STS AB1
Corrigé devoir surveillé N° 2
08/12/2006Exercice 1
1. Sur le graphique ci-dessous on a représenté le nuage de pointsM(xi;yi), le point moyenGet la droiteD de régression dey enx.
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
70 71 72 73 74 75 76
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
G+
2. Les coordonnées du moyen sontG(66; 79,6).
3. A l’aide de la calulatrice on obtienty= 1,682x−31,4.
4. On a pour une teneur en carbone de 77, y= 1,682×77−31,4 = 98,114 Une estimation de sa charge de rupture est donc 98,114 kg.
Exercice 2
1. On a lim
x→−∞f(x) = +∞car lim
x→−∞(x+ 1)2= +∞et lim
x→−∞e−x= +∞. On a en +∞ lim
x→+∞x2e−x= lim
x→+∞
1
ex x2
= 0 et lim
x→+∞xe−x= lim
x→+∞
1
ex x
= 0.
(cf formulaire . lim
x→+∞
ex
xα = +∞pour α >0) On en déduit que lim
x→+∞f(x) = lim
x→+∞x2e−x+ 2 lim
x→+∞xe−x+ lim
x→+∞e−x= 0.
2. On peut affirmer puisque lim
x→+∞f(x) = 0 que la courbeCf admet l’axe des abscisses asymptote.
3. La fonctionf est un produit on a pour toutx∈R,f(x) =u(x)×v(x)avec u(x) = (x+ 1)2 u0(x) = 2(x+ 1) v(x) =e−x v0(x) =−e−x
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Corrigé devoir surveillé N° 2
08/12/2006d’où
f0(x) = 2(x+ 1)e−x−(x+ 1)2e−x f0(x) = (2x+ 2−x2−2x−1)e−x f0(x) = (1−x2)e−x.
4. Résoudre dansRl’inéquationf0(x)≥0est équivalent à résoudre l’inéquation (1−x2)≥0car pour tout x∈Re−x>0.
f0(x)≥0
⇔ (1−x2)≥0
⇔ (1−x)(1 +x)≥0
⇔ x∈[−1; 1]
L’ensemble des solutions de cette inéquation est [−1; 1].
5. On peut en déduire le sens de variation de f que l’on récapitule dans un tableau.
x
f0(x) f
−∞
−∞
−1 0
0
1 0 4 e
+∞
0
− + −
La fonction dérivée s’annule en changeant de signe pourx= 1(positive puis négative), la fonction admet donc un maximum local en x= 1qui vautf(1) = 4
e.
La fonction dérivée s’annule en changeant de signe pourx=−1(négative puis positive), la fonction admet donc un minimum local en x=−1qui vautf(−1) = 0.
6. Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse 0 est y =f0(0)(x−0)−f(0) ce qui donneT : y=x+ 1.
7.
0 1 2 3 4 5 6
−1
1
−
→i
−
→j
Cf T
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