3 Mouvement orbital de la Terre

MOUVEMENT KEPLERIEN

Les données suivantes pourront être utilisées dans les différents exercices :

• rayon de la TerreR_T = 6,37.10³ km

• champ de pesanteur au niveau de la mer : g = 9,8 m.s⁻²

• constante de gravitation :G= 6,67.10⁻¹¹ kg⁻¹.m³.s⁻²

• masse de la Terre : M_T = 5,97.10²⁴ kg

• durée d’un jour sidéral T_sid= 86164 s

1 Modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène

L’électron de masse m et de charge −e tourne autour du proton sur une orbite circulaire de rayon r à la vitesse constante v.

a) Exprimer en fonction derla vitessevainsi que la fréquenceνdu mouvement de l’électron.

b) Exprimer en fonction de r : l’énergie potentielle E_p de l’électron, son énergie cinétique E_c, son énergie mécanique E_m =E_c+E_p.

c) L’énergie d’ionisation de l’atome H dans son état fondamental étant de−13,6eV, calculer le rayon r1 de l’orbite de l’électron dans l’état fondamental.

On donne ε₀ = 8,85.10⁻¹² S.I. et e= 1,60.10⁻¹⁹ C.

2 Satellite en orbite polaire

Un satellite décrit une orbite circulaire autour du centre de la Terre, dont le plan contient les pôles. Au cours d’une même révolution ce satellite passe à la verticale de Marseille puis à la verticale de Paris.

1) Quel est l’intervalle de temps minimal ∆t entre ces deux passages, et préciser dans ce cas le sens de rotation du satellite sur son orbite ?

2) Déterminer ensuite :

– sa période de révolutionT – son altitude h.

Données :

• latitude de Paris : 48^◦50⁰ N – longitude de Paris 2^◦20⁰ E

• latitude de Marseille : 43^◦15⁰ N – longitude de Marseille 5^◦20⁰ E Réponses : ∆t = 718 s ;T = 46,3.10³ s ; h= 21,5.10⁶ m.

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3 Mouvement orbital de la Terre

On suppose que la Terre n’est soumise qu’à la seule attraction solaire et qu’elle décrit dans son mouvement une ellipse dont le foyer se trouve au centre du Soleil. Quand la Terre est à son aphélie, sa distance au Soleil vaut r_max = 1,52.10¹¹ m et sa vitesse orbitale v_min = 2,93.10⁴ m.s⁻¹. Sachant qu’à son périhélie la Terre se trouve à la distance r_min = 1,47.10¹¹ m, exprimer puis calculer sa vitesse orbitale au périhélie.

4 Énergie de mise en orbite d’un satellite terrestre

Un satellite terrestre de masse m est lancé d’une base M_o située à la latitude λ pour être placé sur une orbite circulaire de rayon r.

1) Rappeler dans quel référentiel on doit se placer pour étudier le mouvement de ce satellite.

2) Exprimer l’énergie mécanique initiale E_m0 de ce satellite en M₀ juste avant le lancement, puis l’énergie mécanique finale E_m lorsqu’il est sur son orbite. En déduire l’expression de

∆E_m = E_m −E_m0, l’énergie minimale à fournir à ce satellite pour sa mise sur orbite. On exprimera ∆E_m en fonction de G constante de gravitation, M_T masse de la Terre, m, r, R_T rayon de la Terre,T_sid durée du jour sidéral et λ latitude de la base de lancement.

3) On note les latitudes des trois bases de lancement :

— Baïkonour au Kazakhstan : λ= 45,9^◦

— Cap Canaveral en Floride : λ = 28,4^◦

— Kourou en Guyane : λ= 5,23^◦

a) Laquelle de ces trois bases offre les meilleures conditions de lancement ?

b) On considère un satellite de massem = 6,0t en orbite circulaire à l’altitudeh= 1,0.10³km.

Calculer ∆E_m pour la base de Kourou puis calculer l’énergie gagnée entre Baïkonour et Kou- rou. Commenter.

5 Transfert d’orbite d’un satellite artificiel

On considère un satellite artificiel placé sur une orbite terrestre circulaire C₁ de rayon R₁. On veut transférer ce satellite sur une autre orbite circulaireC₂ de rayonR₂. Le transfert s’effectue sur une orbite elliptique H tangente aux deux trajectoires précédentes. Une telle ellipse est ap- pelée ellipse de Hohmann.

a) Donner les expressions des vitesses circu- lairesv1 etv2 sur les orbites circulaires C1 etC2. b) En déduire l’expression de l’énergie méca- nique sur les orbites circulaires C₁ et C₂. Que devient l’expression de l’énergie mécanique pour une orbite elliptique ? Donner alors l’ex- pression de l’énergie mécanique sur l’ellipse de Hohmann.

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c) En déduire les expressions des vitessesv₁⁰ enP etv⁰₂enAsur l’orbite elliptique de Hohmann.

d) Exprimer puis calculer les variations de vitesse∆v₁ =v₁⁰ −v₁ et∆v₂ =v₂−v₂⁰ du satellite lors des transferts respectifs de C₁ sur H et de H surC₂.

e) Calculer la durée du transfert sur l’ellipse de Hohmann.

A.N : R1 = 8,00.10³ km ; R2 = 2R1;

6 Freinage d’un satellite en orbite quasi-circulaire

On étudie le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre dans le référentiel géocentrique RG supposé galiléen. Le satellite subit la seule force de gravitation de la Terre considérée à symétrie sphérique. On désignera par M_T la masse de la Terre. On note G la constante de gravitation universelle.

Le satellite M de masse m en orbire circulaire de rayonr subit dans les hautes couches d’air raréfié de l’atmosphère, une force de frottement de la forme :

F~_f =−αmv~v

Le coefficient α est positif etv est le module de la vitesse ~v du satellite dans RG.

La force de frottement étant très faible, la trajectoire du satellite reste quasi-circulaire et, pendant une révolution, le rayon de la trajectoire passe de la valeur r à la valeur r+ ∆r, la variation de la distance au centre ∆r restant très inférieure à r en valeur absolue. La durée d’une révolution est notée T.

1) Dans le cas d’une trajectoire circulaire du satellite, alors que les frottements sont négligés, montrer que les énergies mécanique, cinétique et potentielle du satellite vérifient :

Em =−EC = 1

2Ep avecEp = 0 à l’∞

Ces relations restent valables dans le cas de la trajectoire quasi-circulaire

2) Déterminer pour une révolution, la variation∆Ep de l’énergie potentielle de gravitation en fonction de G, m, M_T, r et ∆r. En déduire la variation ∆Em d’énergie mécanique sur une révolution.

3) Calculer sur la même période, le travail Tf de la force de frottement en fonction de α, m, v etr. En déduire que :

∆r =−4παr²

Quel est l’effet des forces de frottement sur la trajectoire et sur la vitesse du satellite ? 4) En supposant que ^dr_dt ' ^∆r_T montrer que r suit une loi de la forme : p

r(t) =√

r₀+Kt où K est une constante à déterminer en fonction de α,G etMT.

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7 Distance de plus courte approche d’un météore

Un météore, assimilable à un point matérielM de de massemnégligeable devant la masseM_T de la Terre, arrive de l’infini avec la vitesse−→v_o par rapport à la Terre. Son paramètre d’impact est OH = b, où O correspond au centre de la Terre. On note S le point de la trajectoire le plus proche du centre de la Terre.

1) Quelles sont les deux grandeurs physiques conservées au cours du mouvement ? 2) Soit~σ_O le moment cinétique par rapport à O du point M.

2.a) Donner l’expression de~σ_O lorsque M est à l’infini (M =M∞) en fonction de m, v₀, b et~u_z.

2.b) On notev_Sla norme de la vitesse deM lorsqu’il passe au plus près de la Terre (M =S).

Donner l’expression de~σ_O lorsque M est en S en fonction dem,v_S, r_min et~u_z.

3) En utilisant la conservation des grandeurs données au 1), exprimer la distancer_min de plus courte approche de la Terre, en fonction de v_o, b, M_T, G constante de gravitation. À quelle condition le météore évitera-t-il l’impact avec la Terre ?

Réponse : r_min =−GM_T v²₀ +

s

GM_T v²₀

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+b²

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