0−x0y =−3×6−4×(−7) = 106= 0 donc −→
AC et −→
BD nesont pascolin´eaires donc (AC) et (BD) nesontpasparall`eles
2 De mˆeme,−→
AB(6;−3) et −→
CD(2;−1).
On calculexy0−x0y = 6×(−1)−(−3)×2 = 0 donc −→
AB et−→
CD sontcolin´eaires,donc (AB) et (CD) sontparall`eles.
Exemple
Dans un rep`ere :A(2;−1), B(8;−4), C(−1; 3) etD(1; 2).
1
−→AC et −→
BD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AC) et (BD) ?
2
−→AB et−→
CD sont-ils colin´eaires ? Que peut-on dire de (AB) et (CD) ?
R´eponses :
1 On obtient facilement −→
AC(−3; 4) et−→
BD(−7; 6).
On calculexy0−x0y =−3×6−4×(−7) = 106= 0 donc −→
AC et −→
BD nesont pascolin´eaires donc (AC) et (BD) nesontpasparall`eles
2 De mˆeme,−→
AB(6;−3) et −→
CD(2;−1).
On calculexy0−x0y = 6×(−1)−(−3)×2 = 0 donc −→
AB et−→
CD sontcolin´eaires, donc (AB) et (CD) sontparall`eles.
Exemple
Dans un rep`ere, on donneA(−2;−2),B(3; 1) et C(13; 7). Montrer que A∈(BC).
R´eponse :
On calcule facilement les coordonn´ees de−→
AB(5; 3) et −→
AC(15; 9).
On calcule xy0−x0y = 5×9−3×15 = 0 donc−→
AB et −→
AC sont colin´eaires,donc A,B etC sont align´es.
Exemple
Dans un rep`ere, on donneA(−2;−2),B(3; 1) et C(13; 7). Montrer que A∈(BC).
R´eponse :
On calcule facilement les coordonn´ees de−→
AB(5; 3) et −→
AC(15; 9).
On calcule xy0−x0y = 5×9−3×15 = 0 donc−→
AB et −→
AC sont colin´eaires,donc A,B etC sont align´es.
Exemple
Dans un rep`ere, on donneA(−2;−2),B(3; 1) et C(13; 7). Montrer que A∈(BC).
R´eponse :
On calcule facilement les coordonn´ees de−→
AB(5; 3) et −→
AC(15; 9).
On calcule xy0−x0y = 5×9−3×15 = 0 donc−→
AB et −→
AC sont colin´eaires,donc A,B etC sont align´es.
Exemple
Dans un rep`ere, on donneA(−2;−2),B(3; 1) et C(13; 7). Montrer que A∈(BC).
R´eponse :
On calcule facilement les coordonn´ees de−→
AB(5; 3) et −→
AC(15; 9).
On calcule xy0−x0y = 5×9−3×15 = 0 donc−→
AB et −→
AC sont colin´eaires,donc A,B etC sont align´es.
Exemple
Dans un rep`ere, on donneA(−2;−2),B(3; 1) et C(13; 7). Montrer que A∈(BC).
R´eponse :
On calcule facilement les coordonn´ees de−→
AB(5; 3) et −→
AC(15; 9).
On calcule xy0−x0y = 5×9−3×15 = 0 donc−→
AB et −→
AC sont colin´eaires, donc A,B etC sont align´es.
