Accélération de particules dans les plasmas.

Accélération de particules dans les plasmas.

Jérôme Faure

8 février 2007

Table des matières

1 Création de plasma. Ionisation 1

1.1 Ionisation par suppression de barrière . . . 1

1.2 Quelques exemples . . . 3

1.3 D’autres régimes d’ionisation . . . 4

1.3.1 Ionisation tunnel et multiphotonique . . . 4

1.3.2 Ionisation collisionnelle . . . 5

2 Accélérateur laser-plasma 7 2.1 Modèle fluide de l’interaction laser-plasma dans le régime re- lativiste . . . 7

2.1.1 Equations de base . . . 8

2.2 Résolution dans le cas 1D . . . 11

2.2.1 Conservation de la quantité de mouvement . . . 11

2.2.2 Equation de propagation de l’onde laser . . . 11

2.2.3 Référentiel de l’impulsion laser à c . . . 12

2.2.4 Equation quasistatique de l’onde plasma . . . 13

2.2.5 Référentiel de l’impulsion laser à vg . . . 14

2.3 Résolution dans le cas 3D, faiblement relativiste . . . 15

2.3.1 Equation sur l’onde plasma . . . 15

2.3.2 Equation de l’onde laser . . . 17

2.3.3 Faisceaux Gaussiens . . . 18

2.3.4 Equation d’enveloppe : autofocalisation relativiste . . . 18

2.4 Indice de refraction d’un plasma relativiste . . . 19

2.4.1 Exemple de nonlinéarité : instabilité Raman . . . 20

2.4.2 Démonstration heuristique de l’autofocalisation relati- viste . . . 22

2.5 Résolution du cas particulier d’une impulsion gaussienne 3D . 23 2.5.1 Remarque finale . . . 25

3 Accélérateur faisceau-plasma 27

3.1 Excitation d’ondes plasma par faisceau de particules . . . 27

3.1.1 Résolution dans le cas 1D nonlinéaire . . . 28

3.1.2 Résolution dans le cas 3D linéaire . . . 29

3.1.3 Notion d’amortissement par faisceau ("beam loading") 30 3.1.4 Excitation par un faisceau de particules . . . 31

3.2 Equations d’enveloppe pour le faisceau de particules . . . 31

3.2.1 Equations d’enveloppe . . . 31

3.2.2 Concept d’émittance . . . 33

3.2.3 Propagation du faisceau dans le vide . . . 35

3.2.4 Propagation dans un plasma, régime de cavitation . . . 36

4 Accélération de particules dans une onde plasma 39 4.1 Gains d’énergie . . . 39

4.1.1 Hamiltonien du système. Conservation de l’énergie . . . 39

4.1.2 Cas d’une onde plasma sinusoïdale . . . 41

4.1.3 Calcul du gain d’énergie dans une onde plasma sinu- soidale . . . 43

4.1.4 Approche Hamiltonienne . . . 43

4.2 Limites de l’accélération plasma . . . 44

4.2.1 Guidage . . . 45

4.2.2 Longueur de déphasage . . . 45

4.2.3 Longueur de déplétion . . . 46

4.3 Phénomènes d’injection des électrons . . . 49

4.3.1 Approche Lagrangienne du déferlement . . . 50

4.3.2 Notes finales . . . 53

Chapitre 1

Création de plasma. Ionisation

Nous allons ici nous intétesser au cas de la création du plasma. Ici, le plasma est créé par un champ laser intense ou bien par le champ de charge d’espace généré autour du paquet d’électrons. Dans tous les cas, le champ électrique considéré est suffisamment fort pour réaliser directement l’ionisa- tion.

1.1 Ionisation par suppression de barrière

On considère ici un électron qui appartient au cortège électronique d’un atome de nombre atomique Z. L’électron est sur un niveau dont le potentiel d’ionisation est donnée par Ei. L’atome baigne dans un champ électrique E qui peut être un champ laser par exemple. Le potentiel vu par l’électron peut se mettre sous la forme suivante :

(1.1) V(r) = − Ze²

4π²₀ |r| −eEr

Le premier terme représente le potentiel Coulombien et le second est un terme dipolaire dû à la résence du champ E. La figure 1.1 représente l’électron sur son niveau à V =−Ei, confiné par le potentiel coulombien. L’électron peut être ionisé si on lui communique suffisamment d’énergie de sorte qu’il puisse franchir la barrière de potentiel. L’application d’un champ E a pour effet de diminuer la barrière de potentiel et offre ainsi un chemin pour que les électrons s’échappent de l’atome (figure 1.1b)).

Si la barrière est abaissée de sorte qu’il existe un point M situé àr_M pour lequel V(rM) = −Ei, alors l’électron est libéré. Il s’agit là du régime par

−1 0 1

−30

−15 0

r

−1 0 1

−30

−15 0

r

V(r)

− Ei − E

i

a) b)

Fig. 1.1 – a) Un électron situé sur un niveau au potentiel V = −Ei est maintenu dans par la barrière du potentiel Coulombien. b) Lorsqu’on ajoute un champ important, la barrière est abaissée. Dans le régime de suppression de barrière (courbe bleue), l’électron est libéré. Dans le régime tunnel (courbe rouge), il existe une probabilité non nulle que l’électron puisse franchir la barrière.

suppression de barrière. Le potentiel est maximum au point r_M donné par

∂V /∂r|_rM = 0. Cela donner_M =±¡ _Ze

4π²0E

¢_1/2

. Ce qui donne pour le potentiel enrM :

V(r_M) =− Ze² 4π²₀¡ _Ze

4π²0E

¢_1/2 −eE

³ Ze 4π²₀E

´_1/2

= 2e

³ZeE 4π²₀

´_1/2

Sachant que pour atteindre la suppression de barrière, il faut que V(r_M) <

−Ei, on en déduit le champ électrique seuil Esb pour atteindre le régime de suppression de barrière :

Esb =π²0

E_i² Ze³

L’intensité s’exprime en fonction de E comme I = ^c²₂⁰E, on obtient ainsi l’intensité de suppression de barrièreI_sb

I_sb = π²c²³₀ 2e⁶

E_i⁴ Z² Ce qui donne en unité pratique :

(1.2) I_sb[ W.cm⁻²] = 4×10⁹E_i⁴[ eV]

Z²

atome I_sb[ W.cm⁻²]

1+ 2+

H 1.4×10¹⁴

He 1.4×10¹⁵ 8.8×10¹⁵

Tab. 1.1 – Intensité minimum pour l’ionisation par suppression de barrière pour des gaz différents.

1.2 Quelques exemples

La table 1.1 montre les intensités minimales nécessaires pour atteindre le régime d’ionisation par suppression de barrière. Les expériences que nous avons réalisées dans l’Hélium à des intensités allant deI = 10¹⁷à10¹⁹W.cm⁻² correspondent donc bien à ce régime. L’ionisation est réalisée très rapidement en quelques cycles optiques seulement.

La figure 1.2 montre le résultat d’une simulation d’ionisation d’un gaz d’Hélium par une impulsion laser ultra-intense. On compare ici l’ionisation pour deux intensités laser différentes obtenue pour I = 10¹⁷W.cm⁻², et I = 2×10¹⁸W.cm⁻². Dans les deux cas, la simulation montre bien que l’ionisation ne prend que quelques femtosecondes. On remarquera que l’ionisation a lieu avant le pic de l’impulsion mais qu’elle prend plus de temps dans le cas de la basse intensité. Dans le cas d’une impulsion ultra-intense (I >10¹⁸W.cm⁻²), l’ionisation a vraiment lieu dans les pieds de l’impulsion et devient, par là même, un phénomène négligeable quant au reste de l’interaction : la partie principale de l’impulsion interagit avec un plasma complètement ionisé.

D’une façon générale l’ionisation est un phénomène négligeable tant que : – L’intensité du champ électrique reste bien supérieure aux seuils de sup- pression de barrière des différents niveaux de l’atome considéré. L’ioni- sation a alors lieu très tôt et n’influe guère sur l’interaction.

– Le volume de plasma ionisé reste suffisamment petit de sorte que l’éner- gie perdue par ionisation reste négligeable. On peut estimer que l’éner- gie nécessaire pour ioniser un état à−Eisur un volume V estEionisation= n_aV E_i, où n_a est la densité atomique d’atomes neutres.

−60 −40 −20 0 0

0.5 1 1.5 2

t (fs)

Z

−60 −40 −20 0

0 0.5 1 1.5 2

t (fs) I=10¹⁷ W/cm² I=2×10¹⁸ W/cm²

Fig.1.2 –Simulation de l’ionisation de l’Hélium à n_a= 10¹⁹cm⁻³ pour deux intensités différentes. Ligne pleine : état d’ionisation du plasma Z ; ligne discontinue : enveloppe temporelle de l’intensité.

1.3 D’autres régimes d’ionisation

1.3.1 Ionisation tunnel et multiphotonique

Dans le régime par suppression de barrière, le champ électrique du laser est si élevé qu’il est capable d’abaisser fortement la barrière de potentiel qui maintient les électrons en orbite autour du noyau. Néanmoins, même si on n’atteint par la suppression totale de la barrière, l’ionisation reste encore possible car les électrons ont une probabilité non nulle de la franchir ; c’est l’ionisation par effet tunnel. Finalement pour des champs plus faibles, la probabilité de transition par effet tunnel est trop faible et c’est l’absorption multi-photonique qui va causer l’ionisation.

Le problème de l’ionisation d’un atome dans un champ laser intense a été résolu par Keldysh. Le mécanisme d’ionisation dominant peut-être identifié en calculant le paramètre de KeldyshγK :

(1.3) γ_K =

³ E_i 2φ_p

´_1/2

oùE_iest le potentiel d’ionisation de l’atome etφ_ple potentiel pondéromoteur définit par

(1.4) φ_p = I

2cn_c = e²E² 4m_eω²₀

Dans le cas γ_K >1, le champ électrique n’est pas assez élevé pour abaisser la barrière coulombienne et l’ionisation est dans un régime multi-photonique.

Dans le cas contraire,γ_K <1l’ionisation tunnel est possible, voire l’ionisation par suppression de barrière.

1.3.2 Ionisation collisionnelle

En impulsion courte, les collisions n’ont typiquement pas le temps de se produire et l’ionsation collisionnelle est négligeable. Par contre, en im- pulsion longue (1 ns), il suffit de quelques électrons libres dans le milieu pour que l’ionisation collisionnelle démarre. Les électrons sont chauffés par Bremsstrahlung inverse et l’ionisation se fait par collisions électron-atome ou électron-ion. Cependant dans les conditions qui nous intéressent (densités de ne = 10¹⁸−10²⁰cm⁻³ et températures de Te = 10−1000 eV), les temps de collisions sont bien trop longs par rapport à la durée d’impulsion pour que ce mécanisme domine. Par exemple dans le cas de l’Hélium, l’apparition de l’espèce He⁺ se calcule selon l’équation suivante :

(1.5) ∂n_He⁺

∂t =n_en_aS_He⁺

où na est la densité d’atomes neutres, n_He⁺ la densité d’ion He⁺, et S_He⁺ est le taux d’ionisation collisionnel pour l’ion He⁺. On peut donc en tirer un temps d’ionisation typique pour l’ion He⁺ :

(1.6) t_He⁺ = 1

n_aS_He⁺

Ce temps est de l’ordre de la dizaine de picoseconde pour une température de 10 eV et de l’ordre de la picoseconde pour une température de 1 keV. On voit donc que pour des impulsions femtosecondes, ce processus n’est pas dominant.

Chapitre 2

Accélérateur laser-plasma

2.1 Modèle fluide de l’interaction laser-plasma dans le régime relativiste

Dans cette section, on s’attache à démontrer les principales équations ré- gissant l’interaction d’un laser ultra-intense avec un plasma. On s’intéresse particulièrement au cas d’un plasma sous-dense (ω_p/ω₀ <1, oùω_p etω₀ sont respectivement la fréquence plasma et la fréquence laser). La première partie permet d’aboutir aux équations générales du problème, ce qui ne nécessite aucune approximation. La deuxième partie résout le cas mono-dimensionnel (les champs n’ont pas de dépendance radiale) purement relativiste. Le trai- tement est exact quelle que soit la densité du plasma (tant que le plasma est sous-dense bien sûr). La troisième partie traite du cas tri-dimensionnel.

Cependant, pour arriver à un résultat analytique, on sera obligé de se placer dans un cas faiblement relativiste et dans un plasma fortement sous-dense (ω_p/ω₀ ¿1).

Ces équations seront établies dans le cadre des approximations suivantes : – Les ions sont immobiles. Cette hypothèse se justifie dans le cas où la durée de l’impulsion laser est courte devant le temps typique de déplacement des ions (τ ¿ω⁻¹_pi ).

– le plasma est modélisé par un fluide d’électrons. Le fluide électronique est donc représenté par des grandeurs macroscopiques telle que sa den- sité n(r, t), sa vitesse v(r, t). Notons cependant que ce modèle ne per- met pas de décrire des phénomènes cinétiques tels que l’effet Landau, le déferlement, le piégeage des électrons. Ces effets nécessitent des défor- mations de la fonction de distribution des électrons, ce que le modèle fluide ne permet pas.

– Le fuide électronique est considéré comme froid. On prendra donc sa température égale à zero et les équations fluides ne comportent donc pas de termes de pression thermique. Cela se justifie car dans le cas des ultra-hautes intensités, l’énergie des électrons oscillant dans le champ laser est de l’ordre du MeV, plusieurs ordres de grandeurs au-dessus de l’énergie thermique des électrons. Cela peut aussi s’écrire v_osc 'eE_laser/(mω₀)À v_th = (k_BT_e/m)^1/2. C’est donc l’oscillation du champ laser qui domine le mouvement des électrons, les collisions sont négligeables.

– On se place en polarisation linéaire. Notons que cela ne nuit pas à la généralité du problème.

2.1.1 Equations de base

Equations de Maxwell

∇ ·B = 0 (2.1)

∇ ·E = ρ

²₀ (2.2)

∇ ×E = −∂B (2.3) ∂t

∇ ×B = µ₀j+ 1 c²

∂E (2.4) ∂t

Les sources de courant et de charge sont j =−enp/γ où γ est le facteur relativiste des électrons, ρ = −e(n−n0), où n est la densité perturbée du plasma et n₀ =Zn_i0, la densité équivalente au fond ionique.

Les champs dérivent de potentiels : B = ∇ ×A (2.5)

E = −∇Φ− ∂A (2.6) ∂t

Equations fluides

Equation de continuité :

(2.7) ∂n

∂t +∇ ·(nv) = 0

Equation du mouvement du fluide (description Eulérienne) (2.8)

µ∂

∂t+v· ∇

¶

p=−e(E+v×B)

Equations aux potentiels

Pour établir les équations aux potentiels, on se place dans la jauge de Cou- lomb¹ :∇·A = 0. Cette jauge est commode pour le problème qui intéresse :A représente le champ laser haute fréquence alors que Φreprésente les champs de déplacement de charge du plasma (basse fréquence). En plasma très sous- dense, les fréquences laser et plasma sont nettement séparables (ωp ¿ ω0) et la jauge de Coulomb permet donc de séparer le champ électromagnétique du laser du champ électrostatique de l’onde plasma. Notons que lorsque la densité du plasma se rapproche de la densité critique, les champs laser et plasma sont plus difficilement séparables car leur fréquence caractéristique est proche.

Dans la jauge de Coulomb, l’équation de Poisson donne

(2.9) ∇²Φ = e

²0

(n−n₀)

En insérant les potentiels dans l’équation d’Ampère, on obtient l’équation d’onde sur A,

(2.10)

µ

∇²− 1 c²

∂²

∂t²

¶

A = en

²0c²v+ 1 c²

∂

∂t∇Φ

On peut également écrire l’équation du mouvement à l’aide des potentiels : µ∂

∂t+v· ∇

¶ p=e

µ

∇Φ + ∂A

∂t −v× ∇ ×A

¶

On exploite maintenant la propriété suivante² :

(v· ∇)(p) =mc²∇γ−v×(∇ ×p)

1On dispose également de la jauge de Lorentz, plus générale pour les problèmes rela- tivistes mais qui n’est pas aussi pratique pour le problème qui nous intéresse. Jauge de Lorentz :∇ ·A+ (1/c²)(∂Φ/∂t) = 0

2Dont la démonstration suit. On utilise tout d’abord la propriété vectorielle bien connue :

∇p²

2 = (p· ∇)p+p×(∇ ×p) =mγ£

(v· ∇)p+v×(∇ ×p)¤

En insérant cette égalité dans l’équation du mouvement, on obtient :

∂

∂t(p−eA) =∇(eΦ−mc²γ) +v×£

∇ ×(p−eA)¤

On prend maintenant le rotationnel de la dernière équation, on obtient

∂

∂t

·

∇ × µ

p−eA

¶¸

=∇ ×v×

·

∇ × µ

p−eA

¶¸

On en conclut que si la quantité∇ ×(p−eA)est nulle à l’instant initial, elle est nulle à tout instant. Or à l’instant initial,vetA sont nulles en l’absence de perturbation. On en déduit l’équation du mouvement simplifiée

(2.11) ∂p

∂t =e∇Φ +e∂A

∂t −mc²∇γ

Le dernier terme représente la force pondéromotrice relativiste.

Normalisation

On normalise les potentiels : φ = eΦ/mc² et a = eA/mc. On utilise de plus u = p/mc =γv/c et γ = (1 +u²)^1/2. On est donc ramené au système d’équations suivant

µ

∇²− 1 c²

∂²

∂t²

¶

a = k_p² nu γn₀ +1

c

∂

∂t∇φ (2.12)

∂n

∂t +c∇ ·(nu/γ) = 0 (2.13)

∇²φ = k_p² µn

n₀ −1

¶ (2.14)

∂u

∂t = c∇(φ−γ) + ∂a (2.15) ∂t

Ces équations sont parfaitement générales et ne nécessitent aucunes hy- pothèses en dehors du plasma fluide et froid. Avec l’équation de continuité, on a un système complet qui permet de résoudre le problème.

On sait également queγ= (1 +_m^p2²c²)^1/2, on a donc

∇γ= 1 m²c²γ∇p²

2

En combinant ces deux dernières équations, on en déduit donc

∇γ= 1 mc²

£(v· ∇)p+v×(∇ ×p)¤ ce qui est bien l’équation que l’on voulait démontrer.

2.2 Résolution dans le cas 1D

Dorénavant, les grandeurs physiques ne dépendent que des paramètres z ett. On a∇=e_z∂/∂z. Dans ce cas, la condition de jauge de Coulomb impose

∇ ·A = 0, ce qui se ramène à A_z = 0. Le champ laser est donc purement transverse : A=A⊥.

2.2.1 Conservation de la quantité de mouvement

On exploite ici l’équation du mouvement (15) dans le cas 1D. En projetant sur l’axe transverse, on montre que le mouvement transverse des électrons est uniquement dû au laser :

(2.16) u⊥=a

Cela a également pour conséquence que l’on peut écrire (2.17) γ = (1−β_⊥² −β_z²)^−1/2 = (1 +a²)^1/2 (1−β_z²)^1/2

En projetant l’équation du mouvement sur l’axe de propagation, on ob- tient

(2.18) ∂(γβ_z)

∂t =c∂(φ−γ)

∂z

2.2.2 Equation de propagation de l’onde laser

Dans le cas monodimentionnel qui nous intéresse ici, a est un champ purement transverse. Il faut donc que le terme de droite de l’équation (12) soit purement transverse. On obtient donc l’équation d’onde en ne considérant que la partie transverse

(2.19)

µ

∇²− 1 c²

∂²

∂t²

¶

a= nk_p² n0γa La partie résiduelle sur l’axe de propagation donne

nk_p²

n₀γu_z =−1 c

∂²φ

∂t∂z

a)

2zR

Lint

impulsion laser

plasma

t1 t2 t3

b)

Fig.2.1 – Changement de référentiel,τ =t,ζ =z−ct. a) cas d’une impulsion longue. b) cas d’une impulsion courte, où ce changement de variables s’avère intéressant.

2.2.3 Référentiel de l’impulsion laser à c

Dans l’interaction en impulsion ultracourte, il est commode d’effectuer un changement de référentiel qui permet de suivre l’impulsion laser. On réalise donc le changement de variable suivant³ :τ =t etζ =z−ct. Ce qui donne

∂

∂t = ∂

∂τ −c ∂

∂ζ

∂

∂z = ∂

∂ζ

∂²

∂t² = ∂²

∂τ² +c² ∂²

∂ζ² −2c ∂²

∂ζ∂τ

∂²

∂z² = ∂²

∂ζ²

Comme on le voit sur la figure 2.1, ce changement de variables est commode quand on utilise des impulsions courtes : il permet de résoudre les équations dans une petite boite (image du bas), contrairement au cas des impulsions longues (images du haut) où on se doit de résoudre le système dans tout l’espacez, t.

On peut réécrire toutes les équations du système dans ce référentiel, on

3On fait ici l’hypothèse d’un plasma sous-dense où l’impulsion se propage à c. Faire intervenir la vitesse de groupe complique considérablement le calcul, voir la section suivante

obtient alors l’équation d’onde suivante : (2.20)

µ2 c

∂²

∂ζ∂τ − 1 c²

∂²

∂τ²

¶

a= nk_p² n₀γa De même, l’équation de Poisson s’écrit simplement

(2.21) ∂²φ

∂ζ² =k_p² µ n

n₀ −1

¶

Et l’équation sur le mouvement longitudinal des électrons ainsi que l’équation de continuité donnent :

∂(γβz)

∂τ = c ∂

∂ζ h

φ−γ(1−βz) i (2.22)

∂n

∂τ = c ∂

∂ζ h

n(1−β_z) i (2.23)

2.2.4 Equation quasistatique de l’onde plasma

Si on fait l’hypothèse que l’enveloppe de l’impulsion laser varie peu durant le temps de transit d’un électron du plasma sous le laser (approximation quasistatique), alors on peut négliger les dérivées en τ dans les équations 2.22. Cela signifie que ∂/∂τ ¿ ∂/∂ζ pour les quantités plasma. A l’arrière de l’impulsion laser on a les quantités plasma (φ, δn etu) qui varient selon

∂/∂ζ ' k_p et sous l’impulsion laser, ∂/∂ζ ' 1/L₀, où L₀ est la longueur de l’impulsion laser. L’impulsion laser et les quantités plasma évoluent au cours du temps selon ∂/∂τ ' 1/τE où τE est le temps d’évolution du laser, typiquement de l’ordre du temps de Rayleigh τ_R=z_R/c

En d’autres termes, l’équation quasistatique implique que L₀/c ¿τ_E et ω_p⁻¹ ¿ τ_E . Cela signifie que la réponse électronique suit de façon statique l’évolution de l’impulsion laser au cours de sa propagation. Cette hypothèse est donc violée pour des impulsions trop longues ou pour des focalisations très fortes (dans le cas d’une autofocalisation dramatique de l’impulsion par exemple).

En appliquant l’approximation quasistatique, l’équation du mouvement longitudinal et l’équation de continuité peuvent être intégrées,

γ(1−βz) = 1 +φ n(1−βz) = n0

En utilisant ces dernières relations ainsi que l’équation 2.17, on peut obtenir une expression pour βz :

β_z = (1−a²)−(1 +φ)² (1−a²) + (1 +φ)²

etn/n0−1 = δn/n0 =βz/(1−βz). En injectant ces équations dans l’équation de Poisson, on obtient l’équation sur le potentiel de l’onde plasma

(2.24) ∂²φ

∂ζ² = k_p² 2

· 1 +a² (1 +φ)² −1

¸

On peut également exprimer la densité plasma en fonction du potentiel :

(2.25) δn

n0

= 1 2

· 1 +a² (1 +φ)² −1

¸

2.2.5 Référentiel de l’impulsion laser à v

En réalité, le laser se propage à la vitesse de groupe v_g 6= c. Il est im- portant de prendre en compte cette vitesse de groupe surtout lorsque l’on s’attaque aux problèmes d’accélération de particules relativistes. La connais- sance précise de v_g est alors nécessaire à la compréhension des déphasage entre onde laser et particules. Notons ici que la vitesse de groupe du laser est aussi égale à la vitesse de phase de l’onde plasma car c’est le laser qui excite la perturbation plasma :v_g 'v_p. Dans la suite, on utilisera la notation v_p.

On réalise donc le changement de référentiel suivant :ξ =z−v_ptetτ =t.

Les formules de changement de référentiel donnent alors :

∂

∂t = ∂

∂τ −vp

∂

∂ξ

∂

∂z = ∂

∂ξ

∂²

∂t² = ∂²

∂τ² +v_p² ∂²

∂ξ² −2v_p ∂²

∂ξ∂τ

∂²

∂z² = ∂²

∂ξ²

La méthode de calcul est la même que celle que nous avons développée dans la section précédente. Les calculs sont légèrement compliqués par la présence du facteurv_p 6=cqui ne se simplifie pas. Après un peu d’algèbre pénible mais sans difficultés particulières, on obtient l’équation sur le potentiel :

(2.26) ∂²φ

∂ξ² =k_p²γ_p²



β_p Ã

1− 1 +a² γ_p²(1 +φ)²

!_−1/2

−1





2.3 Résolution dans le cas 3D, faiblement rela- tiviste

Il est nécessaire d’introduire des hypothèses fortes afin de pouvoir ré- soudre ce problème. Tout d’abord, on suppose que le plasma est fortement sous-dense : ω_p ¿ ω₀. Cette hypothèse permet de décomposer les grandeurs en une partie haute fréquence (ω₀) et basse fréquence (ω_p). En particulier, on a a=arap, u=urap+ulent, φ=φlent etn =nlent.

Ensuite, on se place dans le cas faiblement relativiste : a² ¿1etδn/n¿ 1. On va donc linéariser les équations (12) à (15) en fonction du petit para- mètre a. On a également γ = 1 +δγ, n = n0 +δn et φ = δφ (car φ = 0 si δn= 0). Comme on le verra par la suite, les perturbations du plasma δn/n₀ etφ sont d’ordre a².

2.3.1 Equation sur l’onde plasma

L’équation du mouvement peut donc être séparée en une partie rapide et une partie lente. Cela donne donc

(2.27) u_rap =a

et

(2.28) ∂ulent

∂t =c∇(φ− hγi)

où hγi signifie que γ est moyenné sur les hautes fréquences. On a donc en linéarisant par rapport à u : hγi ' 1 +hu²_rapi/2 + u²_lent/2. Comme on le démontrera à posteriori, u_lent est d’ordre a² et peut donc être négligé. On a donc hγi '1 +ha²i/2 et

(2.29) ∂u_lent

∂t =c∇φ−c∇ha²i 2

où ∇^ha₂²ⁱ représente la force pondéromotrice dans le régime faiblement rela- tiviste.

L’équation de continuité linéarisée donne

(2.30) ∂

∂t δn

n₀ +c∇ ·u_lent = 0 L’équation de Poisson donne toujours

(2.31) ∇²φ=k_p²δn/n₀

En dérivant l’équation 2.30 par rapport au temps et en insérant les équa- tions 2.31 et 2.28, on obtient l’équation sur l’onde plasma :

(2.32) ∂²

∂t² δn

n₀ +c∇ ·

µ∂u_lent

∂t

¶

= ∂²

∂t² δn

n₀ +c²∇²φ−c²∇²ha²i 2

Ce qui donne finalement (2.33)

µ∂²

∂t² +ω_p²

¶δn

n₀ =c²∇²ha²i 2

L’équation sur le potentiel est donc : (2.34)

µ ∂²

∂t² +ω_p²

¶

φ =ω_p²ha²i 2

On voit donc bien ici que δn/n₀ et φ sont d’ordre a². Et par le biais de l’équation 2.28, on vérifie donc que u_lent est également d’ordre a².

Equation quasistatique

En se plaçant dans le référentiel de l’impulsion (τ = t, ζ = z −ct), on obtient l’équation suivante pour l’onde plasma

(2.35)

µ ∂²

∂τ² +c² ∂²

∂ζ² −2c ∂²

∂τ ∂ζ +ω²_p

¶

φ=ω²_pha²i 2

Si l’on fait l’approximation quasistatique, on peut éliminer les termes en

∂/∂τ, et on retrouve l’équation (2.36)

µ ∂²

∂ζ² +k²_p

¶

φ=k²_pha²i 2

2.3.2 Equation de l’onde laser

On ne garde ici que les termes qui oscillent à la fréquence laser dans l’équation 12. Les termes en ulent et φ disparaissent donc. On utilise de plus u_rap =a_rap et on obtient

µ

∇²− 1 c²

∂²

∂t²

¶

a=k²_p n γn₀a En linéarisant γ etn, on obtient

(2.37)

µ

∇²− 1 c²

∂²

∂t²

¶

a=k²_p µ

1 + δn n0

−ha²i 2

¶ a Ce qui donne dans le référentiel de l’impulsion

(2.38)

µ

∇²_⊥+2 c

∂²

∂τ ∂ζ − 1 c²

∂²

∂τ²

¶

a=k²_p µ

1 + δn

n₀ − ha²i 2

¶ a Remarquons ici que les termes nonlinéaires sont d’ordre a³. Développement et approximation paraxiale

On suppose maintenant que l’onde laser est décrite par l’expressiona(ζ, τ) = e^ik0ζa(ζ, τˆ )/2 + c.c., avecζ =z−ctetk₀ =ω₀/cest le vecteur d’onde dans le vide. Iciaˆest l’enveloppe du vecteur potentiel moyenné sur la fréquence laser.

En développant l’équation 2.38, on obtient l’équation d’enveloppe suivante (2.39)

µ

∇²_⊥+2 c

∂²

∂τ ∂ζ + 2ik0

∂

∂cτ − 1 c²

∂²

∂τ²

¶ ˆ a=k²_p

µ

1 + δn n₀ −aˆ²

4

¶ ˆ a On peut alors supprimer certains des termes de l’opérateur de gauche si on fait l’hypothèse que ˆa varie lentement au cours de la propagation. Ainsi l’approximation quasi-paraxiale, pour laquelle ∂²a/∂τˆ ² ¿ω₀∂ˆa/∂τ, conduit à l’équation simplifiée

(2.40)

µ

∇²_⊥+ 2 c

∂²

∂τ ∂ζ + 2ik₀ ∂

∂cτ

¶ ˆ a=k_p²

µ

1 + δn n₀ − ˆa²

4

¶ ˆ a

L’approximation paraxiale reprend l’hypothèse du dessus en ajoutant l’hy- pothèse de l’envelope lentement variable (par rapport à la fréquence laser) :

∂ˆa/∂ζ ¿ω₀/cˆa. Cela conduit à l’équation paraxiale (2.41)

µ

∇²_⊥+ 2ik0 ∂

∂cτ

¶ ˆ a=k²_p

µ

1 + δn n₀ − ˆa²

4

¶ ˆ a

2.3.3 Faisceaux Gaussiens

Lorsque le faisceau se propage dans le vide, le membre de droite de l’équa- tion 2.40 est nul est on retrouve l’équation paraxiale bien connue

(2.42)

µ

∇²_⊥+ 2ik0 ∂

∂cτ

¶ ˆ a= 0

Les solutions de cette équation sont les faisceaux Gaussiens (2.43) a(ζ, τ, r) =ˆ a₀(ζ) w₀

w(τ)exp h

− r²

w²(τ) +i k₀r²

2R(τ) +iθ(τ) i

oùw₀ est le "waist du faisceau", c’est-à-dire son rayon à1/e² en intensité au point de focalisation.w(τ)etR(τ)sont respectivement le rayon du faisceau et la courbure du front d’onde. Ces valeurs varient au cours de la propagation et sont donc fonction deτ. Le terme de phase θ(τ)est appelé la phase de Guoy et subit un changement de signe lors du passage par le foyer. Finalement, z_R = k₀w₀/2 est la longueur de Rayleigh et définit la longueur sur laquelle l’intensité laser passe de I_max à I_max/2. Cette longueur est donc capitale car elle témoigne de la façon dont la diffraction a tendance à défocaliser l’impulsion laser et ne permet l’interaction laser-plasma à haut flux que sur une longueur limitée. On a également :

w(τ) = w₀

³

1 + c²τ² z_R²

´_1/2

R(τ) = cτ + z_R² cτ

θ(τ) = −tan⁻¹(cτ /zR)

2.3.4 Equation d’enveloppe : autofocalisation relativiste

Plutôt que de résoudre l’équation paraxiale qui donne l’évolution de l’en- veloppe ˆa au cours de la propagation, on cherche ici à obtenir une équation sur le rayon de l’impulsion w(τ). On peut déterminer le comportementw(τ) du faisceau dans un plasma si on fait l’hypothèse que le faisceau reste Gaus- sien. En particulier, on cherche ici, à comprendre la réponse du laser aux termes nonlinéaires du membre de droite de 2.40. On va donc faire l’hypo- thèse d’un faisceau Gaussien et on regarde près de l’axe : r²/w² ¿ 1, on regroupe les termes enr⁰ et enr². Le calcul, assez pénible, permet d’obtenir une équation différentielle sur le rayon du faisceauw.

Pour résoudre le problème de l’autofocalisation relativiste, on néglige le terme nonlinéaire en δn/n0. Physiquement, cela signifie que l’impulsion est suffisamment longue devant la période plasma (ω_pτ₀) de sorte que la force pondéromotrice n’excite pas efficacement d’onde de sillage. En réalisant le développement indiqué ci-dessus dans l’équation 2.40, on obtient ainsi :

(2.44) ∂²(w/w₀)

∂c²τ² = w₀³ z_R²w³

³ 1− P

Pc

´

oùP est la puissance du laser etP_cest appelée la puissance d’autofocalisation relativiste, qui s’exprime en GW comme suit

P_c[GW] = 17w²₀ w²_p

L’équation 2.44 a donc une signification physique claire : lorsque P = 0, le terme de droite est positif et la diffraction domine la propagation du faisceau.

Lors queP =P_c, le terme de droite s’annule et il est possible de trouver des conditions pour lesquellesw= cste, c’est à dire que le faisceau est autoguidé.

2.4 Indice de refraction d’un plasma relativiste

En prenant la transformée de Fourier de l’équation 2.37, on obtient l’équa- tion de dispersion en 3D faiblement relativiste :

(2.45) ω²

c² −k²₀ =k_p² µ

1 + δn

n₀ − ha²i 2

¶

On en déduit donc la vitesse de phase v_ϕ =ω/k (pour ω₀ Àω_p)

(2.46) v_ϕ 'c

· 1 + 1

2 ω_p² ω₀²

µ

1 + δn

n₀ − ha²i 2

¶¸

et la vitesse de groupe v_g =∂ω/∂k

(2.47) v_g 'c

· 1 + 1

2 ω_p² ω₀²

µ

1−δn n0

− ha²i 2

¶¸

et finalement l’indice de réfraction η=c/vϕ

(2.48) η'

· 1− 1

2 ω_p² ω₀²

µ

1 + δn

n₀ −ha²i 2

¶¸

δn/n

a0

compression

tirement tirement

ψ/λp vg

0 1 2

0 1 2

0 1 2

Fig. 2.2 – Principe de l’instabilité Raman avant.

Pour finir, notons que l’équation de dispersion 1D, dans le cas pleinement relativiste, conduit à l’indice de réfraction suivant :

(2.49) η=

·

1− ω_p² γω²₀

µ

1 + δn n₀

¶¸1/2

2.4.1 Exemple de nonlinéarité : instabilité Raman

Comme on le voit dans l’expression de l’indice du plasma, l’indice est nonlinéaire, ce qui signifie qu’il dépend de l’amplitude de l’onde laser, de façon directe à travers le termeha²i, et de façon indirecte à travers le termeδn/n₀ (dont l’amplitude dépend également dea). Ces nonlinéarités peuvent donner naissance à de nombreux effets nonlinéaires. Les dépendances transverses, a(r) et δn(r) donnent lieu à des effets nonlinéaires bidimensionnels tels que l’autofocalisation relativiste. Les dépendances longitudinales a(ζ) et δn(ζ) donne lieu à des effets nonlinéaires monodimensionnels tels que l’instabilité Raman, l’auto-modulation de phase.

La figure 2.2 illustre le mécanisme de génération de l’instabilité Raman avant : une impulsion laser se propage dans un milieu contenant une onde plasma. La présence de l’onde plasma perturbe localement la vitesse de

−2 0 2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

I (u. a.)

−20 0 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2 0 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2 0 2

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

(z−vgt)/(cτ)

δ n/n

−2 0 2

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

−2 0 2

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

instant initial instant final

k₀,ω₀ + k_d, ω_d

k_p,ω_p

battement

Fig.2.3 – Amplification de l’onde plasma et modulation de l’impulsion laser dans l’instabilité Raman avant.

groupe du laser v_g et produit donc des zones de ralentissement et des zones d’accélération. L’enveloppe laser se retrouve donc modulée à la fréquence plasma ω_p. La force pondéromotrice de cette enveloppe modulée peut alors amplifier de façon résonante l’onde plasma. Ceci conduit au final à une onde plasma de forte amplitude et à une impulsion laser modulée àω_p. Le taux de croissance de cette instabilité est donné par

(2.50) δn

n₀ =δ0

e^{2γ0(τ ζ/c)1/2}

£4πγ₀(τ ζ/c)^1/2¤_1/2

avecγ0 = ^√a0₈^ω_ω^2p₀.δ0 est la perturbation de densité initiale dans le plasma. Elle peut être dûe à la force pondéromotrice du laser ou bien aux fluctuations naturelles de la densité du plasma.

Pour conclure, cette instabilité peut s’avérer fort utile dans le contexte des accélérateurs laser-plasma car elle permet de générer une onde plasma de forte amplitude sans utiliser une impulsion résonante (c’est-à-dire dont la durée d’impulsion est proche de la période plasma). Une telle onde plasma peut être utilisée par la suite pour accélérer des particules. Les premières expériences d’accélération laser plasma utilisaient ce phénomène pour générer des faisceaux d’électrons.

Fig.2.4 – Schéma montrant la courbure du front d’onde dûe aux différentes vitesses de phase dans l’autofocalisation relativiste

2.4.2 Démonstration heuristique de l’autofocalisation re- lativiste

On veut établir de façon heuristique l’équation d’enveloppe d’un faisceau gaussien 2.44. On calcule d’abord le terme dû à la diffraction : sachant que w=w₀(1 +c²τ²/z²_R)^1/2, on peut calculer d²w/dτ², ce qui donne

d²w c²dτ² = w0

z_R² Ã

1 + c²τ² z_R²

!_−1/2

−w₀c²τ² z_R⁴

Ã

1 + c²τ² z_R²

!_−3/2

On fait l’hypothèse que l’on ne regarde que ce qui se passe autour du foyer cτ /z_R¿1. On ne garde donc que les premiers ordres de l’équation ci-dessus :

d²w c²dτ²

¯¯

¯dif f = w₀

z_R² = 4c² ω₀²w₀³

On s’intéresse maintenant à la partie focalisante dûe à l’autofocalisation relativiste. Comme le montre la figure 2.4, au waist le front d’onde est plan mais lorsque l’impulsion laser se propage, le front d’onde se courbe car la vitesse de phase sur l’axe est différente de la vitesse de phase hors de l’axe.

Cela vient de la dépendance radiale de ha²i dans l’équation sur la vitesse de phase. En particulier, après une propagation pendant δτ le front se courbe en faisant un angle θf oc

θ_{f oc} =δτvϕ1 −vϕ0

w₀

avecvϕ1 =c(1 +ω_p²/2ω₀²)etvϕ0 =c[1 +ω²_p/2ω₀²(1−a²₀/4)]. Le rayon du laser diminue et varie donc selondw/cdτ =−θ_{f oc}. Le terme focalisant s’écrit donc

d²w c²dτ²

¯¯

¯f oc=−v_ϕ1 −v_ϕ0

w₀ = ω²_p 8ω₀²w₀a²₀

Et finalement, l’équation d’enveloppe est obtenue en ajoutant les termes dûs à la diffraction et à l’autofocalisation, ce qui donne

d²w/w₀ c²dτ² = 1

z_R² Ã

1− k_p²w₀²a²₀ 32

!

Ce qui est équivalent⁴ à l’équation 2.44 avec P/P_c =k_p²w²₀a²₀/32.

2.5 Résolution du cas particulier d’une impul- sion gaussienne 3D

On se propose ici de calculer analytiquement le champ de sillage généré par une impulsion gaussienne dont l’enveloppe est donnée par :

(2.51) ˆa²(r, ζ) = a²₀exp(−ζ²/L²₀) exp(−r²/σ²)

où ζ =z−ct, L₀ =cτ est la longueur de l’impulsion, σ =w₀/√

2, w₀ étant le waist de l’impulsion gaussienne. Pour une polarisation linéaire selon x, le vecteur potentiel normalisé de cette impulsion s’écrit alors

(2.52) a= ˆa²(r, ζ) cos(k₀ζ)e_x On rappelle que a est solution de l’équation 2.36 :

µ ∂²

∂ζ² +k_p²

¶

φ=k_p²ha²i 2

On est donc amené à calculerha²i, c’est-à-dire la moyenne deasur la période laser⁵.

ha²i= 1 T₀

Z _T0/2

−T0/2

ˆ

a²cos²(z−vgt)dt' ˆa² 2 Si l’on admet que ˆa varie peu sur une période laser.

On doit donc résoudre l’équation différentielle suivante : (2.53)

µ ∂²

∂ζ² +k_p²

¶

φ=k_p²ˆa² 4

4Notons que la constante 1/32 n’est pas correcte car il ne s’agit là que d’un calcul approché.

5Dans le cas d’un laser polarisé circulairement, on aurait : a = ˆa²(r, ζ)(cos(k0ζ)ex+ sin(k0ζ)ex). Et la moyenneha²i= ˆa²

La solution de l’équation 2.53 qui s’annule en ζ = +∞ (pas de perturba- tion avant l’impulsion laser) est donnée par :

(2.54) φ(r, ζ) =−k_p 4

Z _+∞

−ζ

ˆ

a²sin[kp(ζ−ζ⁰)]dζ⁰

De plus, on s’intéresse ici à la perturbation derrière l’impulsion (ζ < 0).

Or ˆa² = 0 derrière l’impulsion, on est donc ramené à résoudre l’intégrale suivante :

I =

Z _+∞

−∞

ˆ

a²sin[k_p(ζ−ζ⁰)]dζ⁰

= sin(k_pζ) Z _+∞

−∞

ˆ

a²cos(k_pζ⁰)dζ⁰−cos(k_pζ) Z _+∞

−∞

ˆ

a²sin(k_pζ⁰)dζ⁰ La fonction ˆa² est paire en ζ, la deuxième intégrale s’annule donc (le sinus étant une fonction impaire). On est donc ramené à la première intégrale qui n’est autre que la tranformée de Fourier de ˆa² :

I =e^−r2/σ2 × Z _+∞

−∞

a²₀e^−ζ02/L20e^ikpζ0dζ⁰ =√

πa²₀L₀exp(−k²_pL²₀/4) exp(−r²/σ²) ce qui donne les résultats suivants pour le potentiel :

(2.55) φ=−√

πa²₀k_pL₀

4 e^−k2pL20/4e^−r2/σ2sin(k_pζ) Pour trouver les champs électriques on utilise

E E0

=−1 kp

∇φ =− 1 kp

µ e_z ∂

∂ζ +e_r ∂

∂r

¶ φ On en déduit pourζ <0

(2.56) E_z

E0

=√

πa²₀k_pL₀

4 e^−k2pL20/4e^−r2/σ2cos(k_pζ) et pour le champ radial

(2.57) Er

E₀ =−√ πa²₀

2 e^−kp2L20/4L0r

σ² e^−r2/σ2sin(kpζ) oùE0 =mecωp/e est le champ de déferlement en plasma froid.

Puis en utilisant l’équation de Poisson, on a δn

n0

=− 1 kpE0

µ∂E_z

∂ζ +1 r

∂(rE_r)

∂r

¶