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Exercices Variable Complexe
TD LM3 Pascal Lefèvre Il est important que chercher les exercices à l’avance pour profiter réellement des TD.
Par ailleurs, une banque de sujets d’examen est disponible à l’adresse:
http://lefevre.perso.math.cnrs.fr/PagesPerso/enseignement/Archives/ArchivVC.htm
1 Révisions et premiers contacts.
Ddésigne le disque unité ouvert de C. Séries Entières.
Exercice 1.1
Justifier la formule de Hadamard : R“´
lim sup|an|n1¯´1
.
Exercice 1.2
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes a)
`8
ÿ
n“0
enzn2 b)
`8
ÿ
n“0
n!zn2 c)
`8
ÿ
n“1
´
1` p´1qn n
¯n2
zn.
Exercice 1.3
Montrer que les fonctions suivantes sont analytiques (on précisera sur quel domaine).
a) fpzq “ 1
z´a avecaPC˚. b) fpzq “ 1
1`z`z2¨ c) fpzq “ zsina
z2´2pcosaqz`1 avecaPR. Exercice 1.4
Théorème d’Abel. Soit ÿ
anzn une série entière de rayon de convergence 1 telle que ÿan converge. Montrer que la convergence de la série entière est uniforme dans un secteur angulaire de sommetApz“1qde bissectrice intérieureAOet de mesure inférieure strictement à π.
Indication : on fixe α P r0, π{2r et on veut montrer que la convergence est uniforme sur Sα“ tz“1´reiθ PC|0ďrďcosα,|θ| ďαu. On pourra effectuer une transformation d’Abel : on fixeεą0et on introduit les restes partiels de la série desan (rn “
8
ÿ
k“n
ak); on majorera alors
uniformément pourz PSα les tranches de Cauchy :
q
ÿ
n“p
anzn.
Exercice 1.5
On s’intéresse à une série entière
`8
ÿ
n“0
anxn de rayon de convergence 1, de sommefpxq, telle que lim
xÑ1´fpxqexiste (on noteℓ cette limite).
La question est de savoir si la série ÿ
ně0
an converge (et vers quoi)...
1) En considérantan “ p´1qn (pour tout nP N), montrer que, en général, la réponse est non.
2) On suppose dans cette question seulement que an ě0pour toutnPN. a) Soit N PN, montrer que ℓě
N
ÿ
n“0
an. b) En déduire que la série ÿ
ně0
an converge.
c) Conclure
Théorème de Tauber. On suppose désormais que lim
nÑ`8nan “0.
a) PourN PN, on pose xN “1´ 1
N `1¨Établir ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ
f` xN˘
´
N
ÿ
n“0
an ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
N
ÿ
n“0
an`
xnN ´1˘ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
` ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
`8
ÿ
n“N`1
anxnN ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď 1
N`1
N
ÿ
n“0
nˇ ˇan
ˇ
ˇ` sup
něN`1
ˇˇnan
ˇ ˇ
`8
ÿ
n“N`1
xnN n ¨
b) Conclure.
Exercice 1.6
Théorème de Bernstein pour les séries entières.
On fixeAą 0. Soitf :s ´A, ArÝÑRune fonction de classeC8. On suppose que
@kPN, @xPs ´A, Ar fp2kqpxq ě0.
On veut montrer que f est développable en série entière.
On considère la fonctionFpxq “fpxq `fp´xq oùxPs ´A, Ar.
1) Justifier que F est de classe C8 et que: @k P N,@x Ps ´A, Ar, Fp2k`1qp0q “ 0 et Fp2kqp0q ě0. ’ 2) Soit nPN. Montrer qu’il existe un polynôme Pn de degré2n (que l’on précisera) tel que
@xPs ´A, Ar, Fpxq “Pnpxq `Rnpxq avecRnpxq “
żx 0
px´tq2n`1
p2n`1q! Fp2n`2qptqdt 3) On fixe aPs0, Ar.
a) Montrer que pour toutxP r0, ar, on a 0ďRnpxq ď´x
a
¯p2n`1q
Rnpaq ď´x a
¯p2n`1q
Fpaq. b) En déduire que F est développable en série entière sur s ´A, Ar. 4) Soit xPs ´A, Ar.
a) Justifier la validité de l’écriturefpxq “Q2n`1pxq `rnpxq avecrnpxq “
żx 0
px´tq2n`1
p2n`1q! fp2n`2qptqdt et Qnpxq “
n
ÿ
j“0
fpjqp0q j! xj. b) Montrer que |rnpxq| ďRnp|x|q puis que lim
xÑ`8rnpxq “0.
c) Conclure.
5) Appliquer ce théorème à la fonctionxÑtanpxq.
Exercice 1.7 Soit fpzq “ ÿ
ně0
anzn développable en série entière (avec un rayon de convergence strictement positif). On suppose de plus que a0 ‰ 0. On veut prouver que la fonction 1{f est développable en série entière.
Exercice 1.8
Résoudre l’équation p1`x2qy2´2y “ 0en cherchant des solutions développables en série entière.
Connexité.
Exercice 1.9
Montrer que le complémentaire d’un disque du plan complexe est connexe par arcs.
Exercice 1.10
Montrer que toute sphère d’un espace métrique connexe non borné est non vide.
Exercice 1.11
Montrer que sif :CÑRest une surjection continue alors pour tout aPR,f´1ptauq est non borné. Indication : sinon il existe a dont l’image réciproque est bornée donc incluse dans un disque, dont le complémentaire est connexe...
Propriétés de la fonction logarithme : Exercice 1.12
log est la détermination principale du logarithme. Soient z1 “ 2i et z2 “ e´34iπ. Calculer (si cela a un sens) logpz1q; logpz2q;logpz1.z2q;logpz12q; logpz22q;log`z1
z2
˘.
Exercice 1.13
Soitlogla détermination principale du logarithme. On définit pourzPCzR´etβPC, la puissance β ieme de z par zβ “ exp`
βlogpzq˘ . a) Que vautii?
b) Soit zPC˚, donner un sens à ?z. A-t-on toujours ?z1z2“?z1?z2?
Fonctions analytiques.
Exercice 1.14
Justifier que tout polynôme deCrXsdéfinit une fonction analytique surCet démontrer le théorème fondamental de l’algèbre.
Indication : SoitP PCrXs non constant. On suppose queP ne s’annule pas. Considérer1{P. Exercice 1.15
SoientI un intervalle ouvert deR et f :I ÑRune fonction de classe C8. Montrer que
f est analytique si et seulement si
pour tout compactJ ĂI, il existe A, M ą0 tels que: @nPN, sup
xPJ
ˇ ˇ ˇ
fpnq n!
ˇ ˇ
ˇď AMn. Indication : ð: utiliser la formule de Taylor avec reste intégral. Pourñ: le justifier sur un certain voisinage d’un point quelconque de xPI, et utiliser Borel-Lebesgue.
Exercice 1.16
Montrer que les séries entières
8
ÿ
n“0
zn 2n`1 et
8
ÿ
n“0
pz´iqn
p2´iqn`1 sont des prolongements en fonctions analytiques l’une de l’autre.
Exercice 1.17
Montrer que la série entièrefpzq “1`
8
ÿ
n“0
z2n ne peut être prolongée en une fonction analytique au voisinage d’aucun point de BD. Indication : remarquer quefpzq “z`fpz2q.
Exercice 1.18
Soit f une série entière de rayon de convergence 1. Montrer qu’il y a au moins un point singulier sur BD (i.e. un point où il n’existe aucun disque ouvert D1 tel que f se prolonge en une fonction analytique à DYD1).
Indication : en supposant le contraire, il existe un disque ouvert Da de centre a pour tout a P BD tel que f se prolonge en fa sur DYDa. Montrer que DaXDb ‰ H ñ fa “ fb sur DaXDb. Considérer Ω“ Ť
apDYDaq et montrer que Fpzq “fapzq pour z P DYDa est bien définie et analytique sur un disqueDp0, rq avec rą1
Exercice 1.19
Soit Log la détermination principale du logarithme.
1) Déterminer l’ouvert (optimal)Ω1 Ă Csur lequel Rpzq “ exp´1 2Log`
1´z2q˘¯ est holomorphe.
2) Que vaut alors Rpzq2 pour zPΩ1 ?
3) Déterminer l’ouvert (optimal)ΩĂΩ1sur lequelz PΩÞÝÑApzq “ 1 iLog`
iz`Rpzq˘ est holomorphe.
4) PourzPΩ, que vautsinpApzqq ? 5) PourxPs ´1,1r, que vaut Apxq?
2 Premiers contacts avec l’holomorphie
Exercice 2.1
Pour x, y P R, on pose fpx, yq “ x` iy2. Montrer que f est R-différentiable sur R2. Calculer sa différentielle. Existe-t-il un ouvert U de R2 « C et h P HpUq tels que hpx`iyq “fpx, yqpourx`iy PU ?
Exercice 2.2
Soit U un ouvert connexe non vide de C.
1) Soit f PHpUq. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes
a) f est constante. b) P “Repfqest constante. c) Q“Impfq est constante.
d) f¯PHpUq. e) |f| est constant.
2) Soientf, g PHpUq. On suppose queg ne s’annule pas dansU et quefpzqg¯pzq P R pourz PU. Montrer qu’il existe cPRtelle que f “cg.
Exercice 2.3
Soit U “ tz “ x`iy PC| ´π ăxă π, y PRu. Soit Ppx, yq “ sinpxq
cospxq `chpyq pour x`iyPU. Montrer qu’il existe f PHpUq, unique, telle que fp0q “0et P “Repfq.
Exercice 2.4
Soienta, b, cPR. On pose Ppx, yq “ax2`2bxy`cy2 pourx, yPR.
a) Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe f P HpCq telle que P “Repfq.
b) Cette condition étant supposée remplie, déterminer toutes les applications f P HpCq telles queP “Repfq.
3 Théorie de Cauchy
Exercice 3.1 CalculerI “
ż
γ
¯
zdz où γ est le chemin joignant le point p1,1q au point p2,4q le long de la paraboley “x2.
Exercice 3.2
Soient m, n PZ˚ et γ1, γ2 des lacets de classe C1 tels que 0RImγ1YImγ2. Pour tout tP r0,1s, on pose γptq “γ1mptqγ2nptq.
Vérifier que γ est un lacet de classe C1 tel que 0RImγ. Calculer Indγp0qen fonction de Indγ1p0qet Indγ2p0q.
Exercice 3.3
Soit γ : r0,1s Ñ C un lacet de classe C1. Pour t P r0,1s et n P N˚, on pose γnptq “γ`
nt´Epntq˘
(oùEpxq: partie entière de x).
a) Montrer que γn est un lacet de classeC1 par morceaux.
b) Pourz RImγ, évaluer Indγnpzq en fonction den et Indγpzq. Exercice 3.4
Soienta, bPR`˚, on poseγptq “acost`ibsint où tP r0,2πs. 1) Dessiner γ˚.
2) Donner la valeur deI “ ż
γ
dz
z en utilisant la notion d’indice.
3) En déduire la valeur deJ “ ż2π
0
1
a2cos2t`b2sin2t dt . Exercice 3.5
Soient U le disque ouvert de C de centre 0 et de rayon ρ ą 1, et f P HpUq. Pour tP r0,2πs, on poseγptq “eit.
1) a) Calculer I1 “ ż
γ
`2`z ` 1 z
˘fpzq
z dz et I2 “ ż
γ
`2´z´ 1 z
˘fpzq
z dz (le résultat utilisera les valeurs de f et/ou de ses dérivées en certains points).
b) En déduire la valeur de 2 π
ż2π 0
fpeitqcos2 t
2dt et de 2 π
ż2π 0
fpeitqsin2 t 2dt.
2) Pour|a| ‰1, évaluer Ipaq “ 1 2iπ
ż
γ
fpzq z´adz.
Exercice 3.6
PourtP r0,1s, on pose Γptq “?
2 expi`
2πt´ π 4
˘ et
γptq “
$
’’
’’
’’
’’
’’
’&
’’
’’
’’
’’
’’
’%
1`ip8t´1q si 0ďtď 14
3´8t`i si 14 ďtď 12
´1`ip5´8tq si 12 ďtď 34
8t´7´i si 34 ďtď1
a) Vérifier que γ est un lacet de classeC1 par morceaux. CalculerIndγp0q. b) Retrouver ce résultat en utilisant une homotopie dansC˚ de γ surΓ.
Exercice 3.7
Soit f P HpDq dont le développement en série entière s’écrit :
`8
ÿ
n“0
anzn. On suppose que pour tout z PD, |fpzq|p1´ |z|q ď1. Prouver que pour toutn PN˚, |an| ăepn`1q. Indication : formules de Cauchy.
Exercice 3.8
Calculer les intégrales suivantes : ż
γ
sinpπeiπzq pz´1q3 dz
où γ est le cercle de centre 0, de rayon 2 parcouru dans le sens trigonométrique.
ż
γ
eiπz pz´1q2dz
oùγest la réunion du cercle de centre0, de rayon 2parcouru dans le sens trigonométrique et du cercle de rayon 1
2 parcouru dans le sens opposé.
Exercice 3.9
Intégrales de Fresnel. Soit pą 1un entier. On considère la fonction fpzq “exp` izp˘ pour z PC et, pour R ą 0, le lacet γR défini par la concaténation des trois chemins: le segmentr0, Rs, l’arc de cercle de centre 0et de rayonRcorrespondant aux arguments de 0à π
2p et enfin le segment reliantRexp` iπ{2p˘
à0.
1) Faire un schéma et justifier que ż
γR
fpzqdz“0.
2) Montrer que l’intégrale def le long du second chemin (l’arc de cercle) tend vers 0 quand Rtend vers l’infini.
3) En déduire (la convergence et) la valeur des intégrales de Fresnel ż`8
0
cos` xp˘
dx et
ż`8 0
sin` xp˘
dx (le résultat fait intervenir la fonctionΓd’Euler).
4) On souhaite tout adapter pourpą1non nécessairement entier. Que faire ? Exercice 3.10
SoientrPs0,1ret M PR`.
On suppose quef PHpDqvérifiefp0q “a0 PC˚et|fpzq| ď M pour|z| “r. Montrer que si f s’annule en z0PrD alors|z0| ě r|a0|
pM` |a0|q.
Indication : utiliser la formule de Cauchy pourfpour montrer quea0“ ´1 2iπ
ż
|z|“r
z0fpzq zpz´z0qdz.
Exercice 3.11
SoientRPR`˚,U “R.Detf “
`8
ÿ
n“0
anzn PHpUq. On noteP “RepfqetQ“Impfq. a) @nPN˚,@rPs0, Rr, établir :
an “ 1 πrn
ż2π 0
Ppreitqe´intdt“ i πrn
ż2π 0
Qpreitqe´intdt.
Indication : utiliser la formule de Cauchy (avec ż
fpzq{zn`1dzet ż
fpzqzn´1dz) ou des méthodes de Fourier.
b) Dans cette question, on suppose fp0qréel. Prouver que pourrPs0, Rretz PrD, on a
fpzq “ 1 2π
ż2π 0
Ppreitqr`ze´it r´ze´itdt.
c) On suppose dans cette question que 2a0 “ 1, R “ 1 et P ě 0 sur D. Montrer que pour tout nPN˚, |an| ď1.
d) SoientAPRet rP r0, Rr. On suppose que Ppzq ďA pour toutz PU. Prouver que
8
ÿ
n“0
|an|rn ď |a0| ` 2r
R´rpA´Repa0qq.
(Indication : on se ramènera à c) en utilisantα`βfpRzq avec αPCetβ PRbien choisis.) Exercice 3.12
SoientRPR`˚,U “R.Detf “
`8
ÿ
n“0
anzn PHpUq, bornée surU. On noteP “Repfq, Nf “ supt|fpuq ´fpvq|; u, vPUuet ∆f “supt|Ppuq ´Ppvq|; u, vPUu.
a) @rPs0, Rr, établir : a1 “ 1 4πr
ż2π 0
rfpreitq ´fp´reitqse´itdt.
b) Montrer que |a1|R ď 1
2Nf. Examiner le cas où fpzq “ z; que peut-on en conclure ?
c) Etablir |a1|R ď 2
π∆f (on démontrera d’abord le résultat pour a1 réel puis on écriraa1 “ |a1|eiα et on introduirafαpzq “fpe´iαzq). Indication : on utilisera la formule de l’exo 3.11. pour exprimer a1.
On note Log la détermination principale du logarithme. SoitρąR, étudier le cas où fpzq “ 1
2iLog´
ρ´z ρ`z
¯. Que peut-on en conclure ? Exercice 3.13
SoientRPR`˚,U “R.Det f “
`8
ÿ
n“0
anzn PHpUq. On noteP “Repfq, Q“Impfq. PourrPs0, Rr, on pose
Iprq “ 1 2π
ż2π 0
|fpreitq|2dt.
a) Etablir : Iprq “
8
ÿ
n“0
|an|2r2n.
b) On suppose que f n’est pas identiquement nulle. Montrer que Iprq ą 0 pour tout rPs0, Rr.
c) Montrer que, pourrPs0, Rr,lnpIprqqest une fonction convexe delnprq. Indication : montrer que Jpsq “Ipesq vérifieJ.J2´J12ě0.
d) On fixe rPs0, Rr, montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : i) |Pp0q| “ |Qp0q|.
ii) 1 2π
ż2π 0
|Ppreitq|2dt“ 1 2π
ż2π 0
|Qpreitq|2dt.
Indication : appliquer Cauchy à f2. Exercice 3.14
Soient U un ouvert de C contenant D et f : U Ñ C une application C1 telle que fpDq ĂD. SisP r0,1s, on définit les lacetsγsptq “fpse2iπtq´se2iπtetΓs“sfpe2iπtq´e2iπt pourtP r0,1s.
On suppose que pour toutz PD, fpzq ‰z.
a) PoursP r0,1s, déterminer Indγsp0qet IndΓsp0q.
b) En déduire une contradiction et prouver ainsi que f admet au moins un point fixe dans D.
4 Principe du maximum
Exercice 4.1
SoitU un ouvert deCcontenantD. On suppose quef PHpUqvérifie|fpzq| ą |fp0q|
sur BD. Montrer que f possède au moins un zéro dans D. Indication : considérer 1{f.
Exercice 4.2
Refaire l’exercice 3.10. (introduire la fonctionz ‰z0 ÞÑfpzq{pz´z0q) Exercice 4.3
Soit P PCrXsde degré ną0.
Montrer que, pour0ărďR, on aMpRqR´n ďMprqr´noùMprq “supt|Ppreitq|; tP Ru. Indication : considérer zÞÑznPp1{zq.
Exercice 4.4
Soient U un ouvert connexe de C, f P HpUq non constante et V “ tz¯| z P Uu. On posegpzq “fpz¯qpourz PV.
a) Existe-t-il un ouvert W de V, non vide, tel queg|W PHpWq ? b) Soitpanqně0 une suite deCtelle queř
n|an|converge et est non nulle. On pose hpzq “
8
ÿ
k“0
akzk. Montrer quehPHpDq XCpDq.
c) On définit F : CÑ C par Fpzq “ z`hpz¯q si |z| ď 1 et Fpzq “ z`hpz´1q si
|z| ě1. Prouver queF PCpCq XHpCzDqet que F RHpWqpour tout ouvert non vide W ĂD.
d) Soit Γ :r0,2πs ÑC qui à t associeeit. PournPZ, évaluer In “ ż
Γ
znFpzqdz.
Exercice 4.5
Soit f P H pDq sans zéros. Montrer qu’il existe une suite de points de D dont le module converge vers 1et l’image par f est bornée. (on pourra introduire1{f)
Exercice 4.6
Soit U un ouvert connexe de C. On considèref1,¨ ¨ ¨ , fn PHpUqtels que, pour tout kP t1,¨ ¨ ¨ , nu, fkpUq ĂCzR´; etα1,¨ ¨ ¨ , αn PR. Pourz PU, on pose
gpzq “
n
ź
k“1
|fkpzq|αk.
Montrer que sig a un maximum local en un point ade U alors g est constante sur U.
Exercice 4.7
Théorème des trois cercles de Hadamard.
Soient 0 ă r ă R. Soit U un ouvert de C contenant la couronne C “ tz P C| r ď
|z| ďRu.
On considèref PHpUq et on pose Mpρq “supt|fpzq|; |z| “ρu, où ρP rr, Rs. a) PourpPZ et qPN˚, montrer que ρpqMpρq ďmaxtrpqMprq, RpqMpRqu. Indication : on pourra faire intervenirgpzq “zp`
fpzq˘q
. b) On suppose queMprqet MpRq sont non nuls.
En considérantαPRtel querαMprq “RαMpRq, montrer que pHq Mpρq ďMprq
lnpRq´lnpρq
lnpRq´lnprq.MpRq
lnpρq´lnprq lnpRq´lnprq.
c) On suppose queMprq “0ou MpRq “0. Est-ce que pHqest encore vrai ? Exercice 4.8
Inégalité de Borel-Caratheodory.
SoientA, ρPR`˚, RPs0, ρr et U “D˝ p0, ρq.
a) Déterminer B“supt|gpzq|; z PC, Repzq ďAu avecgpzq “ z 2A´z.
b) Soit hPH pUqtel quehp0q “0et Rephpzqq ď Apour tout zPU. Montrer que pour tout|z| ăR, on a|hpzq| ď 2A|z|
R´ |z|. (on pourra introduire la fonction grhpRzqs) Dans la suitef PHpUq.
On pose Mprq “supt|fpzq|; |z| “ruet mprq “suptRepfpzqq; |z| “ru.
c) Montrer que M est croissante et continue sur r0, ρr. Prouver que si f n’est pas constante, M est strictement croissante.
d) Montrer que mest croissante et continue sur r0, ρr.
e) On suppose quefp0q “0. Pourr P r0, Rs, montrer que Mprq ď 2r
R´rmpRq. f) Soit rP r0, Rr, montrer que Mprq ď 2r
R´rmpRq `R`r R´r|fp0q|. Exercice 4.9
Fonction de Möbius et inégalité de Schwarz-Pick.
a) Soit aPD. On considère la fonction ϕapzq “ a´z 1´az¯ ¨
(i) Montrer queϕaPHpDq XCpBDq. Que valentϕap0qet ϕapaq?
(ii) Justifier queϕa:DÝÑ D. Indication: On pourra éviter des calculs en utilisant le principe du maximum.
(iii) Pour aPD, montrer que ϕ´a1 “ϕa et queϕapDq “D. Soient a, bPD distincts etf PHpDqtelle que fpDq ĂD.
b) Etablir pour tout zPD: ˇ ˇ ˇ
fpzq ´fpaq 1´fpaqfpzq
ˇ ˇ ˇďˇ
ˇ ˇ
z´a 1´¯az
ˇ ˇ
ˇ. Que peut-on dire s’il existe z PDztaupour lequel l’inégalité précédente est une égalité ?
Indication : utiliser les fonctions ϕu où uP D, introduire la fonctiong“ϕfpaq˝f˝ϕa puis utiliser le lemme de Schwarz.
c) Prouver que pour toutz PD:
|f1pzq| ď 1´ |fpzq|2
1´ |z|2 et |fp0q| ´ |z|
1` |zfp0q| ď |fpzq| ď |fp0q| ` |z| 1´ |zfp0q|¨ d) Soit rPs0,1r tel quea, bPD¯p0, rq. Etablir : |fpaq ´fpbq|
|a´b| ď 1 1´r2.
Dans la suite, on suppose que |a| “ |b| “rą0, que fp0q “0et que fpaq “fpbq “α.
e) Montrer que, pour zPD, on a ˇ
ˇ ˇ
fpzq ´α 1´αfpzq
ˇ ˇ ˇďˇ
ˇ ˇ
z´a 1´¯az
ˇ ˇ ˇ.
ˇ ˇ ˇ
z´b 1´¯bz
ˇ ˇ ˇ¨ Pour cela, on pourra utiliser la fonctionz ‰aÞÑ ϕfpaq˝fpzq
ϕapzq En déduire|α| ďr2.
f) On suppose que |f1p0q| “ β‰0.
Montrer que, pour |z| “ r, on a rpβ´ rq ď p1` βrq|fpzq|. (Indication : on pourra utiliser la fonctionz ÞÑηz´1fpzq oùηă1.)
5 Singularités isolées
Exercice 5.1
Développer en série de Laurent à l’originefpzq “ 1
z6pz´1q2pz`2q
a) Pour 0ă |z| ă1, b) Pour 1ă |z| ă2, c) A l’extérieur du disque D¯p0,2q
Exercice 5.2
Développer en série de Laurent dans les différentes couronnes admissibles de centre indiqué les fonctions suivantes
fpzq “ 1
1´z2 ` 1
3´z pa“0q, fpzq “ ez
pz´1q3 pa“ 1q, fpzq “ e1{z
1´z pa“0q. Exercice 5.3
SoituPC. En remarquant quefp´1
zq “fpzq,montrer que le développement en série de Laurent pour0ă |z| ă `8defpzq “exp
„u 2pz´ 1
zq
s’écritfpzq “c0`
`8
ÿ
n“1
cn ˆ
zn` p´1qn zn
˙
avec pour n ě 0 : cn “ 1 π
żπ 0
cospnt´usintqdt . Calculer le développement en série en- tière de la fonctionuÞÑcnpuq(fonction de Bessel).
On pourra utilisercnpuq “ 1 2π
ż2π 0
exppiusinptqq.e´intdtpuis développer en série entière exppiusinptqq.
Exercice 5.4
Décrire la nature de la singularité et calculer le résidu correspondant: fpzq “ 1
pz2`1qpz´1q3; gpzq “ z2`1
z4´1; hpzq “ ez
sinz; ℓpzq “ 1
z3tanztanhz pz“0q
mpzq “ e1{z
1´z ; ppzq “ sinpπzq
pz´1q3; qpzq “ sinz
cospz3q ´1 pz “0q. Exercice 5.5
Déterminer la partie singulière du développement en série de Laurent à l’origine de fpzq “ 1
pez´1q3 et l’utiliser pour trouverrespf,0q. Exercice 5.6
Montrer que fpzq “ z
sinpπsinzq a une fausse singularité en 0. Calculer le rayon de convergence de sa série de Taylor en 0.
Exercice 5.7
Soit f une fonction entière dont l’ensemble des zéros est Z. On suppose que tous les zéros sont simples. Montrer qu’il existe g entière telle quefpzq “egpzqsinpπzq.
Indication: considérer la fonction z RZÞÑ fpzq
sinpπzq que l’on peut prolonger en une fonction holomorphe (justifier) et utiliser ses propriétés pour montrer qu’elle s’écrit eg.
Exercice 5.8
1) Sig est entière et non constante, montrer que gpCq “C.
2) Soitf une fonction holomorphe dans D1pa, rq “ Dpa, rqztau et pour laquelle a est un point singulier essentiel. Montrer quea est aussi essentiel pour g˝f.
Exercice 5.9
Soit f holomorphe dans D1pa, rq “Dpa, rqztauet vérifiant ℜfpzq ě0 pour0ă |z´a| ăr.
a) Montrer que an’est pas un point singulier essentiel pour f.
b) On suppose que a est un pôle pour f. Montrer que a est une fausse singularité pourg “ 1
1`f¨
c) En considérante´g,montrer que g est nulle.
d) Que peut-on en conclure? Exercice 5.10
Soit f une fonction méromorphe dans C, telle que pour chaque pôle a de f on ait respf, aq PZ.
a) Montrer qu’il existe une fonction g holomorphe dans CzP, où P est l’ensemble des pôles def, telle que f “g1{g.
Indication:: chercher g sous la forme expş
γfpζqdζ où γ est un chemin d’origine z0 et d’extrémité z.
b) Quelle est la nature de la singularité deg en w si w est un pôle multiple de f? c) Montrer que si f n’a que des pôles simples, alors g est méromorphe dans C et décrire ses pôles.
Exercice 5.11
Résidu à l’infini. Si f est holomorphe pour |z| ą r, on pose gpzq “ 1 z2fp1
zq pour 0ă |z| ă1{r .On noterespf,8q “ ´respg,0q. On dit que c’est le résidu de f à l’infini.
a) Soit
`8
ÿ
n“´8
cnzn le développement en série de Laurent de f dans la couronne
|z| ąr. Montrer que respf,8q “ ´c´1.
b) Si f est méromorphe dans C avec un nombre fini de singularités a1,¨ ¨ ¨ , an, montrer que respf, a1q ` ¨ ¨ ¨ `respf, anq `respf,8q “0.
c) Etudier le cas de fpzq “ e1{z zp1´zq¨
6 Théorème des résidus et applications
Dans les exercices suivants on pourra utiliser un des contours classiques suivants:
O O
+R -R
cercle orienté
O O ii
+R -R
demi-disque
Pacman bord demi-disque évidé
O -R +R
Exercice 6.1
Calculer les intégrales suivantes ż2π
0
cos2pθq 2`sinpθq dθ;
ż`8
´8
eitx 1`x4 dx;
ż`8 0
dx
p1`x2qn pnPN˚q
ż`8
´8
xsinx
x2`2x`5dx;
ż`8
´8
xn
p1`x2qp1`x4qdx pn“ 0,1,2,3,4q. Exercice 6.2
Pouraą0,montrer que ż`8
0
eacosxsinpasinxqdx x “ π
2pea´1q . Indication: considérer la fonctionfpzq “ eaeiz
z et intégrer sur le bord d’un demi-disque évidé...
Exercice 6.3
PourαPRavec´1ăαăn´1,calculer
ż`8 0
xα 1`xn dx . Indication: intégrer sur un pacman...
Exercice 6.4 Calculer
ż`8 0
lnpxq
p2`xqp1`xq3dx . Indication: intégrer sur un pacman...
Exercice 6.5 CalculerI “
ż`8 0
? dx
xp1`x2q et J “ ż`8
0
lnpxq
?xp1`x2qdx .
Indication: méthode 1, intégrer sur un quart de cercle du quart de plan NE où on évite 0eti de ε. Méthode 2, intégrer sur le bord d’un demi-disque évidé
Exercice 6.6
Pour´1ăpă2,après avoir donné un sens à fpzq “ z1´pp1´zqp
p1`zq3 , calculer
ż1
0
x1´pp1´xqp p1`xq3 dx
Indication: intégrer sur le cycle obtenu par réunion d’un disque centré en 0 de grand rayon et d’une "piste" entourant de près le segment r0,1s.
O
O jj
-R +R
7 Zéros de fonctions holomorphes - Bijections holomor- phes.
Exercice 7.1
SoientC la couronne 2DzD¯ et ZpPql’ensemble des zéros de PpXq “X7´5X3`12.
Déterminer cardpZpPq XDq et cardpZpPq XCq.
Indication: montrer queP n’a que des racines simples. Utiliserfpzq “5z3´12etgpzq “z7.
Exercice 7.2
Soitϕ:DÑDune fonction holomorphe. On suppose que |ϕ|a une limite de module 1en tout point de BD et queϕ a au moins un zéro dans D. Montrer queϕ est surjectif.
Exercice 7.3
Soit ϕ:DÑ Cune fonction holomorphe injective (fonction univalente). On suppose que ϕp0q “0.
Montrer que pour toutη Ps0,1r, il existe rPs0,1rtel que |z| ěη ùñ |ϕpzq| ěr.
Exercice 7.4
Formule d’inversion de Lagrange. Soient R ą 0 et U Ă C un ouvert contenant D¯p0, Rq, et f P HpUq. On pose M “ supt|fpzq|; |z| ď Ru et on suppose que M ą 0.
Soit V “Dp0,MRq.
1) Soit z P V. Prouver que l’équation en ξ : ξ “ zfpξq a une unique racine gpzq appartenant àDpO, Rq.
2) On noteγptq “Reit où tP r0,2πs. Pour z PV, montrer que gpzq “ 1
2iπ ż
γ
wp1´zf1pwqq w´zfpwq dw.
Indication: théorème des résidus (quel est le seul pôle éventuel de wÞÑ wp1´zf1pwqq w´zfpwq ?).
3) Soitan la valeur en 0de la dérivéepn´1qième dez Ñ rfpzqsn. Montrer que pour z PV, on a :
gpzq “
8
ÿ
n“1
an n!zn. Indication: développer en série entière.
Exercice 7.5
Soit U “CzD. Montrer que l’application définie par fpzq “ 12
`z` 1z˘
pourz PU, est injective.
Déterminer l’image def, sa fonction réciproqueg (définie sur Imf) et pourw PU, le développement en série de Laurent de gpwq. Indication: on pourra remarquer que w2´1“ w2p1´ w12q.
Exercice 7.6
On noteS “ txPR| |x| ě1u;U “Sc et V “ tz PC| |Repzq| ď π 2u. 1) Montrer que l’on peut définirf PHpUq parfpwq “ 1
i log´
iw`?
1´w2¯ 2) Prouver quef est l’unique élément deHpUq vérifiant
(i)w “sinpfpwqq pour toutw PU et (ii)fpxq “Arcsinpxqpour toutxPs ´1,1r. 3) Etablirf1pwq “ 1
?1´w2 pour toutwPU etfpwq “w`
8
ÿ
k“1
1.3...p2k´1q
2.4...p2kq ¨ w2k`1 2k`1 pour|w| ă1. 4) Prouver que zÞÑsinz induit une bijection deV surU dont la bijection réciproque est f.
8 Suites, séries et produits de fonctions méromorphes.
Exercice 8.1
Soient U un ouvert connexe et f P HpUq. On suppose qu’il existe a P U tel que la série de terme général fpnqpaqconverge.
Montrer qu’il existe une unique fonction entière F tel que F|U “ f puis prouver que la série de terme général Fpnqpzq est uniformément convergente sur tout compact de C. Exercice 8.2
Soientf, g PHpDqavecfp0q “gp0q “0. On posefpzq “
8
ÿ
n“1
anzn etgpzq “
8
ÿ
n“1
bnzn. 1) Prouver que les sériesFpzq “
8
ÿ
n“1
angpznq et Gpzq “
8
ÿ
n“1
bnfpznqsont normalement convergentes sur tout compact de D. Indication: : montrer, via le lemme de Schwarz, que l’on a une inégalité du type|gpzq| ďAr|z|si|z| ďr, où r est fixé dans s0,1r.
2) Déterminer le développement en série entière deF à l’origine. En déduire F “G.
3) Soit logla détermination principale du logarithme. Etablir pour zPD :
8
ÿ
n“1
logp1`znq “
8
ÿ
n“1
p´1qn´1¨zn np1´znq
8
ÿ
n“1
p´1qn´1¨zn 1´zn “
8
ÿ
n“1
zn 1`zn. Exercice 8.3
Séries de Dirichlet.
a) Soienta, b, x, y PRavecaăb. Pourz “x`iy, établire´az´e´bz “z żb
a
e´ztdt.
En déduire que sixą0, on a |e´az´e´bz| ď |z|x|e´ax´e´bx|.
Dans la suite,panqn est une suite de nombres complexes etpλnqn une suite strictement croissante de nombres réels, de limite `8.
b) Montrer que si la sérieSz“
8
ÿ
n“0
anexpp´λnzqconverge pourz “0, elle converge pour tout complexe z tel que Repzq ą 0 (Ind. : utiliser une transformation d’Abel).
Montrer qu’elle est même holomorphe sur ce domaine.
c) Montrer qu’il existeRPR¯ vérifiant les conditions : Repzq ąRñSz converge et Repzq ăRñ Sz diverge.
Exercice 8.4
Soient U un ouvert connexe et pfnqn une suite de fonctions holomorphes dans U, convergeant uniformément vers f sur tout compact de U.
1) On suppose que0RfnpUqpour tout n. Montrer que f est identiquement nulle ou que 0RfpUq. On pourra utiliser le théorème de Rouché avec les fonctionsf et fn.
2) On suppose que fn est injective pour tout n. Montrer que f est injective ou constante. On pourra introduire gpzq “fpzq ´fpaq et gnpzq “fnpzq ´fnpaq.
3) Soit qPN. On suppose que l’équation fpzq “0a au moins q`1racines (comptés avec leur ordre de multiplicité) et que pour toutn, l’équationfnpzq “0a au plusqracines (comptés avec leur ordre de multiplicité). Montrer que f est identiquement nulle.
Exercice 8.5
Montrer que la série de fonctions méromorphes
8
ÿ
n“1
p´1qn
z´n converge uniformément sur tout compact de C. Indication: considérer gnpzq “ p´1qn
z´n ` p´1qn n . Exercice 8.6
PournPN, on note γn le lacet dont l’image est le bord orienté du carré tx`iyPC| supp|x|,|y|q ďn` 1
2u. 1) Soientx, yPRtels que 2|y| ě1. Etablirˇ
ˇ
ˇcotanpπpx`iyqqˇ ˇ
ˇď 1`e´π 1´e´π. 2) Soienty PRet kPZavec 2|y| ď1. Etablir ˇ
ˇ
ˇcotanpπpk` 1
2`iyqqˇ ˇ
ˇďthπ 2. 3) Montrer qu’il existeM ą0 tel quenPN,z PImγn ñ |cotanpπzq| ďM. 4) SoientnPN,z PCzZ tels que 2|z| ă2n`1. Etablir
πcotanpπzq ´
n
ÿ
k“´n
1
z´k “ 1 2iπ
ż
γn
πcotanpπuq
u´z du“ 1 2iπ
ż
γn
zπcotanpπuq upu´zq du.
5) Montrer que pour tout z P CzZ, on a πcotanpπzq “ 1 z `
8
ÿ
k“1
2z
z2´k2. En déduire
8
ÿ
k“1
1 k2.
6) Calculer In “ ż
γn
πcotanpπzq z2 dz.
Dans la suite f est une fonction méromorphe sur C ayant un nombre fini de pôles a1,¨ ¨ ¨, ap PCzZ. On suppose qu’il existe A, Rą0et αą1 vérifiant|z| ąRñ |fpzq| ď A|z|´α.
On pose Lpzq “πfpzqcotanpπzq
7) Montrer que pourn assez grand, on a 1
2iπ ż
γn
Lpzqdz“
n
ÿ
k“´n
fpkq`
p
ÿ
j“1
respL, ajq. En déduire
`8
ÿ
k“´8
fpkq “ ´
p
ÿ
j“1
respL, ajq.
8) Calculer pouraPR`zN,Spaq “
8
ÿ
k“0
1 k2`a2. 9) Montrer que pourzPCzpZ` 12q,πtanpπzq “2z
8
ÿ
k“1
1 pk´ 12q2´z2.
Exercice 8.7
1) Montrer que les produits infinis suivants convergent normalement sur tout compact de C
8
ź
n“1
´ 1´ z2
n2
¯ ź8
n“1
´
1` zp1´zq npn`1q
¯ .
2) En utilisant l’exercice précédent, établir pour toutz PC :
sinpπzq “πz
8
ź
n“1
´ 1´ z2
n2
¯“πzp1´zq
8
ź
n“1
´
1` zp1´zq npn`1q
¯ .
On remarquera que la série ÿfn1
fn converge normalement sur tout compact où de C, avecfnpzq “1´ z2
n2 et f0pzq “z.
Exercice 8.8
Prouver que pour toutz PD,
8
ź
n“0
p1`z2nq “ 1 1´z. Exercice 8.9
Soit tPCtel que Imptq ą0. On poseq“eiπt.
a) Soienta, bPClinéairement indépendants surR. Prouver qu’une fonction entière admettant a et b pour périodes est constante (on pourra d’abord montrer qu’elle est bornée).
b) Montrer que le produit infini hpzq “
8
ź
n“1
´1´q2n´1e2iz¯
converge normalement sur tout compact de C.
c) On pose fpzq “ hpzqhp´zq. Quels sont les zéros de f ? Calculer fpz`πtq en fonction de fpzq.
d) Montrer que la fonction g où gpzq “ e´iz fpzq
fpz` πt2q, est méromophe sur C, de périodes2π et πt. La fonction g est-elle constante ?
Exercice 8.10
On note log la détermination principale du logarithme. On rappelle que pour tout z PCzZ, on aπcotanpπzq “ 1
z `
8
ÿ
k“1
2z z2´k2. a) Pour zP D, on pose gpzq “z` z2
2 `logp1´zq. Montrer que |gpzq| ď |z|3 pour
|z| ď 1
2. Indication: comme d’habitude, on considèrera tÞÑgptzq.
b) PournPN˚, on pose hnpzq “´ 1´ z
n
¯n
.exp´ z` z2
2n
¯.
Montrer que le produit infinihpzq “
8
ź
n“1
hnpzqconverge normalement sur tout compact de C.
c) Soit fpzq “ez hpzq
hp´zq. Prouver que pour zPCzZ˚, on a f1pzq
fpzq “πzcotanpπzq. d) On désigne parγ etχdes chemins de classeC1 vérifiant (ImγYImχq XZ˚“ H, et joignant0à z. Montrer que
Fpzq:“exp”ż
γ
πwcotanpπwqdwı
“exp”ż
χ
πwcotanpπwqdwı .
Prouver queFpzq “fpzqpour tout zPCzZ˚. e) Montrer que pour toutzPCzZ˚ : fp´zq “ 1
fpzq et fpzq.fp1´zq “csinpπzqoù c est une constante.
f) On note V “ Czr1,`8r. Pour z P V, on pose γzptq “ tz, avec t P r0,1s et ψpzq “ş
γzlogp1´uqdu u .
Montrer que ψPHpVq. Pour z PC tel que1´e´2iπz PV, montrer que Fpzq “exp”iπz2
2 ´ 1
2iπψp1´e´2iπzqı . Exercice 8.11
Produits de Blaschke. Soit pαnqn une suite dans Dzt0u telle que ř
p1´ |αn|q ă `8. Pourk PN, on pose
Bpzq “zk
8
ź
n“1
|αn|
αn ¨ αn´z
1´α¯nz où z PD. a) Montrer que B est holomorphe sur D.
b) Montrer que B est bornée sur D et ne possède d’autres zéros que les αn et éventuellement l’origine.
9 Fonctions classiques-Produits eulériens
Exercice 9.1
Fonction Gamma d’Euler. On rappelle que la fonction Γ est définie pour x ą 0 parΓpxq “
ż8 0
tx´1e´tdt.
1) Calculer Γpnq pour tout entier nPN˚. Montrer queΓpx`1q “xΓpxq pourxą 0.
2) En admettant la formule de Stirling : Γpxq „?
2πxx´12e´x auVp`8q, montrer que pour toutxą0
1
Γpxq “ lim
nÑ8
xpx`1q ¨ ¨ ¨ px`nq n!pn`1qx . Indication: trouver un équivalent de Γpx`n`1q
Γpn`1q .
3) Montrer que le membre de droite du (b) définit une fonction entière, ce qui permet de prolonger Γanalytiquement (on note encoreΓ ce prolongement). Pour cela ,on écrira
1
Γpxq “x lim
nÑ8 n
ź
k“1
p1`x{kqe´xlnp1`1{kq.
4) En notant c la constante d’Euler, montrer 1
Γpzq “zecz
8
ź
n“1
´ 1` z
n
¯ e´zn avec convergence uniforme sur tout compact.
5) Déterminer les zéros et les pôles deΓ.
Exercice 9.2
Fonction ζ de Riemann. Soit ζpsq “
8
ÿ
n“1
1 ns.
a) Montrer que ζ existe et est holomorphe sur le demi-plan Repsq ą1.
b) CalculerlimsÑ1|ζpsq|etlimsÑ1ps´1qζpsq. Indication: comparer1{nsetşn`1 n t´sdt.
Remarquer que ζpsq ´ 1
s´1 “ ÿ
ně1
żn`1 n
n´s´t´sdt.
c) Montrer que pour Repsq ą1, on a l’écriture sous forme de produit eulérien ζpsq “ ź
p premier
1 1´p´s.
d) Pourσ, tPRavecσą1, calculerlog|ζpσ`itq|sous forme d’une série. En déduire que ζ ne s’annule pas dans le demi-plan ouvert Repsq ą 1, en minorant explicitement
|ζpσ`itq|.
On introduit la fonction θptq “ ÿ
nPZ
e´n2t, définie pour t ą 0 et on admet l’équation fonctionnelle θpπtq “?
tθpπtq. Remarquer que n´sΓpsq “ ż8
0
ts´1e´ntdt (on l’appliquera
avec n2 et s{2 puis on coupera l’intégrale en π)) et montrer que ζ se prolonge en une fonction méromorphe sur C, admettant un unique pôle, simple, en1.
e) On pose ξpsq “π´s2Γps
2qζpsq. Montrer l’équation fonctionnelle ξpsq “ξp1´sq. f) En déduire pourσ, tPRavec σą1:
|ζpσq|3|ζpσ`itq|4|ζpσ`2itq| ě1.
g) En déduire que la fonctionζ n’a pas de zéros dans le demi-plan fermé Repsq ě1.
h) Où sont les zéros complexes deζ ?
10 Représentations conformes.
Exercice 10.1
Soit U “Czs ´ 8,´41s. Prouver quefpzq “ z
p1´zq2 est une représentation conforme de Dsur U.
Exercice 10.2
Ensemble de Julia rempli. Soit f :CÑ C un polynôme de degré d ą 1. L’ensemble desz tels que la suite pfnpzqqn ne tend pas vers l’infini est notéKf.
a) Montrer qu’il existe R ą 0 tel que si |z| ąR, alors fnpzq Ñ 8. Montrer que Kf est l’intersection despfnq´1pD¯p0, Rqq.
b)En déduire queKf est compact. Montrer que fpKfq “Kf “f´1pKfq. c) Montrer que le complémentaire deKf est connexe.
On suppose désormais quefpzq “z2`c aveccPC.
d)Soit Vn “ pfnq´1pDp0, Rqq. Montrer queVn`1 ĂV¯n et que Kf “č
n
Vn. e)On suppose que0PKf. Montrer queKf est connexe.
f ) On suppose 0 R Kf. Montrer qu’il existe m minimal tel que 0 P VmzVm`1 puis montrer que pour tout k, Vm`k possède2k composantes connexes. En déduire que Kf a une infinité de composantes connexes.
Exercice 10.3
Théorème de Bieberbach. Soit Ω“CzD¯.
a)Soitf PH pΩqavecfpzq “z`
8
ÿ
0
anz´n. On suppose quef est injective. Montrer
que l’aire deCzfpΩq estπ´ 1´
8
ÿ
0
n|an|2¯ .
b) Soit h P HpDq, injective et impaire, avec hpzq “ c1z `c3z3 ` ¨ ¨ ¨. Montrer que
|c3| ď |c1|. (Ind. : considérer rhpz´1qs´1)
c)Soit f PHpDqavecfpzq “
8
ÿ
0
anzn. On suppose quef est injective. Montrer qu’il existe hPH pDq, injective et impaire telle que hpzq2“ fpz2q ´fp0q.
Montrer que |a2| ď2|a1| et que l’on a égalité ssi f est de la forme
fpzq “ λz
p1´eiazq2 aPR.
