3 = 3 1, l'objet

illustration de quelques onepts

et outils mathématiques

Jean-Pierre Demailly

Institut Fourier, Université de Grenoble I

Conférene donnée le jeudi 15 mai dans la adre du module du Collège Dotoral UJF

Du haos à la omplexité : vers l'émergene d'une thématique pluridisiplinaire

(Maison des Sienes de l'Homme,du mardi 13 mai au jeudi 15 mai 2008).

(Version du 25 mai 2008)

La dimension d'un espae (ensemble de points dans lequel on se plae) est lassique-

ment le nombre de oordonnées néessaires pour repérer un point de et espae. C'est

donaprioriunnombre entier. Onvaintroduireiiunenotionplusgénérale,quionduit

à des dimensions non néessairement entières.

Objet de dimension 1

× 3

× 3 ¹

Par une homothétiede rapport 3, la mesure (longueur)est multipliée par

3 = 3 ¹

^{, l'objet}

résultant ontient 3 fois l'objet initial. La dimensiond'un segment est

1

^.

Objet de dimension 2

× 3

× 3 ²

Par une homothétie de rapport 3, la mesure (aire) de l'objet est multipliée par

9 = 3 ²

^,

l'objet résultant ontient 9 fois l'objet initial. La dimension du arréest

2

^.

En généralisant, pour un objet de dimension

d

^{, l'eet d'une homothétie de rapport}

3

^est

de multiplier la mesure par

3 ^d

^.

Qu'en est-il d'un ensemble fratal ?

Prenons l'exemple

de la ourbe de Koh

(ou oon de neige)

obtenue par itération

du proédé i-ontre

−→

× 3

Parunehomothétiede rapport

3

^{, l'objetdevientun objet denatureidentique, ontenant}

4

^{moreaux de même taille que l'objet initial, don de mesure 4 fois plus grande. Cei}

onduit à poser

3 ^d = 4 = ⇒ d = ln 4

ln 3 = 1.26185950714 . . .

Il nous faut admettre ii que la dimension n'est pas un entier, mais un nombre ompris

stritement entre

1

^et

2

^!

Il est faile de voir d'autre part que la longueur de la ourbe de Koh est innie : à

haque itération, la longueur est multipliée par

4/3

^{, don si le segment initial est pris}

pour unité,lalongueurdela

n

^{-ièmeitérationest}

(4/3) ⁿ

^{, equi tendversl'inni. D'autre}

part, l'aire est nulle. En eet, par réurrene sur le nombre d'itérations, on voit que

la ourbe de Koh est entièrement ontenue dans le triangle isoèle ayant pour base le

segment initial et une hauteur égale à

√ 3/6

^{fois ette base. Comme la}

n

^{-ième itération}

déoupe dans la ourbe de Koh

4 ⁿ

^{parties dont la taille est} homothétique à la ourbe toute entière dans le rapport

3 ⁻ⁿ

^{, elle-i est ontenue dans une réunion de}

4 ⁿ

^petits

triangles d'aire

√ 3/12 × (3 ⁻ⁿ ) ²

^{, soit une aire totale}

√

3/12 × 4 ⁿ × 9 ⁻ⁿ

^{, qui tend bien}

vers

0

^quand

n → + ∞

^.

Atitre d'exerie,on pourra herher à évaluerla dimensiondu trianglede Sierpinski

guré i-dessous. Ce fratal est obtenu en partant d'untriangle équilatéral, puisen enle-

vant letriangle entral dansun déoupage en4 trianglessemblables dansle rapport

1/2

^.

On répète ensuite indéniment le proédésur tous les triangles obtenus àhaque étape.

Onmontrerafailementquel'airedutriangledeSierpinskiestnulle. Demanièreanalogue,

on onstruit le tapis de Sierpinski en partant d'un arré, en le divisant en 9 arrés

homothétiques dans le rapport

1/3

^{et en enlevant le arré entral. Dans l'espae de}

dimension

3

^{, l'éponge de Sierpinski est obtenue à partir d'un ube divisé en 27petits}

ubes, privé du ube entral. On montrera que son aire est innie, tandis que le volume

Les onsidérations qui préèdent se généralisent à l'aide des mesures

p

-dimensionnelles introduitesparFelixHausdor(1868-1942)l'undesfondateursdelatopologiemoderne.

Si

( E , d)

^{estunespaemétriquequelonque,ondénitlamesuredeHausdor}

p

-dimension- nelle d'une partie

A

^de

E

par

H _p (A) = lim

ε→0

H _p,ε (A), H _p,ε (A) = inf

diam A ⁱ ≤ε

X

i

(diam A _i ) ^p

où

H _p,ε (A)

^{est la borne inférieure des sommes}

P

i (diam A i ) ^p

^{étendue à toutes les parti-}

tions dénombrables

A = S

A _i

^ave

diam A _i ≤ ε

^.

Intuitivement,onharheàpaver

A

^{pardesparties}

A i

^{dontonévaluela}

p

^-mesureomme

si elles étaient des hyper-ubes de dimension

p

^{, puis on améliore la préision en de-}

mandant que lediamètre des

A i

^{tendevers zéro.}

On montre que

H _p

dénit une mesure borélienne dénombrablement additive, 'est-à- direqu'elleestdéniesansambiguitésurtouslesouverts,fermésetleursunions,interse-

tions nies ou dénombrables répétées autant de fois que l'on veut, ave la propriété que

H _p ( S

A _i ) = P

i H _p (A _i )

^{pourde parties}boréliennesdisjointessurles partiesnon boréli- ennes,on obtientseulement unemesureextérieurequi vérie

H _p ( S

A _i ) ≤ P

i H _p (A _i )

^.

Dans

E = R ⁿ

avesastrutureeulidienne habituelle,ettemesureoïnidepour

p

^entier

ave la mesure d'aideeulidienne

p

-dimensionnelle, à unfateur de proportionnalité près égal au volume de la boule eulidienne de dimension

p

^{et de diamètre}

1

^{. Ces mesures}

permettent de donnerune dénition préise de la dimensionde Hausdor :

Dénition. Si

( E , d)

^{est un espae métrique et}

A

^{une partie de}

E

, ont dit que

A

^{est de}

dimension de Hausdor égale à

p ₀

^{si on a}

H _p (A) = + ∞

^pour

p < p ₀

^et

H _p (A) = 0

^pour

p > p ₀

^.

Il est faile de voir que dans

R ⁿ

, la dimension d'une partie quelonque est toujours de dimension

≤ n

('est-à-direque

H _p (A) = 0

^pour

p > n

^{): on pourrapourelaommener}

par montrer que la

H _p

-mesure d'un

n

^{-ube est nulle pour}

p > n

^{, puis utiliser la sous-}

additivité dénombrable à l'aide d'un reouvrement de

A

^{par des ubes. Par ailleurs, en}

général, on ne peut rien dire sur

H _p

0 (A)

^{, ette valeur peut très bien être nulle, nie ou}

L'unedesfaçonslesplususuellesd'obtenirdesobjetsfratalestdeonsidérerunsystème

dynamique. D'un point de vue mathématique, il s'agit simplement de onsidérer une

ertaine transformation ontinue

f : X → X

^{d'un espae}

X

^{, puis de regarder} l'évolution des points paritération de

f

^{. Autrement dit,étant donnéun point initial}

x 0

^{, on regarde}

la suite dénie par la relation de réurrene

x _n+1 = f (x _n )

^, 'est-à-dire enore e qu'on appelle l'orbite de

x 0

^{sous l'ation des omposées suessives}

f ^[n] = f ◦ f ◦ · · · ◦ f : X → X, x n = f ^[n] (x 0 ).

En mathématiques, on herhe toujours à étudier d'abord les situations non triviales les

plus simples possibles. L'une de elles-i onsiste à regarder dans le plan omplexe

C

la transformation quadratique

P _c : C → C , P _c (z) = z ² + c

^où

c

^{est un paramètre.}

On onsidère don l'orbite

z n = P c ^[n] (z 0 )

^{d'un point}

z 0 ∈ C

donné. On notera que

P c ^[2] (z) = (z ² + c) ² + c

^{est un polynme de degré}

4

^{; de manière générale,}

P c ^[n]

^{est un}

polynme de degré

2 ⁿ

^{. On introduit par dénition:}

EnsembledeJuliade

P _c

^{. OnappelleensembledeJulia rempli}

K _c

^{l'ensembledespoints}

initiaux

z 0

^{tels que la suite}

(z n )

^{reste bornée, et ensemble de Julia le bord}

J c = ∂K c

^de

l'ensemble de Julia rempli

K _c

^.

Si

c = 0

^{, on a simplement}

P ₀ ^[n] (z) = z ^{2 n}

^{et on voit aussitt que}

K 0

^{onsiste en le disque}

unité fermé

| z | ≤ 1

^(don

J ₀

^{est le erle unité). Pour tout autre valeur}

c 6 = 0

^on

obtient un ensemble fratal. Voii par exemple une image de

J c

^et

K c

^{pour la valeur}

c = 0, 328075517 + 0, 022051744 i

^{du paramètre :}

K _c

On notera que si on remplae

z 0

^par

z ^′ ₀ = z 1 = P c (z 0 )

^{, on obtient la même suite ave}

simplement un déalage d'indie, don

z ₀ ∈ K _c

^{si et seulement si}

z ^′ ₀ = P _c (z ₀ ) ∈ K _c

^{. Par}

onséquent, ei montreque

P c (K c ) = K c

^et

P _c ⁻¹ (K c ) = K c

^{, autrementdit}

J c

^et

K c

^sont

auto-similaires sous l'ation de latransformation

P _c

^.

notamment tous eux obtenus par le proédé qui vient d'être dérit. Il existe epen-

dant des objets fratals plus ompliqués, omme l'ensemble de Mandelbrot (du nom du

mathématiien frano-amériain BenoîtMandelbrot, né à Varsovieen 1924).

Ensemble de Mandelbrot C'est l'ensemble

M

^{des valeurs omplexes}

c

^{du paramètre}

telles que l'ensemble de Julia

K _c

^{assoié à}

P _c

^{soit onnexe.}

M K _c

K c ^′

× c = 0

L'ensemble de Mandelbrot

M

^{onsiste en le domaine intérieur blan de la partie droite}

de l'image (ave ses innies ramiations

. . .

^{). Sur ette partie droite gurent aussi la}

position de deux valeurs omplexes

c

^et

c ^′

^{(points rouge et violet), et, à gauhe, les}

ensembles de Julia assoiés

K c

^et

K c ^′

^{. On voit que}

K c

^{est onnexe, don}

c

^{est dans}

l'ensemble de Mandelbrot, tandis que

K _c ^′

^{n'est pas onnexe, don}

c ^′

^{n'est pas dans}

M

^.

Si on note

M _z 0

^{l'ensemble des valeurs de}

c

^{telles que la suite}

z _n

^{de point initial}

z ₀ = 0

soitbornée,onpeutdémontrerque l'onaenfait

M = M ₀

^{. L'ensembledeMandelbrot}

M

est seulement partiellement auto-similaire; ilomportedes parties qui sont des répliques

approximatives del'ensemble omplet,mais aussi d'autres qui sont dissemblables :

La struture de

M

^{est beauoup plus ompliquée que elle des ensembles de Julia}

J c

^,

omme il est déjà apparent sur les images i-dessus. On sait par exemple que

M

^est

onnexe,maisonnesaitpasàejoursi

M

^{estloalementonnexe;rappelonsqu'unespae}

est dit loalement onnexe si tout point admet des voisinages onnexes arbitrairement

petits. L'espae appelé peigne dénombrable est un exemple typique d'espae onnexe

non loalement onnexe :

Le mathématiien japonais Shishikura a pu démontrer en 1992 que la frontière de l'en-

semble de Mandelbrot est de dimension de Hausdor

2

^{(don maximale dans le plan),}

mais on ne sait pas si sa mesure

2

-dimensionnelle est nulle ou non (les experts pensent que ette mesure est bien nulle, avisaux amateurs!).

Pour obtenir l'image de

M = M ₀

^{à l'aide d'un programme} d'ordinateur, on proède ommesuit. Ononvientd'unevaleurassezgrande,disons

10 ⁹

^{,qui testelearatèrenon}

borné de la suite, et un nombre d'itérations assez grand, disons

N = 150

^{. Étant donné}

une valeur omplexe

c

^xée représentée par un pixel de l'éran d'ordinateur, on alule la suite

z _n

^{telle que}

z ₀ = 0

^et

z _n+1 = P _c (z ₀ )

^{, pour}

n ≤ N = 150

^{. Si toutes es valeurs}

restent inférieures à

10 ⁹

^{, il est probable que la suite}

(z n )

^{est bornée, don on déide que}

c ∈ M

^{(ou du moins dans son} approximation alulée par l'ordinateur), et on aete la ouleur blanhe au pixel. Sinon il existe une valeur

n 0 < N = 150

^{telle que}

| z n | ≤ 10 ⁹

pour

n 6 = n ₀

^{, et}

| z _n | > 10 ⁹

^pour

n = n ₀ + 1

^{. On arrête alors le alul en estimant}

que la suite

(z _n )

^{va tendre vers l'inni, et on aete au pixel une ouleur (brunâtre ou}

violettedans les deux images de la page préédente) qui dépend de la valeur de

n ₀

^{: sur}

lashéma i-dessus,laouleurestd'autantplusfonéeque

n ₀

^{estplusgrand. Ceidonne}

les zones olorées qui entourent l'ensemble de Mandelbrot. En réalité, il ne s'agit pas

d'un simple artie de représentation graphique, es zones olorées ont une signiation

mathématiqueet physique. On peut en eet regarder les fontions

G n (z, c) = 2 ⁻ⁿ log ₊ | P _c ^[n] (z) |

où

log ₊ t = max(0, log t)

^{est la partie positive du} logarithme. Du fait que

P c ^[n]

^{est de}

degré

2 ⁿ

^{, on peut démontrer assez failement que}

G _n (z, c)

^{onverge vers une fontion}

G(z, c) ≥ 0

^{qui est nulle sur le graphe}

Γ = { (z, c) ∈ C ² ; z ∈ K _c }

^{(là où la suite}

P c ^[n] (z)

estbornée),etstritementpositiveendehorsde

Γ

^{. La valeurde}

G(z, c)

^{mesurelavitesse}

àlaquelle la suitetend versl'inni. Commeles fontionsholomorphes sont harmoniques,

on vérie failement que

∆ z G(z, c) = 0

^pour

z / ∈ J c

^{. La fontion}

z 7→ G(z, c)

s'interprète omme le potentiel életrostatique réé par un onduteur métallique ylindrique qui

aurait la forme de

K c

^{, et dont le bord}

J c = ∂K c

^{serait hargé} életriquement. Les zones olorées évoquées plus hautsont délimitées par les ligneséquipotentielles

. . .

L'ensemble

Γ

^{est quand à lui un ensemble fratal de omplexité} monstrueuse dans

C ²

(dondans unespaededimension réelle

4

^{),dontles tranhes}

c =

^{Ctesontlesensembles}

deJuliaremplis

K c

^{,tandisquelestranhes}

z =

^{CtesontlesensemblesdeMandelbrot}

M z

^.

z ∈ C c

M _z

K _c Γ

Le programme gnofrat4d permet d'explorer e fratal quadridimensionnel. Pour les

experts, signalons que le

(1, 1)

^{-ourant positif}

T = i∂∂G(z, c)

^dans

C ²

a préisément omme support l'intérieur de

Γ

^{, ses tranhes sont don les ensembles}

M z

^et

J c

^{. La}

théorie des ourants positifs est un outil essentiel de l'analyse omplexe ontemporaine,

partiulièrement pourl'étude des systèmes dynamiquesholomorphes

. . .

Logiiels

Voii 3 logiiels libres assez agréablesà utiliser :

Fratint : http://www.fratint.org (Linux/MaOSX/Windows)

Xaos: http://wmi.math.u-szeged .hu /xao s/d oku. php (Linux/MaOSX/Windows)

Gnofrat4d : http://gnofrat4d.sour efor ge. net/ (Linux/MaOSX)

Sous Windows, un logiielréputé (mais non libre) est :

Ultrafratal : http://www.ultrafratal. om

On onsidère de nouveau une transformation

f : X → X

^{, et on herhe à mesurer}

ombien

f

^{mélange l'espae}

X

^{. Voii une} illustration de la transformation dite du boulanger (ou de la pâte feuilletée), du arré unitédans lui-même, itérée 17 fois :

La transformation du arré

X = [0, 1] ²

^{gurée i-dessus est donnée par}

f (x, y) = 2x, (1 + y)/2

si

x ≤ 1/2, f (x, y) = 2x − 1, (1 − y)/2

si

x ≥ 1/2.

La périodiité d'ordre 17 observée ii est un artefat dû à la disrétisation de l'image en

arrés de

256 × 256

^pixels.

parfait de l'image si elle-i était non disrétisée.

D'unpointde vue mathématique,le mélangeplusou moinsgrandprovoqué par latrans-

formation

f

^{estdéritparunnombreappeléentropie}topologique. Voiiunedénition préise, due à Bowen et Dinaburg.

Dénition. Soit

(X, d)

^{un espae métrique ompat et}

f : X → X

^{une appliation}

(

^{supposée en général ontinue}

)

^{. On dénit une nouvelle distane}

d _n

^{en posant}

d n (x, y) = max { d(f ^[i] (x), f ^[i] (y)) : 0 ≤ i < n } .

On appelle

N (n, ε)

^{le nombre maximum de points de}

X

^{qui sont à des distanes mu-}

tuelles

≥ ε

^pour

d _n

^{. Alors l'entropie} topologique de

f

^{est dénie omme étant le nombre}

h _top (f ) = lim

ε→0

lim sup

n →∞

1

n log N (n, ε)

.

Dans le as où la transformation

f

^{est périodique de période}

n ₀

^{, le nombre}

N (n, ε)

^ne

roît plus quand

n ≥ n 0

^{et on voit don que}

h top (f ) = 0

^. Intuitivement,

f

^n'entraîne

alors ni mélange ni perte d'information quand le nombre

n

d'itérations tend vers

+ ∞

^.

Àl'attentiondesexperts, nousvoudrionssignalerquel'entropietopologique estliéeàdes

invariants topologiques importants de la transformation

f

^{. Voii les deux résultats les}

plus signiatifs dans ette diretion.

Inégalité de Yomdin. Si

f

^{est une}transformation

C ^∞

^{d'une variétéompate}

X

^alors

h top (f ) ≥ log ρ(f ∗ )

où

ρ(f ∗ )

^{est le rayon spetral de la} transformationlinéaire induite en homologie

f ∗ : H ∗ (X, R ) → H ∗ (X, R )

'est-à-dire sa plus grande valeur propre, omme endomorphisme de l'espae vetoriel de

dimension nie

H ∗ (X, R )

^.

Égalité de Gromov-Yomdin. Si

f

^{est une} transformation algébrique d'une variété projetive omplexe

X

^{, on a l'égalité :}

h top (f ) = log ρ(f ∗ ).

Logiiel utilisé :

La transformation du boulanger a étéalulée et illustrée au moyen du programme Java

transfo.jar disponible surlapage Les transformations bijetivesd'imagespar Jean-

Paul Delahayeet Philippe Mathieu, à l'URL

http://www2.lifl.fr/

˜

mathieu/transform/

L'étude de l'évolutionde systèmes physiques au ours du temps seramène très fréquem-

ment à l'étude d'équations diérentielles portant sur des paramètres dépendant du

temps

t

^{. Pour un système physique omplexe, il y a en général un grand nombre de}

paramètres (position des partiules, température, pression,

. . .

^).

Très souvent, l'équation diérentielle à étudier fait intervenir des dérivées d'ordre supé-

rieuràun. C'estpresquetoujoursleasenméanique,puisquelarelationfondamentalede

la dynamiquemet en jeu l'aélération

γ = d ² x/dt ²

^{. Dansette situation, il esttoujours}

possible de se ramener à un système d'équations diérentielles d'ordre

1

^{en augmentant}

le nombre de paramètres: dans le as del'aélération par exemple, ilsut d'introduire

lavitesse

v = dx/dt

^{ommeparamètre}supplémentaire,equitransforme uneéquationen

t

^,

x

^,

dx/dt

^,

dx ² /dt ²

^{en un système}d'équations portant seulement sur

t

^,

x

^,

v

^,

dx/dt = v

et

dv/dt

^.

De manière générale, d'un point de vue mathématique, on est ramené à l'étude d'un

espaedephase

Ω

^{quiest (loalementau moins)undomained'unespae}

R ⁿ

ave

n

^assez

grand, et une équation d'évolutionde la forme

−−→ dM

dt = − → V (M ), M = (x ₁ , . . . , x _n ) ∈ Ω

dans et espae de phases, où

M 7→ − → V (M )

^,

Ω → R ⁿ

est e qu'on appelle un hamp de veteurssurl'espae

Ω

^{. Autrementdit,ondoitétudierunsystèmediérentieldelaforme}

(S)



 

 

 

  dx ₁

dt = V ₁ (x ₁ , . . . , x _n ) . . .

dx _n

dt = V _n (x ₁ , . . . , x _n ).

Le as oùle hamp

−

→ V (M )

^{dépend lui aussidu temps seramène aussi àe formalismeen}

introduisantlavariablesupplémentaire

x _n+1 = t

^{(avel'équationévidente}

dx _n+1 /dt = 1

^).

D'un point de vue mathématique, toutes les équations diérentielles dépendant de la

seule variable temporelle se ramènent don à des systèmes du type

(S)

^{préédent, aux}

notations près. Le point

M = (x 1 , . . . , x n )

^{doit être vu ii omme une desription de}

l'état du système. Étant donné un état

M ₀

^{, il est} partiulièrement important de om- prendre e qui se passe au voisinage : le théorème dit de Cauhy-Lipshitz arme que

si les fontions

V _j (M )

^sont diérentiables et de dérivées bornées, il existe toujours une solution unique

M (t)

^{telle que}

M (0) = M ₀

^{sur un ertain intervalle de temps}

] − a, a[

ontenant

0

^{: onpeutdonprédireexatement}l'évolutionsurunpetitintervalledetemps vers le futur, et aluler aussi les états antérieurs à partir de l'état onnu en

t = 0

^{. De}

manière surprenante, si les fontions

V _j

^{ne sont que ontinues, l'état du système peut}

être impréditible,omme on le voit déjà ave l'équation

dx/dt = 2 p

| x |

^{qui admet deux}

solutions

x(t) = 0

^et

x(t) = t ²

^{partant du mêmeétat initial}

x(0) = 0

^!

L'étudequalitativedessolutionsloalesdusystème

(S)

^{dépendbeauoupdelavaleurdu}

veteur

−

→ V (M ₀ )

^{dans l'état initial.}

Premier as :

−

→ V (M 0 ) 6 = − → 0

^{. Dans e as, l'angle entre}

− → V (M )

^et

− → V (M 0 )

^{tend vers 0}

quand

M

^{tend vers 0. Par onséquent, les tangentes aux lignes}intégrables sont sensible- ment parallèles les unes aux autres dans un petit voisinage de

M 0

^{. Un tel point}

M 0

^est

dit régulier :

M M ₀

−

→ V (M )

−

→ V (M ₀ )

On peut démontrer dans ette situation qu'il existe loalement un hangement de oor-

données

(x _i ) 7→ (X _i )

^{dans l'espaedes phases}

Ω

^{, qui ramènele système}

(S)

^{àelui déni}

par unhamponstant : les trajetoires sont donsimplementdes droites parallèlespar-

ourues à vitesse uniforme (mais seulement dans les nouvelles oordonnées, pas dans les

aniennes). L'étude loale est don en fait extrêmement simple dans eas.

Deuxième as :

−

→ V (M ₀ ) = − → 0

^{. On voit alors failement sur des exemples qu'il y a}

plusieurs ongurationsgéométriquespossiblespourle hamp destangentes, eidéjà en

dimension

2

^:

−

→ V x

y

= x

y

− → V x

y

= x

− y

− → V x

y

= − y

x

Si

−

→ V (M ₀ ) = − → 0

^{, on dit que}

M ₀

^{est un point singulier du hamp de veteurs. Un tel}

point donne évidemment une solution onstante

M (t) = M 0

^de

(S)

^{, e qui orrespond}

physiquementàunétat d'équilibre. Cependant, ilyatoujours depetitesimpréisions

dans la desription d'un système physique, on est don amené à se demander e qui se

passe pour des états évoluant àpartir d'un état initial très prohe de

M ₀

^.

On va étudier ii assez préisément e qui se passe en dimension

2

^.

Après translation éventuelle des oordonnées, on peut supposer

M 0 = (0, 0)

^{. On a alors}

par hypothèse

V ₁ (0, 0) = V ₂ (0, 0) = 0

^{, de sorteque le systèmediérentiel peut se rérire}



 



 

 dx

dt = V 1 (x, y) = ax + by + o( | x | + | y | ) dy

dt = V ₂ (x, y) = cx + dy + o( | x | + | y | ).

(en notant les oordonnées

(x, y)

^{plutt que}

(x ₁ , x ₂ )

^{). Sion introduit la matrie}

A =

a b c d

=

∂V ₁ /∂x(0, 0) ∂V ₁ /∂y(0, 0)

∂V ₂ /∂x(0, 0) ∂V ₂ /∂y(0, 0)

.

le systèmediérentiel

(S)

^{peut être approximéprès de}

(0, 0)

^{par lesystème linéaire}

(S ₁ ) dM

dt = AM

on dit que

(S ₁ )

^{est une} approximation linéaire de

(S)

^{. En général, si le point singulier}

est non dégénéré, 'est-à-dire si

det A 6 = 0

^{, les solutions de}

(S 1 )

^{onstituent une bonne}

approximationdessolutionsde

(S)

^{auvoisinagede}

(0, 0)

^{dumoinssi lamatrie}

A

^n'est

pas trop partiulière.

Le gros avantage est qu'on onnaît expliitement les solutions d'untel systèmelinéaire

quelle que soit ladimension d'ailleurs elles sonts donnéespar

M (t) = e ^tA M ₀

^où

e ^tA

^est

l'exponentielle matriielle.

Lorsque la matrie

A

^est diagonalisable ave toutes ses valeurs propres réelles ou om- plexes, disons

A =









λ ₁ 0 . . . 0 0 λ ₂ . . . 0

.

.

.

.

.

.

0 . . . 0 λ n









dans les nouvelles oordonnées

X i

^{, les solutions sont données simplement par}

X i (t) = e ^{λ i t} X i,0 .

Le omportement dépend alors de manière ruiale du signe de la partie réelle de es

valeurs propres : si

Re λ _i < 0

^{, la oordonnée}

X _i

^{va onverger vers l'état} d'équilibre

X _i = 0

^{, tandis que si}

Re λ _i > 0

^{, toute petit éart initial}

X _i,0

^{par rapport à la postion}

d'équilibre

X _i = 0

^{nira par entraîner une très grande déviation (le as}

Re λ _i = 0

^est

indéterminé, ommeon le verra plus loin).

Lastabilité estdonessentiellementliéeau signedesvaleurspropresdusystèmelinéarisé

près d'un point ritique. On peut démontrer le théorème important suivant :

Théorème. Pourqu'unsystème diérentiel

(S) : −−→ dM /dt = − → V (M )

^{possèdeunétatd'équi-}

libre stable

M ₀ (

^{en un point singulier}

M ₀

^{tel que}

− → V (M ₀ ) = − → 0 )

^{, il sut que la matrie}

A = ∂V i /∂x j (M 0 )

assoiéeausystème linéariséaittoutessesvaleurspropresomplexes

λ _i

^{de partie réelle}

Re λ _i

^{stritement négative.}

Cas d'un hamp linéaire de veteurs en dimension

2

Pour xer les idées nous allons donner la représentation graphique des solutions de tous

les systèmeslinéaires non dégénérés de dimension

2

^{, don des systèmesdu type}

(S) dM

dt = AM,



 

  dx

dt = ax + by dy

dt = cx + dy

où

A =

a b c d

, det(A) = ad − bc 6 = 0.

La disussion dépend de manière essentielle de e que sont les valeurs propres

λ ₁

^,

λ ₂

^.

(a) Les valeurs propres

λ ₁ , λ ₂

^de

A

^{sont réelles.}

•

^{Supposons de plus}

λ ₁ 6 = λ ₂

^{. Dans e as la matrie}

A

^est diagonalisable. Après hangement de base onpeut supposer

A =

λ 1 0 0 λ 2

et le systèmese réduit à



 



 

 dx

dt = λ 1 x dy

dt = λ ₂ y

de solution

x(t) = x ₀ e ^{λ 1 t} y(t) = y ₀ e ^{λ 2 t} ,

de sorte que les ourbes intégrales sont les ourbes

y = C | x | ^{λ 2 /λ 1} , C ∈ R

et la droite d'équation

x = 0

^. Distinguons deux sous-as :

∗ λ ₁ , λ ₂

^{de même signe et, disons,}

| λ ₁ | < | λ ₂ |

^{. On a alors}

λ ₂ /λ ₁ > 1

^{. On dit qu'on a}

aaire à un n÷ud impropre :

x y

x y

0 < λ ₁ < λ ₂ λ ₂ < λ ₁ < 0

∗ λ 1 , λ 2

^{designesopposés,parexemple}

λ 1 < 0 < λ 2

^{. Ils'agitd'unol(toujoursinstable):}

x y

•

^{Les valeurs propres sont onfondues :}

λ 1 = λ 2 = λ

^{. Deux assont possibles :}

∗ A

^estdiagonalisable. Alors

A

^{estenfaitdiagonaleetlesourbesintégralessontdonnées}

par

x(t) = x ₀ e ^λt y(t) = y ₀ e ^λt ,

e sont les droites

y = αx

^et

x = 0

^{. On dit qu'on a aaire à un n÷ud propre :}

x y

x y

λ > 0

N÷ud propre instable

λ < 0

N÷ud propre stable

∗ A

^{est non} diagonalisable. Alors il existe une base dans laquelle la matrie

A

^{et le}

système s'érivent

A =

λ 0 1 λ

,



 



 

 dx

dt = λx dy

dt = x + λy.

Le ourbes intégrales sont données par

( x(t) = x ₀ e ^λt

y(t) = (y ₀ + x ₀ t)e ^λt .

Comme toute ourbe intégrale ave

x 0 6 = 0

^{passe par un point tel que}

| x(t) | = 1

^{, on}

obtient toutes les ourbes intégrales autres que

x = 0

^{en prenant}

x ₀ = ± 1

^,d'où



 

  t = 1

λ ln | x | y = y ₀ | x | + x

λ ln | x |

On dit qu'il s'agit d'un n÷ud exeptionnel. Pour onstruire les ourbes, on traera par

exemple d'abord la ourbe

y = ^x _λ ln | x |

^{passant par}

(x ₀ , y ₀ ) = ( ± 1, 0)

^{. Toutes les autres}

s'en déduisent par homothéties.

x y

x y

λ > 0

N÷ud exeptionnel instable

λ < 0

N÷ud exeptionnel stable

(b) Les valeurs propres de

A

^{sont non réelles.}

On a des valeurs propres omplexes onjuguées

α + iβ

^,

α − iβ

^{ave disons}

β > 0

^{, et il}

existe une base dans laquelle la matrie

A

^{etle système s'érivent}

A =

α − β

β α

,



 



 

 dx

dt = αx − βy dy

dt = βx + αy.

La manière la plus rapidede résoudre un tel systèmeest de poser

z = x + iy

^{. On trouve}

alors

dz

dt = (α + iβ)x + ( − β + αi)y = (α + iβ)(x + iy) = (α + iβ)z,

de sorte que la solution générale est

z(t) = z ₀ e ^(α+iβ)t = z ₀ e ^αt e ^iβt .

En oordonnéespolaires

z = re ^iθ

^{, l'équation devient}

r = r ₀ e ^αt

θ = θ ₀ + βt , soit r = r 0 e ^{α β (θ − θ 0 )} .

Il s'agit d'une spirale logarithmique si

α 6 = 0

^{et d'un erle si}

α = 0

^{(noter que e erle}

donne engénéral graphiquement uneellipse ar la base utiliséei-dessus n'est pas nées-

sairement orthonormée). On dit alors que le point singulier est un foyer, respetivement

un entre :

α > 0

Foyer instable

α < 0

Foyer stable

α = 0

Centre

Si

α 6 = 0

^{, le rapport} d'homothétiede deux spires onséutives de la spirale est

e ^2πα/β

^.

Comme on le voit, la desription de la situation en dimension

2

^{est toujours très simple.}

C'est là un fait général, qui résulte du théorème dit de Poinaré-Bendixson :

Théoreme dePoinaré-Bendixson. Soit

M 7→ − → V (M )

^{un hampde veteursde lasse}

C ¹

^{dans un ouvert}

Ω

^{du plan. On suppose qu'il existe une partie fermée bornée}

K ⊂ Ω

ne ontenant auun zéro du hamp de veteurs

−

→ V

^{et stable par l'équation} d'évolution en

temps

t ≥ 0 [

^{hypothèse qui implique en partiulier que les ourbes intégrales sont déni}

pour tout point initial

(x ₀ , y ₀ ) ∈ K

^{et tout}

t ≥ 0 ]

^{. Alors}

K

^{est onstitué d'une réunion}

d'orbites périodiques du ot.

Bibliographie mathématique élémentaire :

Jean-Pierredemailly,Analysenumériqueetéquationsdiérentielles,Pressesuniversitaires

de Grenoble, 3

e

édition, 2006, ISBN2-7061-0715-4.

Contrairement à e qui se passe en dimension

2

^{, les systèmes} diérentiels d'évolution peuventdès la dimension

3

^{donnerlieu àdes situations}géométriques très ompliquées et à des omportements essentiellement haotiques.

Nous allons illustrer ei par un systèmediérentiel élèbre, appelé système de Lorenz.

Ils'agit dans l'espae

Ω = R ³

du systèmediérentiel non linéaire

(S)



 

 

 



 

 

 

 dx

dt = 10(y − x) dy

dt = 28x − y − xz dz

dt = xy − 8 3 z.

Voii quelques représentations graphiques des trajetoires (nous avons extrait les im-

agesde l'exposéd'Étienne GhysauCongrès International desmathématiiensde Madrid

(2006)) : on obtient e qu'on appelle l'attrateur deLorenz, qui a une struture fratale.

La omplexité de es trajetoires est très grande. En partiulier, les trajetoires pério-

Un problèmepartiulièrement intéressant étudié par Ghysest de lassier tous les types

de n÷uds pouvant apparaître dans l'attrateur de Lorenz, et ensuite, de déterminer la

façon dont ils peuvent s'enlaer :

Ilestsurprenant deonstaterque duhaosémergetoutdemêmeertainesformesd'ordre

extrêmement omplexes, orrespondant à des situationsmathématiques trèsrihes

. . .

Référenes.

Étienne Ghys, http://www.umpa.ens-lyo n.f r/

˜

^ghys/

et en partiulier, sur

http://www.umpa.ens-lyo n.f r/

˜

ghys/Publis.html

l'exposé Knots and Dynamis, Proeedings du Congrès Internationalde Madrid 2006,

http://www.umpa.ens-lyo n.f r/

˜

ghys/artiles/im.pdf http://www.umpa.ens-lyo n.f r/

˜

ghys/artiles/ghys-im .pd f