3 Évaluation d’une accélération

CINÉMATIQUE

1 Ballon de football

Un footballeur shoote dans un ballon de telle manière que celui-ci suive la trajectoire ci-contre.

1) Quelle courbe parmi les courbes proposées ci-dessous correspond le mieux à l’évolution de v =~v(t).~u_z au cours du temps ?

2) Commenter l’allure générale de la courbe retenue.

2 Analyse de graphiques

Une voiture roulant sur une route hori- zontale rectiligne se déplace d’un point A vers un point B distant de 300 m (sa vitesse est donc nulle au point de départA choisi comme origine de l’axe Ox et nulle au point d’arrivée B).

On donne des informations partielles sur la position x, la vitesse v = ˙x et l’accélération a = ¨x de la voiture pendant ce trajet.

– Compléter les graphiques en indi- quant les valeurs numériques utiles et le type de courbes tracées.

– Calculer la durée totaleT du parcours AB.

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3 Évaluation d’une accélération

Dans un article de Pour la science¹, on s’intéresse aux accéléromètres placés sur une commande de jeu vidéo. Il y est écrit : "Elle mesure précisément les accélérations de la poignée jusqu’à des valeurs atteignant trois fois l’accélération de la pesanteur. Des mouvements très rapides de la main sont ainsi enregistrés, car un aller-retour d’une main sur un mètre en une seconde correspond à une accélération d’environ 2g."

Pouvez-vous, à l’aide d’un modèle simple, retrouver la valeur de 2g avancée dans l’article ?

4 Parcours nautique

À l’origine des temps, les deux navires (A) d’Arsène et (B) de Bastien sont situés sur un même méridien ; A est au nord de B à la distance d. On assimilera localement la surface de la Terre à un plan.

1)B se dirige vers le nord à la vitesse constante V_B alors queA se dirige vers l’est à la vitesse constante V_A. Quelle sera la distance minimale entre les deux navires ?

A.N : d= 10 km ;V_B = 36 km/h ; V_A= 27 km/h.

2)A est animé du même mouvement que précédemment. Quel cap (direction) devra prendre B pour rejoindre A en ligne droite ? Quelle sera la durée de son trajet ?

5 Spirale logarithmique

L’équation horaire du mouvement plan d’un point en polaire est la suivante : r =b e^−τt et θ =ωt avecb, ω etτ constants

1) Calculer les vecteurs vitesse et accélération de ce point.

2) En déduire leur norme.

3) Déterminer l’angle entre le vecteur position et le vecteur vitesse à tout instant.

6 Trajectoire cycloïdale

Une roue de rayon r et de centre C roule sans glisser sur l’axe Ox en restant dans le plan (Oxz). Soit M un point lié à la roue, situé sur la circonférence. À l’instant t = 0, M est confondu avec l’origineO. La vitesse de C est constante et égale à v.

z

O x

θ C

Μ

1. Jean-Michel Courty, Édouard Kierlik,Accéléromètres en mission, Pour la Science, Juillet 2007

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1) Exprimer mathématiquement la condition de roulement sans glissement de la roue.

2) Déterminer à l’instant t : a) la position de M;

b) le vecteur vitesse−→v deM dans le référentiel lié à Oxz.

c) le vecteur accélération −→a de M dans ce même référentiel.

3) Déterminer −→v et−→a lorsque M est en contact avec l’axeOx.

7 Recherche de la trajectoire la plus rapide

Un homme est sur la plage en un pointAet se propose d’atteindre le plus rapidement possible un point B immobile situé dans l’eau, AB n’étant pas perpendiculaire au bord de mer. Sa- chant qu’il décrit une trajectoire rectiligne sur la plage à vitessev₁et une trajectoire rectiligne dans l’eau à la vitesse v₂, ces trajectoires faisant des angles i₁ et i₂ avec la normale au bord de mer, déterminer la relation entre i₁,i₂,v₁ etv₂ pour que la durée du trajet soit minimum.

La relation trouvée correspond-elle à celle de l’optique ? A

B

i

i

1

2

Réponse : v₂sini₁ =v₁sini₂

8 Coordonnées sphériques : calcul du plus court chemin

Sur une sphère de rayon R, le grand cercle (c’est à dire un cercle de rayon R et de centre, le centre de la sphère) est le plus court chemin entre deux points.

λ étant la latitude etψ la longitude, déterminer la longueur du plus court chemin entre Paris (λ₁ = 48^o52⁰ N ; ψ₁ = 2^o20⁰ E) et Tokyo (λ₂ = 35^o42⁰ N ;ψ₁ = 139^o30⁰ E).

Donnée : rayon terrestre : (6,37±0,01).10⁶m (la Terre n’est pas rigoureusement sphérique).

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9 Mouvement d’une tige

Le système représenté sur la figure ci-dessous est en mouvement dans le plan (xOy). Il est constitué de deux roues tournant dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire ω autour de leurs axes respectifs (O₁, ~u_z) et (O2, ~uz), reliées par une tige T de longueur`, de centre C. Les axes sont fixes et les liaisons en A et B sont articulées. On donne O₁A = O₂B = a. À t = 0, les vecteurs−−→

O₁A et−−→

O₂B font le même angle θ₀ avec~u_x. Le référentiel d’étude est R(O, ~u_x, ~u_y, ~u_z).

Quelle est la nature du mouvement de la tige[AB]? Re- présenter graphiquement et déterminer les expressions de~v_A/R,~v_B/R et~v_C/R.

10 Saisons terrestres

Quelle caractéristique du mouvement de la Terre par rapport au Soleil est à l’origine des saisons ?

11 Face cachée de la Lune

Dans le référentiel géocentrique, la Lune effectue une ré- volution circulaire centrée sur la Terre en27,3jours. La distance du centre de la Terre au centre de la Lune est environ égale à D_{T L} = 3,84.10⁵ km. Au cours de cette révolution, la Lune montre toujours la même face à la Terre.

1) Décrire le mouvement de la Lune dans le référentiel géocentrique. On s’attachera particulièrement à distin- guer s’il s’agit d’un mouvement de translation circulaire ou de rotation.

2) En déduire la vitesse angulaire θ˙₀ de révolution de centre du la Lune sur sa trajectoire.

3) Déterminer la vitesse et l’accélération du centre de la Lune sur sa trajectoire géocentrique. Calculer numéri- quement la norme de sa vitesse.

4) Décrire le mouvement de la Lune dans le repère sélé- nocentrique qui a ses axes parallèles à ceux du référentiel géocentrique mais qui a pour origine L le centre de la Lune.

5) Déterminer la vitesse angulaire θ˙P de rotation de la Lune sur elle-même.

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