Première épreuve – Mines-Ponts MP 2003

Première épreuve Mines-Ponts MP 2003

SoitEun espace préhilbertien réel muni d’un produit scalaire notéh· | ·iet de la norme hilbertienne associée à ce produit scalaire, notéek·k.

Étant donné un réelµsupérieur ou égal à 1, une famille au plus dénombrable (x_i)_i∈I de vecteursunitaires deE est dite µ-presque orthogonalesi et seulement si pour toute partiefinieJ deI on a

∀(aj)_j∈J∈R^J 1 µ

X

j∈J

a²_j ≤

X

j∈J

ajxj

2

≤µ

n

X

j∈J

a²_j .

PARTIE I

Le but de cette première partie est d’établir des résultats qui seront utiles dans la seconde partie.

Étant donné un entiernstrictement positif (n≥1), soitIn,Sn etJn les trois réels définis par les relations ci-dessous :

I_n= Z n

0

Z n 0

dy x+y+ 1

dx S_n =

n−1

X

i=0





n−1

X

j=0

1 i+j+ 1



 J_n = Z 1

0 n−1

X

k=0

x^k

!² dx .

IntégraleIn

1. Calculer, pour toute valeur de l’entier strictement positifn, l’intégraleI_n. 2. Déterminer les constantesA,B,Cet D telles qu’on ait

I_n =An+Bln(n) +C+D

n + on→+∞

1 n

.

SommeS_n

3. Établir un encadrement deSn à l’aide deIn. 4. En déduireSn ∼

n→+∞2nln(2).

IntégraleJn

5. Déterminer la relation liantJ_n àS_n. En déduire un équivalent deJ_n en l’infini.

PARTIE II Premières propriétés

SoitEn un espace euclidien de dimensionnet (x₁, x₂, . . . , xn) une famille de vecteurs deEn.

6. Démontrer que (x1, x2, . . . , xn) est une base orthonormée de En si et seulement si elle est 1-presque orthogonale.

7. Démontrer que si (x₁, x₂, . . . , x_n) estµ-presque orthogonale, alors c’est une famille libre.

Un exemple

Soit E l’espace vectoriel des fonctions réelles définies et continues sur le segment [0; 1] muni du produit scalaire donné par

hf|gi= Z 1

0

f(x)g(x) dx .

Soit (Pn)_n∈N la suite des fonctions deE définies par la relation suivante : P_n(x) =√

2n+ 1xⁿ.

8. Démontrer que, bien que la suite des fonctionsPnde norme unité soit libre, la suite (Pn)n∈N n’est pas presque orthogonale.

par

A=













 a1

a2

... an















, W =

n

X

i=1

aiVi et M = (mij) avec mij=hVi|Vji .

9. En considérant son noyau, montrer queM est inversible, puis démontrer l’existence de matrices carrées P orthogonale etD diagonale dont tous les éléments de la diagonale sont différents de 0, telles que M =^tP DP.

10. Établir la relation qui lie la norme du vecteur W au réel ^tAM A.

11. On noteB le vecteur donné parB=P A, et on pose

B=P A=







 b1

... b_n









, kBk₂= v u u t

n

X

i=1

b²_i et D=









λ1 (0)

. ..

(0) λ_n







 .

Montrer que, pour tout entier ientre 1 et n, on aλi >0 et donner un encadrement de la norme du vecteurW à l’aide des réels λ1, . . . , λn et de la norme euclidienne canoniquekBk₂ deB.

12. En déduire que la suite (V₁, V₂, . . . , V_n) estµ-presque orthogonale ; préciser des valeurs possibles pour le réelµ.

Une condition suffisante

Soit maintenant (V_n)_n≥1 une famille dénombrable de vecteurs unitaires d’un espace préhilbertien réelE.

13. On suppose qu’il existe un réelαvérifiant

α >3 et ∀(p, q)∈N^∗×N^∗ |hVp|Vqi| ≤ 1 α^|p−q| . Démontrer que la famille (Vn)_n≥1 est presque orthogonale.

Deux questions préliminaires

14. Soit f la fonction définie dans le quart de plan [1; +∞[×[1; +∞[ par la relation suivante : f(x, y) =

√2y+ 1√ 2xy+ 1 y+xy+ 1 .

Pouraet bdans [1; +∞[, étudier les variations des fonctions définies sur [1; +∞[ par : gb : x7→f(x, b) ; ha : y7→f(a, y) ; G : x7→ lim

y→+∞f(x, y) H :y7→ lim

x→+∞f(x, y). 15. Soitγun réel vérifiant 0< γ <1. Démontrer l’existence d’une fonctionϕ_γ, définie sur [1; +∞[ vérifiant

∀y∈[1; +∞[ f(ϕ_γ(y), y) =γ .

Démontrer l’existence d’un réelβ strictement supérieur à 1 vérifiantG(β) =γet minorant l’image par ϕ_γ de la demi-droite fermée [1; +∞[.

Retour à l’exemple

On considère à nouveau la suite de fonctions polynomiales considérées à la question 8. Soit (ki)_i∈N une suite strictement croissante d’entiers et, pour i entier, Qi = Pk_i. On suppose que (Qi)_i≥0 est µ-presque orthogonale.

16. Démontrerµ >1 puis qu’il existe un réelβ, strictement supérieur à 1, tel que, pour tout indicei, on ait

k_i+1≥βk_i.

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Première épreuve – Mines-Ponts MP 2003

PARTIE I 1. Pour xdans R+, la fonction y 7→ 1

x+y+ 1 est une fraction rationnelle définie sur R+, car le déno- minateur y est strictement positif, donc intégrable et une primitive est donnée pary7→ln(x+y+ 1).

Pour y fixé dans R+, la fonction x 7→ ln(x+y + 1) est continue sur R+ car l’argument du lo- garithme est une fonction affine strictement positive sur R+, et une primitive en est donnée par x7→(x+y+ 1) ln(x+y+ 1)−x. Il en résulte

In = Z n

0

(ln(x+n+ 1)−ln(x+ 1)) dx= (2n+ 1) ln(2n+ 1)−2(n+ 1) ln(n+ 1), i.e. In= (2n+ 1) ln(2n+ 1)−2(n+ 1) ln(n+ 1).

2. Par équation fonctionnelle du logarithme il vient In= (2n+ 1) ln(n) + (2n+ 1) ln(2) + (2n+ 1) ln

1 + 1

2n

−2(n+ 1) ln(n)−2(n+ 1) ln

1 + 1 n

puis, comme ln(1 +x) =x−x²

2 + o_x→0 x⁻² I_n= 2nln(2)−ln(n) + ln(2) +2n+ 1

2n −2n+ 1

8n² −2n+ 1

n +n+ 1 n² + o

1 n

et donc A= 2 ln(2),B=−1,C= ln(2)−1 etD=−3 4.

3. Soit i et j des entiers naturels. Par comparaison entre série et intégrale, puisque la fonction inverse est continue, strictement positive et strictement décroissante surR₊^∗, il vient en appliquant deux fois l’inégalité de la moyenne

Z i+1 i

Z j+1 j

dy x+y+ 1

dx <

Z i+1 i

dx

x+j+ 1 < 1 i+j+ 1 et, sii≥1 etj ≥1,

1 i+j+ 1 <

Z i i−1

dx x+j+ 1 <

Z i i−1

Z j j−1

dy x+y+ 1

dx . En sommant ces inégalités et par relation deChasles, il vient pourj dansJ0;nK

Z n 0

Z j+1 j

dy x+y+ 1

dx <

n−1

X

i=0

1 i+j+ 1

puis, par linéarité de l’intégrale et relation deChasles,I_n < S_n. Sij≥1 on a de plus

n

X

i=0

1

i+j+ 1 ≤ 1 j+ 1 +

Z n 0

Z j j−1

dy x+y+ 1

dx et donc, par positivité des termes,

Sn< Sn+ 2

n−1

X

i=0

1

n+ 1 +i + 1

2n+ 1 =Sn+1≤

n

X

i=0

1 i+ 1+

n

X

j=1

1

j+ 1+In< In+ 1 + 2 Z n

1

dx x

1

soit I_n< S_n< I_n+ 2 ln(n) + 1.

Remarque : on pourrait affiner en tenant compte de Sn+1 −Sn > 1 2n+ 1 + 2

Z 2n n

dx

x, et obtenir S_n< I_n+ 2n

2n+ 1+ 2 ln(n/2).

4. D’après les deux questions précédentes et puisque 2 ln(n) + 1 = o (n),Sn est encadré par deux termes, tous deux équivalents à 2nln(2), et donc S_n∼2nln(2).

5. On a, en développant le carré et par linéarité, Jn =

Z 1 0

X

0≤i,j≤n−1

x^i+jdx= X

0≤i,j≤n−1

Z 1 0

x^i+jdx

et donc Jn =Sn etJn ∼2nln(2).

PARTIE II

6. Remarquons qu’avec les notations du préambule, une famille est 1-presque orthogonale si et seulement si pour toute partie finieJ deI et tout (a_j)_j∈J dansR^J, on a

X

j∈J

ajxj

2

=X

j∈J

a²_jkxjk² .

Cette dernière égalité est vraie, d’après le théorème dePythagore, dès que la famille (a_jx_j)_j∈J est orthogonale, et donc dès que (x_j)_j∈J l’est. Réciproquement en prenant tous lesa_jnuls sauf deux égaux à 1, le théorème de Pythagore montre que les vecteurs d’une famille 1-presque orthogonale sont orthogonaux deux à deux. Comme elle est formée de vecteurs non nuls car unitaires, c’est une famille libre et par cardinalité, c’est une base deEn. Par conséquent

(x₁, . . . , x_n) est une base orthonormée si et seulement si c’est une famille 1-presque orthogonale.

7. Soit (a₁, . . . , a_n) dansRⁿ. Par positivité des termes, on a

n

X

i=1

aixi

2

= 0 =⇒ 1 µ

n

X

i=1

a²_i = 0 =⇒ ∀i∈J1;nK ai= 0 et donc (x₁, . . . , x_n) est une famille libre.

8. La famille (P_n)_n∈N est libre car formée de fonctions polynomiales non nulles et étagée en degré. On a, pournentier,

kPnk²= (2n+ 1) Z 1

0

x²ⁿdx= 1. En prenantJ=J0;n−1Ket (a_j)_{0≤j≤n−1}= (1/√

2j+ 1)_{0≤j≤n−1}, il vient

n−1

X

i=0

aiPi

2

=Jn∼2nln(2) et

n−1

X

i=0

a²_i =

n−1

X

i=0

1 2i+ 1 . Or la série harmonique est divergente et 1

2n+ 1 ∼ 1 2 1

n. Par comparaison de séries à termes positifs divergentes, on a donc

n−1

X

i=0

1 2i+ 1 ∼

n−1

X

i=0

1 2i ∼ 1

2ln(n) 2

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par comparaison entre série et intégrale, dans le cas divergent, appliqué à la fonction inverse, qui est continue, strictement positive et strictement décroissante surR₊^∗. En particulier on ne saurait avoir

n−1

X

i=0

a_iP_i

2

= O

n−1

X

i=0

a²_i

!

et ainsi (P_n)_n∈N n’est pas presque orthogonale.

9. SoitXun élément du noyau deM, en notant (ai) ses coordonnées, celles deM Xsont (Pn

j=1hVi|Vjiaj) i.e. en notantW =Pn

j=1ajVj, (hVi|Wi). On en déduit queW est orthogonal à tous les (Vi). Comme on a affaire à une famille libre de cardinal la dimension deEn, (Vi)1≤i≤n est une base deEn et donc W est nul. Encore par indépendance des (Vi), on en déduit que tous les (ai) sont nuls et doncX aussi.

Par conséquent M est inversible.

Par symétrie du produit scalaire,M est une matrice symétrique. Étant réelle elle est orthodiagonalisable d’après le théorème spectral et on dispose deP orthogonale et deD diagonale telles queM =^tP DP et la diagonale deD est formée du spectre deM. Comme ce dernier ne contient pas 0, la diagonale de D non plus, i.e. M =^tP DP avecP orthogonale,D diagonale à éléments diagonaux non nuls.

10. Les calculs précédents montrent que M A est le vecteur de coordonnées (hVi|Wi) et donc ^tAM A= Pn

i=1aihVi|Wi=hW|Wipar linéarité. D’où ^tAM A=kWk². 11. D’après les questions 9 et 10, on a^tBDB=kWk², i.e.P

i=1λ_ib²_i =kWk². PuisqueP est orthogonale, elle est inversible d’inverse^tP, de sorte qu’en notant (e_i)_1≤i≤nla base canonique deRⁿet en choisissant pour a₁, . . . , a_n les réels tels queA =^tP e_i, on a B =e_i et λ_i =kWk². On en déduit que, pour tout entierientre 1 etn, on a λi>0.

Par positivité des carrés, il vient également inf_1≤i≤nλikBk²₂≤ kWk²≤max_1≤i≤nλikBk²₂et donc, par croissance de la racine carrée et positivité desλ_i, p

inf_1≤i≤nλ_ikBk₂≤ kWk ≤p

max_1≤i≤nλ_ikBk₂ Remarque : si A est un vecteur propre de M associé à une valeur propre λ de A, on a ^tAM A =

tA(λA) =λkAk² et donc le spectre deM est inclus dansR^∗₊.

12. PuisqueP est orthogonale, on akP Ak₂=kAk₂et donc la question précédente montre qu’on a

inf

1≤i≤nλ_i

n

X

j=1

a²_j ≤

n

X

j=1

a_jV_j

2

≤ max

1≤i≤nλ_i

n

X

j∈J

a²_j

et donc, puisque le spectre deM est fini et inclus dansR₊, on dispose du réelµ_M donné par µM = max

λ1, 1

λ₁, . . . , λn, 1 λ_n

et alors pourµ≥µM, puisqu’on a affaire à une famille unitaire, V1, . . . , Vn estµ-presque orthogonale etV1, . . . , Vn estµ-presque orthogonale si et seulement si µ≥max(Sp(M)∪Sp(M⁻¹)).

13. SoitJ une partie finie deN^∗, (aj)∈j∈J dansR^J etkdansZ, on a, par inégalité triangulaire et par hypothèse sur (Vn)n≥1,

X

(p,q)∈J2

p−q=k

hapVp|aqVqi

≤ X

(p,q)∈J2

p−q=k

|ap| |aq| α^|k|

3

ou encore, en notant1^J la fonction indicatrice de J,

X

(p,q)∈J2

p−q=k

ha_pV_p|a_qV_qi

≤α^−|k|X

q∈J

|a_q+k|1J(q+k)|a_q|,

et donc, par inégalité deCauchy-Schwarzet positivité des termes rajoutés,

X

(p,q)∈J2

p−q=k

hapVp|aqVqi

≤α^−|k|

sX

q∈J

a²_q sX

q∈J

a²_q+k1^J(q+k)≤α^−|k|

sX

q∈J

a²_q sX

p∈J

a²_p

et on en déduit, par sommation de série géométrique de raison 1 α,

X

(p,q)∈J2

p6=q

hapVp|aqVqi

≤ X

k∈N^∗

α^−k+ X

−k∈N^∗

α^k

! X

q∈J

a²_q = 2 α−1

X

q∈J

a²_q .

Comme on a, puisqu’on a affaire à une famille unitaire,

X

j∈J

ajVj

2

=X

j∈J

a²_j+ X

(p,q)∈J2

p6=q

hapVp|aqVqi,

il vient, par inégalité triangulaire,

1− 2 α−1

X

q∈J

a²_q ≤

X

j∈J

a_jV_j

2

≤

1 + 2 α−1

X

q∈J

a²_q .

On en déduit, puisqueα−3 est strictement positif, (Vn)_n≥1 estµ-presque orthogonale pourµ≥max

α+ 1 α−1,α−1

α−3

.

14. Par croissances comparées,H est bien définie et nulle sur [1; +∞[. Pourx≥1, on a f(x, y) ∼

y→+∞

√2y√ 2xy (1 +x)y , et doncGest bien définie et on aG(x) = 2

√x

1 +x. Les fonctionsf etGsont donc toutes deux données par des rapports entre moyennes géométrique et arithmétique. Pour u et v deux réels strictement positifs, avecu≥v, on poset=^u_v et il vient

2√ uv u+v

²

=(u+v)²−(u−v)² (u+v)² = 1−

u−v u+v

²

= 1−

1−2 v u+v

²

= 1−

1− 2 1 +t

² .

On noteϕ la fonction donnée par le membre de droite. Elle est strictement décroissante sur [1; +∞[

car la fonction carré est strictement croissante sur R+ et que pour t ≥ 1 on a 1− _1+t² ∈ R+. Par 4

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définition, pour x≥1 ety ≥1, on a, en considérantu=x≥1 =v, G(x) =ϕ(x) et, en considérant u= 2xy+ 1≥2x+ 1 =v,f(x, y) =ϕ

2xy+ 1 2y+ 1

. Pourb≥1, comme on a 2xb+ 1

2b+ 1 = 2b

2b+ 1x+ 1

2b+ 1 et 2b

2b+ 1 >0, la fonctiongb est la composée de la fonction affine strictement croissante avecϕet est donc strictement croissante.

Pour a≥1, comme on a 2ay+ 1

2y+ 1 =a− a−1

2y+ 1, la fonctionh_a est la composée d’une fonction affine strictement croissante (y7→2y+ 1), de la fonction inverse et d’une fonction affineu7→ −(a−1)u−a strictement décroissante sia >1 et constante sinon, avecϕ. Elle est donc strictement décroissante sia >

1 et constante sinon : h1et H sont constantes et les autres fonctions sont strictement décroissantes.

15. Soitydans [1; +∞[. Commeg_yest continue, strictement décroissante et vérifieg_y(1) = 1 et lim_+∞g_y= H(y) = 0 le théorème de la bijection assure que g_y réalise une bijection de ]1; +∞[ sur ]0; 1[, d’où l’existence d’un uniquexdans ]1; +∞[ tel quef(x, y) =γet l’existence de ϕ_γ.

Par décroissance dehx on a égalementγ=f(x, y)≥G(x). CommeGest également continue, stricte- ment décroissante et vérifieG(1) = 1 et lim_+∞G= 0, on dispose d’un uniqueβ dans ]1; +∞[, tel que G(β) =γ et alors, par décroissance stricte deGet puisqueG(β) =γ≥G(ϕγ(y)), on aϕγ(y)≥β, i.e.

G(β) =γetβ ≤infϕγ.

16. Soitiun entier naturel. On aki+1> ki par stricte croissance de la suite (kn). On choisitJ ={i, i+ 1}, ai= 1 etai+1=−1. Il vient alors

0≤ kQ_i−Q_i+1k²−1

µ(a²_i +a²_i+1) = 2−2

√2ki+ 1p

2ki+1+ 1 ki+ki+1+ 1 − 2

µ

et donc

√2ki+ 1p

2ki+1+ 1

ki+ki+1+ 1 ≤ µ−1

µ . Comme le membre de gauche est strictement positif, on en déduit µ >1.

Si ki = 0, l’inégalité ki+1 ≥ βki est vraie pour toute valeur de β car ki+1 > ki = 0. On suppose dorénavant k_i >0. On pose γ = µ−1

µ , de sorte qu’on a 0 < γ < 1. On a également k_i+1 ki

>1 par croissance stricte de la suite (k_n) et stricte positivité dek_i. Le calcul précédent permet alors d’obtenir

f ki+1

k_i , ki

≤γ=f(ϕγ(ki), ki)

et donc, par décroissance stricte de g_ki, il vient ki+1

k_i ≥ ϕ_γ(k_i). Grâce à la question précédente on dispose d’un réelβ vérifiantβ >1,G(β) =γ etβ≤infϕγ. En particulierβ ≤ki+1

ki

, i.e. ki+1≥βki.

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