Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2014-2015 Faculté des Sciences Exactes Examen d’Algèbre 1
Département de Mathématiques Durée : 2 heures
09/03/2015
Exercice 1 (8 points):
Soient f :Z→Netg:N2→Nles deux applications définies par : f(x) =
(−3x six≤0
3x+1 six>0 et g(x,y) = x2+x y−x.
1) Montrer que l’applicationf est injective.
2) L’application f est-elle surjective ? Justifier.
3) Déterminer les ensembles suivants : i) g¡
{(0, 1), (0, 2)}¢
; ii) g¡
{(1,y) ; y∈N}¢ . 4) L’applicationg est-elle injective ? est-elle surjective ? Justifier.
5) Lesquelles des expressions f ◦g etg◦f ont un sens ? Expliciter celles qui en ont.
Exercice 2 (7 points):
SoitRla relation binaire définie sur l’ensembleE={(x,y)∈R2; x≤y} par :
∀(x,y), (x0,y0)∈E: (x,y)R(x0,y0) ⇐⇒ £
(x,y)=(x0,y0) ouy≤x0¤ . 1) Montrer queRest une relation d’ordre. Cet ordre est-il total ou partiel ? Justifier.
2) SoitA={(2, 3), (2, 5), (−1,−1)}.
(a) Déterminer l’ensembleMde tous les majorants deA et l’ensemblemde tous les minorants de A.
(b) En déduire que Apossède une borne supérieure et une borne inférieure. Déterminer supA et infA.
(c) L’ensemble A possède-t-il un plus grand élément ? un plus petit élément ? Les déterminer dans l’affirmatif.
(d) Déterminer tous les éléments maximaux et tous les éléments minimaux de A.
Exercice 3 (5 points):
Soient (E,?) et (F,∆) deux groupes. On munit l’ensembleE×F de la loiT définie par :
∀(x1,y1), (x2,y2)∈E×F: (x1,y1)T(x2,y2) = (x1?x2, y1∆y2).
1) Montrer que (E×F,T) est un groupe.
2) SoientH un sous groupe de (E,?) etK un sous groupe de (F,∆).
— Montrer queH×K est un sous groupe de (E×F,T).
Bon courage
