Lyc´ee Dominique Villars Exercices ECE 2
Loi de couples de variables infinies - Calculs de covariance
Soit X et T deux variables al´eatoires `a valeurs dans N. On suppose que X suit la loi de Poisson de param`etreλ >0 et pour tout n∈N, que la loi conditionnelle deY sachantX =nest la loi binomiale de param`etre netp∈]0,1[.
1. D´eterminer la loi jointe du couple (X, Y).
2. Reconnaitre la loi marginale deY. En d´eduire E(Y).
3. D´eterminer la covariance du couple (X, Y).
Exercice 1.
SoientX et Y deux variables al´eatoires v´erifiant :
∀i, j∈N, P((X =i)∩(Y =j)) = 1 j!
a 2i+j
1. D´eterminer la valeur du param`etrea afin que la formule ci-dessus d´efinisse la loi d’un couple de variables al´eatoires.
2. D´eterminer alors les lois marginales deX etY. Les variables X etY sont-elle ind´ependantes ? 3. CalculerE(XY) puis la covariance du couple (X, Y).
Mˆemes question lorsqueX etY sont deux variables al´eatoires dont la loi jointe est donn´ee par :
∀i, j∈N, P((X =i)∩(Y =j)) = a i!j!
Exercice 2.
Soit un d´e ´equilibr´e `a 6 faces num´erot´ees de 1 `a 6. On lance ce d´e jusqu’`a obtenir le 6. On d´esigne alors parX le nombre de lancers n´ecessaires et on d´esigne parY le nombre de 1 obtenus avant le premier 6.
1. Quelle est la loi deX ?
2. Soitn>1. Quelle est la loi conditionnelle de la variableY sachant que (X=n) ? 3. En d´eduire la loi du couple (X, Y).
4. On admet que pour tout r´eelx∈]−1,1[, la s´erie de terme g´en´eral nk
xn−k converge et que :
+∞
X
n=k
n k
xn−k = 1 (1−x)k+1 (a) D´eterminer la loi marginale de Y
(b) Soit Z =Y + 1. Reconnaitre la loi deZ puis en d´eduire l’esp´erance et la variance de Y. Exercice 3.
On lance ind´efiniment une pi`ece donnant Pile avec la probabilit´epet Face avec la probabilit´eq= 1−p.
On noteX le rang du lancer amenant le premier Pile etY le rang du lancer du deuxi`eme Pile.
1. D´eterminer la loi du couple (X, Y).
2. En d´eduire la loi deY.
La loi donnant le nombre d’´echec avant d’obtenir le n-`eme succ`es lors de r´ep´etitions ind´ependantes est appel´ee loi binomiale n´egative ou loi de Pascal de param`etres n et p. Ainsi, ici, la variable Y −2 suit la loi binomiale n´egative de param`etre 2 et p. On peut d´emontrer que l’esp´erance et la variance de cette loi valent :
E(BinN egative(n, p)) =n×1−p
p V(BinN egative(n, p)) =n×1−p p2
3. A l’aide des indications ci-dessus, d´eterminer l’esp´erance et la variance de la variable Y. 4. D´eterminer la loi de la variableZ =X−Y.
5. En d´eduire la covariance du couple (X, Y).
Exercice 4(lois des rangs des premier et second succ`es).
Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. Les proportions respectives de ces boules sont ppour les blanches, q pour les noires et r pour les rouges (p+q+r= 1 )
On fait dan cette urne des tirages successifs ind´ependants um´erot´es 1, 2, ... etc. Ces tirages sont faits avec relise de la boule tir´ee. Les proportions des boules restent ainsi les mˆemes au cours de l’exp´erience.
Toutes les variables al´eatoires sont d´efinies dans un espace de probabilit´e (Ω,A, P)
1. On noteX1 la variable al´eatoire repr´esentant le num´ero du tirage auquel une boule blanche sort pour la prenri`ere fois. Trouver la loi de probabilit´e deX1 ; calculer son esp´erance et sa variance.
2. On noteX2 la variable al´eatoire repr´esentant le num´ero du deuxi`eme tirage d’une boule blanche.
(a) Trouver, pour tout couple d’entiers strictement positifs (k, l), la probabilit´e de l’´ev´enement .{X1=k , X2=k+l} . En d´eduire la loi de probabilit´e deX2
(b) Montrer que la variable U2 =X2−X1 est ind´ependante de X1 et qu’elle a la mˆeme loi de probabilit´e. En d´eduire l’esp´erance et la variance deX2.
3. On noteW la variable al´eatoire repr´esentant le nombre de boules rouges tir´ees avant l’obtention de la premi`ere boule blanche. Pour tout couple (k, l) de N∗ ×N, d´eterminer la probabilit´e conditionnelle de l’´ev´enement {W =l} sachant que X1 =k. Quelle est la loi conditionnelle de W sachantX1 =k ?
4. On note Y1 la variable al´eatoire repr´esentant le num´ero du tirage auquel une boule noire sort pour la premi`ere fois.
(a) Trouver 1a loi de probabilit´e du couple (X1, Y1). Les variables al´eatoires X1 etY1sont elles ind´ependantes ?
(b) On se place, pour cette question, dans le cas particulier o`u r = 0 (c’est `a dire qu’il n’y a pas de boule rouge). Calculer alors la covariance deX1 etY1
Exercice 5(ESCP 1996).
