Enoncés et Preuves

D ^IAGRAMMES

C ^LAUDE H ^ENRY C ^HRISTIAN L ^AIR

Enoncés et Preuves

Diagrammes, tome 59-60 (2008), p. 1-26

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Article numérisé dans le cadre du programme

DIAGRAMMES VOLUMES 59 + 60, FASCICULE 1, 2008

SUR

CERTAINES SOUS-CATEGORIES NON PLEINES DES

CATEGORIES DE MODELES

Fascicule 1 :

Enoncés et Preuves

Claude Henry

([email protected])

et

Christian Lair

([email protected])

Introduction.

On sait caractériser sémantiquement certaines sous-catégories pleines de la catégorie des modèles d'une théorie du premier ordre (i.e. d'une esquisse) en exprimant que leurs classes d'objets constituent des classes de satifaction (en particulier, des classes d'injectivité) relativement à des familles projectives de flèches de la catégorie initiale. On sait aussi caractériser syntaxiquement ces sous-catégories pleines comme les catégories de modèles des sur-théories obtenues en ajoutant à la théorie initiale des axiomes supplémentaires (mais pas d'autres données).

Par exemple, un ensemble X est (évidemment) non vide si, et seulement si, il vérifie l'axiome :

x x x∈ =

∃ X ;

mais, on peut dire aussi que X est non vide si, et seulement si, en tant qu'objet de la catégorie Ens de tous les ensembles et de toutes les applications entre eux, il est injectif relativement à la flèche ^{q:O/ →}

{ }

^O/ , i.e. si et seulement si :

- pour toute application a:O/ → X (évidemment, il n'y en a qu'une ! ) , comme représentée ci-dessous :

X O/

{ }O/ a

q

il existe (au moins) une application a':

{ }

^O/ →^X telle que a'oq =a , comme représentée ci-dessous :

X O/

{ }

^O/ a

'

a q

De même, un groupe abélien G (noté additivement) est de torsion s'il vérifie l'axiome : 0

*

=

∨

∈

∀g ∈ ng

n N

G ;

mais on peut dire aussi que G est de torsion si, et seulement si, en tant qu'objet de la catégorie Ab de tous les groupes abéliens et de tous les homomorphismes entre eux, il satisfait la famille projective (q_n:Z→Z/nZ)_n∈N* de flèches de Ab (où les q_n sont les passages aux classes), i.e. si et seulement si :

- pour tout homomorphisme h:Z→G , comme représenté ci-dessous :

G h Z

Z Z/n

qn

il existe (au moins) un n∈N* et au moins un homomorphisme h'_n:Z/nZ→G tel que h'_noq_n =h , comme représenté ci-dessous :

G h Z

Z Z/n h' n q_n

Ceci, pour ne citer que deux exemples, parmi une multitude d'autres que le lecteur a certainement déjà en tête ...

Disons maintenant qu'une sous-catégorie d'une catégorie est co-pleine si, et seulement si, elle a les mêmes objets . Alors, dans le présent travail, nous caractérisons sémantiquement certaines sous-catégories co-pleines d'une catégorie de modèles d'une quelconque esquisse (i.e. d'une théorie du premier ordre) en exprimant que leurs classes

catégorie initiale (en particulier, des classes "d'orthogonalité"). Et nous les caractérisons aussi syntaxiquement en prouvant que ce sont les catégories de modèles des sur- esquisses obtenues en ajoutant à l'esquisse initiale des compléments à des sous-objets qui y sont spécifiés.

Par exemple, la catégorie Ens de tous les ensembles et de toutes les applications entre eux est (équivalente à) la catégorie des modèles de l'esquisse :

S S×S

p1

p2 d

(où p₁ et p₂ sont les deux projections et d est la diagonale). Sa sous-catégorie co- pleine EnsInj , de tous les ensembles et des seules applications injectives, est la catégorie des modèles de la sur-esquisse :

S S×S=S+(¬S)

p1

p2 d

¬S

¬d

(où d et ¬d sont les deux co-projections) ; mais on peut dire aussi qu'une application Y

X → :

f est injective si, et seulement si, en tant que flèche de la catégorie Ens , elle est "orthogonale" à l'application r:

{

^O/,

{ }

^O/

} { }

→ ^O/ , i.e. si et seulement si :

- pour tout carré commutatif d'applications tel que ci-dessous :

X

Y

{ } {^{O/, O/} }

{ }

O/ f

b

c

r

il existe (au moins) une application b':

{ }

O/ → X telle que b'or =b , comme représentée ci-dessous :

X

Y

{ } {^{O/, O/} }

{ }

O/ f

b

c '

b r

De même, la catégorie Ab de tous les groupes abéliens et de tous les homomorphismes entre eux est (équivalente à) la catégorie des modèles d'une esquisse où on peut toujours faire figurer (parmi d'autres ingrédients que nous laissons au lecteur le soin de détailler) un monomorphisme :

T j S

où S représente l'ensemble sous-jacent au groupe abélien ainsi esquissé et T le sous- ensemble de ses éléments de torsion. Alors, si on dit qu'un homomorphisme k:G →H entre deux groupes abéliens est de torsion si, et seulement si, un quelconque élément de

G est de torsion dès que son image par k est de torsion, on voit que la sous-catégorie co-pleine AbTor de Ab , constituée de tous les groupes abéliens et des seuls homomorphismes de torsion, est la catégorie des modèles de la sur-esquisse obtenue en rajoutant à l'esquisse des groupes abéliens précédente la somme représentée ci-dessous :

T j S=T+(¬T)

¬j

¬T

(où j et ¬j sont les deux co-projections) ; mais on peut dire aussi que f :G →H est de torsion si, et seulement si, en tant que flèche de la catégorie Ab , il équilibre la famille projective (q_n:Z→Z/nZ)_n∈N* de flèches de Ab , i.e. si et seulement si : - pour tout m∈N* et pour tout carré commutatif d'homomorphismes tel que ci- dessous :

G

H

Z

Z Z/m

qm

f

h

km

il existe au moins un n∈N* et au moins un homomorphisme h'_n:Z_n →G tel que h

q

h'_no _n = , comme représentés ci-dessous : G

H

Z

Z Z/n

Z Z/m

qm

qn

f

h

km

h' n

Ceci, pour ne citer que deux exemples, parmi une multitude d'autres que nous laisserons au lecteur le soin de détailler ...

Pour rendre la lecture aussi aisée que possible, nous présentons les choses sous-forme de trois fascicules disctincts :

- dans le présent Fascicule 1 , le lecteur trouvera l'exposé détaillé des résultats obtenus et de leurs démonstrations,

- dans le Fascicule 2 , "l'Atlas des Figures", le lecteur trouvera toutes les figures auxquelles il est fait allusion dans le Fascicule 1 (il pourra donc consulter d'autant plus facilement les Fascicules 1 et 2 simultanément pour mettre en regard chaque figure et la partie correspondante du texte où elle est mentionnée),

- dans le Fascicule 3, "l'Appendice", il trouvera les prérequis (terminologie, notations, constructions, résultats fondamentaux ... ), essentiellement de Théorie des Esquisses, que nous utilisons systématiquement dans le Fascicule 1 (il pourra donc consulter d'autant plus facilement les Fascicules 1 et 3 simultanément pour mettre en regard chaque définition, chaque terme, chaque construction et chaque résultat fondamentaux et la partie correspondante du texte où ils sont mentionnés).

1. Sous catégories complémentantes.

1.1.

Sur-esquisses complémentantes.

Supposons que E est une esquisse petite (voir l'Appendice - Fascicule 3).

Si j:E →F est un monomorphisme potentiel (voir l'Appendice - Fascicule 3) de E , on note Compl(E, j) la sur-esquisse de E complémentant j , i.e. l'esquisse petite obtenue, par complémentation potentielle de j, en ajoutant à E (voir la Figure 1 - Fascicule 2):

- un objet ¬(E,j) ,

- une flèche ¬j:¬(E,j)→F ,

- la somme potentielle (voir l'Appendice - Fascicule 3) ci-dessous : )

,

( j

F

E →^j ← ^¬^j ¬ E .

Plus généralement, si j est un ensemble de tels monomorphismes potentiels j de E , on note Compl(E, j) la sur-esquisse de E complémentant j , i.e. l'esquisse petite réunion des Compl(E, j) quand j varie dans j .

Alors, on dispose de l'homomorphisme (voir l'Appendice - Fascicule 3) injection canonique :

) , ( :

) ,

(E j E E j

E ⊆Compl →Compl , donc du foncteur :

) , ( )

), , ( (

: ) , ) , (

(E Compl E j Ens Mod Compl E j Ens Mod E Ens

Mod ⊆ → ,

induit (voir l'Appendice - Fascicule 3) par E ⊆Compl(E, j) , entre les catéories de modèles dans Ens de E et Compl(E, j) (voir l'Appendice - Fascicule 3).

Dans ces conditions, il est facile de vérifier que :

- le foncteur Mod(E ⊆Compl(E, j),Ens) a pour image une sous-catégorie M' de )

, (E Ens

M = Mod ayant les mêmes objets que M ,

- le foncteur Mod(E ⊆Compl(E, j),Ens) définit (par restriction) une équivalence sur sa catégorie image M' .

1.2.

Définition des sous-catégories complémentantes.

Si M est une catégorie esquissable (voir l'Appendice - Fascicule 3) et si M' est une sous-catégorie de M ayant les mêmes objets que M , nous dirons que M' est une sous-catégorie complémentante de M si, et seulement si :

- il existe une esquisse petite E et un ensemble j de monomorphismes potentiels de E tels que le foncteur injection canonique :

M M M

M'⊆ : '→

soit équivalent (voir l'Appendice - Fascicule 3) au foncteur :

) , ( )

), , ( (

: ) ), , (

(E Compl E j Ens Mod Compl E j Ens Mod E Ens

Mod ⊆ → .

2. Sous-catégories résolvantes.

2.1.

Résolutions.

Supposons que M est une catégorie localement petite et que M' est une sous- catégorie de M ayant les mêmes objets que M .

Une résolution de M dans M' consiste en la donnée (voir la Figure 2 - Fascicule 2) :

- d'un ensemble (d'indices) I ,

- pour tout I∈I , d'un objet R_I ∈Ob(M) , - pour tout I∈I , d'un ensemble (d'indices) X_I , - pour tout I∈I , d'une famille

X I

X I

I P

P =( _, ∈Ob(M)) _∈X d'objets, - pour tout I∈I , d'une famille

X I

X I I X I

I p R P

p =( _, : → _, ∈Fl(M)) _∈X de flèches, et, ce, de sorte que :

- la condition suivante est vérifiée :

Résol. 1 : pour tout I ∈I , la famille de flèches :

X I

X I I X I

I p R P

p =( _, : → _, ∈Fl(M)) _∈X présente la famille d'objets :

X I

X I

I P

P =( _, ∈Ob(M')=Ob(M)) _∈X

comme un ensemble de solutions dans M' pour l'objet R_I ∈Ob(M) relativement au foncteur injection canonique M'⊆ M (voir l'Appendice - Fascicule 3 et/ou la Figure 3 - Fascicule 2),

- la condition suivante est vérifiée :

Résol. 2 : pour tout objet M ∈Ob(M) , pour tout objet N∈Ob(M) , pour toute flèche m:M →N∈Fl(M) , pour tout objet I∈I et pour toute flèche

) ( :R →M∈Fl M

r_{I I} , l'assertion Assert. 1 ci-dessous implique l'assertion Assert. 2 ci-dessous (voir la Figure 4 - Fascicule 2) :

Assert. 1 : on a r_I :R_I →M ∉Fl(M') , Assert. 2 : on a m.r_I :R_I → N∉Fl(M') . - la condition suivante est vérifiée :

Résol. 3 : pour tout objet M ∈Ob(M) , pour tout objet N∈Ob(M) et pour toute flèche m:M →N∈Fl(M) , l'assertion Assert. 3 ci-dessous implique l'assertion Assert. 4 ci-dessous (voir la Figure 5 - Fascicule 2) :

Assert. 3 : pour tout objet I∈I et pour toute flèche r'_I:R_I →M ∈Fl(M') , on a m.r'_I:R_I →N∈Fl(M') ,

Assert. 4 : on a m:M →N∈Fl(M') . Formellement, on notera :

) ) ) ((

, ) ) ((

, ) ( , ) ( ,

(I _I X _{I , X I , X I}

R= _{I I∈ I I∈ I X X∈ I∈ I X X∈ I∈}

I

I p

P R

une telle résolution de M dans M' .

2.2.

Définition des sous-catégories résolvantes.

Si M est une catégorie localement petite et si M' est une sous-catégorie de M ayant les mêmes objets que M' , nous dirons que M' est une sous-catégorie résolvante de M si, et seulement si :

- il existe une résolution de M dans M' .

3. Sous-catégories équilibrantes.

3.1.

Equilibre.

Supposons que M est une catégorie localement petite.

Si Y est un ensemble et si q =(q_Y :Q→Q_Y ∈Fl(M))_Y∈Y est une famille projective petite (voir l'Appendice - Fascicule 3) de flèches, on dit qu'une flèche

) ( :M →N∈Fl M

m équilibre q si, et seulement si, la condition suivante est vérifiée : Equil. 1 : pour toute flèche s:Q→M ∈Fl(M) , l'assertion Assert. 5 ci-dessous implique l'assertion Assert. 6 ci-dessous (voir la Figure 6 - Fascicule 2):

Assert. 5 : il existe un Y₁∈Y et il existe une flèche : ( )

1

1 Q → N∈Fl M

t_{Y Y} tels

que m.s=tY1.qY1 ,

Assert. 6 : il existe un Y₂∈Y et il existe une flèche : ( )

2

2 Q →M ∈Fl M

s_{Y Y} tels

que s= sY2.qY2 .

Plus généralement, si q est un ensemble de telles familles projectives petites q de flèches de M , on dit qu'une flèche m:M → N∈Fl(M) équilibre q si, et seulement si, m équilibre toute famille q∈q .

Dans ces conditions, il est facile de vérifier que les flèches de M qui équilibrent q sont les flèches d'une sous-catégorie Equil(M,q) de M ayant les mêmes objets que M .

3.2.

Définition des sous-catégories équilibrantes.

Si M est une catégorie localement petite et si M' est une sous-catégorie de M ayant les mêmes objets que M , nous dirons que M' est une sous-catégorie équilibrante de M si, et seulement si :

- il existe un ensemble q de familles projectives petites de flèches de M tel que )

, (

' M q

M =Equil .

4. Sous-catégories complémentantes, résolvantes et équilibrantes des catégories esquissables.

4.1.

Sous-catégories complémentantes et sous-catégories résolvantes des catégories esquissables.

Montrons que :

Proposition 1. Si M est une catégorie esquissable et si M' est une sous-catégorie complémentante de M , alors M' est une sous-catégorie résolvante de M .

Preuve. Supposons que E est une esquisse petite et que j est un ensemble de monomorphismes potentiels de E .

Posons :

- M =Mod(E,Ens) ,

- M"=Mod(Compl(E, j),Ens) ,

- U =Mod(E ⊆Compl(E,J),Ens):M"→M .

Alors, U(M")= M' est une sous catégorie de M ayant les mêmes objets que M , la restriction U':M"→M' de U:M"→M est une équivalence, de sorte que M' est une sous-catégorie complémentante de M .

Il s'agit donc de montrer que M' est une sous-catégorie résolvante de M . Etape 1 : construction d'un ensemble d'indices et d'une famille d'objets.

Pour tout j:E_j →F_j ∈ j , à l'ensemble ∆∆∆∆=

{ }

δ on sait associer une famille projective de flèches :

H j

j H j H

j R F

f : → " ( )∈ (Ens)) _∈H

( _, ∆∆∆∆ _, Fl

présentant la famille d'objets :

H j

H

R"j : (E, j)→Ens∈ (M")) _∈H

( _, Compl Ob

comme un ensemble de solutions pour l'objet ∆∈Ob(Ens) relativement au foncteur Ens

M"→

j :

evF évaluation en F_j , puisqu'il est esquissable (voir l'Appendice - Fascicule 3 et/ou la Figure 7 - Fascicule 2).

Alors, pour tout j∈ j et tout H ∈H_j , puisque :

) ( )

, ( :

"_j,H Compl E J →Ens∈Ob M R

est un modèle, on dispose de la somme dans Ens ci-dessous (voir aussi la Figure 8 - Fascicule 2) :

) (

"

: )) , ( (

"

) (

"

) (

"

: ) (

" _, j R _, E R _, F R _, E j R _, j

R _{jH j H j} → _{j H j} ← _jH ¬ _{j jH} ¬ .

Ainsi, l'application f_j,H :∆→R"_j,H (F_j) vérifie une et une seule des deux assertions Assert. 7 ou bien Assert. 8 suivantes (voir la Figure 9 - Fascicule 2) :

Assert. 7 : il existe un (nécessairement unique) δ_j,H ∈R"_j,H (E_j) tel que : )

)(

(

"

)

( _{, ,}

,H j H j H

j R j

f δ = δ ,

Assert. 8 : il existe un (nécessairement unique) δ_¬j,H ∈R"_j,H (¬(E_j, j)) tel que :

) )(

(

"

)

( _{, ,}

,H jH jH

j R j

f δ = ¬ δ_¬ .

Alors, on note :

{

⁽j^,H⁾ j j ^et H Hj ^et fj_,H ^{vérifie Assert.8}

}

I = ∈ ∈

et, pour tout (j,H)∈I , on pose :

) ( :

)

"

( _,

) ,

(_{j H} =U R _jH E →Ens∈Ob M

R .

Etape 2 : vérification de la condition Résol. 1.

Pour tout (j,H)∈I , à l'objet R_(j,H):E →Ens∈Ob(M) on sait associer une famille projective de flèches :

) ,

)) (

( :

)

"

( :

( _{( , ), ( , ) ( , ),}

H

X j

X H j H

j X H

j R P

p ⇒U E → Ens∈Fl M _∈X

présentant la famille d'objets :

) ,

)) (

"

( )

, ( :

"

( _{( , ),}

H

X j

X H

P j Compl E j →Ens∈Ob M _∈X

comme un ensemble de solutions pour l'objet R_(j,H) :E → Ens∈Ob(M) relativement au foncteur U :M"→ M , puisqu'il est esquissé (voir l'Appendice - Fascicule 3 et/ou la Figure 10 - Fascicule 2).

Alors, pour tout (j,H)∈I et tout X ∈X_(j,H) , on pose :

) ( :

)

"

( ' )

"

( _{( , ), ( , ),}

), ,

(_{jH X} =U P _{jH X} =U P _{j H X} E → Ens∈Ob M

P .

Comme le foncteur U':M"→M' est une équivalence, la famille de flèches :

) ,

)) (

( :

( _{( , ), ( , ) ( , ),}

H

X j

X H j H

j X H

j R P

p ⇒ ∈Fl M _∈X

présente donc aussi la famille d'objets :

) ,

)) (

( ) ' ( :

( _{( , ),}

H

X j

X H

Pj E → Ens∈Ob M =Ob M _∈X comme un ensemble de solutions pour l'objet :

) (

) :

,

(_jH E → Ens∈Ob M

R

relativement au foncteur injection canonique M'⊆ M :M'→M (voir la Figure 11 - Fascicule 2).

Ainsi, la condition Résol. 1 est établie.

Etape 3 : vérification de la condition Résol. 2.

Supposons que R,M,N :E → Ens∈Ob(M) sont trois modèles et que )

( :

:R⇒M E →Ens∈Fl M

r et m:M ⇒ N:E →Ens∈Fl(M) sont deux

transformations naturelles.

Notons R",M",N":Compl(E,j)→Ens∈Ob(M") trois modèles prolongeant les trois modèles R,M,N :E →Ens∈Ob(M) le long de l'homomorphisme injection canonique E ⊆Compl(E, j):E →Compl(E, j) , i.e. tels que U(R")= R ,

M M")= (

U et U(N")= N : pour ce faire, pour tout j∈ j , il suffit de prendre successivement (voir la Figure 12 - Fascicule 2) :

)

\ )

\

) _{j j j j j}

j R j R E R F R F R j R E R F

F R j

R"(¬ )=

(

( ( )( ( ))⊆ ( )

)

: ( ( )( ( ))→ ( ,

)

\ )

\

) _{j j j j j}

j M j M E M F M F M j M E M F

F M j

M"(¬ )=

(

( ( )( ( ))⊆ ( )

)

: ( ( )( ( ))→ ( ,

)

\ )

\

) _{j j j j j}

j N j N E N F N F N j N E N F

F N j

N"(¬ )=

(

( ( )( ( ))⊆ ( )

)

: ( ( )( ( ))→ ( .

Si, par hypothèse, Assert. 1 (où on remplace r_I :R_I →M par r:R→M ) est vérifiée, i.e. si

) ' ( :

:R⇒M E →Ens∉Fl M

r ,

c'est qu'il n'existe pas de transformation naturelle :

)

"

( )

, ( :

"

"

:

" R ⇒M Compl E j → Ens∈Fl M

r

telle que :

r r r")= '( ")=

( U

U .

Par conséquent, il existe au moins un j₀∈ j pour lequel l'application :

)) , ( (

"

) (

"

) (

"

) ( ))

, ( (

"

) (

"

) (

"

) ( :

) (

0

0 _{0 0}

0 0

0 0

0 0

0 M E M E j

F M F

M j

E R E

R

F R F

R F

r

j j

j j

j j

j j

j + ¬

=

=







 →



¬ +

=

=

, qui admet la restriction :

) ( )

( : )

(Ej0 R Ej0 M Ej0

r → ,

n'admet pas de restriction de la forme (voir la Figure 13 - Fascicule 2) : ))

( (

"

)) , ( (

"

0 0

0 0 j ,j

j j M E

E

R ¬ → ¬ .

Autrement dit, il existe ε∈R"(¬(E₀,j₀)) et "( ) j0

E

∈M

ϕ tels que (voir la Figure 14 - Fascicule 2) :

) )(

( ) )(

(

"

)]

)(

(

"

)[

( _{0 0 0}

0 R j ε M j ϕ M j ϕ

F

r _j ¬ = = .

Il en résulte qu'il existe ( )( ) "( ) ( )

0 0

0 j j

j N E N E

E

m ∈ =

= ϕ

ψ tel que :

) )(

( ) )(

(

"

)]

)(

(

"

)[

)(

( _{0 0 0}

0 R j ε N j ψ N j ψ

F r

m. _j ¬ = = .

Par conséquent, l'application :

)) , ( (

"

) (

"

) (

"

) ( ))

, ( (

"

) (

"

) (

"

) ( :

) )(

(

0

0 _{0 0}

0 0

0 0

0 0

0 N E N E j

F N F

N j

E R E

R

F R F

R F

r m

j j

j j

j j

j j

j + ¬

=

=







 →



¬ +

=

=

. ,

qui admet la restriction :

) ( ) ( : ) )(

(m.r Ej0 R Ej0 →N Ej0 ,

n'admet pas de restriction de la forme (voir la Figure 15 - Fascicule 2) ))

, ( (

"

)) , ( (

" _{0 0}

0

0 j N E j

E

R ¬ _j → ¬ _j .

C'est donc qu'il n'existe pas de transformation naturelle :

)

"

( )

, ( :

"

"

:

"

)

(m.r R ⇒ N Compl E j → Ens∈Fl M telle que (voir la Figure 16 - Fascicule 2) :

r m r

m r

m. )") = '(( . "))= .

(( U

U .

Ce qui permet d'affirmer que m.r:R⇒ N :E →Ens∉Fl(M') , i.e. que Assert. 2 (où on remplace m r_I :R_I →N par m.r:R →N ) est vérifiée.

Ainsi, la condition Résol. 2 est vérifiée (si on se contente de prendre pour :

) ' (

\ ) ( :

:R⇒M E → Ens∈Fl M Fl M

r une quelconque :

) ' (

\ ) ( :

: _{( , )} )

,

( R ⇒M E →Ens∈Fl M Fl M

r _{j H j H} ,

pour un quelconque I =(j,H)∈I ).

Etape 4 : début de la vérification de la condition Résol. 3.

Supposons que M,N:E →Ens∈Ob(M) sont deux modèles et que )

( :

:M ⇒N E →Ens∈Fl M

m est une transformation naturelle vérifiant Assert. 3 , i.e. telle que, pour tout (j,H)∈I et toute flèche :

) ' ( :

: _{( , )} )

,

( R ⇒ M E →Ens∈Fl M

r _{j H j H} ,

on a :

) ' ( :

: _{( , )} )

,

( E Ens Fl M

.r R ⇒ N → ∈

m _{j H j H} .

Notons M",N":Compl(E, j)→ Ens∈Ob(M") deux modèles prolongeant les deux modèles M,N :E →Ens∈Ob(M) le long de l'homomorphisme injection canonique

) , ( :

) ,

(E j E E j

E ⊆Compl →Compl , i.e. tels que U(M")=M et U(N")= N : pour ce faire, pour tout j∈ j , il suffit de prendre successivement (voir la Figure 17 - Fascicule 2) :

)

\ )

\

) _{j j j j j}

j M j M E M F M F M j M E M F

F M j

M"(¬ )=

(

( ( )( ( ))⊆ ( )

)

: ( ( )( ( ))→ ( ,

)

\ )

\

) _{j j j j j}

j N j N E N F N F N j N E N F

F N j

N"(¬ )=

(

( ( )( ( ))⊆ ( )

)

: ( ( )( ( ))→ ( .

Alors, si → ∈ j

0

: 0

0 Ej Fj

j et si θ ∈M"(¬(E₀,j₀)) , on dispose de l'application

"sélectionnant θ " :

{ }

θ δ

δ

θ ∆

a

) ( )) , ( (

"

: _{0 0}

0, = → M ¬ E j ∈Fl Ens

s_j

.

Comme construite dans l'Etape 1 précédente, la famille projective de flèches :

H j

j H j H

j R F

f : → " ( )∈ (Ens)) _∈H

( 0, ∆∆∆∆ 0, 0 Fl

présente la famille d'objets :

H j

H

R"j : (E, j)→Ens∈ (M")) _∈H

( _,

0 Compl Ob

comme un ensemble de solutions pour l'objet ∆∈Ob(Ens) relativement au foncteur Ens

M"→ :

j0

evF "évaluation en

j0

F ". Il existe donc un

j0

H_θ ∈H et une flèche : )

"

( )

, ( :

"

"

:

" _{, ,}

0

0 R ⇒M Compl E j →Ens∈Fl M r _{j Hθ j Hθ}

tels que (voir la Figure 18 - Fascicule 2) :

θ θ

θ , 0 ,

, _{0 0 0}

0 ( ) "( )

"_{j H} F_j f_{j H} M j s_j

r o = ¬ o .

Il en résulte que Hθ

fj _,

0 vérifie l'assertion Assert. 8 de l'Etape 1 précédente, i.e. qu'il existe un unique _, " _, ( ( , ₀))

0 0

0 _H R _{j H} E_j j

j ∈ ¬

¬ _{θ θ}

δ tel que (voir la Figure 19 - Fascicule

2) :

) )(

(

"

)

( _{, 0 ,}

, _{0 0}

0 _Hθ ε _{j H}θ δ _{j H}θ

j R j

f = ¬ _¬

ce qui implique évidemment que " _{, θ} (¬( , ₀))(δ_{¬ , θ} )=θ

0 0

0 H j j H

j E j

r .

En vertu de la construction de I effectuée à l'Etape 1 précédente, on a donc

∈I ) ,

(j₀ H_θ . De sorte qu'Assert. 3 s'applique, en y prenant : )

, ( ) ,

(j H = j₀ H_θ

et :

) ' ( :

)

"

( )

"

( :

)

"

( _{, ( , ) ,}

) ,

( ₀ =U r ₀ R ₀ =U R ₀ ⇒U M =M E → Ens∈Fl M

r _{j Hθ j Hθ j Hθ j Hθ}

.

Ainsi on a _{( , )}: _{( , )} : ( ')

0

0 E Ens Fl M

.r R →N → ∈

m _{j Hθ j Hθ} . Par conséquent, il existe

une unique transformation naturelle :

)

"

( )

, ( :

"

"

:

"

)

( _{( , ) ,}

0

0 Compl E j Ens Fl M

.r R ⇒N → ∈

m _{j Hθ j Hθ}

telle que _{( , ) ( , )}

0 0 )")

((m.r _{j Hθ} =m.r _{j Hθ}

U .

Etape 5 : fin de la vérification de la condition Résol. 3.

Supposons toujours, comme à l'Etape 4 précédente (dont on reprend toutes les notations, toutes les hypothèses et toutes les conclusions), que M,N :E → Ens∈Ob(M) sont deux modèles et que m:M ⇒ N :E → Ens∈Fl(M) est une transformation naturelle telle que, pour tout (j,H)∈I et toute flèche :

) ' ( :

: _{( , )} )

,

( R ⇒ M E →Ens∈Fl M

r _{j H j H} ,

on a :

) ' ( :

: _{( , )} )

,

( E Ens Fl M

.r R ⇒ N → ∈

m _{j H j H} .

Alors, pour tout j₀∈ j , l'application :

) (

"

) (

)) , ( (

"

)) , ( (

"

: )) , ( (

"

, )

, (

0 0

0

0 0

0 0

0

θ

θ δ

θ ^j _{j H}^j _{j H}

j

r m

j E N j

E M

j E m

¬

¬

→

¬

¬

a .

vérifie évidemment l'équation :

)) , ( (

"

) (

"

) (

"

( _{0 0 0}

0

0 M j N j m E j

F

m _j ⁾

.

¬ = ¬

.

¬ _j

(i.e. rend commutatif le "parallélogramme" P de la Figure 20 - Fascicule 2).

Autrement dit, la transformation naturelle m:M ⇒N :E →Ens possède un (unique) prolongement m":M"⇒ N":Compl(E,j)→Ens le long de l'homomorphisme injection canonique E →Compl(E, j) . C'est dire que U(m")=m , de sorte que

) ' ( :

:M ⇒N E →Ens∈Fl M

m .

Ainsi, l'assertion Assert. 3 de Résol. 3 implique l'assertion Assert. 4 de Résol. 3 et donc Résol. 3 est vérifiée.

Fin de la preuve.

4.2.

Sous-catégories résolvantes et sous-catégories équili- brantes.

Montrons que :

Proposition 2. Si M est une catégorie localement petite et si M' est une sous- catégorie résolvante de M , alors M' est une sous-catégorie équilibrante de M . Preuve. Supposons que M' est une sous-catégorie résolvante de M et donc que :

) ) ) ((

, ) ) ((

, ) ( , ) ( ,

(I _I X _{I , X I , X I}

R= _{I I∈ I I∈ I X X∈ I∈ I X X∈ I∈}

I

I p

P R

est une résolution de M dans M' .

Etape 1 : construction d'un ensemble de familles projectives de flèches.

Pour tout I∈I , posons successivement :

{

^{' : ( ')}

}

' X _{, ' , '} M

X _I = X ∈ _I p_{I X} R_I →P_{I X} ∈Fl ,

{

^{" : ( ')}

}

" X _{, " , "} M

X _I = X ∈ _I p_{I X} R_I →P_{I X} ∉Fl et :

X I

X I I X I

I p R P

p" =( _{, "}: → _{, "}∉Fl(M')) _"∈X" ,

de sorte que XI = X'I

U

X"I est une réunion disjointe et que p"_I est une famille projective de flèches de M (voir la Figure 21 - Fascicule 2).

Alors, ^p"⁼

{

^p"I ^I∈I

}

est un ensemble de familles projectives de flèches de M et les sous-catégories M' et Equil(M,p") de M ont, par hypothèse et par construction, même ensemble d'objets que M .

Pour montrer que M' est une sous-catégorie équilibrante de M , il suffit donc de montrer que M'=Equil(M,p") , i.e. que Fl(M')=Fl(Equil(M,p")) .