HAL Id: tel-02071398
https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-02071398
Submitted on 18 Mar 2019
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Patrick Bidart
To cite this version:
O Oo fti’S ?
oo A v
2 0 w 2001 ~ v0>-fr' <?
(ok^ )
fi/'D
MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION NATIONALE DE LA RECHERCHE ET DE LA TECHNOLOGIE
Observatoire de Paris
THÈSE DE DOCTORAT
spécialité : Astronomie Fondamentale, Mécanique Céleste et Géodésie
Patrick BIDART
LES PERTURBATIONS PLANÉTAIRES
DANS LE MOUVEMENT ORBITAL
DE LA LUNE
Soutenue le 22 Novembre 2000 devant le jury composé de :
Monsieur Bruno Sicardy
Monsieur Jacques Henrard
Monsieur Peter J. Shelus
Monsieur Jan Vondrâk
Monsieur François Mignard
Monsieur Jean-Louis Simon
Monsieur Jean Chapront
Président Rapporteur Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Directeur de thèse
Remerciements
Je tiens à remercier en premier lieu Jean Chapront, mon directeur de thèse, pour
m’avoir encadré au cours de ces trois années. Je lui suis extrêmement reconnais
sant pour sa disponibilité et son soutien scientifique qui m’ont permi de réaliser mes
travaux dans des conditions idéales.
Je remercie également les autres membre de l’équipe Lune, Michelle Chapront-Touzé et Gérard Francou pour leur disponibilité et leur gentillesse, mais aussi tous les
membres du DANOF pour leur soutien et la bonne humeur qu’ils instauraient dans
le laboratoire. Un grand merci en particulier à Dau qui s’est toujours préocupé de
résoudre mes problèmes informatiques le plus rapidement possible.
J’aimerais remercier aussi Bruno Sicardy, Jacques Henrard, Jan Vondrâk, Peter Shelus, François Mignard et Jean-Louis Simon d’avoir accepté de faire partie de mon jury de thèse et de m’avoir aidé par leurs remarques à améliorer mon mémoire.
Enfin, je veux remercier Aurélie, avec qui j’ai partagé ces années, mais aussi toute ma famille, ainsi que les personnes que j’ai aimé croiser pendant cette période de ma vie : les nissarts de Paris, Seb, Valérie, Anne et François, Khaled, Philip et Gil,
Résumé
Depuis 1996, la solution analytique du mouvement de la Lune est ajustée aux
observations Laser-Lune. La modélisation du mouvement orbital et de la li
bration lunaire, ainsi qu’une détermination précise de la rotation terrestre et du positionnement des stations d’observation, permet aujourd’hui d’obtenir des résidus, après réduction des observations, de 3 centimètres en rms.
Dans le cadre du mouvement orbital de la Lune, une nouvelle solution des per turbations planétaires a été construite au cours de cette thèse. L’apport d’une nouvelle solution pour le mouvement des planètes et d’outils informatiques plus
puissants ont contribué à fournir des séries analytiques pour les perturbations planétaires plus précises et plus complètes.
Des comparaisons aux intégrations numériques du Jet Propulsion Laboratory qui nous servent de modèles observationnels, ont montré un accroissement d’un facteur 5 de la précision du mouvement orbital sur quelques dizaines d’années comme sur quelques millénaires. Nous abordons dans ce contexte les problèmes liés à l’ajustement des paramètres orbitaux et notamment les moyens mouve ment du périgée et du nœud de l’orbite lunaire.
De plus, des comparaisons de la solution du mouvement lunaire directement aux observations permettent d’obtenir des valeurs numériques des paramètres
orbitaux lunaires et solaires calculés à partir d’un ensemble de constantes et
de séries analytiques ad hoc. Cela permet en particulier de déterminer les liens entre les différents repères définis par l’ICRS et ceux induits par le CEP ou les intégrations numériques.
Introduction 15
1 Introduction à la théorie de la Lune 17
1.1 Histoire de la théorie de la Lune 17
1.2 Développement littéral des principales inégalités du mouvement de la
Lune 22
1.2.1 Les équations du mouvement 23
1.2.2 Développement de la fonction perturbatrice à l’aide des
éléments elliptiques 25
1.2.3 Intégration des termes principaux par la méthode de variation
des constantes arbitraires 28
1.2.4 Introduction des arguments de Delaunay 34
1.3 La théorie ELP. Le problème principal 35
2 Théorie des perturbations planétaires de la Lune 39
2.1 La solution ELP2000-82B 40
2.1.1 Les séries du problème principal 40
2.1.2 Les arguments 40
2.1.3 Les dérivées partielles et ensembles de constantes 43 2.1.4 Paramètres orbitaux ajustés aux observations 45
2.2 Les solutions planétaires 48
2.2.1 La solution VSOP87 48
2.2.2 La solution VSOP2000 50
2.3 Les équations du mouvement 52
2.3.1 Référentiel 52
2.3.2
Équations dans 7Z
54
2.4 Méthode d’intégration 57
2.4.1 Expression du système hamiltonien 57
2.4.2 Intégration du système 59
8
2.4.3 Ajustement des constantes 60
3 Algorithme de calcul et mise en œuvre de la solution 61
3.1 Calcul des seconds membres des équations 62
3.1.1 Les perturbations planétaires directes 62
3.1.2 Les perturbations planétaires indirectes 65 3.1.3 Les perturbations induites par la rotation du plan de référence 67
3.2 Manipulation formelle des séries 68
3.2.1 Le logiciel GREGOIRE 69
3.2.2 Précision de calcul et termes à longue période 70 3.3 Résultats et comparaisons analytiques de la solution 73
3.3.1 La nouvelle solution MPP01 73
3.3.2 Comparaison avec ELP2000-82B 74
3.3.3 Comparaison externe des termes à longue période 80
4 Comparaison avec des intégrations numériques.
Ajustement des paramètres orbitaux 83
4.1 Méthode d’ajustement 84
4.1.1 Lien entre l’équateur de l’intégration numérique et l’écliptique
dynamique 84
4.1.2 Ajustement par moindres carrés 86
4.2 Ajustement de ELP/MPP01 sur DE403 87
4.3 Ajustement de ELP/MPP01 sur DE405 91
4.3.1 Différences entre DE403 et DE405 91
4.3.2 Comparaison et ajustement des paramètres orbitaux 92 4.4 Comparaison à DE406 sur de longs intervalles de temps 96
4.5 Analyse des résidus 98
4.6 Calcul des compléments numériques 103
5 Les observations Laser-Lune 105
5.1 La télémétrie laser sur la Lune 106
5.1.1 Principe d’une observation 106
5.1.2 Une technologie de très grande précision 108
5.1.3 Les points normaux 110
5.2 Analyse des observations 111
5.3 Calcul des résidus des O — C 113
5.3.1 Ajustement des paramètres orbitaux 113
5.3.2 Réduction des observations et analyse des résidus 116
Conclusions et perspectives 123
Annexe 125
6 Annexe 125
6.1
Obtention du système hamiltonien exprimé dans les variables (wj, z?)
125
6.1.1 Changement de coordonnées canoniques 125
6.1.2 Le système hamiltonien en variables non canoniques 130
6.2 Exemple de moniteur du logiciel GREGOIRE 132
6.3 La solution MPP01 133
6.3.1 Tableaux récapitulatifs des constantes de la solution MPP01 . 133
6.3.2 Les séries de MPP01 134
Glossaire 141
1.1 Schéma représentant le problème des trois corps 23
1.2 Représentation des éléments elliptiques de la Lune et du Soleil .... 26
2.1 Angles de Delaunay exprimés à l’aide des Wj 41
2.2 Eléments elliptiques d’une planète exprimés dans un repère héliocentrique 49 2.3 Positionement du ”departure point” sur l’écliptique moyen inertiel de
la date 53
2.4 Schéma représentant le système de 4 corps 55 2.5 Gradient de la force d’entrainement de 1Z par rapport à IZq 56
3.1 Résidus obtenus par Moshier avant et après corrections 81
4.1 Repères
des intégrations numériques DEn et représentation géométrique des
angles en et (pn 85
4.2 Différences entre ELP/MPP01 et DE403 et comparaison avec les
différences entre ELP2000-82B et DE403 89
4.3 Différences entre DE403 et DE405 93
4.4 Différences entre ELP/MPP01 et DE405 et comparaison avec les
différences entre ELP2000-82B et DE405 95
4.5 Comparaison des différences ELP2000-82B — DE406 et ELP/MPP01
— DE406 sur 500 et 6000 ans 97
4.6 Spectre des résidus ELP/MPP01 — DE405 sur 100 ans 100 4.7 Spectre des résidus ELP/MPP01 — DE406 sur 500 ans 101 4.8 Spectre des résidus ELP/MPP01 — DE406 sur 6000 ans 102
5.1 Topologie de la surface lunaire 107
5.2 Réflecteurs Apollo XIV et Lunakhod 21 108
5.3 Schéma simplifié du Laser-Lune de l’OCA 109
5.4 Trajet des photons et positions barycentriques des points de référence
d’une observation Laser-Lune 111
12
5.5 Positionnment de l’écliptique moyen inertiel J2000 par rapport aux
repères de référence équatoriaux 114
5.6 Résidus des O-C calculés avec les observations du CERGA de janvier
1987 à juin 2000 118
5.7 Résidus des O-C calculés avec les observations de MacDonald de janvier
1987 à juin 2000 119
5.8 Résidus des O-C calculés avec les observations du CERGA du mois de
2.1 Valeurs calculées des moyens mouvements du périgée et du nœud ... 42
2.2 Coefficients de i2, f3, t4 dans les angles u>i, tü2, 43
2.3
Dérivées partielles de w\/v et w\/v par rapport aux constantes ....
45
2.4 Dérivées partielles exprimées dans l’ensemble de constantes 5*2 .... 45
2.5 Constantes de la théorie ajustées à DE200 46
2.6 Moyens mouvements moyens et phases de VSOP87 ajustés sur DE200 49
2.7 Précision des séries VSOP2000 50
2.8 Constantes d’intégration de VSOP2000 ajustées sur DE403 51
3.1 Précision interne des séries des perturbations planétaires 73
3.2 Résumé des principales différences dans la construction des perturba
tions planétaires de ELP2000-82B et MPP01 75
3.3 Plus grandes différences en longitude entre la solution des perturbations
planétaires de ELP2000-82B et MPP01 restreintes aux termes de Fourier 77
3.4 Plus grandes différences en latitude et distance entre la solution des
perturbations planétaires de ELP2000-82B et MPP01 restreintes aux
termes de Fourier 78
3.5 Différences des contributions séculaires dans les variables angulaires . 79 3.6 Comparaison des termes à longue période déterminés par Moshier avec
ceux de MPP01 80
4.1 Corrections aux valeurs des paramètres orbitaux de ELP2000-82B
ajustées sur DE403 et corrections aux valeurs de DE200 pour les
paramètres orbitaux lunaires après comparaison à DE403 88
4.2 Ecarts maximums et écart type des différences entre ELP/MPP01 et
DE403, et ELP2000-82B et DE403 90 4.3 Corrections aux valeurs des paramètres orbitaux de ELP2000-82B
ajustées sur DE403 et corrections aux valeurs de DE200 pour les
paramètres orbitaux lunaires après comparaison à DE405 94
14
4.4
Écarts maximums et écart type des différences entre ELP/MPP01 et
DE405, et ELP2000-82B et DE405 94
5.1 Corrections aux valeurs des paramètres orbitaux de ELP2000-82B ajustées sur DE403 après comparaison aux observations Laser-Lune . 115 5.2 Distribution par réflecteurs des observations Laser-Lune de janvier
1988 à juin 2000 117
5.3 Évolution des résidus après ajustement 121
6.1 Constantes de la théorie de MPP01 133
6.2 Moyens mouvements et phases de la solution MPP01 133
6.3 Corrections aux valeurs des paramètres orbitaux de MPP01 ajustées
De tout temps, la Lune a fasciné les hommes.
Nous pouvons aujourd’hui constater les témoignages de l’intérêt des différentes civilisations passées sur ce satellite naturel de la Terre. Dans l’Antiquité, les Grecs constataient déjà les irrégularités de son mouvement, et pouvaient même prédire les éclipses de Soleil. Mais c’est depuis la fin du dix-septième siècle et l’énoncé, par New
ton, des lois de la Gravitation Universelle, que les astronomes et mathématiciens se sont penchés sur la modélisation de son mouvement donnant naissance à ce qui reste
encore aujourd’hui le problème de Mécanique Céleste le plus complexe à résoudre :
la théorie de la Lune.
Puis, les innovations technologiques du vingtième siècle ont donné une toute autre
dimension à la théorie de la Lune. L’homme, à la conquête de l’espace, est allé sur
la Lune pour repousser un peu plus loin les limites de nos connaissances. Les miroirs
déposés, lors des missions Apollo, à la surface lunaire permettent aujourd’hui, par télémétrie laser, la mesure au niveau centimétrique de la distance séparant la Lune
de la Terre.
L’apparition des ordinateurs a permis de calculer des solutions analytiques de plusieurs milliers de termes ainsi que des intégrations numériques pouvant fournir des éphémérides de très grande précision. La théorie de la Lune ne pouvait plus se limiter à l’étude du problème des trois corps Terre, Lune, Soleil, même complété par quelques inégalités planétaires, comme le proposait la théorie de Brown au début du siècle.
Depuis 1984, les éphémérides lunaires françaises dérivent de la théorie ELP de la Lune élaborée par Chapront-Touzé et Chapront. Le principe de cette théorie consiste
en l’obtention d’une orbite intermédiaire, appelée solution du Problème Principal, puis la considération des effets dus aux formes de la Terre et de la Lune, à la présence des
planètes, aux effets de marées et aux effets relativistes qui étaient négligés jusqu’alors. Outre le calcul d’éphémérides, la construction d’une solution analytique du mouve ment de la Lune permet, à travers des ajustements aux observations, d’obtenir une expression des paramètres orbitaux lunaires et solaires, ou encore de pouvoir
16 Introduction
corder les systèmes de référence entre eux.
Le travail entrepris au cours de cette thèse se place dans le cadre de la théorie ELP et l’étude en particulier des perturbations planétaires dans le mouvement orbital
de la Lune.
Au début des années 80, après l’apparition des premiers ordinateurs suffisamment puissants, des solutions de ces perturbations planétaires ont été construites par les
auteurs de la théorie ELP, ainsi que par Standaert complétant la solution analy tique SALE élaborée par Deprit, Henrard et Rom. Ces solutions amélioraient déjà
grandement leur précédente version, fournie par Brown. Mais la précision actuelle des mesures Laser-Lune, l’apport de nouvelles solutions planétaires et de moyens infor matiques plus puissants font qu’il est nécessaire de réviser cette partie de la théorie
ELP.
Dans le premier chapitre de cette thèse, nous faisons une introduction à la théorie ELP, en exposant brièvement l’histoire de la théorie de la Lune puis en présentant une méthode simplifiée pour l’obtention approximative des principales inégalités du
mouvement de la Lune.
Nous décrirons ensuite dans le second chapitre la théorie des perturbations planétaires, et les séries de la Lune et planétaires utilisées dans le calcul menant à la solution des perturbations planétaires.
Le troisième chapitre est consacré à la mise en œuvre de la solution et à la
détermination de sa précision interne. Des comparaisons à la solution précédente des perturbations planétaires y sont réalisées.
Le quatrième chapitre présente les résultats obtenus après confrontation de notre solution aux intégrations numériques du Jet Propulsion Laboratory. Nous discuterons des différents points liés à l’ajustement d’une solution analytique à une intégration numérique. Les comparaisons réalisées sur différents intervalles de temps permettront d’étudier le comportement de la solution complète du mouvement orbital de la Lune, comprenant la nouvelle solution des perturbations planétaires.
Enfin dans le cinquième et dernier chapitre, nous aborderons la partie obser
vationnelle avec une présentation succincte de la télémétrie laser sur la Lune. Nous
Introduction à la théorie de la
Lune
1.1 Histoire de la théorie de la Lune
De l’Antiquité à Newton
Les premières traces de l’intérêt des hommes porté au mouvement de la Lune datent
de l’Antiquité où à l’époque il n’était pas question de calculs pouvant prédire la position de la Lune dans le ciel, mais d’observations et de constatations vérifiant que cet astre se présentait régulièrement dans la même phase.
Beaucoup d’anciennes civilisations se sont reportées au mouvement périodique de
la Lune pour élaborer leur référentiel temporel, et de nos jours il en subsiste encore de multiples traces à travers les calendriers judaïques, musulmans, chinois...
L’intérêt que les hommes portaient au mouvement de la Lune n’était qu’une ques
tion pratique et ils en appelaient aux divinités pour l’explication de phénomèmes étranges tels que les éclipses.
Il faut attendre l’arrivée de la civilisation grecque et de ses géomètres pour voir ap
paraître les premières connaissances du mouvement de la Lune. L’observation précise
de l’astre, et une représentation géométrique du positionnement (par superposition de cercles et d’épicycles) de la Lune par rapport à la Terre permit aux astronomes
de l’époque de beaucoup mieux comprendre le mouvement lunaire et de constater ses
inégalités en longitude. Hipparque, au second siècle avant notre ère, connaissait le
18 Chapitre 1
mouvement de la ligne des nœuds et celui du périgée. Puis Ptolémée, au second siècle de notre ère, découvrit l’évection. Il connaissait également les diamètres apparents de la Lune et du Soleil, ce qui lui permit de prédire la date, la durée, la totalité ou la partialité des éclipses de Soleil. Son ouvrage, VAlmageste, qui contient notam ment des notes sur les observations de dix-neuf éclipses, restera jusqu’au dix-septième siècle la seule référence astronomique, et ne subira d’ailleurs pratiquement aucune
modification.
Vient alors une longue période durant laquelle l’étude du mouvement de la Lune n’évoluera pas, malgré la contribution de grands astronomes arabes.
Plus près de nous, Tycho Brahé mesura la variation au seizième siècle. L’amplitude de cette inégalité dans le mouvement en longitude de la Lune s’annule aux nouvelles et pleines lunes. Ceci explique sûrement pourquoi les astronomes grecs, et en particulier Ptolémée, qui observaient de façon précise la Lune au moment des éclipses, n’ont pu
la découvrir.
Kepler, par l’intermédiaire de ses trois lois sur le mouvement des corps célestes, prouva en particulier que l’orbite lunaire était elliptique et contribua ainsi à améliorer
la précision de la théorie de la Lune.
En 1693, Halley découvrit l’accélération séculaire de la longitude. Il utilisa quelques anciennes éclipses de l’Almageste et disposait de quelques éclipses observées par les arabes vers la fin du neuvième siècle et enfin des observations de son temps. Ces trois repères temporels, espacés d’intervalles quasiment égaux, fournissent la po sition précise de la Lune dans l’espace à trois époques différentes. L’inégalité des rapports position sur temps lui permit ainsi de constater cette accélération sans pou voir cependant la quantifier. Ce sera Dunthorne, en 1749, qui donnera une première
mesure de l’accélération séculaire de la Lune.
L’ère post-Niewtonienne
A la fin du dix-septième siècle et au début du dix-huitième, la théorie de la Lune va connaître un réel changement : on passe de la théorie élaborée sur des observations à une théorie calculée, fondée sur des lois et qui est ensuite vérifiée par l’observation.
C’est en 1687 que Newton énonce dans les Principes, les lois de la Gravitation Universelle, qui donne naissance à la Mécanique Céleste. En ce qui concerne la Lune,
Newton ne donnera que des indications plutôt que des conclusions sur le mouvement de trois corps plongés dans l’espace.
siècle. Ce fut Clairaut (1752) qui fut le premier à en donner une fondée sur l’intégration des équations différentielles du problème des trois corps, qu’il avait
obtenue en même temps qu’Euler (1753 et 1772) et D’Alembert (1754). De part la
nature des équations qu’ils considérèrent, ces géomètres n’obtinrent qu’un petit nom bre d’inégalités. Il faut cependant noter que la théorie de D’Alembert est entièrement littérale tandis que celles des autres sont semi-littérales, c’est-à-dire à coefficients
numériques.
Lagrange en 1780, publie la première théorie du mouvement autour du centre de gravité du système Terre-Lune, et s’intéresse à l’accélération séculaire de la longitude découverte par Halley. Il montre que les variations séculaires de l’excentricité et de l’inclinaison d’une planète peuvent produire une équation séculaire dans la longitude
d’un astre voisin.
Mais l’application de sa théorie à Jupiter et Saturne ne le convainc pas, et c’est à la Laplace (1802) que reviendra l’honneur de la découverte déduite des travaux de Lagrange. Il montre l’existence de termes proportionnels au carré du temps dans la longitude moyenne de la Lune, la longitude moyenne du périhélie et la longitude moyenne du nœud. Mais ce dont Laplace et ses contemporains ne se doutent pas, c’est que ce sont des termes quadratiques provenant des perturbations planétaires
indirectes et non l’accélération séculaire qu’il a découvert. L’apparent accord de ses
résultats avec les observations anciennes n’est dû qu’à l’ignorance, à cette époque, des irrégularités du temps solaire moyen servant à dater les observations, et considéré à
tort comme temps de la théorie.
Au début du dix-neuvième siècle, Plana et Damoiseau (1820), contemporains de Laplace, présentent leur théorie de la Lune littérale pour le premier, semi-littérale pour le second et sont en concurrence pour l’obtention d’un prix proposé par l’Académie des Sciences. Toutefois, il n’existe pas encore de théorie suffisament précise pour établir des éphémérides de la Lune en accord avec les observations. Il faut se servir de tables basées sur des développements dont les arguments sont fournis par la théorie mais dont les coefficients sont ajustés aux observations. De plus, les coefficients du temps dans les arguments fondamentaux sont empiriques sauf pour les termes proportionnels
au carré du temps qui, après les travaux de Laplace, deviennent théoriques.
Ces tables sont fournies à l’époque par Mayer, puis par Bürg et Buckhard au Bureau des longitudes, et serviront de bases aux éphémérides jusqu’en 1861. Mais celles-ci se dégradent assez vite en précision, du fait de la mauvaise détermination des
coefficients du temps.
20 Chapitre 1
mouvement orbital ne cessent d’accroître leur précision et les tables peuvent désormais utiliser leurs coefficients. Néanmoins, on a encore recours a des termes empiriques pour les moyens mouvements du nœud et du périgée qui sont ajustés préalablement
aux observations.
Hansen est l’auteur de l’une de ces théories. Elle comprend un problème principal considérant les effets des trois corps principaux Terre, Lune, Soleil, réduits à leur centre de gravité; une inégalité à longue période en longitude due aux perturbations
de Vénus et deux inégalités, une en longitude, une en latitude, dues à la non sphéricité
de la Terre. Les termes proportionnels au carré du temps induits par les variations
séculaires de l’excentricité de l’orbite héliocentrique du barycentre Terre-Lune y sont
exprimés de façon plus complète que chez Laplace.
En 1854 Adams est le premier à donner une valeur précise du terme en longitude
moyenne, en corrigeant notamment la valeur excessive donnée par Laplace des termes proportionnels au carré du temps; correction qui sera confirmée par Delaunay en 1862. De 1860 à 1867, Delaunay publie sa théorie du problème principal entièrement littérale et calcule deux inégalités à longue période dues à l’action de Vénus. A sa mort en 1872, c’est Radau qui est chargé par le Bureau des longitudes de publier les tables issues de sa théorie. Celles-ci ne paraissent qu’en 1911 et prennent en compte les perturbations planétaires que Radau a calculées (1895) ainsi que les perturbations dues à la forme de la Terre calculées par Hill (1891).
Mais c’est Brown qui publiera entre 1899 et 1908 la théorie de la Lune la plus complète et la plus précise. Elle comprend un problème principal utilisant la méthode de Hill, les perturbations planétaires et celles dues à la forme de la Terre. Les per turbations dues à la forme de la Lune y sont même exprimées mais la détermination du potentiel lunaire est, à l’époque, encore insuffisante pour en faire un calcul précis. Les tables issues de sa théorie seront utilisées pour le calcul des éphémérides anglaises et américaines de 1923 à 1959 et dans la Connaissance des Temps de 1926 à 1959.
Parallèlement à ces théories du mouvement orbital se sont développées des solu tions de la libration. Tisserand donne sa solution basée sur les travaux de Delaunay, celle de Hayn est basée sur la théorie de Hansen tandis que celle de Koziel l’est sur
la théorie de Brown.
L’ère des ordinateurs
L’arrivée des ordinateurs va permettre aux mécaniciens célestes d’accroître con sidérablement la précision des théories, sans pour autant en modifier la concep tion. Très vite, une fois surmontées quelques difficultés théoriques, les intégrations numériques élaborées aux Etats-Unis au Japon ou en Russie dépassent en précision, sur des intervalles de temps de l’ordre du siècle, les méthodes analytiques.
L’accroissement de la stabilité des intégrateurs numériques et la rapidité des or dinateurs augmenteront la précision et la durée de validité des intégrations.
Jusqu’en 1995, les éphémérides américaines et anglaises sont basées sur
l’intégration numérique DE200/LE200 (Development Ephemeris/Lunar Ephemeris)
effectuée au Jet Propulsion Laboratory (Etats-Unis) par Standish, Williams et
Newhall. La solution DE200 couvre la période 1800-2050. La solution lunaire LE200,
est ajustées uniquement sur les observations fournies par différentes stations laser-lune obtenues de 1969 à 1980. Sa précision sur cet intervalle est de vingt centimètres sur la distance Terre-Lune et de quelques mètres pour la longitude et la latitude.
A cette intégration numérique succède (1995) DE403/LE403 élaborée par la
même équipe, améliorée en précision par une meilleure détermination des constantes
utilisées. Le Jet Propulsion Laboratory produit également des solutions numériques couvrant une longue période de temps, mais moins précise autour de l’origine : la
plus ancienne DE102/LE51 couvre la période de -1400 à 3002, la plus récente DE406
s’étend de -3000 à 3000.
Avant l’apparition de ces nouvelles méthodes numériques, quelques équipes utilisent les ordinateurs pour développer leurs théories analytiques. Eckert (1966) utilise la théorie de Brown et notamment ses séries des coordonnées rectangu
laires pour produire sa solution ILE (Improved Lunar Ephemeris). Les expressions
améliorées des coordonnées longitude, latitude, et parallaxe de la deuxième version de cette solution ILE (j = 2) furent utilisées pour le calcul des éphémérides jusqu’en
1983.
Une solution littérale du problème principal de la Lune et de ses perturbations dues à la forme de la Terre est construite aux Etats-Unis par Deprit, Henrard et Rom (1971-82). Cette solution beaucoup plus complète que celle de Delaunay dont elle
s’inspire, reste cependant moins précise que les solutions issues de méthodes semi-analytiques.
À partir de 1970 plusieurs équipes françaises, belges, russes ou américaines ap
pliquent ces méthodes au mouvement de la Lune, en 1982, Eckhardt aux Etats-Unis
22 Chapitre 1
utilisant pour les perturbations planétaires la théorie VSOP82 de Bretagnon (1982) , élaborent la théorie ELP2000-82 (1983) qui s’avère être suffisamment complète et précise pour être utilisée dans les éphémérides.
Inspirée de celle de Brown, cette théorie contient un problème principal, des per turbations planétaires, celles dues aux formes de la Terre et de la Lune ainsi que les effets induits par les forces de marées et la relativité. Le mouvement de la Lune autour de son centre de gravité provient du problème principal de la théorie de la li bration de Moons. L’ajustement de la théorie ELP2000-82 à l’intégration numérique DE200/LE200 fournit des corrections à apporter aux constantes de la théorie. La solution ainsi obtenue est appelée ELP2000 et remplace ILE (j = 2) pour le calcul des éphémérides publiée dans la Connaissance des Temps depuis 1984. Une autre solution, appelée ELP2000-85 a été obtenue en ne concervant que les termes les plus importants de ELP2000 mais développés jusqu’aux puissances quatrièmes du temps afin d’augmenter la durée de validité de la solution pour des comparaisons avec des
observations anciennes.
Dernièrement, Chapront-Touzé et Chapront ont élaboré une solution, nommée ELP2000-96, ajustée aux obervations obtenues par le laser-lune du CERGA à Grasse durant la période 1980 à nos jours.
1.2
Développement littéral des principales inégalités du
mouvement de la Lune
L’histoire de la théorie de la Lune nous montre que le mouvement du satellite naturel de la Terre est le plus vieux problème de Mécanique Céleste sur lequel les astronomes se soient penchés. La complexité géométrique du problème, mais aussi la proximité de l’astre considéré font qu’aujourd’hui encore, avec la théorie ELP et les observa
tions Laser-Lune notamment, la théorie de la Lune reste un domaine de recherche en
activité.
Dans ce paragraphe, nous allons dans un premier temps calculer littéralement les principales inégalités du mouvement de la Lune apparaissant après résolution du problème principal de la théorie ELP, sans pour autant suivre la même méthode
de calcul. La méthode que nous utiliserons dans cet exemple entraine une lenteur
(Brouwer & Clemence).
1.2.1 Les équations du mouvement
Si la Lune se trouvait sous l’unique influence gravitationelle de la Terre, et si les deux corps étaient des sphères homogènes, la Lune décrirait une trajectoire elliptique ke-plerienne autour du centre des masses de la Terre. Mais cette ellipse keplerienne ne peut être considérée comme première approximation du mouvement lunaire compte tenu des courtes périodes de révolution du périgée et du nœud à l’échelle humaine. En conséquence, il est nécessaire d’obtenir comme première approximation une ellipse précessante, considérant les mouvements du périgée et du nœud.
Soit x, y, z les coordonnées de la Lune et x', y', z' les coordonnées du Soleil
dans un système de coordonnées rectangulaires dont l’origine est placée au centre des masses de la Terre (Figure 1.1).
Soleil (x’,y’,0)''''
Lune (x,y,z)
FiG. 1.1: Schéma représentant le problème des trois corps
Supposons maintenant que la Lune, la Terre et le Soleil soient réduits à leur centre de gravité et que la masse de la Lune soit nulle; les équations du mouvement de la
Lune s’écrivent alors :
24 Chapitre 1
avec x2 + y2 + z2 = r2 et
A = Gm' xx' + yy' + 2:2;' ./3
rriT et m' étant respectivement les masses de la Terre et du Soleil. L’orbite du barycen-tre Terre-Lune autour du Soleil est considérée comme une ellipse contenue dans un plan fixe. Prenons le plan xy, tel que z' — 0, comme plan de référence. Alors nous
avons, en notant A la distance entre le Soleil et la Lune :
A2
=
(x - x’)2 + (y- y’)2 + z2
=
r'2 + r2 — 2(xx' T yy')
—
r'2 _|_ r2 _ 2rr' cos S
(1.2)
où S est l’angle à la Terre entre les directions de la Lune et du Soleil (Fig. 1.1). Une des différences les plus significatives entre les cas lunaire et planétaire du problème
des trois corps, est que le rapport r/r' est suffisamment petit pour nous permettre de développer A”1 en puissance de ce rapport, tandis qu’en théorie planétaire, un tel
développement convergerait beaucoup trop lentement. Il s’en suit alors de (1.2) que :
A
1-1/2 2— cos S
r
(1.3)
Pour simplifier le développement en puissance de g = r/r', posons :
2 COS S = G + cr-1,
en remarquant que : Alors^ = (l - ea)(l - gu *).
^ = (1-ca)—^d-CT-1)-'/2
=
1 + g
+ G ^ + ^
'i4 + 8(CT +ff
3, 2 _2;\
>+o + ^3+*-3)
+ = 1 + g cos S T g* -- + -œs1 3 2 05 + r 3 o 5 3 — - cos S + - cos S +Les fonctions Pi, P2,... sont des polynômes de Legendre. Pour les conditions de
convergence de ce développement, nous voyons que si Ton a S = 0, cos P = 1, (1.3)
devient (1 — p)-1, et son développement binomial (1.4)
(1 - p)-1 = 1 + g + g2 + g3 + • • •
converge pour |p| < 1. Pour les autres valeurs réelles de 5, les coefficients des termes en puissance de g ne dépassent jamais l’unité.
Revenons à la fonction perturbatrice. Puisque nous avons
xx' + yy' r cos S
r/3 ~~ r/2 ’
le terme en g cos S présent dans l’expression de r'/A est éliminé. De plus, r' ne dépendant pas des coordonnées de la Lune, le terme Gm'/r' n’intervient pas dans le
membre de droite des équations du mouvement (1.1), on obtient ainsi :
R =
Gm1
r /
1
3
2 cA
rA (
3
5
3
—7 ( —- + - cos^ S H—-=[—- cos S + - cosli S
j2 j 3 + (1.5)
Remarque : Si, dans les hypothèses initiales, la masse de la Lune tul n’est pas
considérée comme nulle, nous devons remplacer dans les équations du mouvement
(1.1) m,T par + mi et l’expression de la fonction perturbatrice donne alors :
Gm' \ r2 (
1
„
R — —;—
( - — + ~ cos S ] +
ry* ' ryi Z mr — mL r" uirp + m l r/3 3 o 5 3 n 1 — - cos S + - cosJ S ) + (1.6)1.2.2 Développement de la fonction perturbatrice à l’aide des éléments elliptiques
Dans la plupart des méthodes utilisées pour construire une théorie de la Lune, et notamment dans celle utilisée par Delaunay, il est nécessaire de développer la fonc
tion perturbatrice en fonction des éléments elliptiques des orbites de la Lune et du
Soleil. Il s’agit, dans un premier temps, de développer l’expression de cos S. Soit O
la longitude du nœud ascendant de l’orbite lunaire, J l’inclinaison de cette orbite par rapport à l’écliptique, to la distance angulaire du périgée de la Lune au nœud ascen
dant, v l’anomalie vraie, u', v' sont les angles correspondants pour le Soleil (Figure
1.2). Enfin posons
26 Chapitre 1
Lune
FiG. 1.2: Représentation des éléments elliptiques de la Lune et du Soleil
les longitudes vraies de la Lune et du Soleil respectivement. D’après les formules dans le triangle sphérique formé par la Lune, le Soleil et le nœud de l’orbite lunaire (1.2),
on obtient :
cos S
—
cos(cu + v) cos(u/ + v') + sin(uj + v) sin(u/ + v') cos J
=
cos(o; + v — uJ — v') — (1 — cos J) sin(a; + v) sin(u/ + v')
= cos(0 — tp') — ^(1 — cos J)[cos{ip — 'ip') — cos(o; + v + oJ + v')]
=
cos2 — cos(,0 — ip') + sin2 — cos(0 + ïp' — 20).
Posons
j
sin — = 7
2
alors, en limitant le développement au deuxième ordre des puissances de 7, on a :
cos S
=
(1 — 72) cos(0 — ip1) + 72 cos(-0 + ip1 — 20),
cos2 S
=
(1 — 272) cos2(,0 — ip') + 272 cos(ip — ip') cos(ip + ip' — 20)
=
- — 72 + (- — 72) cos(2ip — 2-0') + 72 cos(2ip — 20) + 72 cos(2,0/ — 20.),
cos3 5 - (- - |72) cos(0 -ip') + Q - -72^) cos(30 - 30')
(1.7)
+b2cosW + ^ - 2fi) +172 cos(3V> - ^ - 2fi) + b2 cosW -
+ 2Ü)
Ces expressions doivent être substituées dans (1.5), mais auparavant, il est préférable
mouve-ment du centre des masses du système Terre-Lune,
G(m! + rriT + tul) — n/2n/3
où a' est le demi grand-axe de l’orbite solaire et n' est le moyen mouvement du Soleil. Le rapport (mr + m^/vn! étant négligeable devant l’unité, on remplace Gm' par
n/2a'3; (1.5) peut s’écrire :
R = n'2a2 — — ( -- + - cos
r2 a'3 (
1
3
2 _ .
S ) +a r3 a'4
ay^{-\coss+\cos's]+
— R\ -f- i?2 T (1.8)
Reportons maintenant dans la première partie R\ de cette expression les développements des puissances de cos S, que nous limiterons aux termes dans lesquels
n’apparaît pas le facteur q2 :
Ri r2 ,n'3 / 2 2' a n a az r 0 2 „/3 12 2 n a r a a2 r/3
^
- cos(2^ - 2^')
1 3—I— cos(2tu — 2zu' + 2v — 2v')
4 4 (1.9)
où ru = lo + Ll, w' = lu' + ü sont les longitudes des périgées de la Lune et du Soleil respectivement. Dans la suite de ce développement, il s’agit de faire ap paraître les anomalies moyennes de la Lune et du Soleil à partir des anomalies vraies. On se reportera à (Brouwer & Clemence), Chap II, pour les expressions
de r/a, a!jr', r/acosu, r/as'mv en fonction des excentricités e, e' et des anomalies
moyennes /, l' de la Lune et du Soleil. La substitution de ces expressions dans (1.9), dans laquelle nous remplacerons l par À — zu et l1 par A' — ru', nous donne un nouveau développement de R\ que nous limiterons cette fois aux carrés et au produit des ex
centricités. De la même manière, nous développerons les autres parties de R. Mais les
28 Chapitre 1
+ cos(A — A') + cos(3À — 3A')
8 a' 8 a'
15 û . f 15 a , , ^
— — —-ecos(A — m) - —-ee cos(n7 — m )
16 a' 16 a'
Les termes parallactiques (en a/a') sont obtenus en considérant la deuxième partie
i?2 de la fonction perturbatrice exprimée de manière similaire à (1.9)
R2 = n'2 a2 —
a' aô r4
a r3 a!A 3 5
- cos{ip — ïJj') + - cos(3i/j — 3'ip')
En assimilant les rapports r/a et a'/r' à l’unité ainsi qu’en remplaçant i/j — îp' par
A — A', on obtient les premiers termes parallactiques de R.
1.2.3 Intégration des termes principaux par la méthode de variation
des constantes arbitraires
La méthode de variation des constantes arbitraires est pratique pour obtenir les per
turbations solaires dans les mouvements de satellites dont le rapport n'/n est très
petit comparé à celui du système Terre-Lune. Dans de tels cas, la première approxi mation est suffisante pour obtenir les perturbations à la précision nécessaire pour des comparaisons aux observations. Cette méthode appliquée en première approximation
donne une expression littérale simplifiée mais incomplète des principales inégalités.
Soit la longitude moyenne perturbée
A = ndt + e\ (î.ii) en négligeant les termes d’ordres deux en excentricité et en inclinaison, les équations de la Lagrange deviennent : da 2 dR de i 2 dR dt naâÂ* dt na da ’ de 1 dR dm 1 dR dt na2edm1 dt na2ei de ’ d'y 1 dR dÇl 1 dR dt na2 7dû1 dt na2yf dj ’
La définition de e\ (1.11), nous permet de revenir aux perturbation de la longitude
-À l’aide des expressions da/dt et de\/dt de (1.12), ainsi que de la troisième loi de
Kepler différenciée 2adn -f- 3nda — 0, on obtient :
ÔX = - 3 dR ,-dt dt -, az o\
_2_&R
na da
dt (1.13)
Comme dans les méthodes planétaires, les perturbations du premier ordre sont
obtenues en considérant a, e, 7 et n — /i1/2a“3/2 comme constantes mêmes lorsque
celles-ci apparaissent dans le membre de droite des équations. La longitude moyenne
est considérée comme une fonction linéaire du temps. Par contre, au lieu de traiter m et Q comme constantes, il est préférable d’introduire les mouvements séculaires de ces éléments dans le calcul des perturbations du premier ordre.
Les termes séculaires
Si nous limitons la fonction perturbatrice à son expression moyennée : /2 2
[R] = nza - + -e2 + -e 21 3 2 3 /2 3722 4 8 8 8 1
les équations (1.12) deviennent
da dt de dt d'y dt 0, 0, 0, de 1 dt dm dt dfl dt n'2 3 2 3 /2 3 2
1 + -e2 + -e/2 - -72
n [ 2 2 2 ' J in'2 4 n ’ in'2 4 n ? et l’intégration donne_
n'2 /
3 2
3 l2
3
2\ —
a = a0, ei = Il + -e° + -e --7o)ni + eio,
3 n/2_ e — eo, m — ——^rfit + m0, 4 nz 3 n/2_ 7 = 70, il = --zin-nt + S20, 4 nz
n, «Oi eo5 7o? eio, et étant des constantes. La barre sur les variables indique
qu’il s’agit de la valeur moyenne sans termes périodiques. Le fait que l’on trouve pour e\ une fonction linéaire du temps négative indique que le moyen mouvement observé
30 Chapitre 1
Le résultat vo = vo\ + où w\ est positif, montre que le périgée est animé d’un
mouvement direct. En mettant l’expression de w sous la forme
w = (1 — c)nt + züq (1.14)
on obtient pour la valeur moyenne de l’anomalie moyenne, l’expression
l = À — w = cnt + Iq
dans laquelle À, w sont des fonctions linéaires du temps, différentes de leurs valeurs
osculatrices À, w d’une somme de termes périodiques. De même fi désigne la valeur
moyenne du moyen mouvement lunaire. Puisque w\ est positif, 1 — c l’est aussi, et
donc c est plus petit que l’unité. Ainsi la valeur moyenne de l’anomalie moyenne augmente moins vite que la valeur moyenne de la longitude moyenne, et le mois anomalistique est plus grand que le mois sidéral.
Dans la suite, et pour plus de simplicité, nous introduirons la notation m — n'/n.
Nous obtenons alors comme expression simplifiée pour w\
qui correspond^
Le résultat Q = üit + Do où Di est négatif montre que le nœud ascendant de l’orbite lunaire sur l’écliptique est animé d’un mouvement rétrograde. En mettant l’expression
de ü sous la forme
D = (1 — g)nt +
on obtient pour l’argument moyen de la latitude, F, l’expression F — X — Q = gnt + Fq
Puisque 1 — g est négatif, g est plus grand que l’unité. La valeur de l’argument moyen de la latitude augmente plus rapidement que la valeur moyenne de la longitude moyenne lunaire, et donc, le mois draconitique est plus petit que le mois sidéral.
Les termes périodiques
Commme nous l’avons vu dans le paragraphe précédent, nous pouvons utiliser comme
et les fonctions linéaires du temps À, Ü7, fi, pour les arguments À, ru, Q. Pour sim plifier les notations, nous omettrons de noter les barres et les indices. Lorsque n apparaîtra, c’est désormais du moyen mouvement sidéral constant qu’il s’agira.
Le résultat de l’intégration nous fournit des expressions pour 6a, <5e, <5q, <5A, <5tu, 8Ü.
Les termes de degré les moins élevés dans les perturbations des coordonnées sphériques
en fonction des variables osculatrices sont obtenus à partir de
'ip = A + 2esin(A — tu),
r — a[l — e cos(À — tu)],
sin/3 = 2y sin('0 — fi).
Cela nous donne
6'ip = (5À + 2 sin(À — zu)8e — 2 cos(À — tu)e<5tu -I- 2 cos(A — tu)e<5A,
6r — (5a — ucos(A — tu)(5e — asin(A — tu)e<5tu + asin(A — tu)e<5A, (1.16)
8(3 — 2 sin(À — Q)5y — 2 cos(À — fl)7<5fi + 2y cos(À — fï)ôip.
La contribution du terme 7Cos(À — fï)8ip dans 8(3 qui résulte d’un terme particulier
dans R sera, comme le montrent les équations (1.12), plus grand de deux ordres de grandeur en 7 que les contributions apportées par <5q et 7<5fh Le troisième terme de
8(3 sera ainsi négligé en première approximation.
La variation
Considérons le terme
-n'V cos(2A-2A')
4
Les équations (1.12) et (1.13) donnent :
da
Qn/2
• (o \
o\i\
Sa
_ = _3_asin(2A-2A),
- = n(2„_2n/)
= ^n'2sin(2A - 2A'),
3n/ 2 n de1 n/2 2 (2n - 2n')2 3 n12 cos(2A-2A'), sin(2A — 2A;),i =
C0S(2A -2A,)-
sin(2A
-2A,)-Le résultat pour 8a/a peut être écrit,8a 3 m2
2 1 — m cos(2A — 2A').
32 Chapitre 1
En remplaçant le facteur (1 — m)
1 par son développement 1 + m + m2 + • • - , on
obtient au plus petit ordre en m
St Sa 3 o , .. — = — = -m2 cos(2À — 2A ). a a 2 et similairement
(éA)
—
—-m2 sin(2À — 2À/),
8Sei
—
—-m2 sin(2À — 2A'),
S'ip = (SX) + Sei
—
-—m2 sin(2À-2À').
(1-17)
8
Ce ne sont pas les seuls termes dans Sr et S'ip indépendant de e, e', 7, avec m2 en
facteur, ayant pour argument 2À — 2A'. En considérant les termes dans R
/2 2
n a
9 3
—-ecos(A — 2X! 4- ro) + -ecos(3A — 2A' — -eu)
nous obtenons des expression pour S'ip et Sr/a qui, rajoutées aux équations (1.17),
nous donnent comme première approximation de la variation
11
S'ip
=
—m2 sin(2A — 2A'),
8 Sv
—
=
-m2 cos(2A - 2A'),
(1-18)
Cette dérivation nous sert d’illustration pour comprendre comment des termes d’arguments différents dans la fonction perturbatrice peuvent produire des termes de même argument dans S'ip et Sr/a. Les principaux termes dus aux perturbations
en A et a sont introduits dans S'ip et Sr/a sans changement d’arguments; les pertur
bations en e et tu avec des arguments A produisent des termes principaux dans S'ip et
Sr/a avec des arguments A ± (A — m).
La période de la variation est d’un demi mois synodique; l’inégalité disparaît aux nouvelles et pleines Lunes et n’affecte donc pas les dates d’éclipses solaires ou lunaires. Rappelons que les Grecs, et donc Ptolémée, ne connaissaient pas la variation; et c’est
parce que leur connaisance du mouvement de la Lune dérivait de l’observation des
éclipses que cette inégalité leur a échappé.
—n/2a2e2 cos(2A/ — 2w),
8 L’évection
donne sachant que le moyen mouvement de w est donné en (1.14), de dt Se du7 e—— dt eSvo
15 n 2
,
— e sm(2À/ — 2 tu), 4 n 15 n,2e 4 n[2n' — 2(1 — c)n] cos(2À/ — 2zu), 15 n 2 , = ecos(2A —2zn), 4 n 15 n,2e sin(2À/ — 2zu). 4 n[2n' — 2(1 — c)n]Le coefficient présent dans Se et eSw peut être écrit à l’aide de (1.15)
15 n2e 15 me 15 — ^—- = — ô— ~ —me
4 2nn'(l — |m)
8 1 — -m
8
Nous avons donc en première approximation, l’expression :
15
Se = —me cos(2A'— 2A),
8 15
eSw — —me sin(2À/— 2À).
à partir de laquelle nous obtenons
15
Stp — —mesin(À — 2X! + ru),
15
eSw — mecos(À — 2A' + uo). (1.19)
8
L’évection est la perturbation périodique la plus importante dans la longitude de la Lune. Hipparque la connaissait et l’avait mesurée. L’importance de ce terme est due à l’absence d’un multiple de A dans l’argument 2A' — 2zu du terme de la fonction per turbatrice que nous avons considéré. Le diviseur introduit lors de l’intégration a pour facteur n', tandis que pour les termes ayant un multiple de A dans leur argument, le
facteur est n. Ce diviseur n' va réduire le facteur de la fonction perturbatrice de n'2
à n1. Il en résulte un terme en m au lieu d’un terme en m2.
On retrouve en théorie planétaire, comme dans les perturbations planétaires, des exemples semblables à celui-ci, de petits termes dans la fonction perturbatrice en
gendrant d’importantes perturbations dans la longitude. Néanmoins, la nature des paramètres engendrant ces diviseurs ne sont pas les mêmes. Les principales grosses perturbations des mouvements planétaires sont des perturbations à longue période en
34 Chapitre 1
de deux planètes pour lesquelles pn — qn' est petit devant n et n'.
Lors de la double intégration de (JA)
f f 3 dR , ,
{ôx) = ~J J ^d\dt dt
le carré du petit diviseur apparaît au dénominateur. L’importance du coefficient du terme principal de l’évection n’est donc du qu’à l’absence de À dans l’argument, du terme de R qui produit cette perturbation.
Une réduction similaire de la puissance de m fait apparaître un terme d’argument
À' — vo' dans la longitude de la Lune que nous appelons équation annuelle. Sa période
est l’année anomalistique.
D’autres perturbations en longitude ou en latitude seront engendrées en intégrant les autres termes de la fonction perturbatrice (1.10) et en suivant une méthode analogue à celle appliquée pour trouver l’expression simplifiée des perturbations
précédentes.
1.2.4 Introduction des arguments de Delaunay
Comme nous l’avons remarqué précédemment, la méthode employée pour obtenir les perturbations des éléments en première approximation est adéquate pour des satel
lites dont le rapport n!/n est petit. Dans le cas de la Lune, comme pour les satellites
externes de Jupiter et Saturne, cette première approximation est insuffisante pour fournir une éphéméride en accord avec les observations. Des approximations d’ordre supérieure, engendrant de nombreuses complexités liées à la méthode de résolution, sont alors nécessaires pour obtenir une solution précise.
La méthode de Delaunay utilisant les variables canoniques permet de procéder de
où ûfb eo, 70, ^0) sont des constantes arbitraires, tandis que n qui est aussi
une constante, est le moyen mouvement sidéral de la Lune. Les valeurs de c et g sont
obtenues par la théorie et exprimées comme des fonctions de n, n', eg, e/2, ag, a' et 7g.
Les quantités relatives au Soleil (primées) sont considérées comme constantes. Si A' = n't + e' est la longitude moyenne du Soleil, les arguments des lignes trigonométriques
(1.20) peuvent s’exprimer sous la forme de combinaisons linéaires :
Pi (A - A') + p2(A - Lt) + p3(A' - w) +p4(A - w),
ou, en utilisant la notation de Delaunay2 :
P\D + p2F + p3l' + p\l'.
Les coefficients des séries sont des monômes fonctions de m = n'/n, eg, e'2, 7g et
(a0/a')2.
I. 3
La théorie ELP. Le problème principal
La théorie ELP du mouvement orbital de la Lune, élaborée par M. Chapront-Touzé et J. Chapront, est inspirée de la théorie de Brown. Elle permet de fournir des solutions de très grande précision pour le calcul d’éphémérides lunaires.
La méthode de résolution est divisée en deux étapes :
1. La résolution d’un problème générique appelé problème principal.
2. Le calcul des effets négligés dans le problème principal et considérés comme perturbations de la solution approchée. Ces perturbations considérées dans la
théorie ELP proviennent :
- de la forme de la Terre et de la Lune, - des perturbations planétaires,
- des effets de marées,
- des effets relativistes.
Notre travail se concentre sur le calcul des perturbations planétaires, cependant et
afin de nous replacer dans le contexte de la théorie ELP, nous expliquons brièvement
36 Chapitre 1
la méthode de calcul du problème principal, inspirée du problème de Hill. On trou
vera les details de la méthode dans (Chapront-Touzé 74) et (Chapront-Touzé 80a).
Une solution semi-analytique du problème principal de la Lune se présente sous la forme de séries de Fourier à coefficients numériques et dont les arguments sont des combinaisons linéaires des angles de Delaunay. Des dérivées partielles des coefficients
par rapport aux constantes de la théorie sont calculées afin que la solution ne reste
figée sur l’ensemble de constantes à partir duquel elle a été construite. La méthode utilisée pour la construction d’une solution littérale du problème principal est une méthode itérative inspirée de (Chapront 69) complétée pour des problème de conver gence par une méthode de variation des constantes. L’ajustement des constantes est
effectué après chaque itération.
La fonction perturbatrice
Comme dans le paragraphe précédent 1.2, on considère la Terre, la Lune, et le Soleil réduits à leur point-masse. Le soleil décrit une orbite keplerienne autour du centre de gravité du système Terre-Lune.
Les coordonnées de la Lune n’entrant dans l’expression de la fonction perturbatrice R que par l’intermédiaire des variables r et cos S, R n’intervient dans les équations
n ^ t w . , . „ dR dR
différentielles qu a travers les derivees partielles —— et — -.
or o cos S
r'
La quantité — n’est pas développée en polynôme de Legendre comme en (1.4), mais calculée par une méthode purement numérique basée sur l’algorithme de
Newton3.
Les équations différentielles
Les équations de Lagrange sont exprimées à l’aide des variables : n, k = e cos m, h = e sin ce;, q = 7 cos fi, p = 7 sin fi, À,
où n, e, 7, vo ,fi et À sont les éléments elliptiques de la Lune déjà vus précédemment. Les valeurs de ces variables sont données par l’itération précédente.
Intégration des équations
sans termes séculaires; c’est-à-dire que l’on veut que les variables n, k, h, g, p, ne contiennent que des termes périodiques, et que la longitude moyenne A soit la somme d’une fonction linéaire du temps avec des termes périodiques.
La méthode d’intégration consiste à modifier les variables, de manière à ce que les moyens mouvements du nœud et du périgée de la Lune soit exprimés à l’aide des
séries de Fourier.
La définition des constantes d’intégrations et des valeurs numériques adoptées pour celles-ci sont présentées dans la section relative à la solution du problème principal,
Chapitre 2
Théorie des perturbations
planétaires de la Lune
Introduction
La solution du problème principal constitue une solution intermédiaire du mouvement du centre des masses de la Lune d’une bonne précision qui doit être utilisée comme orbite de départ pour le calcul des perturbations.
La suite de la construction de la solution complète pour le mouvement orbital de la Lune consiste à prendre en compte les effets négligés dans le problème principal qui sont considérés comme perturbations à cette solution approchée. Nous nous re streindrons dorénavant sur les perturbations engendrées par la présence des planètes du Système Solaire.
Dans un premier temps nous présentons dans ce chapitre la solution ELP2000-82B du mouvement orbital de la Lune dont nous utiliserons les séries du problème principal avec les constantes de la solution complète pour construire les perturbations planétaires. Nous présenterons aussi, en ce qui concerne le mouvement des planètes, la solution dont nous nous sommes servi pour les calculs. Nous donnons ensuite les équations du mouvements exprimées dans le repère propre à la théorie ELP. Enfin nous expliquons la théorie et la méthode de calcul des perturbations planétaires. La présentation des séries du problème principal et des constantes de la théorie est inspirée de (Chapront-Touzé 92).
2.1 La solution ELP2000-82B
2.1.1 Les séries du problème principal
La solution du problème principal de la Lune est représentée en coordonnées écliptiques, longitude F, latitude U, et distance R. Chacune de ces coordonnées
s’exprime à l’aide de séries de Fourier
6
W\Sy + E (Ah,-,ip + L BL-,ip5ai'> ' sin(*iA1 + • • • +
+ *i.
«„)
(2-1)
j—1où ôy = 1 s’il s’agit de la longitude et ôy = 0 dans le cas contraire. A^^^i et
sont les coefficients et les phases numériques de chaque terme de la série. Les Bji
ip
sont les coefficients numériques des dérivées partielles de par rapport aux six
constantes o3. Enfin, les Xp sont les arguments exprimés littéralement.
Pour la longitude et la latitude, les coefficients Ailf^i sont donnés en arcsecondes tandis que pour la distance, ils sont donnés en kilomètres. Les coefficients i
sont exprimés dans les mêmes unités que les . Les phases sont données en degrés.
Le temps t qui est exprimé implicitement dans l’expression (2.1) à travers les
variables angulaires Xp est le temps TDB exprimé en siècles juliens compté à partir
de l’époque J2000.
Chacune des séries contient approximativement 2000 termes, et le niveau de tron
cature de chaque coordonnée est :
Pprinc. — 1.10“12radian
(2-2)
soit Pprinc.
—
2.10—7 arcseconde pour la longitude et la latitude;
et Pprinc.
—
4.10-7 kilomètre pour la distance.
2.1.2 Les arguments
Les arguments représentés à l’aide des Xp dans (2.1) sont exprimés sous forme de
polynômes développés jusqu’à la puissance 4 du temps :
A = A0 + Xlt + X 2t2 + A3*3 + A4*4
(2.3)
Ce sont les variables angulaires de la théorie :
La théorie des perturbations planétaires de la Lune 41
• W2 est la partie séculaire de la longitude du périgée de la Lune,
• w3 est la partie séculaire de la longitude du nœud ascendant de la Lune,
• Te est la longitude moyenne héliocentrique du barycentre Terre-Lune et
• vo' est la longitude du périhélie du barycentre Terre-Lune.
Les angles w\, W2 et ws sont rapportés à l’écliptique moyen inertiel de la date et à
l’origine des longitudes 72000 ) appelé aussi ” departure point'1.
Les angles Te et w'
sont eux rapportés à l’écliptique moyen inertiel J2000 et à l’équinoxe moyen inertiel 72000 de ^2000.
Mais l’expression littérale choisie pour représenter les arguments du problème
principal sont les angles de Delaunay Z), F, l, V dont nous déduisons l’expression à
partir des variables angulaires (Fig. 2.1) :
D = wi-Te + 180°
F = W\ — uq
l = w\ — W2 (2-4)
l' = Te-zu'
Dans la solution ELP2000-82B, les quantités iüÇ, vu®, 1^3, Te0, et w'0 des variables
Lune
FiG. 2.1: Angles de Delaunay exprimés à l’aide des Wj
TAB. 2.1: Valeurs calculées des moyens mouvements du périgée et du nœud en ”/siècle
(Chapront-Touzé 92). A.C. signifie Ajustement des Constantes.
Contribution de
w\
Problème principal 14 642 537.936 8 -6 967167.264 3
Forme de la Terre Sans A.C. 615.883 3 -588.200 7
A.C. 17.5201 -4.335 0
Perturbations planétaires Sans A.C. 249.7440 -144.803 9
A.C. -2.638 8 0.730 6
Effets de marées Sans A.C. 0.066 3 0.000 2
A.C. 0.000 7 -0.000 2
Forme de la Lune Sans A.C. -2.268 9 -16.8108
A.C. 0.5217 -0.133 5
Relativité Sans A.C. 5.142 5 1.054 5
A.C. -3.3454 0.8474
Total 14 643 418.562 3 -6 967918.9157
angulaires uq, W2, w?,, Te et w' sont des constantes littérales qui doivent être ajustées
aux observations.
Les coefficients du temps t dans les variables w\ et Te, que Ton notera2v et n',
sont des constantes de la théorie, c’est-à-dire des constantes auxquelles on a assigné
une valeur numérique dans la théorie.
Les coefficients du temps t dans les variables W2 et W3 notés respectivement w\ et
w\ ainsi que les coefficients de £2, t3: t4 dans les variables w\, W2, ^3 notés respecti
vement le2, w\, a;2, u;3, w2, w;3, wj,
sont des valeurs numériques fournies par
la théorie.
Le tableau 2.1 présente les valeurs numériques de w\ et w\ obtenues après som
mation des différentes contributions et utilisées dans le calcul des perturbations
planétaires. Notons que les contributions des perturbations planétaires (celles de
la solution ELP2000-82B) figurent dans le tableau 2.1 afin de représenter au mieux les moyens mouvements du périgée et du nœud.
Les coefficients de t2, t3, tA dans les angles wi, W2 et W3 sont fournis par le calcul
des différentes perturbations, leurs valeurs sont données dans le tableau 2.2.
2La notation du moyen mouvement de la Lune, n au chapitre précédent, est désormais changée
La théorie des perturbations planétaires de la Lune 43
Tab. 2.2: Coefficients de t1, t3, t4 dans les angles w\, w2, u»3 (Chapront-Touzé 92)
u>2( ”/siècle2)
w\{ ”/siècle2)
u>2( ”/siècle2)
Forme de la Terre 0.1925 0.100 3 -0.095 8
Pertubations planétaires 5.866 5 -38.554 0 6.504 4
Effets de marées -11.9473 0.1761 -0.046 4
Total -5.888 3 -38.277 6 6.362 2
( ”/siècle3)
”/siècle3)
”/siècle3)
Forme de la Terre -0.000 027 -0.000014 0.000 013
Pertubations planétaires 0.007015 -0.045 039 0.007613
Effets de marées -000 384 0.000 006 -0.000 001
Total 0.006 604 -0.045 047 0.007625
wf ( ”/siècle4)
w\{ ”/siècle4)
”/siècle4)
Perturbations planétaires -0.000 03169 0.000 213 01 -0.000 035 86
Les coefficients de t, i2, t3, tA dans les angles w' et Te sont des valeurs numériques
fournies par la théorie planétaire.
Remarque : Dans le cadre du calcul des perturbations planétaires, nous avons
préféré exprimer les séries du problème principal de la Lune à Laide de l’ensemble d’angles D, F, /, Te, assimilant la fréquence de l’angle l' à celle de Te (2.4) dans chaque argument le contenant; ce qui revient à considérer zu' restreint à sa partie constante zo'°. Cette opération nous évite, lors du calcul des perturbations planétaires
l’apparition de combinaisons de termes du type :
n • l' — n • Te,
terme dont la longue période est n fois celle du périhélie du barycentre Terre-Lune
et qui dégrade considérablement la précision des séries. De plus amples précisions
sur les problèmes engendrés par les termes à longues périodes seront abordés dans le
chapitre 3.
2.1.3 Les dérivées partielles et ensembles de constantes
Les coefficients Bji
•
(2.1) sont les dérivées partielles par rapport à l’ensemble de
constantes :
10 .
- m — — avec n le moyen mouvement de Te, et v le moyen mouvement de w\, - T est le demi-coefficient du terme en sinT dans la latitude,
- E est le demi-coefficient du terme en sin l dans la longitude,
- e' est l’excentricité de l’orbite héliocentrique du barycentre Terre-Lune,
a0
- a = — où üq est le demi-grand axe keplerien de la Lune lié à u par :
v2al = G(rriT + tul),
(2.6)
et où a' est le demi-grand-axe de l’orbite héliocentrique du barycentre
Terre-Lune lié à n' par :
n,2a'3 = G(ms + rriT + ttil),
(2.7)
7725, mT, mL, étant respectivement les masses du Soleil, de la Terre et de la
Lune.
- p est le rapport de masses .
rriT + rriL
Nous noterons dorénavant Daj les dérivées partielles des coordonnées V, £7, R par
rapport à l’ensemble de constantes S\ (2.5). Nous avons :
Daj(V, U)
Do, (R)
d cri
ô(jj sin(iiAi -I
H ipXp + $iu...,ip)
ao ^2 -x—;—1~-P ô&j sin(ziÀi + • • • + ip\p + 4?^,...,^)
(2.8)
ddj ao
Les moyens mouvements des variables angulaires W2 et dépendent aussi des cons tantes cq, le tableau 2.3 fournit les valeurs numériques de ces dérivées partielles.
Un deuxième ensemble de constantes S2 est défini, à l’aide duquel peuvent être exprimées les dérivées partielles de la longitude, latitude, distance et moyens mouve ments du périgée et du nœud :
S2 : {Zj = {v, T, E, n , e , p, p , G')}
(2.9)
Les trois premières constantes de cet ensemble, v, T et E sont les constantes arbi
traires de la théorie des perturbations planétaires que nous utiliserons par la suite (paragraphe 2.4) dans la méthode de variation des constantes arbitraires, appliquée
La théorie des perturbations planétaires de la Lune 45
Tab. 2.3: Valeurs numériques sans dimension des dérivées partielles des moyens mouvements
du nœud et du périgée par rapport aux constantes (Chapront-Touzé 92). d ^2 d(7j V
_d_ws
d<jj v m 0.311079 095 -0.103 837 907 r -0.004 482 398 0.000 668 287 E -0.001 102 485 -0.001298 072 e' 0.001056 062 -0.000178 028 a 0.000050 928 -0.000 037 342 T -0.000000418 0.000 000 220Les suivantes sont des constantes relatives au Soleil, des rapports de masses où
p! — (rriT + rriL)/{ms + mp + mjr,), et G' — Gmp la constante géocentrique de la gravitation que l’on considère comme fixés. Le tableau 2.4 donne l’expression des
dérivées partielles exprimées dans l’ensemble de constantes S2 à l’aide des dérivée Dai :
TAB. 2.4: Dérivées partielles exprimées dans l’ensemble de constantes S2
(Chapront-Touzé 92). V r E V ou U R ™2,3
h
-”(A» + §£A»)
-?(An + §£A,) + §£
Dr Dr vDp De De vDe n’ e' T r G' V ou U R ™2,3l(Dm + l^Da)
i(A» + §£A.)
Dm + ^Da
De> De> vDe> D + - R-2 i-n vD^ mL jj um2 r) 3^~^Q 0 1 R 3 G' 02.1.4 Paramètres orbitaux ajustés aux observations
la Lune sont celles fournies par le Laser-Lune. Cependant les intégrations numériques (du JPL par exemple) calculées à partir de modèles physiques dépendants de cons tantes ajustées aux observations, peuvent faire office d’observations en tant que telles. Nous aborderons à nouveau ce point dans le chapitre 4. Plusieurs ajustements des constantes ont été réalisés aussi bien sur les différentes intégrations numériques du
JPL que récemment sur les observations du Laser-Lune (Chapront 97).
A l’époque de la construction de la solution ELP2000-82B, c’est l’intégration numérique DE200/LE200 qui avait été choisie commme modèle d’observation pour
l’ajustement des constantes. Le tableau 2.5 présente les valeurs attribuées aux cons
tantes de l’ensemble S2 après le calcul des ôcrj issus de cet ajustement. Des
correc-TAB. 2.5: Constantes de la théorie ajustées à DE200 (Chapront-Touzé 92).
y 1732 559 343.736 04 ”/siècle r 18461.238 68 ” E 22 639.585 78 ” e' 0.016 708 615 63 ri 129 597 742.275 8 ”/siècle V 0.012150 568 M' 3.040423 956 10“6 G'
3.986 005 1014 m3/s“2
tions issues des modifications des constantes ajustées sur DE200 sont apportées aux valeurs des moyens mouvements du périgée et du nœud :
, dw\ o
<^2,3 = ~fo~bar
(2-10)
Les expression des dérivées partielles en fonction des constantes S2 sont données dans le tableau 2.4 et leurs valeurs numériques dans le tableau 2.3. Les corrections obtenues qui doivent être ajoutées aux valeurs du tableau 2.1 sont :
5w\
=
1.700 9 ”/siècle
5w\
=
—0.446 5 "/siècle
(2-11)
Les valeurs de ces paramètres orbitaux évoluant en fonction du raffinement des observations ou des éphémérides, il est alors nécessaire de les ajuster aux observations les plus récentes.
