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STRUCTURE SPATIO-TEMPORELLE D’UNE
TURBULENCE FAISCEAU-PLASMA ET DIFFUSION
DES PARTICULES
D. Grésillon, F. Doveil, T. Mantei
To cite this version:
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C l , supplément au n° 1, Tome 37, Janvier 1976, page Cl-105
STRUCTURE SPATIO-TEMPORELLE
D'UNE TURBULENCE FAISCEAU-PLASMA
ET DIFFUSION DES PARTICULES
D. GRÉSILLON, F. DOVEIL ET T. D. MANTEI Laboratoire PMI (*), Ecole Polytechnique, 91120 Palaiseau, France
Résumé. — Les conditions particulières d'analyse et de développement d'une turbulence dans un plasma sans collision sont examinées. La turbulence créée par le passage d'un faisceau d'ions de vitesse proche de celle des ondes acoustique-ionique est étudiée expérimentalement. Les observations portent sur les fonctions de corrélation du potentiel fluctuant, en espace et en temps d'une part, et sur la distribution de probabilité des vitesses d'autre part. Chacune de ces mesures montre que la turbulence produit un pseudo-chauffage important des particules de vitesse voisine de celle des ondes acoustiques ioniques.
Abstract. — The peculiarities of turbulence in a collisionless plasma are briefly examined. The turbulence excited by an ion beam of velocity close to the ion acoustic speed, is experimentally observed. Observations are made of the fluctuating potential space and time correlation functions, and of the velocity probability distribution. Each of these measurements shows a strong
pseudo-heating for particles moving with a velocity close to the ion acoustic waves speed, due to the
turbu-lence.
1. Introduction. — Les forces coulombiennes qui caractérisent les interactions entre les particules char-gées d'un plasma modifient les échelles habituelles à la mécanique des fluides. En effet, les longueurs et temps de collision (définis pour une déviation à 90° d'une vitesse initiale dirigée), deviennent beaucoup plus grands que les longueurs et temps d'interaction collec-tives (qui sont la longueur de Debye et la période plasma). Des fluctuations, de densité par exemple, pourront donc apparaître et réagir entre elles sur ces échelles collectives, sans qu'un équilibre thermodyna-mique s'établisse entre les particules. En particulier, la distribution de probabilité des vitesses (ou fonction de
distribution) peut être quelconque, très éloignée d'une
gaussienne, et sa forme varier avec le temps et la position.
L'état d'un plasma peut donc être caractérisé par deux fonctions. D'une part, cette distribution des vitesses/(v, r, t), fonction de point et du temps. Cette fonction contient comme moments, les grandeurs usuelles de densité, vitesse moyenne, variance autour de la vitesse moyenne, etc.. Et d'autre part, le champ électrique de charge d'espace E(r, /) qui résulte des fluctuations de / . Ce champ dérive d'un potentiel
<P(T, t) (et donc, E est irrotationnel). Le champ réagit à
son tour sur la fonction de distribution en modifiant les trajectoires des particules chargées.
On possède ainsi deux équations couplées entre ces deux fonctions [1] :
(*) Groupe de recherche du C. N. R. S.
— l'équation de Vlasov :
f
+ v
. ^
+
^.f
= 0
(1)
ot or ms o\
qui exprime la conservation des particules le long d'une trajectoire sans collision. Cette équation doit être en fait écrite pour chacun des deux types de particules formant le plasma (s = e, i, électrons ou ions positifs).
— et l'équation de Poisson :
La première de ces équations, par son troisième terme, est non linéaire. Au prix d'une hypothèse restrictive qui permet de linéariser, le couple d'équa-tions (1) et (2) peut apporter deux informad'équa-tions impor-tantes, sur la stabilité d'un système donné, et sur les corrélations spatio-temporelles des fluctuations qui y apparaissent. Partant en effet d'une fonction / homo-gène et stationnaire, et en se restreignant à des champs
E faibles, l'éq. (1) peut être linéarisée :
f i +
v. f i +
h*
. ^
= Qôt or ms ô\
où la fonction^ a été décomposée en partie stationnaire et homogène, et en partie fluctuante :
/s(v,r, t) =/s o(v) + /8 l( v , r , f ) .
Le couple d'équations linéaires (2) et (3) est alors soluble par la méthode de transformation de Fourier
Cl-106 D. GRÉSILLON, F. DOVEIL ET T. D . MANTE1 (en espace) et de Laplace (en temps) 121. Il fournit une
relation entre nombre d'onde k et pulsation :
qui est la relation de dispersion.
Pour un nombre d'onde k donné, w solution de (4) est en général complexe. Suivant le signe de sa partie imaginaire, la fluctuation associée est amortie (système stable), ou amplifiée (instabilité). C'est la première information obtenue par (4). En outre, la relation (4) pourra continuer d'être valable dans un système fai- blement instable ou faiblement non linéaire : la densité spectrale des fluctuations S(o, k) est alors une ligne de crête dont la projection sur le plan (o, k) satisfait la relation de dispersion. Les corrélations spatio-tempo- relles seront donc caracteristiques des modes propres (4), plutôt que du mouvement d'ensemble du milieu. 2. Instabilité faisceau d'ions-plasma. - Lorsque les
populations électroniques et ioniques d'un plasma sont proches d'un équilibre thermique caractérisé par des temperatures Te et
Ti,
(4) possède une solution [3] d'ondes de basse fréquence (inférieure ou voisine de la fréquence plasma ionique) et peu dispersives, dont la vitesse de phase est voisine de :Ce sont les ondes acoustiques ioniques, peu amorties lorsque Tc > Ti et dont la vitesse est alors supérieure aux vitesses thermiques des ions.
Si on ajoute à ce plasma un faisceau de particules chargées, de vitesse v, voisine de C,, les ondes ioniques deviennent instables [4]. (Il en est de même si, au lieu d'un faisceau, les électrons ont une vitesse moyenne par rapport aux ions [3], cas du passage d'un courant.) Les fluctuations naturelles du champ électrique peuvent ainsi croître jusqu'à des niveaux importants, qui perturbent les trajectoires des particules et modifient la fonction de distribution. Deux types principaux de fluctuations peuvent être attendus en présence d'un faisceau d'ions [5] :
- lorsque u,
=
Cs : les vecteurs d'ondes les plus instables sont parallèles à v,. Le spectre de fluctuations doit être unidimensionnel, et le champ fluctuant E est parallèle à v,. Ce champ peut donc accélérer ou freiner les particules du faisceau, et élargir sa distribution des vitesses parallèIes à v,.- lorsque u, > Cs : les vecteurs d'ondes parallèles à Y, ne sont plus instables, mais il apparaît un phéno-
mène d'émission Cerenkov : sont instables les vecteurs d'ondes dans la direction 8 telle que la projection de la vitesse du faisceau soit égale à Cs, i. e. :
cos 6, = C,/u, (6) le spectre de fluctuations doit être alors tridimension- nel, et le champ E oblique par rapport à v,. Ce champ peut alors dévier les particules du faisceau, et élargir sa
distribution dans la direction perpendiculaire à son mouvement initial.
En présence de ces fluctuations de champ. on peut exprimer les perturbations de trajectoires subies par les particules. Partant des équations du mouvement
la variance de la vitesse (autour de la vitesse initiale) et de position (autour de la trajectoire libre x = vt)
deviennent :
où T , est le temps de corrélation déduit de la fonction
de corrélation du champ dans les coordonnées lagran- giennes. La dispersion de position croît donc très vite coinme la dispersion longitudinale dans un écoulement fluide en cisaillement [6].
3. Expérience. - 3 . 1 DISPOSITIF. - Nous avons envoyé un faisceau d'ions dans un plasma de labora- toire, et étudié la turbulence naturelle créée par ce système instable. Dans une enceinte en très bon vide, de l'argon est introduit à une pression de 4 x
torr (Fig. 1). Le plasma est entretenu en permanence,
FIG. 1. Dispositif « Multipole Double-Plasma ». 1. Fila- ment ; 2. Barres d'aimant ; 3. Grille.
TURBULENCE FAISCEAU-PLASMA par une grille plane (de plan perpendiculaire à l'axe
de la colonne) et transparente. La maille de cette grille est de 0,4 mm, dimension inférieure aux échelles des fluctuations. Cette grille est polarisée négativement, pour isoler les électrons des deux demi-plasmas, mais transparente aux ions. En polarisant négativement la paroi d'un des demi-plasmas (plasma-cible), les ions venant à travers la grille de l'autre demi-plasma (le plasma source) sont accélérés et entrent sous la forme d'un faisceau de vitesse variable suivant la polari- sation [7].
La fonction de distribution des vitesses des ions peut être observée à l'aide d'un analyseur d'énergie (par potentiel retardateur). Les fluctuations sont mesurées avec deux sondes, sphères métalliques de 0,7 mm de diamètre portées par des tubes capillaires. En polarisant positivement ces ondes, on collecte un courant d'électrons, proportionnel à la densité élec- tronique locale. La vitesse très grande des électrons par rapport aux vitesses des fluctuations, permet de satisfaire à l'équilibre statique avec le potentiel :
lorsque les fluctuations de potentiel @ sont faibles par rapport à la température, on a une relation linéaire :
-
entre les fluctuations de densité électronique n, et le potentiel. Chacune des deux sondes mesure donc les fluctuations locales de potentiel. Ces fluctuations ont un spectre de fréquence qui va de 50 à 500 kHz.Les signaux recueillis sur chacune des deux sondes sont envoyés sur chacune des entrées d'un corrélateur. Une sonde est mobile le long de l'axe O Z (parallèle à la vitesse du faisceau), l'autre transversalement le long de OX.
3 . 2 TURBULENCE PLANE. - Lorsqu'un faisceau de
vitesse voisine de C, est envoyé dans le plasma, on observe une turbulence se développant, à partir de la grille, le long de l'axe du faisceau. Le niveau de fluc- tuation de densité relative croît depuis 5 x à 4 x sur une distance de 4 cm, puis décroît ensuite lentement. En déplaçant la sonde axiale, pour différentes positions de la sonde radiale, la fonction de corrélation spatiale (7 = 0) [5] a la forme d'un paquet d'oscillations le long de OZ, uniforme et répétitif quelle que soit la coordonnée transverse X, corres- pondant à un spectre d'ondes planes de vecteurs d'onde orientées selon O Z .
Dans ces conditions de turbulence plane, nous avons mesuré la corrélation spatio-temporelle (Fig. 2). La voie de mesure de la sonde axiale est retardée d'un temps .r (O à 24 ps, par pas de 2 ps), et pour chaque valeur de 7 la sonde axiale est déplacée suivant O Z . On
observe un déplacement du maximum de corrélation vers les Z négatifs, lorsque r augmente, correspondant à
FIG. 2. - Corrélation spatio-temporelle
<
AB>
entre deuxsondes en fonction de leur séparation Z pour différentes valeurs du retard t dans la voie A. Vitesse de plasma v, = 103 m/s.
un déplacement du front d'onde dans la direction
Z > O du faisceau. La vitesse de ce déplacement correspond à la vitesse des ondes instables acoustiques ioniques prévues par I'éq. (4), vitesse inférieure à la vitesse du faisceau. A partir de cette figure, on peut mesurer des temps de corrélation 7, (eq. (9)), le long
de trajectoires linéaires (non perturbées par le champ). Ce temps est très long ( - 20 11s) pour des particules de vitesse voisine de celle de l'instabilité (les particules
vésonantes), court pour les particules non résonnantes
(0,2 ps pour des particules immobiles). Une diffusion importante de vitesse (éq. 9) est donc attendue pour les particules r i 'sonan tes.
C'est ce qu'on observe sur la figure 3 (a et b). La fonction de distribution des ions selon leur vitesse parallèle au faisceau, est mesurée à différentes distances, depuis la source et par pas de 5 mm (Fig. 3a). Deux pics sont observés à la distance origine, l'un correspon- dant aux particules du plasma cible, de vitesse moyenne nulle, l'autre au faisceau d'ions injecté. Le pic corres- pondant au faisceau disparaît et se fond avec le pic
plasma. Deux effets font disparaître ce pic : d'une part, la diffusion par les fluctuations, mais aussi un effet stationnaire dû à un gradient positif de densité du plasma source, qui augmente l'intensité du pic plasma, et déplace le pic vers la droite.
Pour isoler I'efet de diffusion turbulente de l'effet de gradient, nous avons marqué les particules du fais-
ceau, en modulant leur énergie par une faible amplitude et à basse fréquence (inférieure aux fréquences de fluctuation). La détection synchrone de cette fréquence sur l'analyseur d'énergie donne directement la fonction de distribution des particules du faisceau [8]. Cette fonction est tracée sur la figure 3b, pour les mêmes
conditions que la figure 3a. Partant d'une distribution symétrique à l'origine, on constate un net élargissement
O 1
,
60 2 3 V (eV)
FIG. 3a.
-
Distribution d'énergie f (V)des ions du plasmaet dufaisceau en fonction de l'énergie V, à différentes positions axiales
2. L'Cnergie correspondante à la vitesse de phase est indiquée
par une flèche.
FIG. 36. - Distribution d'énergie f(V) des ions du faisceau en
fonction de l'énergie V 9 différentes positions axiales 2.
Pour compléter le portrait de ce type de turbulence, nous avons également mesuré sur la figure 4, la proba- bilité d'amplitude des fluctuations de densité mesurées sur une des sondes (qui sont également des fluctuations de potentiel par l'éq. (12)). Cette mesure a été faite à
M
FIG. 4. - ProbabilitC d'amplitude P(n/no) des fluctuations rela-
,.,
tive en fonction de nlno.
l'aide d'un convertisseur digital-analogue rapide, connecté à un mini-ordinateur [9]. A la variance près due au nombre d'échantillons (2024), cette probabilité est gaussienne.
3 . 3 TURBULENCE OBLIQUE.
-
Lorsqu'on augmente la vitesse du faisceau, la direction du vecteur d'onde le plus instable devient oblique, et la fonction de corré- lation spatiale ( r = 0) n'est plus homogène dans la direction radiale [IO].La transfourier en espace de cette corrélation spa- tiale, donne la densité spectrale. En tenant compte de la symétrie azimuthale du problème, cette trans- fourier s'exprime :
TURBULENCE FAISCEAU-PLASMA Cl-109 est donc caractéristique de composantes d e champs
électriques perpendiculaires a la direction du faisceau. Ces composantes peuvent dévier les particules de leur direction initiale.
3. Conclusion. - Le développement d'une instabi- lité peut donc conduire à des niveaux importants d e fluctuations du champ électrique, qui modifient en retour la fonction de distribution dans le sens d'un adoucissement de sa forme, par diffusion rectiligne (turbulence plane) ou par isotropisation (turbulence oblique). Les variances, estimées par (9) e t
(IO),
de vitesse et de position, pour des particules résonantes,deviennent supérieures aux valeurs moyennes (v,, et x,
+
v, t respectivement) pour des temps de I'ordre'du temps de corrélation (mesuré en coordonnées eulé- riennes sur la trajectoire moyenne). Il existe donc un effet d e chaufSage par cette turbulence. O n peut en outre remarquer que, alors même que des niveaux importants de non-linéarité sont atteints, les modes linéaires restent expérimentalement caractérisés dans la corrélation spatio-temporelle.Remerciements. - Nous voudrions remercier
MM. M. Weinfeld et F. Ernoult pour l'utilisation de leur système d'analyse des signaux.
Bibliographie [Il DELCROIX, J. L., Physique des Plasinas, T. 1 (Dunod, Paris)
1963, p. 181.
[2] LANDAU, L., J. Phys. Moscow 10 (1946) 25.
131 FRIED, B. D. et GOULD, R. W., Ph-vs. Fluids 4 (1961) 139. [4] FKIED, B. D. et WONG, A. Y., Phys. Fluids 9 (1966) 1084. [5] GRÉSILLON, D., DOVEIL, F. et Buzzi, J. M., Phys. Rev. Lett.
34 (1 975) 197.
[6] TENSEKES, H. et LUMLEY, J. L., A j h t course in lurbuletlce
(MIT Press, Cambridge, Mass.) 1972.
[7] TAYLOR, R. J., MACKENZIE, K. R. et IKEZI, H., Rev. Sei.
Insirrim. 43 (1972) 1675.
[8] BARRETT, P. J., GKESILLON, D. et WONG, A. Y., Proc. of the 3rd Internat. Conf. on Quiescent Plasmas (Riso Report no 250, Danish AEC, Riso-Roskilde, Denmark) 1971, p. 290.
[9] ERNOULT, F., Rapport PMI 686 (Laboratoire PMI, Ecole Polytechnique, Palaiseau, France 1975).
