3. Accélération d’un point
3.1. Définition
Accélération de P à l’instant t* ( accélération instantanée ) :
[
t t f]
t t
t r t t v
j t t ( ) t t * ,
d ) (
*) d
( = = * = && = * ∈ o notation :
2 2
d d
= t
P(t*)
O P(to)
P(tf) to t* tf
r(t*)
v(t*)
Γ
v(tf) v(to) P(t*)
O P(to)
P(tf) to t* tf
r(t*)
v(t*)
Γ
j(t*)
v(tf) v(to)
j(t*)
v(t*) O’
Γ ’
v(to) v(tf)
Γ ’= hodographe de la fonct. vect.v(t)
Γ
3.2. Composantes cartésiennes
P(t)
O P(to)
P(tf)
to t tf 1x
1y 1z r(t)
Γ
v(t) j(t)
P(t)
O P(to)
P(tf)
to t tf 1x
1y 1z r(t)
Γ
v(t) P(t)
O P(to)
P(tf) to t tf
r(t)
Γ
v(t) j(t)
1x
1y 1z
x y z
z y
x y t z t
t x t
v( ) = &( )1 + &( )1 + &( )1
z y
x y t z t
t x t
j( ) ( )1 ( )1 ( )1
= && + && + &&
⇒
) ( 1 ) (
) (
) ( 1 ) ( ) (
2 t
t t t s
t s t
j t n
ρ
&
&& +
=
⇒
jt jn
3.3. Composantes intrinsèques
t s s s
s t
j t t
d d d
1 1 d
) (
= && + &
t ⇒ t
s
v = &( )1
s lim 1
s d
1
d
tP ' P
t
∆
α
∆ α
∆ σ
∆ σ
∆
∆
=
→ρ
∆ α
∆ α
∆ σ
∆ σ
∆
∆
1 lim s
1 lim
1 1 lim
t=
=
=
n
t
1 1
s d
1 d
= ρ
Les montagnes russes (1/2)
• La force d’inertie
– dans les descentes
Les montagnes russes (2/2)
• La force d’inertie
– dans les courbes
3.4. Composantes polaires et cylindriques
9 Composantes en coordonnées polaires (cas d’une courbe plane)
P(t)
O 1r(t) 1θ (t)
θ(t)
v(t) r(t)
P(t)
O 1r(t) 1θ (t)
θ(t)
v(t) j(t) r(t)
jr jθ P(t)
O 1r(t) 1θ (t)
θ(t)
v(t) j(t) r(t)
(
θ)
1(
θ 2 θ)
1θ
j = r&&−r &2 r + r &&+ r& &
⇒
jr jθ
θ 1θ
1 )
(t r& r &
v = r +
9 Composantes en coordonnées cylindriques j(t)
1z
x
y z
1r (t)
θ (t) 1θ (t)
P(t) z(t)
r(t) O
v(t) jr
jz
jθ
z
r r z
r t
v( ) = & 1 + θ&1θ + &1 ⇒ j =
(
r&&−rθ&2)
1r +(
rθ&&+2r&θ&)
1θ + z&& 1zjr jθ jz
3.5. Composantes sphériques
θ (t)
1ϕ (t) 1θ (t)
x
y O
z
ϕ (t)
1r (t)
r (t)
P(t)
v(t) j(t)
jr jθ
jϕ
θ (t)
1ϕ (t) 1θ (t)
x
y O
z
ϕ (t)
1r (t)
r (t)
P(t)
v(t)
θ (t)
1ϕ (t) 1θ (t)
x
y O
z
ϕ (t)
1r (t)
r (t)
P(t)
v(t) j(t)
ϕ
θ θ ϕ
θ 1 sin 1 1
)
(t r& r & r &
v = r + +
(
1 θ 1θ sinθ ϕ 1ϕ)
ω(
1 θ 1θ sinθ ϕ 1ϕ)
d ) d (
r& r & r & rel r& r & r &
t t
j = r + + + × r + +
⇒
ϕ θ θ θ
ϕ θ
ϕ
ω(t) = &cos 1 − &sin 1 + & 1
où
4. Application à des mouvements particuliers 4.1. Mouvement rectiligne
x O
Trajectoire = (segment de) droite
P(t)
Γ
v(t) j(t)
Choix de Ox(yz)
⇒
x x
t x t j
t x t v
1 ) ( ) (
1 ) ( ) (
&&
&
=
= t x
x t
r( ) ( )1
=
⇒
Cas particuliers :
1°) MRUx&(t) = Cte ∀to ≤ t ≤ tf ⇒ entre to et tf 2°) MRUAx&&(t) =Cte ∀to ≤t ≤ tf ⇒ entre to et t f
4.2. Mouvement circulaire
Choix de O = centre de Γ
Choix de la base :
(
1r(θ ) ,1θ (θ))
j(t) v(t)
Trajectoire = (portion de) cercle
Γ
P(t)R O
r(t) θ (t) 1r
1θ
=
= ( ) )
(t θ t
ω & vitesse angulaire de P
=
= ( ) )
(t θ t
ε && accélération angulaire de P
⇒ θ
θ
ε ω
ω
1 1
1 )
(
2R R
j
R t
v
r +
−
=
=
où
Cas particuliers :
1°) mvt. circ. uniformeθ&(t) = Cte ∀to ≤ t ≤t f ⇒ entre to et t f
cte
= v
O
P(t) θ (t)
v(t) j(t)
) ( 1 )
(t 2R t
j = −ω r
2°) mvt. circ. uniformément accéléréθ&&(t) = Cte ∀to ≤ t ≤ tf ⇒ entre to et t f
