3.3.1. Equilibre d’un point matériel 3.3. Principe des travaux virtuels

3.3.1. Equilibre d’un point matériel 3.3. Principe des travaux virtuels

Pour tout déplacement virtuel d’un point matériel à partir d’une position d’équilibre, la somme des travaux virtuels effectués par toutes les forces (d’action et de réaction)

agissant sur le point est nulle

0 R =

F1

Fi

P

Lj

Fn

L₁

L_p

P’

δr

0 r . L F

p j n

i

   δ =

 

 +

⇔ ∑ ∑

0 L

F

p

1 j

j n

1 i

i

  =





 



 +

⇔ ∑ ∑

=

=

r δ 0 ∀

= δτ

⇔

2

Remarques :

x x

Rx = 0 ⇔ δτ = 0 ∀T_{δ 1}

y y

Ry = 0 ⇔ δτ =0 ∀T_{δ 1}

z z

Rz = 0 ⇔ δτ =0 ∀T_{δ 1} 1 dépl. virt. 1 équ. scal.d’équil.

•

pour l’équilibre d’un point matériel TV

TG ≡

•

2 types de dépl. virt. : ≠

• ∃

dépl. virt. brisant les liaisons

détermination des réact. de liaison

⇒

dépl. virt. respectant les liaisons

détermination des posit. d’équil.

⇒

x

y z

3.3.2. Equilibre d’un solide

Pour tout déplacement virtuel d’un solide à partir d’une position d’équilibre, la somme des travaux virtuels effectués par toutes les forces extérieures (d’action et de réaction)

agissant sur le solide est nulle

Lj

B_j

An F_n

L1

B1

F_i Ai

F₁ A1

B_p L_p

A’_i

B’1

A’n

A’₁ B’_p

B’_j

A ⇔

δτ

0

C R

A

0

0

=

=

4 L_j

B_j

Fi

A_i

A’i

B’j

A A’

δθ

d

e

Dém. :

C

. δ e R . ' AA

δτ = + θ

⇒

0 C

et

0 R

δD

0 ∀ ⇔ =

=

=

T R

D

δ δ o _'

dθ AA

=

AP δ

e ' AA '

PP : solide P

,

A ∈ = + θ ×

∀

j p

1 j i j n

1 i

i

OP L OQ

F

=

δτ

∑ ∑

=

=

) AQ e

OA (

L )

AP e

OA (

F _j

p 1 j

j i

n 1 i

i⋅ δ + δθ× + ⋅ δ + δθ×

=

∑ ∑

=

=



 



 × + ×

⋅ δθ

+



 



 +

⋅ δ

=

δτ

∑ ∑ ∑ ∑

= =

= =

n 1 i

p 1 j

j j i i

n 1 i

p 1 j

j

i L e AP F AQ L

F OA

δD

0

⇔

δτ

R

A

0

0

=

=

Remarques

x x

Rx = 0 ⇔ δτ = 0 ∀T_{δ 1}

y y

Ry = 0 ⇔ δτ =0 ∀T_{δ 1}

z z

Rz = 0 ⇔ δτ =0 ∀T_{δ 1}

δτ

0 _Ax

Ax

C = ⇔ = ∀

δτ

0 _Ay

Ay

C = ⇔ = ∀

δτ 0 R^δγ

0 _Az

Az

C = ⇔ = ∀

pour l’équilibre d’un solide TV

TG ≡

•

1 dépl. virt. 1 équ. scal.d’équil.

•

2 types de dépl. virt. : ≠

• ∃

dépl. virt. brisant les liaisons

détermination des réact. de liaison

⇒

dépl. virt. respectant les liaisons

détermination des posit. d’équil.

⇒

Lj

Bj

An Fn

L1

B1

F_i Ai

F₁ A₁ B_p Lp

A’_i

B’1

A’_n A’1

B’p

B’j

A

x

y z

6

Recherche des positions d’équilibre

Déplacements virtuels compatibles avec les liaisons

0 OP

F ⁱ

n 1 i

i⋅δ =

= δτ

∑

=

) q ,..., q ,..., q ( r

OP

=

1

k k

i i q

q

OP r δ

∂

= ∂

δ

∑

= l

l

l

q 0 q , k 1 ,...,

q

F r

k i n

1 i

i 1

k

= δ

∀

=

δ



 





∂

⋅ ∂

=

δτ

∑ ∑

=

=

1,..., k

0 Q

k n i

1 i

i

k

q

F r

Q ∂

⋅ ∂

= ∑

=

Ex.

B A

θ ^F

m , l

AB = tige homogène ; mur vertical et un sol horizontal polis

1°) ? F tige à l’équilibre

2°) ? réactions d’appui à l’équilibre

+ comparaison TG - TV

8 B

A

O y

θ

I

x G

B A

G

mg

NB

NA

O y

θ F

B x A

G

mg

NB

NA

O θ

G'

F B'

A'

θ +δθ

B A

G

mg

NB

NA

O θ F

B A

G

mg

NB

NA

O θ

G'

F B'

A'

θ +δθ

B A

G

mg

NB

NA

O θ

G'

F B'

A'

θ +δθ

I δθ 1°) ? F tige à l’équilibre

= 0 CIz T.V.

liaisons les

avec compatible

0 δθ

δτ = ∀

θ tg 2

mg

F =

⇒ 2mgtgθ

F =

⇒

T.G.

0 ' BB F ' GG g

m

= δτ







δθ θ

−

= δ

⇒ θ

=

δθ θ

= δ

⇒ θ

=

sin x

cos x

2cos y

2sin y

B B

G G

l l

l l

F 2 tg mg

0 sin

F 2 cos

mg δθ= ∀δθ ⇔ θ =



 



− θ+ θ

0 x

F y

mg -

⇔ δ

− δ

=

B A

G

mg

NB

NA

O ^G' θ F

B' A'

θ +δθ

I

δθ

> 0 δθ

B A

G

mg

NB

NA

O θ

G'

F B'

A'

θ +δθ

I δθ

!

2

δτ = − mg ^l θ δθ + F_l θ δθ ∀δθ > <

< 0 δθ

10 B

A

G

mg

NB

NA

O θ

G'

B' F A'

B A

G

mg

N_B NA

O θ F

B A

G

mg

N_B N_A

O θ

G'

F B' A'

B A

G

mg

NB

NA

O θ F

2°) ? réactions d’appui à l’équilibre

T.G.

B A

G

mg

NB

NA

O θ F

y

x T.V.

F N_A

x

x ⇒ =

=

= 0 pour δD T

δτ _{δ 1}

mg N_B

y

y ⇒ =

=

= 0 pour δD T

δτ _{δ 1}

F N

R_x = 0 ⇒ _A = mg N

R_y = 0 ⇒ _B = NA

?

NB

? NA

B ? N

?

3.3.3. Equilibre d’un système

Pour tout déplacement virtuel d’un système à partir d’une position d’équilibre, la somme des travaux virtuels effectués par toutes les forces extérieures (d’action et de réaction) et intérieures (entre 2 solides du système) est nulle

système du

solide chaque

de δD 0

= ∀ k

⇔ δτ C

R

Ak

0 0

=

=

avec

résultante des forces appliquées au solide k

= R

k =

CA moment total des forces appliquées au solidek par rapport à un point arbitraire A_kde ce solide

12

Applications

B

C F₂

R l

O

d A

F₁

a) ? Position d’équilibre du système par T.V.

OA, AB ,BC : tiges de poids négligeables Ex. 1 : bielle-manivelle

b) ? Comp. verticale de par T.V.L_C

Choix d’1 dépl. virt. compatible avec les liaisonsδθ

a)

B

C

F₂

O

θ

A

F₁

X_O

Y_O Y_C

Γ_C

A’

B’ C’

δθ

ϕ y

x

B

C

F₂

O

θ

A

F₁

X_O

Y_O Y_C

Γ_C

δθ

∀

=

⋅ +

⋅

=

δτ F₁ AA' F₂ CC' 0 F₁⋅AA'= −F₁Rδθ

δϕ ϕ

− δθ θ

−

= δ

⇒ +

ϕ +

θ

= Rcos cos d x Rsin sin

x_C l _C l

sin R

cos R

cos

R cos

sin sin

R 2 2 2 δθ

θ

−

= θ δϕ

⇔ δθ θ

= δϕ ϕ

⇔ ϕ

=

θ l l l

sin F

sin R F x

F '

CC F

⋅ = −

δ

=

θ δθ +

ϕ δϕ

⇒ l

14

B C

F₂

R l

O

θ

d A

F₁

X_O

Y_O Y_C

Γ_C ϕ

B C

F₂

R l

O

θ

d A

F₁

X_O

Y_O Y_C

Γ_C

B’ C’

δα ϕ

Choix d’1 dépl. virt. brisant uniquementla liaison Y_C b)

α τ 0 δ

δ = ∀

θ θ

2 2 2

2

sin sin

R R Y_C F

−

=

⇒

l

δα

∀

=

⋅ +

⋅

=

δτ F₂ CC' Y_c CC' 0

sin x

δ _C = lδα ϕ

sin sin

R θ=l ϕ

δα

∀

= δ

⋅ + δ

⋅

−

=

δτ F₂ x_c Y_c y_c 0

cos y

δ _C = lδα ϕ δα

∀

= ϕ δα

⋅ + ϕ δα

⋅

−

=

δτ F₂ l sin Y_c l cos 0

0 cos

Y sin

F₂ ϕ+ _c ϕ =

−

A θ

C

B G₁

G₂ F

F mg L_Ax mg

L_Ay

L_Cx A θ

C

B G₁

G₂ F

F mg L_Ax mg

L_Ay

LCx

B’

C’

A θ

C

B G₁

G₂ F

F mg L_Ax mg

L_Ay

L_Cx

B’

C’

x

y

A

C

B G₁

G2

l/2

l/2

l/2

l/2 k , l/2

Ex. 2

AB , BC : tiges homogènes (masse m, longueurl ), dans un plan vertical

G₁G₂: ressort linéaire (masse négligeable,

constante de rappel k, longueur librel /2 )

? Position(s) d’équilibre du système par T.V.

2

1 =π / θ

(

)

(

)

=

δτ mg F y mg F y 0

2

1 G

G

(

)

2

F= kl θ−









δθ θ

= δ

⇒ θ

=

δθ θ

= δ

⇒ θ

=

2 cos y 3

2 sin y 3

2cos y

2sin y

2 2

1 1

G G

G G

l l

l l

( )



 



 − θ−

=

δτ 2sin 1 cos 0

2 mg kl

2 l

16 Ex. 3

AB ,BC : tiges homogènes (masse m, longueurl ), dans un plan vertical

? Position(s) d’équilibre du système par T.V.

A

C F

B

δ 0

δτ = ∀ θ₂

mg F tg 2

₂ =

⇒ θ

0 x

F y

mg y

mg _{G G C}

2

1 + δ + δ =

δ

= δτ

C F

θ1

θ2

mg G1

G2

mg B

A L_Ax LAy

A

C F

θ1

θ₂

mg G₁

G2

C' B

δθ2

mg

LAx

L_Ay

1°) δθ₂ compat. avec liais. et fixeθ₁

1

G

cos

y

= 2 l θ

2 2 1

G

cos

cos 2

y = l θ + l θ

2 1

C

sin sin

x = l θ + l θ

 



 





δθ θ

= δ

δθ θ

−

= δ

= δ

2 2 C

2 2 G

G

cos x

2 sin y

0 y

2 1

l l

y

x

18

 



 





δθ θ

= δ

δθ θ

−

= δ

δθ θ

−

= δ

1 1 C

1 1 G

1 1 G

cos x

sin y

2 sin y

2 1

l l

l

2°) δθ₁ compat. avec liais. et fixeθ₂

δ 0

δτ = ∀ θ₁

C F

θ₁

θ2

mg G1

G₂ C'

B δθ₁

B’

mg

A LAx

L_Ay

mg F 3 tg 2

₁ =

⇒ θ

1

G

cos

y 2

1

= l θ

2 1

G

cos

cos 2

y

= θ + l θ l

2 1

C

sin sin

x = l θ + l θ

y

x

0 x

F y

mg y

mg δ

+ δ

+ δ

=

=

δτ

A

B

C

D

E

H I

F J

F l

l

l l

? N_DJ , N_IJ

Ex. 4

A

B

C

D

E

H I

F J

F XA

Y_A

YB

XB

20 A

B

C’

D’

H’

I’

J’

XA

YA

YB

XB

E’

δα

δα

A

B

C

D

E

H

I F J

F X_A

Y_A

Y_B X_B

NIJ

NIJ

C’

D’

A

B

E’

H’

I’

J’

X_A YA

YB

X_B

δβ

δβ

A

B

C

D

E

H I

J F

F XA

YA

YB

XB

N_DJ NDJ

A

B

C

D

E

H I

F J

F XA

Y_A

Y_B XB

? N_DJ

? N_IJ

A

B

C

D

E

H I

F J

F X_A

Y_A

Y_B

X_B N_IJ = 0

(traction)

2F N_DJ = +