Deuxième composition de mathématiques – Mines-Ponts – MP

(1)

Deuxième composition de mathématiques Mines-Ponts – MP

On désigne parC([0,1]) l’espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [0,1]. Pour toutλ≥0, on noteϕ_λ l’élément de C([0,1]) défini par ϕ_λ(x) =x^λ. Par convention on a posé 0⁰ = 1 de sorte queϕ0 est la fonction constante 1. Soit (λ_k)_k∈N une suite de réels ≥0 deux à deux distincts. On noteW le sous-espace vectoriel de C([0,1]) engendré la famille (ϕ_λ_k)_k∈N. Le but du problème est d’établir des critères de densité de l’espaceW dansC([0,1]) pour l’une ou l’autre des deux normes classiquesN∞ ou N2 définies par :

N∞(f) = sup

x∈[0,1]

|f(x)| et N₂(f) = Z 1

0

|f(x)|²dx

1 2 .

On admettra le théorème suivant (dû à Karl Weierstrass) : pour toute fonction f dans C([0,1]), il existe une suite (Pn)_n∈N de fonctions polynomiales telle que N∞(f −Pn) tende vers 0, i.e.

lim_nP_n=f pour la normeN∞.

La question préliminaire et les parties A, B, C et D sont indépendantes les unes des autres.

Question préliminaire

1) Montrer que (ϕ_λ)_λ≥0 est une famille libre de C([0,1]).

A - Déterminants de Cauchy

On considère un entier n >0 et deux suites finies (a_k)_1≤k≤n et (b_k)_1≤k≤n de réels telles que a_i +b_k 6= 0 pour tous i et j dans {1,2, . . . , n}. Pour tout entier m tel que 0 < m ≤ n, le déterminant de Cauchy d’ordre mest défini par :

Dm=

1 a1+b1

1 a1+b2

· · · 1 a1+bm

1 a2+b1

1 a2+b2

· · · 1 a2+bm

... ... . .. ... 1

a_m+b₁

1

a_m+b₂ · · · 1 a_m+b_m

.

On définit la fraction rationnelle :

R(X) = Qn−1

k=1(X−a_k) Q_n

k=1(X+b_k) . 2) Montrer que si R(X) est de la formeR(X) =

n

X

k=1

A_k

X+b_k, alors A_nDn=R(a_n)Dn−1.

(2)

On pourra pour cela considérer le déterminant obtenu à partir deDnen remplaçant la dernière colonne par





 R(a1) R(a₂)

... R(a_n)





 .

3) En déduire

D_n= Y

1≤i<j≤n

(aj−ai)(bj−bi) Y

1≤i,j≤n

(a_i+b_j) .

B - Distance d’un point à une partie dans un espace normé

SoitEun espace vectoriel normé par une normek·k. On rappelle que la distance d’un élément x∈E à une partie non vide A deE est le réel notéd(x, A) défini par :

d(x, A) = inf

y∈Akx−yk . 4) Montrer que d(x, A) = 0 si et seulement si x est adhérent àA.

5) Montrer que si (An)_n≥0 est une suite croissante de parties deE et si A= ^[

n≥0

An alors d(x, A) = lim

n d(x, An).

On considère un sous-espace vectoriel V de dimension finie de E, et on note B ={y ∈E| ky−xk ≤ kxk}.

6) Montrer que B∩V est compacte et qued(x, V) =d(x, B∩V) pour tout x∈E.

7) En déduire que pour tout x∈E, il existe un élément y∈V tel qued(x, V) =kx−yk.

C - Distance d’un point à un sous-espace de dimension finie dans un espace préhilbertien

Dans cette partie, on suppose que la norme sur l’espace vectoriel E est définie à partir d’un produit scalaireh· | ·i sur E :kxk=^phx|xi.

Soit V un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. On rappelle que, pour tout x dans E, il existe un unique vecteur y de V tel que x−y soit orthogonal à V, i.e. pour z dansV, hx−y|zi= 0. Ce vecteur est appelé projection orthogonale dex surV.

8) Montrer que siV est un sous-espace vectoriel de dimension finie deE, alors pour toutx∈E, la projection orthogonale de x surV est l’unique élémenty∈V vérifiantd(x, V) =kx−yk.

Pour tout suite finie (x1, x2, . . . , xn) ∈ Eⁿ, on désigne par G(x1, x2, . . . , xn) le déterminant de lamatrice de Gram d’ordre ndéfinie par :

M(x1, x2, . . . , xn) =







... ... . .. ... hx_n|x₁i hx_n|x₂i · · · hx_n|x_ni







(3)

9) Montrer que G(x1, x2, . . . , xn) = 0 si et seulement si la famille (x1, x2, . . . , xn) est liée.

10) On suppose que la famille (x1, x2, . . . , xn) est libre et l’on désigne par V l’espace vectoriel qu’elle engendre. Montrer que, pour tout x∈E,

d(x, V)² = G(x₁, x₂, . . . , x_n, x) G(x₁, x₂, . . . , x_n) . D - Comparaison des normes N∞ et N2

Pour toute partie Ade C([0,1]), on note A^∞ etA² les adhérences deApour les normesN∞

etN₂, respectivement. Pourf ∈C([0,1]), la notationd(f, A) désigne toujours la distance de f àA relativement à la norme N2 (on ne considérera jamais, dans l’énoncé, la distance d’un élément à une partie relativement à la norme N∞).

11) Montrer que pour toutf ∈C([0,1]),N₂(f)≤N∞(f). En déduire que pour toute partieAde C([0,1]) on a A^∞⊂A².

On considère l’ensemble V₀ = {f ∈C([0,1])|f(0) = 0}, et on rappelle que ϕ₀ désigne la fonction constante 1.

12) Montrerϕ0 ∈V0 2.

13) En déduire que V0 est dense dans C([0,1]) pour la norme N2, mais n’est pas dense pour la normeN∞.

14) Montrer que siV est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé, alors son adhérence V est également un espace vectoriel.

15) Montrer qu’un sous-espace vectorielV deC([0,1]) est dense pour la normeN∞si et seulement si pour tout entier m≥0,ϕm ∈V^∞.

16) En déduire qu’un sous-espace vectorielV deC([0,1]) est dense pour la norme N2 si et seulement si pour tout entier m≥0,ϕ_m ∈V².

E - Un critère de densité de W pour la norme N₂

Pour tout n∈N, on noteWn l’espace vectoriel engendré par la famille finie (ϕ_λ_k)_0≤k≤n. 17) Montrer que l’espace W est dense dansC([0,1]) pour la normeN2 si et seulement si

limn d(ϕ_µ, W_n) = 0 pour tout entier µ≥0.

18) Montrer que pour tout µ≥0,

d(ϕµ, Wn) = 1

√2µ+ 1

n

Y

k=0

|λ_k−µ|

λ_k+µ+ 1 . 19) Montrer que pour toutµ≥0, la suite

|λ_k−µ|

λk+µ+ 1

k∈N

tend vers 1 si et seulement si la suite (λ_k)_k∈N tend vers +∞.

(On pourra pour cela étudier les variations de la fonction x∈[0, µ]7→ µ−x x+µ+ 1.)

20) En déduire que l’espace W est dense dans C([0,1]) pour la norme N₂ si et seulement si la série ^X

k

1 λk

est divergente.

(4)

F - Un critère de densité de W pour la norme N∞

21) Montrer que si W est dense dansC([0,1]) pour la normeN∞, alors la série^X

k

1

λ_k est divergente.

22) Soit ψ =

n

X

k=0

akϕλ_k un élément quelconque de Wn. Montrer que si λk ≥ 1 pour tout k ∈ {0,1, . . . , n}, alors pour toutµ≥1, on a :

N∞(ϕ_µ−ψ)≤N₂ µϕµ−1−

n

X

k=0

a_kλ_kϕ_λ_k−1

! .

23) On suppose que la suite (λ_k)_k∈N vérifie les deux conditions suivantes :







(i) : λ0 = 0

(ii) : λ_k≥1 pour toutk≥1. Montrer que sous ces conditions, si la série ^X

k

1

λ_k est divergente, alors W est dense dans C([0,1]) pour la normeN∞.

24) Montrer que la conclusion précédente est encore valable si on remplace la condition (ii) par la condition plus faible :

(ii)⁰ : inf

k≥1λ_k>0.

(5)

Deuxième composition de mathématiques – Mines-Ponts – MP Corrigé

Deuxième composition de mathématiques – Mines-Ponts – MP

Question préliminaire

1) Soit ^P_λ≥0a_λϕ_λ = 0 une relation de dépendance linéaire entre les éléments de la famille (ϕ_λ)_λ≥0, avec (a_λ)_λ≥0 une famille presque nulle de réels. On noteI l’ensemble fini des indices λ tels que aλ 6= 0. Si I est non vide on pose n= Card(I) et I ={λk|1≤k≤n}. Comme les fonctions ϕ_λ sont de classe C^∞ sur ]0,1], on peut dériver la relation de dépendance linéaire et la multiplier par l’identité. On obtient alors ^P_λ≥0a_λλϕ_λ = 0 et on peut itérer le raisonnement. En particulier pour 0 ≤ p ≤ n−1, il vient ^Pⁿ_k=1a_λ_kλ^p_k = 0, en évaluant les relations obtenues en 1. Le déterminant de Vandermonde des (λ_k)_{1≤k≤n−1} étant non nul par hypothèse, on en déduit que tous les a_k sont nuls. Cette contradiction assure queI est vide et donc la famille (ϕ_λ)_λ≥0 est une famille libre de C([0,1]).

Remarque : la famille (ϕ_λ)_λ≥0 est une famille de vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes de l’endomorphisme de C^∞(]0,1]) défini pary7→xy⁰. Ils forment donc une famille libre.

A - Déterminants de Cauchy 2) On dipose de (A_k)_1≤k≤n tel queR=

n

X

k=1

A_k X+b_k. On a

D_n=

1 a1+b1

1 a1+b2

· · · 1 a1+bn

1 a2+b1

1 a2+b2

· · · 1 a2+bn

... ... . .. ... 1

an+b1

1 an+b2

· · · 1 an+bn

et donc, par multilinéarité du déterminant,

A_nD_n=

1 a1+b1

1 a1+b2

· · · A_n a1+bn

1 a2+b1

1 a2+b2

· · · A_n a2+bn

... ... . .. ... 1

a_n+b₁ 1

a_n+b₂ · · · An

a_n+b_n .

En rajoutant la combinaison linéaire desn−1 premières colonnes obtenue en les multipliant respectivement par A1, . . . , An−1, on obtient

A_nD_n=

1 a1+b1

1 a1+b2

· · · R(a₁) 1

a2+b1

1 a2+b2

· · · R(a₂) ... ... . .. ... 1

a_n+b₁ 1

a_n+b₂ · · · R(a_n) .

1

(6)

Or R(a1) =· · ·=R(an−1) = 0 par définition deR et donc, en développant par rapport à la dernière colonne, il vient A_nD_n=R(a_n)Dn−1.

3) Si la famille des (ak)_1≤k≤nn’est formée de réels tous distincts, alors deux lignes de la matrice définissant D_n sont égales et donc D_n = 0. De même si tous les (b_k)_1≤k≤n, on a affaire à deux colonnes égales et donc D_n = 0. Dans ces deux cas la formule demandée est vraie. On suppose maintenant qu’on n’est pas dans ces cas.

On va démontrer le prédicat (H_m) par récurrence sur l’entierm dans J1, nK:

(H_m) : D_m = Y

1≤i<j≤m

(aj−ai)(bj−bi) Y

1≤i,j≤m

(a_i+b_j) .

Pour m= 1, le numérateur est, par convention, égal à 1, et on a bien D1 = 1 a1+b1

.

Soit m dans J1, n−1Ktel que (H_m) soit vrai. On applique ce qui précède en prenant pour n l’entier m+ 1. Alors R est une fraction rationnelle de degré strictement négatif à pôles simples, et donc sa décomposition en éléments simples est de la forme décrite dans la question précédente, i.e. on dispose de (A_k)_1≤k≤m+1 dansR^m+1 tel que

Qm

k=1(X−ak) Qm+1

k=1 (X+b_k) =

m+1

X

k=1

Ak

X+b_k .

En multipliant l’égalité précédente par X+b_m+1 et en évaluant en −b_m+1, il vientA_m+1 = Qm

k=1(−b_m+1−a_k) Qm

k=1(−b_m+1+b_k). Cette dernière quantité est donc non nulle et il vient

Dm+1= R(am+1Dm

A_m+1 =

Y

1≤i<j≤m+1

(a_j−a_i)(b_j−b_i) Y

1≤i,j≤m+1

(ai+bj) D’après le principe de récurrence, on en conclut que (H_n) est vraie, i.e.

Dn= Y

1≤i<j≤n

(a_j−a_i)(b_j−b_i) Y

1≤i,j≤n

(ai+bj) .

B - Distance d’un point à une partie dans un espace normé

4) Soit x dans E. Alors la distance d(x, A) est nulle si et seulement s’il existe une suite (an) de points de A tels que d(x, an) → 0, par définition de l’infimum. Cette dernière condition exprime que x est limite de points de A, i.e. qu’il est adhérent àA. On a donc

d(x, A) = 0 si et seulement si x est adhérent àA.

2

(7)

5) Soit (An)n≥0 une suite croissante de parties de E de réunion égale à A et x dans E. Par croissance de (An), la suite (d(x, An)) est décroissante et par inclusion de An dans A, cette suite de distances est minorée par d(x, A). Par conséquent elle converge vers son infimum.

Soit maintenant d un réel tel que d > d(x, A). Par définition, il existe donc a dans A tel que d(x, a) < d et donc on dispose de n dans N tel que a ∈ A_n et donc d(x, A_n) < d. Il en résulte que dn’est pas un minorant de la suite (d(x, An)). Par conséquent d(x, A) est le plus grands des minorants de la suite (d(x, A_n)), donc son infimum et donc sa limite, i.e.

d(x, A) = limnd(x, An).

6) Puisque B est une boule fermée, B est fermée et bornée. CommeV est de dimension finie, il est fermé et donc B∩V est compact en tant que fermé, car intersection de deux fermés, et borné, car inclus dans un borné, dans un espace de dimension finie : B∩V est compact.

Puisque B∩V ⊂V, on a d(x, V) ≤d(x, B∩V). Puisque B ∩V contient 0, d(x, B∩V) ≤ d(x,0) =kxk. Si d(x, V) =kxk, alors a égalité dans toutes ces inégalités et donc d(x, V) = d(x, B∩V).

Sinon, soit (xn) une suite de points deV telle qued(x, xn) converge versd(x, V) avecd(x, V)<

kxk. On en déduit qu’à partir d’un certain rang la suite (x_n) est à valeurs dans B ∩V et donc, à partir de ce rang, d(x, B ∩ V) ≤ d(x, x_n). En passant à la limite on en déduit d(x, B∩V)≤d(x, V) et, finalement, d(x, V) =d(x, B∩V).

7) CommeB∩V est compact, l’applicationy7→d(x, y), définie surB∩V, atteint son minimum, i.e. d(x, B∩V) est atteinte. D’après la question précédente il en va de même pour d(x, V) :

il existey dansV tel qued(x, V) =kx−yk.

C - Distance d’un point à un sous-espce de dimension finie dans un espace préhilbertien.

8) SoitV un sous-espace vectoriel de dimension finie deE,xdansEetyla projection orthogonale dexsurV. Soit enfinzdansV. D’après le théorème de Pythagore, on akx−zk² =kx−yk²+ ky−zk² et doncd(x, y)≤d(x, z) avec égalité si et seulement siy=z:

la projection orthogonale dexsurV est l’unique élémentydeV tel qued(x, V) =kx−yk.

9) Soit (λ_i)_1≤i≤n une famille de scalaires etC la combinaison linéaire des colonnes (C_i)_1≤i≤n de M(x1,· · · , xn) correspondante : C =

n

X

i=1

λiCi. Si une telle combinaison linéaire est alors le vecteur

n

X

i=1

λixi est orthogonal àx1, . . . ,xnet donc aussi à lui-même, par linéarité du produit scalaire. Ce vecteur est donc nul. Réciproquement toute relation de dépendance linéaire pour la famille (x_i)1≤i≤n fournit une relation de dépendance linéaire des colonnes (C_i)1≤i≤n. Il en résulte que le rang deM(x1,· · ·, xn) est nsi et seulement si le rang de (x1,· · · , xn) estn, i.e.

par contraposée G(x1, x2, . . . , xn) = 0 si et seulement si la famille (x1, x2, . . . , xn) est liée.

10) SoitxdansE,yla projection orthogonale dexsurV et (λi)_1≤i≤nune famille de scalaires telle que y=

n

X

i=1

λ_ix_i. En retranchant la combinaison linéaire^Pⁿ_i=1λ_iC_i de la dernière colonne de

3

(8)

M(x1,· · · , xn, x), on obtient

G(x₁,· · ·, x_n, x) =

... ... . .. ...

et la dernière colonne est identiquement nulle à l’exception du dernier terme qui vauthx|x−yi ou encorehx−y+y|x−yi, soithx−y|x−yipar orthogonalité dex−y avecy. Il vient donc, en développant par rapport à la dernière colonne,G(x₁,· · · , x_n, x) =kx−yk²G(x₁,· · ·, x_n).

D’où, puisque d(x, V) =kx−yk, d(x, V)²= G(x₁, x₂, . . . , x_n, x) G(x₁, x₂, . . . , x_n) . D - Comparaison des normes N∞ et N2

11) Soitf dansC([0,1]). Commef est continue et [0,1] compact,N∞(f) est bien définie et est un majorant de|f|sur [0,1]. Commef est continue,|f|² aussi etN2(f) est également bien défini.

De plus |f|² étant majoré parN∞(f)²,l’inégalité de la moyenne donne N2(f)≤N∞(f).

Il en résulte que l’identité est une application linéaire continue, car 1-Lipschitzienne, de C([0,1]) muni de N∞ dans C([0,1]) muni de N₂. Par conséquent si une suite de C([0,1]) converge pour N∞, son image par l’identité converge pour N₂ vers l’image de la limite par l’identité, i.e. vers la même limite. On en conclut que si x appartient à A^∞, il est limite de points deA pour N∞, donc pour N2 et est donc dansA², i.e. A^∞⊂A².

12) On considère, pour n dans Nla fonction fn affine par morceaux valant 0 en 0, 1 en 2⁻ⁿ et constante sur [2⁻ⁿ,1]. Cette une fonction continue puisqu’affine par morceaux et continue en ses changements de pente. Commef_n(0) = 0, on af_n∈V₀.

De plus|f_n−ϕ₀|est nulle sur [2⁻ⁿ,1] et majorée par 1 sur [0,2⁻ⁿ]. L’inégalité de la moyenne entraîne donc N2(fn−ϕ0) ≤(2⁻ⁿ)^1/2 et ainsi fn → ϕ0 pour la norme N2. Par conséquent

ϕ0 ∈V0 2.

13) Soitf dansC([0,1]). On af = (f−f(0)ϕ₀)+f(0)ϕ₀. Sif_nest une suite de points deV₀tendant vers ϕ0, par linéarité de la limite, la suitef−f(0)ϕ0+f(0)fn converge versf. Comme c’est une suite de points de V0, il en résultef ∈V0

2 et donc V0 est dense dans C([0,1]) pourN2. Soit maintenant (f_n) une suite de points de V₀ tendant vers ϕ₀ pour N∞. À partir d’un certain rang, on a N∞(fn−ϕ0) <1 et en particulier|f_n(0)−ϕ0(0)|<1, ce qui est contra- dictoire avec f_n ∈V₀ etϕ₀(0)1. Donc ϕ₀ n’est pas dans l’adhérence deV₀ pour N∞ et donc

V₀ n’est pas dense dansC([0,1]) pourN∞.

14) Soit V un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé. Son adhérence contient V et n’est donc pas vide. Elle est stable par combinaison linéaire par linéarité de la limite et donc

V est un espace vectoriel.

4

(9)

15) Soit V un sous-espace vectoriel de C([0,1]). Si V est dense dans C([0,1]) pour N∞, son adhérence contient tous les ϕm pour tout entier naturel m. Réciproquement si tel est le cas, l’adhérence deV pourN∞contient donc toutes les fonctions polynomiales et donc l’adhérence de cet ensemble, i.e. tout C([0,1]) d’après le théorème de Weierstrass, i.e.

V est dense dansC([0,1]) pourN∞si et seulement si, pour tout entier naturelm,ϕ_m ∈V^∞. 16) Comme précédemment, la condition est nécessaire. Si la condition est remplie, V² est un

espace vectoriel, d’après 14), contenant lesϕ_m pourmdansNet est donc dense dansC([0,1]) pour N∞, d’après 15), et donc aussi pour N2 d’après 11). Mais l’adhérence V² étant fermée (pourN₂), cela veut dire qu’on a V²=C([0,1]).

D’où

V est dense dansC([0,1]) pourN2si et seulement si, pour tout entier naturelm,ϕm ∈V^∞. E - Un critère de densité de W pour la norme N₂

17) D’après 16),W est dense pourN₂si et seulement son adhérence pourN₂ contient lesϕµpour µdansN. D’après 4), cela équivaut àd(ϕ_µ, W) = 0 et donc aussi, d’après 5) et le fait queW est réunion croissante des Wn, à lim_nd(ϕµ, Wn) = 0, i.e.

l’espaceW est dense dansC([0,1]) pour la normeN₂ si et seulement si lim

n d(ϕµ, Wn) = 0 pour tout entierµ≥0.

18) On a Wn= Vect(ϕ_λ₀,· · ·, ϕ_λ_n) et cette famille est libre, d’après 1). Or la norme N2 dérive d’un produit scalaire et W_n est de dimension finie. La distance cherchée est donc donnée par la formule obtenue en 10).

Pour λetµ dansR₊, on a

hϕ_λ|ϕ_µi= Z 1

0

t^λ+µdt= 1 λ+µ+ 1

et on en déduit que les matrices de Gram apparaissant dans la formule 10) sont des déter- minants de Cauchy (de tailles n+ 2 et n+ 1) obtenus pourai+1 =λi+ 1 etbi+1 =λi, pour 0≤i≤n, etan+2 =µ+ 1 et bn+2 =µ. La formule 3) donne directement

d(ϕ_µ, W_n)² =

Qn

k=0(µ−λ_k)² (2µ+ 1)^Qⁿ_k=0(λ_k+µ+ 1)² et donc, par positivité desλ_k et de µ, d(ϕ_µ, W_n) = 1

√2µ+ 1

n

Y

k=0

|λ_k−µ|

λk+µ+ 1

19) Si la suite (λ_k) tend vers +∞, alors |λ_k−µ| = λ_k−µ ) partir d’un certain rang et donc

|µ−λk| µ+λ_k+ 1 ∼1.

Réciproquement, supposons que la suite |µ−λk|

µ+λ_k+ 1 tende vers 1. Si la suite (λ_k) ne diverge pas vers l’infini, elle admet une sous-suite bornée et donc aussi une valeur d’adhérence d’après

5

(10)

le théorème de Bolzano-Weierstrass. Si λ est cette valeur d’adhérence, par continuité de la fonction x7→ |µ−x|

µ+x+ 1 sur R₊ (ce qui est le cas puisque que c’est la composée de la valeur absolue avec une fraction rationnelle sans pôle sur R₊), on a|λ−µ|=λ+µ+ 1. Mais, par inégalité triangulaire, on a |λ−µ| ≤λ+µ < λ+µ+ 1 et cette contradiction assure que la suite (λ_k) diverge vers +∞.

la suite

|λ_k−µ|

λ_k+µ+ 1

k∈N

tend vers 1 si et seulement si la suite (λ_k)_k∈N tend vers +∞.

20) Montrons que la condition est nécessaire. On écrit 18) pour µ= 0. On a donc d(ϕ₀, W_n) =

n

Y

k=0

λ_k λ_k+ 1 =

n

Y

k=0

1 + 1

λ_k −1

.

Cette distance tend vers 0 si et seulement si le logarithme de son inverse tend vers +∞, i.e.

si et seulement si la série ^Xln

1 + 1 λk

diverge vers +∞.

Si (λ_k) ne diverge pas vers +∞, cette série est grossièrement divergente. Sinon, comme c’est une série à termes positifs dont le terme général est équivalent à celui de la série ^X 1

λ_k, ces deux séries sont de même nature et donc si d(ϕ0, Wn) tend vers 0, alors ^X 1

λk

diverge.

Réciproquement, soit µdansN.

Si (λ_k) ne diverge pas vers +∞, d’après 19), ln(d(ϕ_µ, W_n)) est une série grossièrement divergente, à termes négatifs, donc d(ϕ_µ, W_n) converge vers 0 et, d’après 17), W est dense dans C([0,1]).

Supposons maintenant que la suite (λk) diverge vers +∞ et que la série ^X 1

λ_k diverge.

Comme elle est à termes positifs, elle diverge vers +∞. Pour λ_k ≥µ, on a

−ln

|λ_k−µ|

λ_k+µ+ 1

= ln

λk+µ+ 1 λ_k−µ

= ln

1 + 2µ+ 1 λ_k−µ

et donc, en reprenant l’argument précédent à l’envers,−ln(d(ϕ_µ, W_n)) est une série à termes positifs de même nature que ^X2µ+ 1

λ_k−µ (cette série étant définie à partir d’un certain rang seulement, a priori).

Comme (λ_k) diverge vers +∞, 1

λ_k−µ ∼ 1

λ_k et donc cette dernière série est de même nature que ^X2µ+ 1

λ_k et est donc divergente (vers +∞). Il en résulte qued(ϕ_µ, W_n) tend vers 0 et donc que W est dense dans C([0,1]).

L’espaceW est dense dansC([0,1]) pour la normeN2 si et seulement si la série^X

k

1 λ_k est divergente.

6

(11)

F - Un critère de densité de W pour la norme N∞

21) D’après 11),W est dense pour N∞ impose qu’il le soit pour N2 et donc, d’après 20), si l’espaceW est dense dansC([0,1]) pour la normeN∞alors la série^X

k

1

λ_k est divergente.

22) Avec les notations de l’énoncé

N∞(ϕ_µ−ψ) = sup

0≤x≤1

x^µ−

n

X

k=0

a_kx^λ^k

= sup

0≤x≤1

µ

Z x 0

t^µ−1dt−

n

X

k=0

akλk

Z x 0

t^λ^k⁻¹dt

≤ sup

0≤x≤1

Z x 0

µt^µ−1−

n

X

k=0

a_kλ_kt^λ^k⁻¹

dt

≤ Z 1

0

µt^µ−1−

n

X

k=0

a_kλ_kt^λ^k⁻¹

dt . D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient

N∞(ϕ_µ−ψ)≤N₂ µϕµ−1−

n

X

k=0

a_kλ_kϕ_λ_k−1

! .

23) Pour k ∈ N^∗, on pose µ_k =λ_k−1. Si la suite (λ_k) ne diverge pas vers l’infini, il en est de même pour la suite (µ_k). Sinon les séries de leurs inverses sont des séries à termes positifs de termes généraux équivalents et donc de même nature. Il en résulte que la série ^X 1

µ_k diverge et donc que la famille (ϕ_µ_k) est dense dansC([0,1]) pour N₂ d’après 20).

Soit alors µ dans N^∗, on a alors ϕµ−1 qui est dans l’adhérence pourN₂ des (ϕ_µ_k) et donc, d’après 22),ϕµest dans l’adhérence pourN∞des (ϕλ_k). Commeϕ0est dansW par hypothèse, on conclut grâce à 16) que W est dense dansC([0,1]) pourN∞.

24) Posons α = inf_k≥1λ_k et, pour k dans N, µ_k = λ_k

α. Alors le résultat précédent s’applique à (µ_k) puisque les séries ^X 1

µ_k et ^X 1

λ_k sont de même nature. Il en résulte que l’espace engendré par lesϕ_µ_k est dense pour N∞ dansC([0,1]).

Orϕ_αest une bijection de [0,1] sur lui-même, de sorte que, pour tousf etgdansC([0,1]), on aN∞(f−g) =N∞(f◦ϕα−g◦ϕα). Il en résulte que si lesϕµ_k sont denses, il en est de même pour les ϕ_µ_k◦ϕ_α. Orϕ_µ_k◦ϕ_α=ϕ_λ_k. Donc W est dense dansC([0,1]) pour la norme N∞.

7