Math´ematiques 2ECS EXERCICE 1
On pose pour tout entier non nul ,
In= Z +∞
0
dt (1 +t2)n 1) Justifier l’existence de In pour tout entier non nul.
2) Calculer I1
3) Montrer, `a l’aide d’une intgration par parties, que pour tout entiern non nul , In= 2n In−In+1
4) En d´eduire que
In= (2n−2)!π (n−1)!2
22n−1 5) Etudier les variations de la suite In
n>1 et en conclure qu’elle converge.
6) D´eterminer la limite de la suite In
n>1en consid´erant la s´erie de terme g´en´eral ln In/In+1
.
EXERCICE 2
1) Montrer que l’int´egrale Z +∞
0
dx
1 +x2 est convergente et donner sa valeur 2) On consid`ere la fonction f d´efinie pur tout x∈Rpar :
f(x) = 1 2 1 +|x|2
Montrer quef a les propri´et´es d’une densit´e de probabilit´e.
Dans la suite de l’exercice, on consid`ere une v.aX admettant f pour densit´e.
3) X admet-elle une esp´erance ? On pose :
Y = ln 1 +|X|
( on admet queY est une v.a.r)
On note FX etFY les fonctions de r´epartitions respectives de X etY. 4) Soit x∈R+, exprimer FY(x) `a l’aide deFX.
5) En d´eduire que Y est ´egalement une v.a `a densit´e.
6) Montrer queY suit une loi exponentielle dont on d´eterminera le param`etre.
EXERCICE 3
On se propose dans cet exercice de montrer que la s´erie de terme g´en´eral un = (−1)nsinn n est convergente et de calculer sa somme.
1) On d´esigne parf une fonction de classeC1sur l’intervalle [a, b] et parλun r´eel strictement positif. Montrer, grˆace `a une int´egration par parties, que : lim
λ→+∞
Z b a
f(t) cos(λt) dt= 0.
2)a)On rappelle que :∀(a, b)∈R2, cos(a+b) = cosacosb−sinasinb.
Exprimer, pour tout r´eel t, cos t
2cos(kt) en fonction de cos 2k+ 1 2 t
et cos 2k−1 2 t
.
b)En d´eduire que :
∀t∈[0,1], ∀n∈N∗, cos t 2
n
X
k=1
(−1)kcos(kt) = 1
2 (−1)ncos(2n+ 1
2 t)−cos t 2
c) Montrer alors que :∀n∈N∗,
n
X
k=1
uk = (−1)n Z 1
0
cos(2n+12 t) 2 cos2t dt− 1
2 .
3) Utiliser la premi`ere question pour conclure que la s´erie de terme g´en´eralunconverge et que :
+∞
X
n=1
(−1)nsinn n =−1
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PROBL `EME
Pour tout entier naturel nnon nul, on noteEn leR-espace vectoriel des fonctions polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
On note, pour toutk∈ {0,1, . . . , n},Pk la fonction plynˆome d´efinie par : Pk(x) =xk
Ainsi la famille B=
P0, P1, . . . , Pn
est la base canonique deEn.
Partie 1 Un r´esultat pr´eliminaire
1) Montrer que la fonction f d´efinie surR∗ par f(x) = 1 + 1
x
r´ealise une bijection deR∗ sur une partie Ω deR que l’on d´eterminera.
2) Expliciter f−1(x) pour tout x∈Ω.
Partie 2 D´efinition d’un endomorphisme de En
SiP ∈En, on pose pour tout r´eel xnon nul,
u(P)(x) =xnP(1 + 1 x) 1) Exemple : dans cette question seulement , on prend n= 2.
a) PourP ∈E2d´efini parP(x) =ax2+bx+cavec a, b, cr´eels, exprimer, pour xr´eel non nul, u(P)(x) sous la forme
αx2+βx+δ
avec α,β etδ r´eels que l’on exprimera en fonction dea, b, c.
b)Quelle valeur faut-il donner `a u(P)(0) pour que u(P) soit dans E2?
On revient au cas g´en´eral : nest de nouveau un entier naturel non nul quelconque.
2) Soit P ∈En, on pose
P =
n
X
k=0
akPk.
D´eterminer la limite, not´eel, de u(P)(x) lorsque x tend vers 0.
Dans la suite de ce probl`eme, on posera u(P)(0) =l et on admettra qu’alorsu(P)∈En
3) Montrer que ainsi d´efiniu est un endomorphisme de En. 2
Partie 3 Etude de la bijectivit´e de l’endomorphismeu On noteraMn la matrice de udans la base B.
1) Exemple Montrer que :
M3=
0 0 0 1
0 0 1 3
0 1 2 3
1 1 1 1
Justifier que M3est inversible et calculer M3−1.
On revient au cas g´en´eral (nest un entier non nul quelconque ) 2) D´eterminer Keruet en d´eduire que u est un automorphisme.
3) On pose pour x r´eel et kentier tel que 06k6n, Qk(x) = x+ 1k
xn−k
En utilisant la question pr´ec´edente, justifier que la famille Q0, Q1, . . . , Qn
est une base de En.
4) Exprimer, pour j tel que 16j 6n+ 1, u(Pj−1) `a l’aide dePn−j+1,Pn−j+2,...,Pn.
5) En d´eduire pour i, j ´el´ements de {1,2, . . . , n+ 1}, le coefficient situ´e sur la ligne i et la colonnej deMn.
6) D´eterminer, pour x r´eel diff´erent de 1 etP ∈En, u(P) f−1(x) 7) En d´eduireu−1.
8) D´eterminer alors Mn−1.
( On donnera pour i, j ´el´ements de {1,2, . . . , n+ 1}, le coefficient situ´e sur la ligne i et la colonnej deMn−1)
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