Sous-catégories pleines d'une catégorie dérivée filtrée

A ^BDALLAH B ^ADRA

Sous-catégories pleines d’une catégorie dérivée filtrée

Annales scientifiques de l’Université de Clermont-Ferrand 2, tome 91, série Mathéma- tiques, n

^o

24 (1987), p. 105-139

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SOUS-CATEGORIES PLEINES D’UNE CATEGORIE DERIVEE FILTREE Abdallah BADRA

Introduction :

Soient C une

catégorie, CS

^{sa localisée par}

^rapport

^{à un ensemble}

multiplicatif

^{de C}

et D une

sous-catégorie pleine

^{de C telle} que ^{soit un} ensemble

multiplicatif

^{de D.}

La condition

(*)

suivante : pour ^toute flèche s : X - Y de S avec Y ^E D il existe

Obj(D)

^et t : Z - X de C tels que ^est suffisante pour que le foncteur

a : :

DS n ^{D ~} CS

^soit

pleinement

^fidèle.

Le cas

classique

^{est celui où C est la}

catégorie K- ( 9!J)

^des

complexes,

^à

composantes

dans une

catégorie

^{abélienne 4 ,}

^{, bornés}

^{à droite et définis à}

homotopie près.

S _

QIS- (~ )

^{est alors} l’ensemble des

quasi-isomorphismes

^{de K-}

( " ) . Si D

⁼

K ( 3’)

où ^9’ est la

sous-catégorie

^des

objets projectifs

^{de àl La condition}

(~) est

^réalisée.

Dans

le § 2,

^{on montre} _que ^{le foncteur « reste}

pleinement

^fidèle pour D =

(complexes

^de

longueur 1)

^{où 2 est une}

catégorie

^{additive de "} vérifiant la

condition, plus

faible que

(*),

^suivante

(**)

pour ^tout

quasi-isomorphisme

de

Kl(.W)

^où

_Po

^et

Mi

^sont

^{dans 2 ,} M1

^E

Obj( 2)

^ssi

Po

^E

Obj(B ^).

Dans l’étude de certains

problèmes

^{on est amené à}

remplacer "

^{par une}

catégorie plus générale.

^{Si ~’}

^{et -6}

^{sont des}

catégories abéliennes,

T : ~ ’ -~ ~

un foncteur additif. Pour définir une

catégorie

^dérivée

^{filtrée ,}

^on

remplace,

^{dans ce}

qui

ⁱ

précède .rzg,

par ^la

catégorie

^des

objets (L’, L 1 1)

^{où L’ E}

et i une flèche de iw avec L ⁼

T(L’).

^Dans

le §

^{3 on montre}

qu’une

^condition

analogue

^à

(**)

^{sur une}

sous-catégorie 2

^de

0(ia ’, ~ )

^entraîne que

09"] (.fi )

^est

une

sous-catégorie pleine

^{de D~}

(*~B ~ ).

^Deux

exemples

^{sont donnés au}

^§

^4.

§

^1-

Catégories

^localisées

Définition 1 :

Si C est une

catégorie

^{et S un} ensemble de

morphismes

^de

^C,

^une

catégorie

localisée de C par

rapport

^{à S est la donnée d’une}

catégorie CS

^et d’un foncteur F : C ^-

Cs

^{tels que :}

1)

^{Pour tout élément}

s E S, F(s)

^{soit un}

isomorphisme

^de

CS.

2)

Tout foncteur F’ : C --&#x3E;

D,

tel que

F’(s)

^{soit un}

isomorphisme

^de

^D,

^{pour tout}

s El S,

^se factorise de

façon unique

par F.

Définition 2 :

Soit C une

catégorie

^{et S un} ensemble de

morphismes

de C. On dit que S ^{est un} ensemble

multiplicatif

s’il vérifie les

propriétés

suivantes :

1)

^{Pour tout} élément s î S et tout

t E S,

^{st E S et} pour ^tout

objet

^{M de}

C, idM E S.

2) a)

^Tout

diagramme

de

C,

^où

s E S,

^se

complète

^{en un}

diagramme

^commutatif

où t E S.

b)

^Tout

diagramme

de

C,

^où

t E S,

^se

complète

^{en un}

diagramme

^commutatif

où ; ¹

a)

^{Il existe s : P --~ M} de S tel que fs ⁼ gs.

b)

^{Il existe t : N 20132013~}

Q

de S tel que tf ⁼

tg.

On dit que S

permet

^un calcul de fractions bilatère .

Soient C une

catégorie,

^{S un ensemble}

multiplicatif

pour ^tout

objet

^P

on considère la

catégorie Ip

^{dont les}

^objets

^sont les éléments de S de but P et les

morphismes

^{sont les}

diagrammes

commutatifs suivants :

f est un

morphisme

^{de C.}

De

même,

^{on définit la}

catégorie Jp

^{dont les}

^objets

^{sont les éléments de}

^S,

de source

P,

^{et les}

morphismes

^{sont les}

diagrammes

commutatifs suivants :

Remarque :

Les

catégories Ip

^et

Jp

^vérifient les axiomes

LI, L2

^et

L3

^de

^{[ 1 J}

^Ch

^{1 §}

^1.

En

particulier, Ip

^et

Jp

^sont cofiltrant et filtrant

respectivement.

Soient C une

catégorie

^{et S un ensemble}

multiplicatif

^{dans C..}

On définit la

catégorie CS

^{comme la}

^catégorie

^{dont les}

^objets

^{sont les}

^objets

^{de C et}

les

morphismes

^sont définis de la

façon

suivante : ^-.

Proposition

^{1 :}

La

catégorie CS

^ainsi

^définie

^{est une}

^catégorie

localisée de _{C par}

rapport

^{à S.}

Preuve :

Cf.

[7] ]

^ch.1

§ 3,

prop. ^3.1.

Remarque :

On

peut

^définir

CS

^en

^posant

Proposition

^{2 :}

Soient C une

catégorie,

^{S un ensemble}

multiplicatif

^{de C et D une}

sous-catégorie pleine,de

^C

telle que ^{D soit un} ensemble

multiplicatif

^{de D.}

Supposons

que l’une des deux

propriétés

^{suivantes soit}

vérifiée :

a) pour ^tout

morphisme

^{s : M - N de S où N est un}

objet

^de

^D,

^{il existe un}

objet

^{P de D et un}

morphisme f :

^{P - M} de C tel que

sf

^{soit un élément de S.}

b)

^{Pour tout}

morphisme t :

^{M ,--~ N de S où M est un}

objet

^de

^{D, il}

^{existe un}

morphisme

g : ^{N - P} de

C,

^{avec P un}

objet

^de

^D,

^tel que

gt

^{soit un} élément de S.

Alors est une

sous-catégorie pleine

^de

Cs*

Preuve :

Découle des définitions.

§

^{2 -}

Sous-catégorie pleine

^{de la}

catégorie

dérivée d’une

catégorie

^abélienne

Soit 4 une

catégorie

abélienne. On note la

catégorie

^des

complexes

d’objets

^{de 4 et la}

catégorie

^{dont les}

objets

^{sont les}

objets

^{de et les}

morphismes

sont les classes de

morphismes

^à

homotopie près.

On considère l’ensemble des

quasi-isomorphismes

^de

K( 8F ) (i.e.

l’ensemble des

morphismes qui

^{induisent un}

isomorphisme

en

cohomologie ).

Proposition

^{1 :}

QIS(4)

^{est un ensemble}

multiplicatif de ^).

Cf

[ 7 ] ch.1 § 4 prop. 4.1..

^&#x3E;

Définition 1 :

La

catégorie

^dérivée

de -çg ,

^,

D(£ù )

^{est la}

catégorie

^localisée

par

rapport

^à l’ensemble des

quasi-isomorphismes

On définit de la même

façon

^D-

(resp. ^D+ (sfJ),

resp.

Db( ^~))

^en

remplaçant K(

par ^la

sous-catégorie pleine

^{K -}

( £V ) (resp. K + ( ~ ),

resp. formée des

complexes

^{bornés à droite}

(resp.

^à

gauche,

resp. ^à droite et à

gauche).

Proposition

^{2 :}

Soit .0 la

sous-catégorie pleine

^{de -W}

formée

par les

objets projectifs.

^Le

foncteur

est

pleinement fidèle,

^{et si Sl51 contient}

suffisamment

de

projectifs,

^{alors a est une}

équivalence

^de

catégories.

Preuve :

La

première

^assertion découle de la

proposition 2 §

^{1 et de}

^{[ 7 ]}

^ch.1

prop. 4.2.

La seconde assertion se démontre en

remarquant

que pour ^tout

complexe

^{M. de}

K r

( aJ )

^{il existe un}

quasi-isomorphisme

^{s. : P. --~ M. où P. est un}

objet

^{de K-}

(~).

Soit

K I (s~ )

^la

sous-catégorie pleine

^{de formée des}

complexes

^de

longueur

^1.

On notera

= QIS(4)

ⁿ

Soit 2 ^une

sous-catégorie

^additive

pleine

^{de A} vérifiant la

propriété

^{suivante :}

i)

^{Pour tout} élément de

où

Pl

^et

Mo

^{sont des}

objets ^{de 2,}

^alors

Ml

^{est un}

objet

^{de M si et} seulement si

Po

est un

objet

^{de 2 . .}

Proposition

^{3 :}

Soit le

diagramme

^{suivant :}

dans où P. et R. sont des

objets

^de

Kl (~ ),

^{t. un}

quasi-isomorphisme.

^{Il existe}

un

objet Q.

^de

K1 (~ ),

^des

quasi-isomorphismes

^{s. : P. -}

Q. ,

q. :

Q. ^{- N. ,}

h. : E. ^--,~ N. et un

morphisme

^{v. : R. --~}

Q.

^tels que le

diagramme

^suivant

commute dans

K(» ).

Preuve :

On construit le

quasi-isomorphisme

p. : ^{M. 2013~ E.}

où p = (to’ uo), pl

^{et ’Y} 1 ^sont les

applications canoniques

^du

produit

^{fibré et}

On définit le

morphisme

de la

façon

suivante : r 0 ^est

l’injection canonique

^et

_ri

^est définie par ^la

propriété

universelle du

produit

^{fibré et découlant de la} commutativité du

diagramme

^{suivant :}

On a

poro

⁼

t. et pl rl - tl.

^{Comme p.} et t. sont des

quasi-isomorphismes

r. : P. - M. est un

quasi-isomorphisme.

le

quasi-isomorphisme composé

où q. ^{est un}

quasi-isomorphisme.

^D’autre

part,

g. ^{r. est un}

quasi-isomorphisme.

Comme

Pl, Po

^et

Qo

^{sont des}

^{objets de !Il}

^,

QI

^{est un}

^objet

^{On définit}

f. : R. ^20132013~ M. de

façon analogue

^{à celle de r. et on} obtient le

diagramme

^commutatif

cherché en

posant

g. ^{f. = v.,} g. ^{r. = s.}

Proposition

^{4 :}

Soit le

diagramme

dans où P. et R. sont des

objets

^de et t. est un

quasi-isomorphisme.

Il existe un

objet Q.

^de

Kl _),

des

quasi-isomorphismes

q. : M. ^-~

Q.

^et

r. : M. ~--~--~

E.,

^{et un}

morphisme

^{v. :}

Q.

^{~ R. de} tels que le

diagramme

^{suivant :}

commute dans

K(.W).

Preuve :

On construit le

quasi-isomorphisme

p. : E. ~ N. suivant

où

p1

⁼

(ti,ui), po

^et y i ^{sont les}

applications canoniques

^{de la somme}

amalgamée.

D’autre

part,

^{on définit} g. : N. ~P. de la

façon

^{suivante :}

g,

^{est la}

projection

^{sur le}

premier

^{facteur et}

_go

^est définie par ^la

propriété

universelle de la somme

amalgamée

^et découlant de la commutativité du

diagramme

^{suivant :}

On a alors g.p. ⁼ t. , ^ce

qui

entraîne que g. ^{est un}

quasi-isomorphisme.

On construit f. : N. 2013&#x3E;R. de

façon analogue

^à celle de g. On pose

Q.

⁼

t o]

^{N .}

et w . :

Q.

-&#x3E; N. le

quasi-isomorphisme canonique.

On obtient ^un

quasi-isomorphisme

s. ⁼ g. ^{w. :}

Q.

-&#x3E; P..

Or, Po , Q 1

^et

Pl

^{sont des}

objets

de 2 donc

Qo

^{est un}

objet ^{de fi)}

^ce

qui

entraîne que

Q.

^{est un}

objet

^de

).

De

plus,

^le

diagramme

^{suivant :}

se

complète,

^dans

K(aV ),

^{en un}

diagramme

^commutatif

où

M. - t o]

^{E. et r. et q. sont les}

quasi-isomorphismes canoniques.

Le

diagramme

^suivant

est donc commutatif. D’où le résultat cherché.

Proposition

^{5 :}

Soit

u. : Q.

&#x3E; P. un

morphisme

^de ).

a) s’il existe un élément s’. : E. ^-)

Q.

^de tel que ^{u. soit nul} dans alors u. est nul dans

b)

s’il existe un élément t.’ : P. -&#x3E; E. de tel _que t’.uo soit nul dans

K(W )

^{alors u. est nul dans}

KI

_).

Preuve :

a)

^{Soit ~ . : t}

0]

E. -&#x3E; E. le

quasi-isomorphisme canonique.

^On pose

s. ⁼ s.’ _C. -) u. s. est alors nul dans

K( -W ).

^Ce

qui signifie

que ^le

morphisme

de

complexes

^{u.s. :}

t o j

^E. -&#x3E; P. est

homotope

^{à zéro.}

Il existe un

opérateur d’homotopie

^h

qui

^{fait commuter le}

diagramme

^{suivant :}

comme s. est un

quasi-isomorphisme , Qo

^est

^isomorphe

^{à la somme}

^{amalgamée K’o*}

EI

Par la

propriété

universelle de la ^somme

amalgamée,

^{il existe une}

application

^{k :}

Qo

-&#x3E;

Pl

telle que

k y

⁼ ul ^{et d k =} uo . ^{u. est donc}

homotope

^{à zéro.}

b)

^La démonstration est

analogue

^{à celle de}

^a).

Proposition

^{6 :}

QIS’(S)

^{est un ensemble}

multiplicatif.

Preuve :

L’axiome

1)

^{de la} définition 2

du §

^{1 est évident.}

L’axiome

3)

découle de la

proposition 5).

Vérifions l’axiome

2).

a)

^{Soit le}

diagramme

de

Kl( 3y)

^{où s. est un}

quasi-isomorphisme.

^On

peut

^le

compléter

^dans

en un

diagramme

^commutatif

avec t’. un

quasi-isomorphisme ^{( §}

^2.

^{prop. 1).}

On montre, ^{en utilisant la}

proposition ^4, qu’il

^{existe un}

objet Q.

^de

),

des

quasi-isomorphismes

^{q. : E.} 2013&#x3E;

Q.

^{et t. :}

Q.

^{2013~ M. et un}

morphisme

g. :

Q.

-&#x3E; P. tels que le

diagramme

^{suivant :}

commute dans

K’(

On conclut en

remarquant

que le

diagramme

^{de suivant :}

commute. En

effet,

^{on a f. t’. =}

f.t.q.

⁼

s.g~.

⁼ s.g.q. dans ^K

( 4 ),

^{et comme} q.

est un

quasi-isomorphisme,

^la

proposition (5)

entraîne que f.t. ⁼ s.g. dans

).

On vérifie d’une

façon analogue

^l’axiome

3) b).

Proposition

^{7 :}

On note . Le

foncteurnaturel Dl( 2)

~.&#x3E;

D(,~ )

est

pleinement fidèle.

D’(S)

^{est une}

sous-catégorie pleine

^de

).

Preuve :

Découle des

propositions 3), 4)

^et

5).

Remarque :

Les

propositions 3), 4), 6)

^et

7)

^{restent vraies si on}

remplace 2

^{par la}

catégorie

des

objets projectifs

^{de id.}

§

^{3 -}

Catégories

dérivées filtrées

Soit iW ^une

catégorie

^{abélienne et r E LN. On la}

catégorie

^{suivante :}

Un

objet

^{de 9}

r(~ )

^est la donnée de r + 1

objets

^{de l15J}

lo, 12,

^...,

Ir

^{et de}

r

flèches i, :L

-&#x3E;

1. i- 1 ^{de iw}

^{1 il sera noté : "}

. Un

morphisme @ : L

-&#x3E; M est la donnée de r + 1

flèches ..p k : lk

^20132013~

mk

^{commutant aux}

Proposition

^{1 :}

Un : L - M de

~r(~ )

^{est un}

monomorphisme (resp.

^un

épimorphisme)

si et seulement

si,

_pour ^tout

k,

^{0 r k ::5 r . est un}

monomorphisme (resp.

un

épimorphisme) .

Preuve :

Supposons

^{que o : I~ ~ M est un}

monomorphisme

^{de ’}

r( ^{’a )-}

Soit ~’ ^: p ^2013~

lk

^un

^{morphisme de "}

^tel

que ’P k 0 Blf k =

^0-

On considère

l’objet

et on définit y : P -&#x3E;

L~

^en

posant

On en déduit que y ^{est nul car w est un}

monomorphisme,

^ce

qui

^entraîne

que f

est nul. La

réciproque

^{est évidente. La seconde assertion se} démontre de

façon analogue.

Corollaire 1 :

La est abélienne.

Soit

Fr( ^{4 )}

^la

sous-catégorie pleine

^de

~r(~ )

^des

^objets

tels que

ij

^{soit un}

monomorphisme

pour ^tout

j

^{r. On dira}

qu’un objet

^de

Fr(

^{est un}

^objet 10

^{de " muni} d’une filtration à r-crans~ ou r-filtrés.

Proposition 2 :

Pour tout

objet

^{L de}

f; r( 9fJ) il

^{existe un}

^objet

^{M de}

F r( 9fJ)

^{et un}

épimorphisme

Preuve :

On dit que ^{L est le cran 0} de la filtration et on le note

10 :

r

,

On pose

mj _

^II

lk pour tout j e ~ 0,

^{..., ri - .}

~

k = j

On définit

On définit un

épimorphisme

^{M 20132013~ L de en}

appelant

la

projection canonique,

^en

^effet,

^le

diagramme :

commute pour ^tout

Corollaire 1: -.

Pour tout

complexe

^L.

d’objets

^de

borné

^à

^droite,

^{il existe un}

quasi-isomorphisme

s. : M. ~ L. où M. est un

complexe d’objets

^de

Fr(

^{borné à droite.}

Cf. 1 71 ch. l.

Dans ce

qui ^suit,

^le

signe * désignera

^{l’un des}

signes ^{+ , - , b}

^{ou n e (N.}

On notera

C °"( 4 ) ^(resp.

^K

~’ r( ^{8F ),}

^resp.

QIS Y r ( ⁴⁾⁾

^la

^catégorie

^des

^complexes

les

morphismes

^{sont les}

morphismes

^de

complexes (resp. les

^classes

de

morphismes

^de

complexes

^à

homotopies près,

resp. les

quasi-isomorphismes,

c’est-à-dire les

morphismes qui

induisent des

quasi-isomorphismes

^sur

chaque

^{cran de la}

filtration).

^{On définit de la même}

façon

^les

catégories CF r( ¡¡g ^{), ), ),}

CF r * ^{( ja)} KF~*( 8F )

^et

QISFr ^(ag

Remarque :

1)

^et

QIS 3°§( ^.~)

^sont des ensembles

multiplicatifs

^{de K}

r

2)

^{et sont} des ensembles

multiplicatifs

^de

On notera

Théorème 1 :

Le

foncteur

^naturel

-~ D

est ^une

équivalence

^de

catégories.

Découle du corollaire 1 et de la

proposition

²

du §

^1.

Soient 4 ’ et 4 deux

catégories

abéliennes et T un foncteur additif exact à droite de s~’ dans JI . On notera "

r( ^{~B ~ )}

^la

^catégorie

^des

^couples

où L’ est un

objet de " ’

et

(où

^{on a noté}

10

⁼

^L)

^tel que

T(L’)

^{= L.}

Un morphisme de L ^=(L’,L à ...)

^{dans M}

...)

^de

est la donnée d’un

morphisme o’ :

^{L’ - M’ et un}

morphisme

~ : (L ~ ~~2013 ...)20132013~ (Me m ^...)

^de

51 r(.w )

^{tel que}

^{T( v ’) =}

~~

que l’on ^{notera ~.} On

désigne

par ^la

sous-catégorie pleine

^de

formée des

objets L ^=(LBL2013 ...)

^tel que

(L~2013 ))

On notera

C~(~B ^(resp.

^la

^catégorie

^des

complexes d’objets

de

~, ig) (resp.

^à

homotopie près) :

^{On dira}

qu’un morphisme

^de

C? r( ^Ja’,

^ou

de

W), _~ estunquasi-isomorphismesi ^cD.’,

^{~.= et sont}

des quasi-isomorphismes.

^{On notera}

QIS5’,(»’, ^ig)

l’ensemble des

quasi-isomorphismes

. On définit les

catégories Proposition

^{3 :}

Soit le

diagramme

^{suivant :}

de où P. et R. sont des

objets

^de

( ~ (~ ; ~ ))

^et

t.

^un

quasi-isomorphisme.

Il existe un

objet g.

^de

KFlr (B( 9!1’, 9!1 ))

^des

quasi-isomorphismes s.:

^P. -&#x3E;

Q. ,

q. :

Q. -)~. ^{et f. :}

^{E. 2013~}

^fi.

^{et un R.} 20132013&#x3E;

Q.

^tels que ^le

diagramme

suivant :

commute.

Preuve :

D’après

^la

proposition

^{3 du}

§ 2,

^{et en}

adoptant

des notations

similaires,

^{il suffit de}

prouver que

l’image

^du

complexe

foncteur

T,

^{est le}

complexe

Dans le

diagramme :

Et comme

est un

isomorphisme,

^la commutativité du

diagramme

entraîne l’existence d’un

morphisme

^{w faisant commuter le}

diagramme

^{suivant :}

donc _~p est un

isomorphisme.

Proposition

^{4 :}

Soit le

diagramme

dans K

’,

^{où P. et R. sont des}

objets

^de

K-f 1 (2 ^{~ ’, ~ ~}

^{et t. un}

(2 (A’,A)) et des quasi-isomorphismes

- r

9: : M.

-&#x3E;

Q. et 1:: :

^M.

-&#x3E; E.,

^{et un}

Q.

-&#x3E; R. ^{de K}

f; r( ^{ag -.1 » )}

tels que ^le

diagramme

^suivant

commute dans Kg ).

Preuve :

En

adoptant

des notations similaires à la

proposition

⁴

^{du §}

^{2 et en}

l’appliquant

^aux

catégories £ ’

^{et S’SI Un obtient le}

diagramme

commutatif suivant :

avec

N. _ (N: , N.

^~.-..

n.)

^{où Ni et}

(N. ~- n.)

^{sont définies comme dans le}

diagramme (3)

^{de la}

proposition

⁴

^{du §}

^2.

Appelons

..." ...

1

On a le

diagramme

commutatif suivant :

où 1 et ~p sont les

applications canoniques.

^{Comme T commute aux sommes}

amalgamées,

^on obtient le

diagramme

commutatif suivant : ^’

Y ^est

l’application

universelle de la somme

amalgamée.

^{On en déduit le}

diagramme

commutatif suivant :

Ce

qui

prouve que y ^{est un}

isomorphisme.

On identifie alors

l’image

^du

complexe

par ^{T au}

complexe t o

^{N’.. Le}

^couple

devient un

objet

^{de K} _r

( ia’,

⁴

))

que l’on ^{notera t} _ofN . ou

~.

Et il existe un

quasi-isomorphisme canonique ,

Il existe donc un

diagramme

commutatif dans où r. et q, ^sont des

quasi-isomorphismes.

D’où le

diagramme

^cherché.

Proposition

^{5 :}

QIS ~’ l( ~ ( »

^{est un ensemble}

multiplicatif.

r

Preuve :

L’axiome 1 de la définition 2

§ 1,

^{est évident et} l’axiome 3 découle de la

proposition

⁵

^§

^2.

Vérifions l’axiome

2).

a)

^{Soit le}

diagramme

n ,

t considérons le

complexe

On note les différentielles de

R.,

^{S. et P.}

S , 7

^{et d}

respectivement.

On définit les

morphismes

Comme les

projections canoniques.

^{Comme s. est un}

quasi-isomorphisme

q. ^{est un}

quasi-isomorphisme

^{et le}

diagramme

^suivant

commute à

homotopie près,

^{en effet :}

On définit les

opérateurs d’homotopies

On obtient :

On considère les

complexes

¹

Il existe un

morphisme y : T(Qo)

20132013&#x3E;

Qo ^qui

^{fait commuter le}

^diagramme

^{suivant :}

Ce

qui

^entraine

que y

^{est un}

isomorphisme

^et

Qo

^{est un}

objet

^{de 2}

( ig’, ja ) -

On obtient donc le

diagramme

commutatif cherché

en

appelant

^{t. le}

quasi-isomorphisme composé :

et v. le

morphisme composé

b)

^{Soit le}

diagramme

dans K ~

r 1 (2 ^{( )).}

On considère le

complexe ]

défini de la

façon

^{suivante :}

, l’’i

Les flèches

canoniques

^R. -&#x3E; M. et P. -&#x3E; M. font commuter le

diagramme

^suivant

1 ? 1.~ - ^*

à

homotopie près.

^En

^effet,

^en

explicitant

^le

diagramme précédent,

^{on obtient :}

~i~ les

opérateurs d’homotopie

^sont

D’autre

part

q. ^{est un}

quasi-isomorphisme

^{car s. l’est et comme T est exact à droite.}

on

peut tronquer

^le

complexe

^M.. On obtient alors le

diagramme

commutatif. cherché

où t. est le

quasi-isomorphisme composé

^{et v. est}

le

morphisme composé

Q.

_s^{est un}

objet

^{de K 9 1}

^{(s ( 4 ’,}

^{car t. est un}

quasi-isomorphisme

^et

~Io

^est

dans 2

( j4l’, -W ).

On définit D _r

(j4l’,

^{comme la}

catégorie

^localisée

Théorème 2 :

Le

foncteur

naturel D 9

1 ^{( ~ (}

-&#x3E; D

~’r (~ ^{.1 ig )}

^est

pleinement fidèle.

D 91 ¹

(

^~

(~ ;

^{est une}

sous-catégorie pleine

^de

^’,

r

Théorème 3 :

Les

foncteurs

^du

diagramme commutatif

^{suivant :}

sont

pleinement fidèles.

§ 4. Catégories

dérivées filtrées

Exemple

^{1 :}

Soit

x : B

-&#x3E; A un

homomorphisme

d’anneaux. On

appellera A’

la

catégorie

^des B-modules et 4 la

catégorie

^{de A-modules.}

T : ^{¡fJ’ - 4} est le foncteur

produit

^tensoriel

T(L’) =

^L’

9B

^A.

Soit 2

(

^la

sous-catégorie

^de

F i( 4 ’, àQl )

^{formée des}

^objets

L ⁼

(L’,

^L

~ ₁₎

tels que,

L,1

⁼

L/1

^soient

projectifs

^de

type fini.

^{On dira}

que ^{1 est la} filtration de L sur A et 2 ^sa cofiltration.

~

(~ B ~ )

^{est une}

sous-catégorie pleine

^de

FI 8+ ’, 8+ ) . Remarque :

La

catégorie M ^{( ~’, ~ )}

vérifie la

propriété i) du §

^{3. On en déduit} que

QIS FI (

^B

( A’, A ))

^{est un ensemble}

multiplicatif. (Pour

^{une autre} démonstration de

r

ce résultat

cf. [3 j).

^{On en}

déduit,

^d’autre

part,

^{le :} Théorème 1 :

Le

foncteur

^naturel

DF’

1

( 39 (

~ ; ~ ~i

^~

~’, ~ ~

^est

pleinement fidèle.

Lemme 1 :

Soient ja

une catégorie abélienne et ?

Soit L. u,n

objet

^de

^{C-( 1’)} acyclique

^en

degré

^{i k.}

Alors tk

^{i L. est un}

^objet

^de

^C-(30

^).

Preuve :

Comme L,. est borné à droite et

acyclique

pour i

k,

^{la suite}

o &#x3E;

Ker(dLk)

201320132013&#x3E; &#x3E; ^... a

Lh

^{-.,. 0} est exacte et est

scindée ,

^donc

Ker(dLk )

^{est un}

^objet

^{de * .}

Lemme 2 :

Soient M. un

objet

^de

^{Cn( ~),}

^{que l’on suppose à}

composantes

^{nulles en dehors de}

(v,n J,

et L. un

objet

^de

^!P).

^{S’il existe un}

quasi-isomorphisme

^{s . : M. 2013~ L. ou un}

quasi-isomorphisme

^{t. : L. 2013~} M. alors les

complexes

^t

o]

L. et t

ln

L. sont des

objets

^de

^{C°°( 3’)} et le complexe

^{t t L. est un}

objet

^de

jn o]

Preuve :

L’existence de l’un des

quasi-isomorphismes

^{s. ou t. entraîne} que ^{L. est}

acyclique

en dehors de

[ o, n] .

^{t L. est donc un}

objet

^de

C’( ~).

oj J

Dans le

premier

^{cas, le}

morphisme composé M. 201312013~

^L.

-=--7

^t

L.

est un

quasi-isomorphisme,

^{son cône est la suite exacte}

comme toutes les

composantes Li

^et

Mi

^{sont des}

^{objets de ~ ,}

^{est un}

^objet

de 9’ . Ce

qui

^{prouve que t}

Ili

L. est un

objet

^de

C-(

Dans le second _cas, t. se factorise par le

qu asi-isom orphisme t

^t

[n L.

-&#x3E; M.

en considérant son cône, ^{on démontre} de la même

façon

que tr

in L.

^{est un}

^objet

^de

^C-(e).

On en déduit _que t L. est un

objet

^de

Cn( y).

Proposition

^{1 :}

Soit L. ^--

(L: ,

^L. ~- 1) ^un

objet

^de

4))acyclique (1 .e. L/,

^{L. et l. sont}

a,cycliques).

^{En dehors de On note 2. sa}

cofiltration

^et

(dL: dL.’ dl.)

sa

différentielle

^{et la}

différentielle

^{induite sur sa}

cofiltration.

^On suppose que

sont

projectifs.

Alors les

complexes t

^{L, et t}

L.,

^{sont des}

^objets

^de

C"( 39 ^’, A))

^{et le}

complexe

o j

^-

[n

t

[n t ]

L. est un

objet

^{de Cn}

(A’, [n o]

Preuve :

Les

complexes

¹

sont à

composantes projectives, d’après

^{le lemme}

^l,

^{et de}

type

^fini.

L . est borné à

droite,

^{soit k E}

2?,

tel que

Li = 0

^{pour i}

^k,

^{pour tout}

i Eu

[ k,o ]

l’exactitude du

diagramme :

entraîne celle de la suite 0 20132013~ 1 a L

2013~ ~

- 0

d’après

^le

diagramme

du

( serpenta.

^Par

récurrence,

^{la suite}

est exacte. Elle est scindée car à

composantes projectives,

^{d’où la}

première

^assertion.

L’exactitude du

diagramme

et la

surjectivité

^des

applications

^du

diagramme

entraîne la suite exacte

D’où la deuxième assertion. Latroisième assertion découle des deux

premières.

Corollaire 1 :

Soient M. un

objet

^de

( J61: 4)) et

^{L. un}

objet

^de

^)).

S’il existe un

quasi-isomorphisme s.

^{M. --~ L. ou un}

quasi-isomorphisme

t. :

L. -&#x3E; M.

alors t L. et t. L. sont des

objets

^de

^ja»

^{et t t L’. est un}

objet

o]

tn -

[n ol-

^"

A’,

Preuve :

Découle du lemme 2 et de la

proposition précédente.

Proposition

^{2 :}

Soient A un anneau et 4 la

catégorie

^des

A-modules,

^{dans la}

catégorie ~‘~ (~ )

des

objets

^{L =}

^{(L +--Ô-- 1)}

^{où i est un}

morphisme

^de

^A-modules,

tout

objet ^L,

tels que i soit

injectif

^et

^1,

^{L et}

L Il

^soient

projectifs,

^est

projectif

^{dans ag .}

Il est, ^a

fortiori, projectif

^dans

FI ^(~

^).

Preuve :

Considérons le

diagramme

où

«D ,~c)

^{est un}

épimorphisnle

^{de s~ . ~} et ~c sont donc

surjectifs, d’après ^{§ 3,} Prop.

^{1. Comme L et 1 sont}

projectifs,

^{il existe w : 1 t k et f : L - K}

tels que @ ^{w f = B}f . On a w}

(uw -

^f

1) =

^{0. On} pose :

= f i - dW. Z étant

G

Il existe Hne !’ c ep ^s

il ⁼ f - hr. On uw e t D 2 ⁼ F , d’où ïe, résldtat.

Proposition

^{3 : a}

Soit X :

^{B -., A un homomo}

phisme

^d’anneaux

surjectif,

^{I =}

^Ker(x),

^et

L = (L’, ^L

? 1)

^un

objet

^{de la}

catégorie 2

(~’ ’,

a9 )

^{alors L est}

projectif

^dans

Y

1(.~ ;

^{et a}

^fortiori

^dans

F j

⁽

^9SJ’,

^{9’J ).}

Preuve :

On conserve les notations de la

proposition précédente.

Il suffit de prouver que

l’application n :

^L -.&#x3E; K

provient

^d’une

application

B-linéaire .{2’: L" 20132013~

K’,

^telle que ^’Y’

w ’ =

^Ç2’ . Considérons le

diagramme

suivant :

et remarquons que ^{4l’ est}

surjective

^{car ’£ : K o M est}

supposé

^{être un}

épimorphisme de ^{¡¡g’, ig).}

^{Comme L’ est}

projectif

^{et K’-» K est}

surjective,

car c’est la flèche de l’extension des scalaires via

X , il

existe Q" : ^: L’ ^---a K’

telle que ~1" @

lA

^{= n . On a alors}

^{( ~’}

^{" - Y}

^{’) (L’)}

^{C I.M’ =1.~}

^{’(K’) _ ~’(IK’)}

donc il existe une flèche

g’ :

^L’ -&#x3E; IK’ telle que p’

g’ =

^o’

Q"- Y’.

or’

On pose si’ ⁼ il"- g ^où g ^est la

composée

^L’

-&#x3E; g’

I.K’ -&#x3E; K’ . On obtient

~ 12’ = q ’ ^et Q ’ @

1 A = Q .

Remarque :

Tout épimorphisme

^{~p : L ~.~ M de 39}

(4 ’,

^admet

(Ker ~’,

Ker ~ ^~-- Ker

~p )

^comme noyau dans ^fi)

( 4’, £V ).

Proposition 4 :

Sous les mêmes

hypothèses

^sur

X : B

-&#x3E;

A,

^tout

complexe

^L.

borné à droite est

homotope

^{à zéro.}

Preuve :

Par récurrence en utilisant la

proposition

^3.

Corollaire 1 :

Tout

quasi-isomorphisme

^{de K}

~1 ( 2 (.d ’~ il»

^est inversible à

homotopie près.

Dans ce cas, les

foncteurs

^du

diagramme commutatif

^{suivant :}

sont

pleinement fidèles.

Les

foncteurs

^{verticaux sont des}

équivalences

^de

catégories.

Exemple

^{II :}

Soit donné le

diagramme

commutatif

d’homomorphismes

d’anneaux suivant :

On notera le module des différentielles de B relativement à W.

B/W

Définition 1 :

Une «connexion»

VE

d’un B-module

E,

relativement à

W,

^{est une}

application

^additive

vérifiant où

est la dérivation habituelle.

Cf. [4] §2.

Si E et F sont deux B-modules munis de connexions

0 E

^et

v &#x3E;, respectivement.

Une

application

^{u : E 20132013~ F} B-linéaire est dite

compatible

^aux connexions ^ou ahorizontale» si le

diagramme

^suivant

commute.

On notera »’ la

catégorie

des B-modules «à connexions».

,

Proposition

^{1 :}

Si

/

^W

est un B-module

plat,

^{alors £ ’ est une}

catégorie

^abélienne.

B/W

Preuve :

Soient u : E -~ F un

morphisme horizontal,

^{et C son} conoyau. On obtient le

diagramme

commutatif suivant :

où les

lignes

^{sont exactes.} On définit

VC

^{par passage aux}

^quotients.

Si K est le noyau de ^u,

comme Q1

^est

_plat

le

diagramme

^suivant

B/W

est commutatif et les

lignes

^{sont exacts.} On définit

QK

^comme restriction de V E.

Soit 8F la

catégorie

des A-modules

et ~ ( s~’,

^la

sous-catégorie

^de

^{£V )}

des

objets

^{L =}

^{(L’, L ~.-} 1)

^tels que ^{i soit}

injectif,

^{L’ soit un B-module}

projectif

de

type

^fini

L, 1 et

^{soient des A-modules}

projectifs

^de

type

^fini.

Remarque :

39

( ¡¡!J’, Jl5J)

vérifie la

propriété i) du §

^3.

On en déduit le Théorème 1 :

Le

foncteur

^est

pleinement fidèle.

[1]

^M. ARTIN : «Grothendieck

Topologies»

^{Seminar Notes} 1962 - Harvard

University.

[2]

^{A. BADRA : C.R. Acad. Sc.} 291- Série

A, 1980,

^539.

[3]

A. BADRA : Thèse de 3ème

cycle -

Université de Rennes.

[4]

^{P. BERTHELOT et} A. OGUS : Notes on

Crystalline Cohomology -

^Princeton

University

^Press.

[5]

^N. BOURBAKI :

Algèbre, chapitre

^{10 - MASSON.}

[6]

L. ILLUSIE ^:

Complexe cotangent

^et Déformations I.

Lecture Notes in Mathematics

Springer Verlag

^{n° 239.}

[7]

^R. HARTSHORNE : Residues and

Duality -

Lecture Notes in Mathematics

Springer-Verlag

^{n° 20.}

[8]

^B. MITCHELL :

Theory

^of

Categories -

^{Academic Press.}

S.G.A. 4 1/2 : P. DELIGNE :

Cohomologie Etale,

^{Lecture Note in Math.}

^n°

^{569 -}

Springer-Verlag.

S.G.A. 6 : P.

BERTHELOT,

^A.

GROTHENDIECK,

L. ILLUSIE : Théorie des intersections et théorème de

Riemann-Roch,

^{Lecture Notes in}

Math , n° 225,

Springer-Verlag.

Reçu

^en décembre 1987.

Université de Clermont

II,

^U.F.R.

Sciences, Mathématiques ^Pures,

⁶³¹⁷⁰

^Aubière,

^France.

Adresse

peceonnelle :

ⁱ 1,

Impasse Gauguin -

Le Glos des Saules, ⁶³⁵⁴⁰

Romagnat.