Corrigé de la première épreuve de mathématiques Mines-Ponts 2010 - filière MP

Corrigé de la première épreuve de mathématiques Mines-Ponts 2010 - filière MP

A. Prolongement harmonique

1) Les suites (cn)_n≥1 et (c_−n)_n≥1 sont bornées (par exemple par ||f||_∞||) : les séries entières X

n≥1

cnzⁿ et X

n≥1

c_−nzⁿ sont donc de rayons de convergence au moins égaux à 1 : on en déduit que X

n≥1

c_nzⁿ et X

n≥1

c_−nzⁿ

convergent pour toutz∈D.

2) Soity∈]−1,1[etI=]−p

1−y²,p

1−y²[. Nous avons :

• ∀n∈N,u_n: x7−→a_n(x+iy)ⁿ est de classeC¹ surI;

• X

n≥0

un converge simplement surI;

• X

n≥0

u⁰_n converge normalement (donc uniformément) sur tout segment contenu dans I (car la série dérivéeS⁰(z)est de même rayon≥1que la sérieS(z)).

Le théorème de dérivation terme à terme permet donc de conclure que Se est dérivable partiellement par rapport àxsurD, avec :e

∀(x, y)∈D,e ∂Se

∂x(x, y) =S⁰(x+iy).

Comme la série dérivée est de rayon≥1, cette dérivée partielle est continue sur le dique ouvertD.e 3) Une preuve identique prouve queSeest dérivable partiellement par rapport ày surD, avec :e

∀(x, y)∈D,e ∂Se

∂y(x, y) =i

+∞

X

n=0

(n+ 1)an+1(x+iy)ⁿ=i∂Se

∂x(x, y)

Se est donc de classe C¹ sur De; le même résultat s’applique aux dérivées partielles de S, qui est donc dee classeC² (et mêmeC^∞ par récurrence immédiate), avec :

∀(x, y)∈D,e











∂²Se

∂x²(x, y) =S⁰⁰(x+iy)

∂²Se

∂y²(x, y) =i²S⁰⁰(x+iy) =−∂²Se

∂x²(x, y) ce qui donne∆S(z) = 0pour toutz∈D.

4) D’après la question précédente, les applicationsϕ1: z7−→

+∞

X

n=0

cnzⁿ etϕ2: z7−→

+∞

X

n=1

c_−nzⁿ sont de classe C² et de laplaciens nuls surD. Par composition,g_f : z7−→ϕ₁(z) +ϕ₂(z)est de classeC² surD et :

∀z∈D, ∆(gf)(z) = ∆(ϕ1)(z) +∂²ϕf2

∂x² (z) + (−1)²∂²fϕ2

∂y² (z) = ∆(ϕ1)(z) + ∆(ϕ2)(z) = 0

5) Nous avonsg_f(z) = 1 2π

Z π

−π

f(e^it) dt+

+∞

X

n=1

1 2π

Z π

−π

f(e^it) e^−intzⁿ+e^intzⁿ dt.

Pour n∈N^∗, la fonctionun : t7−→ f(e^it) e^−intzⁿ+e^intzⁿ

est continue sur[−π, π] et la sérieP

n≥1un

converge normalement sur[−π, π] :

∀n∈N^∗, ∀t∈[−π, π],

f(e^it) e^−intzⁿ+e^intzⁿ

≤2||f||_∞|z|ⁿ=αn

où α_n ne dépend pas de t et est un terme général de série convergente (|z| < 1). On en conclut que t7−→

+∞

X

n=1

u_n(t)est continue sur[−π, π]et que l’on peut échanger les signesPet R :

gf(z) = 1 2π

Z π

−π

f(e^it) 1 +

+∞

X

n=1

e^−intzⁿ+e^intzⁿ

! dt

= 1

2π Z π

−π

f(e^it) Re 1 + 2

+∞

X

n=1

z e^−itn

! dt

= 1

2π Z π

−π

f(e^it) Re

1 + 2 z e^−it 1−z e^−it

dt

= 1

2π Z π

−π

f(e^it) Re

e^it+z e^it−z

dt

6) Quandf =pn, cp=δp,n pour toutp∈Zetgp_n(z) =zⁿ pour toutz∈D.

Quandf =q_n, c_p=δ_p,−n pour toutp∈Zetg_qn(z) =zⁿ pour tout toutz∈D.

Avecf =p₀, la relation obtenue à la question 5 donne : 1

2π Z π

−π

P_z(t) dt=g_p0(z) = 1

Enfin, pourt∈[−π, π],P_z(t) = Re

(e^it+z)(e^−it−z)

|e^it−z|²

= 1− |z|²

|e^it−z|² >0.

7) Pour toutn∈N, nous avons en utilisant la positivité dePz :

• ∀z∈D, |Gfn(z)−Gf(z)| ≤ 1 2π

Z π

−π

|fn(e^it)−f(e^it)|Pz(t) dt≤ ||fn−f||∞

1 2π

Z π

−π

P_z(t) dt=||fn−f||∞

• ∀z∈T, |G_fn(z)−G_f(z)|=|f_n(z)−f(z)| ≤ ||f_n−f||_∞ doncsup

z∈D

|Gf_n(z)−Gf(z)| ≤ ||fn−f||_∞−−−−−−→

n→+∞ 0:Gf_nconverge uniformément versGf surD dès quefn

converge uniformément versf surT.

8) Soitf ∈ C(T). Le (second) théorème d’approximation de Weïerstrass permet d’affirmer qu’il existe une suite de polynômes trigonométriques (Pn)_n∈N qui converge uniformément vers fe(fe: R → C est continue et 2π-périodique). Il existe ensuite une suite(f_n)_n∈NdeP(T)telle que P_n =ff_n pour toutn∈N: nous avons alors

||f_n−f||_∞= sup

t∈R

|ff_n(t)−fe(t)| −−−−→

n→+∞0 et la suite(f_n)converge uniformément versf.

On en déduit queG_fn converge uniformément versG_f sur D. Comme lesf_n sont éléments de P(T), nous avonsG_fn=f_n (avec l’abus d’écriture déjà utilisé à la question 6) : lesG_fnsont donc continues surD, ainsi que leur limite uniformeG_f.

9) Pour toutz,u(z) =G(z) +ε(x²+y²), doncuest de classeC² surDet∆u(z) = ∆G(z) + 4ε= 4ε >0pour toutz∈D.

Dest compact etuest continue surDet à valeur réelle :uest majorée surD et atteint sa borne supérieure en un pointz0∈D. Supposons quez0=x0+iy0∈D. La fonctionx7−→u(x+iy0)est de classeC²et atteint son maximum enx0intérieur à son intervalle de définition : sa dérivée seconde en x0 est donc négative, soit

∂²ue

∂x²(x₀, y₀)≤0. De même, ∂²ue

∂y²(x₀, y₀)≤0, ce qui contredit ∆u(z₀)>0.

On en déduit quez₀∈T, d’oùu(z)≤G(z₀) +ε|z₀|=f(z₀) +ε=εpour toutz∈D.

10) Supposons quef = 0mais queGsoit à valeurs complexes et notonsGretGises parties réelle et imaginaire.

Les fonctionsGr,Gi,−Gret −Gi vérifient alors les conditions (a1),(a2) et (a3) : la question 9) prouve que

−ε≤Gr(z))≤εet −ε≤Gi(z)≤εpour tous z∈D et ε >0: les fonctions Gr et Gi sont donc nulles sur D etG= 0 =Gf.

Sif ∈ C(T)et siGvérifie (a1),(a2) et (a3), la fonctionG−Gf vérifie (a2) et (a3) et sa restruction àT est nulle :G=Gf d’après l’étude du cas particulier.

B. Deux applications

11) Gest clairement continue surD, de classeC²surD et

∀z=x+iy∈D, ∆G(z) =e^xcosy−e^xcosy= 0

doncGvérifie (a2) et (a3). En notantf₀la restriction deGàT, la partie A prouve queG=G_f0. L’intégrale dont on demande le calcul est égale àcn (fe0 est paire) etcn=c_−n pour toutn∈N.

Nous avons donc :

∀z=x+iy∈D, c0+

+∞

X

n=1

cn(zⁿ+zⁿ) =e^xe^iy+e^−iy

2 = e^z+e^z 2 = 1 +

+∞

X

n=1

zⁿ+zⁿ 2n!

En particulier :

∀ρ∈]−1,1[, c₀+

+∞

X

n=1

2c_nρⁿ = 1 +

+∞

X

n=1

ρⁿ n!

Par unicité du développement en séries entières, nous obtenonsc0= 1etcn= 1

2n! pour toutn≥1, soit :

∀n∈Z, 1 2π

Z π

−π

e^costcos(sint) cos(nt) dt=







1 si n=0 1

2|n|! sinon

12) Supposons que uest de classe C² et de laplacien nul sur U et fixons un disque fermé D(a, R) ⊂U. Soit

G : D −→ C

z 7−→ u(a+Rz)

et soitf la restriction deGàT. On montre facilement queGvérifie (a1),(a2) et (a3) et la partie A donne

∀z∈D(a, R), u(z) =G((z−a)/R) = 1 2π

Z π

−π

u(a+Re^it)P_(z−a)/R(t) dt.

Réciproquement, supposons que pour tout disque ferméD(a, R)contenu dansU, on ait

∀z∈D(a, R), u(z) = 1 2π

Z π

−π

u(a+Re^it)P_(z−a)/R(t) dt.

Un tel disque étant fixé, l’application f : T −→ C z 7−→ u(a+Rz)

est continue, donc la partie A donne :

∀z∈D, g_f(z) = 1 2π

Z π

−π

f(e^it)P_z(t) dt= 1 2π

Z π

−π

u(a+Re^it)P_z(t) dt=u(a+Rz)

Commegf est de classeC²surDet de laplacien nul, nous en déduisons queuest de classeC²et de laplacien nul surD(a, R). Ceci étant vrai pour tout disqueD(a, R) inclu dansU, uest de classe C² et de laplacien nul sur l’ouvertU.

13) Remarquons tout d’abord que u, comme limite uniforme de fonctions continues, est continue sur U. Soit ensuite un disqueD(a, R)contenu dansU et soitz∈D(a, R). Le sens direct de l’équivalence démontrée en 12) donne :

∀n∈N, u_n(z) = 1 2π

Z π

−π

u_n(a+Re^it)P_(z−a)/R(t) dt

La fonctionP_(z−a)/R est continue et bornée par un réelM sur le compact[−π, π], donc :

∀t∈[−π, π],

un(a+Re^it)P_(z−a)/R(t)−u(a+Re^it)P_(z−a)/R(t)

≤M sup

z∈U

|un(z)−u(z)|

ce qui prouve queu_n(a+Re^it)P_(z−a)/R(t)converge uniformément (par rapport àt) versu(a+Re^it)P_(z−a)/R(t): le domaine d’intégration étant borné, la convergence uniforme permet d’échanger limite et intégrale, ce qui donne :

u(z) = 1 2π

Z π

−π

u(a+Re^it)P_(z−a)/R(t) dt

La réciproque démontrée en 12) permet donc d’affirmer queuest de classeC² et de laplacien nul surU.

C. Propriétés duales

14) Soitz∈D. Les propriétés (c2) et (c3) ont été démontrées à la question 6. Nous avons :

∀f ∈ C(T), ϕ_z(f) = 1 2π

Z π

−π

f(e^it)P_z(t) dt

doncϕz est clairement linéaire (linéarité de l’intégrale, bilinéarité du produit). Enfin :

∀f ∈ C(T), |ϕz(f)| ≤N(f) 1 2π

Z π

−π

Pz(t) dt=N(f)

doncϕz est continue, ce qui achève de démontrer (c1) et (c4).

15) Supposons que ϕ vérifie (c1),(c2) et (c3). ϕ coïncide alors avec ϕz sur les familles (pn) et (qn), donc sur l’espaceP(T)(ϕetϕzsont linéaires). Commeϕetϕz sont continues, elles coïncident surP(T), c’est-à-dire, d’après le question 8, surC(T):ϕ=ϕz.

16) 0≤f ≤N(f)donne−N(f)≤2f−N(f)≤N(f). Comme il existez₀∈T tel que2f(z₀)−N(f) =N(f), on en déduit :

N(h)²= sup

z∈T

(2f(z)−N(f))²+λ²

=N(f)²+λ²

17) Posonsϕ(f) =a+ibaveca, b∈R. Comme ϕest C-linéaire etϕ(p₀) = 1, nous avonsϕ(c) = c pour toute constante complexec(la fonction constante égale àc est notéec). Ainsi :

|ϕ(h)|²=|2ϕ(f)−N(f) +iλ|²= (2a−N(f))²+ (2b−λ)²= 4a²−4aN(f) +N(f)²+ 4b²−4bλ+λ² et (c4) donne :

∀λ∈R, 4a(a−N(f)) + 4b²−4bλ≤0

ce qui imposeb= 0eta(a−N(f))≤0. On en déduit queϕ(f)est réel. Enfin,a−N(f) =ϕ(f)−N(f)≤0, donc deux cas sont possibles :

• a=N(f)≥0;

• a−N(f)<0 eta≥0.

Nous avons donc montré que sif ∈ C(T)est réelle positive,ϕ(f)est un réel positif.

18) Soitf ∈ C(T)à valeurs réelles.f +N(f)est à valeur réelles positives, doncϕ(f+N(f))est un réel positif.

On en déduit queϕ(f) =ϕ(f+N(f))−N(f)est réel.

Soitf ∈ C(T), décomposée sous la formef =g+ihavecg, hcontinues à valeurs réelles. Alors : ϕ(f) =ϕ(g+ih) =ϕ(g)

| {z }

∈R

+i ϕ(h)

| {z }

∈R

=ϕ(g)−iϕ(h) =ϕ(g−ih) =ϕ(f)

On en déduit queϕ(qn) =ϕ(p_n) =ϕ(pn) =zⁿ=zⁿ pour toutn∈N:ϕvérifie (c3).