ENFA - Bulletin n°2 du groupe PY-MATH - Septembre 1998 page 13 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
Introduction de la notion de limite en classe de première du Bac Technologique Comment donner du sens à la limite finie en zéro d’une fonction ?
Activités d’approche Aspect géométrique
ABCD est un carré de côté 10. On note P et Q respectivement les milieux des côtés [BC] et [CD].
M est un point du segment [AD] et N un point du segment [AB] tel que AM=AN.
On note x cette distance commune.
Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ
?
Tracer MNPQ pour x=6; x=4; x=1 puis x=0,5.
Que se passe-t-il lorsque x prend des valeurs de plus en plus proche de 0 ?
On note A(x) l’aire du quadrilatère MNPQ.
Que peut-on dire de A(x) quand x tend vers 0
?
On note : lim ( )
x
→0A x
(1) Aspect numérique
situation 1
Approchons-nous de 0
Considérons la fonction f définie par f x x ( ) sin ( )x
= x est exprimé en radian.
Remarque : pouvez-vous rappeler la définition du radian ? 1) Compléter si possible le tableau suivant :
x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,001 0,1 0,5
f(x)
2) f est-elle définie en 0 ?
Que se passe-t-il pour f(x) lorsque x tend vers 0 ?
Le résultat que nous venons de conjecturer, nous l’énoncerons ainsi : la limite de f (x) lorsque x tend vers 0 est Ou encore la limite de la fonction f en 0 est
Nous écrirons ce résultat ainsi :
C B
P N
M
Q D
A
ENFA - Bulletin n°2 du groupe PY-MATH - Septembre 1998 page 14 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
lim ( )
x
f x
→
=
0
situation 2
Soit la fonction f définie par : f h h h : → 2+h2
Justifier que cette fonction n'est pas définie pour h = 0.
Déterminer la limite de f lorsque h tend vers 0 ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
Aspect graphique
Ci- joint la représentation graphique de trois fonctions :
cas N°1 cas N°2 cas N°3
Dans chacun des trois cas suivants, que pouvez-vous dire de la limite de chacune de ces fonctions lorsque x tend vers 0 ?
cas N°1
Dans ce cas on dira que la fonction n’admet pas de limite en 0. On parle cependant de limite à droite et de limite à gauche.
la limite à gauche en 0 de la fonction est -3.
la limite à droite en 0 de la fonction est -5.
cas n°2
cas n°3
ENFA - Bulletin n°2 du groupe PY-MATH - Septembre 1998 page 15 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
Synthèse et cours Exercices d’applications
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, à partir de la représentation graphique, donner la limite de la fonction en 0 lorsqu’elle existe (répondre en utilisant la notation introduite en cours).
Exercice 2
a) Donner la représentation graphique d’une fonction f telle que f(5) =3 et lim ( )
x f x
→ =
0 1.
b) Donner la représentation graphique d’une fonction qui ne soit pas définie en 0 et dont la limite en 0 est 3.
Exercice3 Calculer les limites suivantes : lim ( )
x
→ x+
0
1 lim ( )
x
→0 3x
lim ( )
t
→ t+
0
3 1 lim ( )
x
→0 x
2
lim ( )
x
x
→
−
0
1 6
4 lim ( )
x
→ − x
0
2 2
lim ( )
h
h
→
−
0
1
4 lim ( )
h
h h
→ h
+
0
3 2
3
On donne lim ( )
x f x
→ =
0 3 déterminer lim ( ( ) )
x f x
→ −
0 3
