Loi de couples de variables finies - Calculs de covariance

Lyc´ee Dominique Villars Exercices ECE 2

Loi de couples de variables finies - Calculs de covariance

La loi jointe du couple (X, Y) est donn´e par le tableau ci-contre :

X\Y -1 0 1

0 1/4 a 1/8

1 1/5 b 1/10

1. D´eterminer les lois marginales deX etY en fonction de aetb.

2. D´eterminer la covariance du couple (X, Y) en fonction de aetb.

3. D´eterminer aetbde mani`ere `a ce que les variables X etY soient ind´ependantes.

Exercice 1.

SoitX₁ etX₂ deux variables ind´ependantes et de mˆeme loi avec :

P(X₁ = 0) = 1

6 P(X₁ = 1) = 1

3 P(X₁ = 2) = 1 2 On d´efinit les variablesS =X1+X2 etP =X1X2.

1. D´eterminer la loi du couple (S, P) puis les lois marginales deS etP. 2. Les variablesS etP sont-elles ind´ependantes ?

3. CalculerV(S),V(P) ainsi que cov(S, P).

Exercice 2.

On dipose denboites num´erot´ee de 1 `an. La boitekcontientkboules num´erot´es de 1 `ak. On choisit a hasard une boite, puis une boule de cette boite. SoientX etY les num´eros de la boite et de la boule obtenus.

1. D´eterminer la loi du couple (X, Y).

2. Quelle est la loi de la variableX ? D´eterminer la loi de la variableY puis calculerE(Y).

3. D´eterminer la covariance du couple (X, Y).

Exercice 3.

On dispose de deux urnes U₁ et U₂ et de six boules num´erot´ees de 1 `a 6 ainsi que d’un d´e ´equilibr´e.

Initialement, l’urneU1 contient les boules num´erot´ees 1 et 2, l’urne U2 contient les boules num´erot´ees 3; 4; 5 et 6.

On appelle ´echange l’exp´erience consistant `a lancer une fois le d´e et `a changer d’urne la boule portant le num´ero obtenu avec le d´e.

Pour n ∈ N, on note X_n la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules contenues dans U₁ apr`es n

´echanges successifs.

1. Les cinq premiers lancers du d´e donnent : 1, 3, 2, 3 et 5. Quel est le contenu de l’urne U₁ `a l’issue du 5 ´echange ? Que vaut X₅ ?

2. Quelle est la loi de la variableX₁ ? Calculer E(X₁).

3. D´eterminer la loi du couple (X₁, X₂). En d´eduire la loi de X₂ puis calculer cov(X₁, X₂).

Exercice 4.

1

SoientX et Y deux variables al´eatoires v´erifiant :

∀i, j∈J1, nK, P((X=i)∩(Y =j)) =











0 si i>j 2

n(n−1) si i < j

1. D´eterminer les lois marginales deX etY. Les variablesX etY sont-elle ind´ependantes ? 2. CalculerE(XY) puis la covariance du couple (X, Y).

Exercice 5.

SoientX et Y deux variables al´eatoires v´erifiant :

∀i∈J0, nK, ∀j∈J0,2nK P((X =i)∩(Y =j)) =q³ⁿ n

i 2n

j p q

i+j

avec p+q= 1

1. D´eterminer les lois marginales deX etY. Les variablesX etY sont-elle ind´ependantes ? 2. En d´eduirecov(X, Y) puisE(XY).

Exercice 6.

Un restaurant propose 3 menus diff´erents M1, M2 et M3 et on suppose que chaque client choisit au hasard l’un quelconque des menus. Les choix des diff´erents clients ´etant ind´ependants les uns des autres. Un jour donn´e, n clients se pr´esente et on note X₁ (respectivement X₂ et X₃) le nombre de clients choisissant le menuM1 respectivement M2 etM3).

1. Quelle sont les lois de probabilit´es des variables X₁, X₂ et X₃. En d´eduire leur esp´erance et variance.

2. D´eterminer la loi de la variableX₁+X₂.

3. En d´eduireV(X₁+X₂) puis la covariance du couple (X₁, X₂) en fonction de n.

4. Quelle est la probabilit´e que tous les clients choisissent le mˆeme menu ? que le restaurateur soit oblig´e de pr´eparer au moins une fois chacun des 3 menus ?

Exercice 7 (A table sans tableau !!!).

Soit n > 2. On consid`ere une urne U contenant n boules num´erot´ees de 1 `a n et indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirages d’une boules avec remise de la boule dans l’urneU.

Soit k > 1, pour tout ∈∈ J1, nK, on note X_i la variable ´egale au nombre d’obtentions de la boule num´eroiau cours des k premiers tirages.

1. Donner la loi deX_i et rappeler l’esp´erance deX_i.

2. Les variablesX1,X2 , . . . ,Xn sont elles mutuellement ind´ependantes ? 3. Soiti, j∈J1, nK, tels que i6=j.

(a) D´eterminer la loi de la variableX_i+X_j (b) En d´eduire la covariance du couple (Xi, Xj) Exercice 8.

2

SoientXetY deux variables de mˆeme loi et admettant une variance. On noteS =X+Y etD=X−Y. Montrer qu’alors

Cov(S, D) = 0 Exercice 9 (Un r´esultat plus g´en´eral).

Dans une urne contenantnboules num´erot´ees de 1 `an, on tire deux boules une `a une, sans remise. On noteX₁, le premier num´ero sortie etX₂ le second. On noteX= min(X₁, X₂) etY = max(X₁, X₂).

1. D´eterminer la loi du couple (X₁, X₂).

2. D´eterminer la loi du couple (X, Y).

3. En d´eduire les lois de X et de Y. Exercice 10 (Tirages sans remise).

Soientn,m etN trois entiers naturels tels que 0< m6n6N. Une urne contientm boules noires et N −m boules blanches. On extrait successivement et sans remisen boules de cette urne. Pour tout entier itel que 16i6n, on noteXi la variable al´eatoire ´egale `a 1 si lai-`eme boule tir´ee est noire et 0 si elle est blanche.

1. Donner la loi deXi et celle du couple (Xi, Xj) lorsque i6=j.

2. Donner la covariance du couple (X_i, X_j) pouri6=j

3. SoitY la variable ´egale au nombre de boules noires tir´ees au total.

(a) Exprimer Y en fonction de X1, . . . , Xn

(b) D´eterminer l’esp´erance et la variance de Y. Remarque : La loi de la variable est app´el´ee loi hyperg´eom´etrique de param`etre

N, n,m N

. Exercice 11 (loi hyperg´eom´etrique).

Un commer¸cant receptionne un lot deN articles. Sur ces N articles,n d’entre eux sont d´efectueux.

On supposeN −n>1 et n>1.

Le commer¸cant contrˆole les articles du lot en les tirant au hasard un `a un et sans remise.

SoitX la variable al´eatoire ´egale au rang d’apparition du premier article d´efectueux contrˆol´e.

SoitY la variable al´eatoire ´egale au rang d’apparition du deuxi`eme article d´efectueux contrˆol´e.

1. On supposen= 1

D´eterminer la loi de probabilit´e deX et calculer l’esp´erance math´ematique et la variance deX.

2. On supposen= 2 etN = 6.

(a) D´eterminer la loi de probabilit´e deX.

(b) D´eterminer la loi de probabilit´e deY.

(c) D´eterminer la loi conjointe du couple (X, Y).On pr´esentera cette loi par un tableau `a double entr´ee.

(d) Calculer la covariance du couple (X, Y).

3. PourN etnquelconques, d´eterminer les lois de probabilit´e de X et de Y.

4. PourN quelconque etn= 2,d´eterminer la loi de probabilit´e du couple (X, Y).

Exercice 12.

3