Université de Cergy-Pontoise Séries
Licence 2 MIPI 2015-2016
Corrigé du devoir surveillé N
◦2
Questions de cours.
1. Par convergence simple, la fonctionf est croissante sur I.
2. Soit
∀n∈N, Sn= sup
x∈I|fn(x)|.
La série de fonctions de terme général fn(x) converge normalement sur I si et seulement si la série de terme généralSn est convergente.
3. Le théorème de continuité de la somme de la série de fonctions de terme généralfn(x) s’énonce ainsi :
“ Supposons que :
(i) les fonctionsfn sont bien définies et continues sur I,
(ii) la série de fonctions de terme généralfn(x)est normalement convergente sur tout seg- ment deI.
Alors la fonction sommef définie par
∀x∈I, f(x) =
+∞
∑
n=0
fn(x),
est bien définie et continue surI. ” Problème.
1.a. Lorsquex= 0, nous savons que
fn(0) = 0.
La série de terme généralfn(0) est donc convergente, et la somme de cette série est égale à0.
b. Lorsquex̸= 0, les nombres|fn(x)|sont strictement positifs dès quen̸= 0, et ils vérifient
|fn+1(x)|
|fn(x)| = n+ 1
n e−x2 →
n→+∞e−x2.
c. Lorsque x ̸= 0, le nombre e−x2 est strictement inférieur à 1. Par le critère de d’Alem- bert, la série de terme général fn(x) est absolument convergente, donc convergente. En conclusion, cette série converge simplement pour toutx∈R.
d. Chacune des fonctionsfn est impaire surR. Par linéarité, il s’ensuit que
∀x∈R, f(−x) =−
+∞
∑
n=0
nxe−nx2 =−f(x).
La sommef est donc impaire surR.
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2.a. Les fonctionsfn sont de classeC∞ surR, et elles vérifient
∀x∈R, fn′(x) =n(
1−2nx2) e−nx2. b. Comme
ue−u →
u→+∞0, il vient
nx2e−nx2 →
x→+∞0, de sorte que
nxe−nx2 = 1
x ×nx2e−nx2 →
x→+∞0.
c. D’après la question 2.a, les fonctions fn sont croissantes sur l’intervalle [0,√1
2n], puis décroissantes sur l’intervalle[√1
2n,+∞[. Comme fn(0) = 0etlimx→+∞fn(x) = 0, il vient sup
x∈R+
|fn(x)|=fn
( 1
√2n )
=
√n 2e.
d. Comme √
n →
u→+∞+∞, la série de terme général √
n diverge grossièrement. La convergence de la série de terme généralfn(x) n’est donc pas normale surR+.
3.a. Comme2na2>1, il est clair que
√1
2n < a.
Les fonctionsfnsont donc décroissantes sur l’intervalle[a,+∞[, de limite nulle en+∞. Il s’ensuit que
sup
x∈[a,+∞[
|fn(x)|=fn(a).
b. D’après la question 1.c, la série de terme généralfn(a) est convergente. Il résulte donc de la question 3.a que la série de fonctions de terme généralfn(x) converge normalement sur l’intervalle[a,+∞[.
c. Un segment quelconque [a, b] de R∗+ est inclus dans l’intervalle [a,+∞[. Comme la convergence est normale sur cet intervalle, elle est aussi normale sur le segment[a, b], soit sur tout segment deR∗+.
4.a. Chacune des fonctionsfnest définie et continue surR∗+. D’après la question 3.c, la série de terme généralfn(x)converge normalement sur tout segment deR∗+. Par le théorème de continuité, la fonctionf est donc bien définie et continue surR∗+.
b. En particulier, la fonctionf possède des primitives surR∗+. NotonsF celle qui s’annule en1 et qui vaut donc
∀x∈R∗+, F(x) =
∫ x
1
f(y)dy.
2
D’après la question 3.c, la série de terme généralfn(x)converge normalement sur le segment [1, x]. Aussi le théorème d’intégration assure-t-il que
F(x) =
∫ x
1 +∞
∑
n=0
nye−ny2dy=
+∞
∑
n=1
∫ x
1
nye−ny2dy= 1 2
+∞
∑
n=1
(e−n−e−nx2)
= 1 2
( 1
e−1 − 1 ex2−1
) .
c. Par définition, la fonctionf est la dérivée de sa primitiveF. Ainsi vaut-elle
∀x∈R∗+, f(x) = xex2 (ex2 −1)2.
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