Chapitre 9 : LES NOMBRES COMPLEXES formes trigonométrique et exponentielle - Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul

P

lan du cours :

I. Argument d’un nombre complexe non nul

II. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul III. Lien avec la géométrie

IV. Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul

Chapitre 9 : LES NOMBRES COMPLEXES formes trigonométrique et exponentielle -

I. Argument d’un nombre complexe non nul

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct

(

^{O u v; ,}

)

^.

Pour tout point M distinct de O, on peut donner les coordonnées cartésiennes ( ; )x y ou bien les coordonnées polaires

 

^{r; avec 0}

( ; )[2 ] r

 u OM 

 

 =



Définition :

Soit z un nombre complexe non nul,

M le point d’affixe z et

( )

^r; , r0, un couple de coordonnées polaires de M.

Alors :

r

est le module de z et on le note z



est un argument de z et on le note arg(z). Il est défini à 2k près.

Correspondance des écritures :

Point de vue algébrique Point de vue géométrique Graphique

² ²

z = =r x + y z = =r OM

arg( )[2 ]z

 =  ,

cos sin

x r y r





 =



 =



arg( )z = = ( ;u OM)[2 ]

Configuration de base :

Exemples :

• calculer ^{arg 1}

( )

^{+i 1 2 2 2 2 cos sin}

2 2 4 4

i ^ i ^   i  

+ =  + =  +  donc

( )  

arg 1 2

i  4 + =

• calculer ^{arg 1}

(

^{− 3i}

)

^{1−i 3=2}¹₂⁻ⁱ ₂^3^{=2 cos} ^^−₃^^+isin^−₃^^ donc

( ) ^{ }

arg 1 3 2

i  3

− = −

Cas particuliers : 1^er cas :

z 

• si z=0, alors z n’a pas d’argument

• ^{z * z a}_* ^{z a}

(

_*^{1 i 0}

)

^{z a}

(

^{cos(0) isin(0)}

)

a a

+

+ +

 = + 

 = 

    = +

  

  ^z ^*+ ^{Arg z( )}=^{0 2}

 

^

• ^{z * z a}_* ^{z a}_*

(

^{1 i 0}

)

^{z a}

(

^{cos isin}

)

a a

 

−

− −

 = − − + 

 = 

    = − +

  

  ^z ^*− ^{Arg z( )}=^{ }

 

²

 

* ( ) 0

z  Arg z =  ^{z  =z 0 ou Arg z( )=0}

 

^

2^ème cas : z i

• ^* _* ⁽⁰_* ^{1) cos sin}

2 2

+

+ +

= = + 

   

        =  + 

z ib z b i

z i z b i

b b

 

 

* ( ) 2

zi ₊  Arg z = 2

• ^* _{* *}^{(0 1)} cos sin

2 2

−

− −

= = − − 

      

      = −  − + − 

z ib z b i

z i z b i

b b

 

 

* ( ) 2

zi ₋  Arg z = − 2

Pour tout complexe z non nul, on considère les points M1 ; M2 ; M3 ; M4 d’affixes respectives ; ;z z − −z; z Comme OM₁=OM₂ =OM₃ =OM₄,

on en déduit que z = z = − = −z z

et

 

 

 

arg( ) arg( ) 2 arg( ) arg( ) 2 arg( ) arg( ) 2

z z

z z

z z



 

 

 = −

 − = +



− = −



II. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct

(

^{O u v; ,}

)

^.

Pour tout point M distinct de O, on peut donner les coordonnées cartésiennes ^{( ; )x y} ou bien les coordonnées polaires ( ; )r 

avec ^{ =}_^r0

(

^{u OM;}

)

^{[2 ]}

et l’on a

( )

² ² 0

cos sin

r x y

x y

z r i r i

r r  

 = + 

 =  + = +

  



Définition :

Soit z un nombre complexe non nul. L’écriture , z=r(cos +isin ) avec r= z et

 

arg( ) 2z

 =  est appelée forme trigonométrique de z Exemples :

1) déterminer la forme trigonométrique de i et 1− +i 3

comme

 

=1

arg( ) 2 2 i

i  



 =

 alors la forme trigonométrique de i est ^{cos sin}

2 i 2

 

 +  

   

   

comme − +¹ i 3 = ( 1)² 3− + =2 alors la forme trigonométrique de

− +

1 i 3 est

1 3

1 3 2 2 cos sin

2 2 3 3

i ^− i ^   i  

− + =  + =  + 

2) déterminer la forme trigonométrique de 3 cos sin

4 4

z= −   +i  

attention z =3 donc la forme trigonométrique est 3 cos⁵ sin⁵

4 4

z_{= }  ₊i  _

 

 

 Propriété : égalité de deux nombres complexes Les deux nombres complexes z et z’ définis par

(

^{cos sin}

)

z=r +i  et ^{z'=r' cos '}

(

^{ +isin '}

)

avec r et r’ positifs sont égaux si et seulement si ^'

' 2 , r r

k k

  

 =

 = + 



 Propriété : opérations sur les nombres complexes

 Propriété : produit et quotient de deux nombres complexes non nuls

Exemple : déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :

( ) ( ) ^{( )( )}

( ) ( )

1 2 3 4

3 6 2

5 6 7

8 9

3 2 2 3 6

1 1 3 2 2 2

6 2

2 2 2 1 3 1

1

4 sin cos 2 cos sin

12 12 12

z i i z i i z z i

i i

z i z i i z i

i

z  i  z  i

+ −

= − + − + = − + = =

+ −

 + 

= − + = − + = − + 

 

=  +  = − ¹⁰ 3 cos sin

12 z 12 i 12

  = −  − 

   

   

Opération Produit Puissance Inverse Quotient

Module z z ' = z z' zⁿ = zⁿ ,n ^{1 1}

z = z z0

' '

z z z = z Argument ^{arg(zz')=argz+arg ' 2z}

 

^{ arg(zn)=nargz}

 

^{2 arg 1 argz}

 

²

z 

  = −

   ^{arg arg arg ' 2}

 

'

z z z

z 

  = −

  

Propriétés : Pour tout

(

^{cos sin}

)

z=r +i 

( )

' ' cos ' sin ' z =r  +i  on a :

Démonstration :

( ) ( )

' ' cos ' sin '

zz =rr   + +i  + 

( )( )

( )

( )

( )

' ' cos sin cos ' sin ' cos cos ' sin sin '

' '

cos sin ' sin cos '

' ' cos( ') sin( ')

zz rr i i

zz rr i

zz rr i

   

   

   

   

= + +

 − 

=  

+ +

 

 

= + + +

( ) ( )

1 1

cos ' sin '

' ' i

z = r  − + − 

( )

( ) ( )

1 1 1 cos ' sin '

' ' cos ' sin ' ' cos ² ' sin ² '

1 1

cos ' sin '

' '

i

z r i r

z r i

 

   

 

= =  −

+ +

 

=  − + − 

( ) ( )

cos ' sin '

' '

z r

z = r   − +i  −  lorsque 'z 0

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )

cos sin cos ' sin '

cos sin

' ' cos ' sin ' ' cos ' sin ' cos ' sin ' cos cos ' sin sin ' sin cos ' cos sin '

' '

cos( ') sin( ')

' '

i i

z r i r

z r i r i i

z r

z r i

z r

z r i

   

 

     

       

   

+ −

=  + = 

+ + −

 

=  + + − 

=  − + −

III. Liens avec la géométrie Le plan est rapporté au repère orthonormal direct

(

^{O u v; ,}

)

^.

Les nombres z_A;z_B;z_C;z_D sont les affixes des points A B C D; ; ; dans le plan complexe. On a :

^{B A}

z −z = AB

et arg(z_B −z_A)=( ;u AB)

B C

A C

z z CB

z z CA

− =

− et

 

arg ^{B C} ( ; ) 2

A C

z z

CA CB

z z 

 − 

 − =

 

conséquences :

• Les points A, B et C sont alignés si et seulement si ^{arg B C 0}

 

A C

z z

z z 

 − 

 − =

 

• Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si ^arg

 

2

D C

B A

z z

z z  

 − =

 − 

 

Caractérisation des cercles et médiatrices :

Cercle (C) de centre ( ) et de rayon R : M z( )( )C   =  − =M R z  R

Médiatrice ^ de [AB] : M z( ) MA=MB −z z_A = −z z_B

Exemple 1 : Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct

(

^{O u v; ,}

)

, on donne les points A, B, C d’affixes z_A= − +1 i 3 z_B= − −1 i 3 z_C =2

Donner un argument de

(

zB−zC

)

et un argument de

(

zA−zC

)

Donner la forme trigonométrique du nombre complexe ^{B C}

A C

z z

z z

−

− puis en déduire la nature du triangle ABC.

(

^{3 3}

)

²

3 3 6 6 3 1 3

12 12 2 2

3 3

B C

A C

z z i i i

z z i i

− − − − − +

= = = = +

− − +

 

1

arg 2

3

B C

A C

B C

A C

z z

z z

z z

z z  

 −

 − =



 − 

  =

  − 



soit géométriquement

   

1

( ; ) 2

( ; ) 2 3

3

CB CA CB

CA

CA CB CA CB

   

 =  =

 

  =

 = 



conclusion : le triangle ABC est équilatéral.

Exemple 2 : Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct

(

^{O u v; ,}

)

, on donne les points A et B d’affixes z_A = +1 i z_B = − +2 3i .

Déterminer les affixes des points C et D tels que ABCD soit un carré direct.

     

1 1 carré direct

( ; ) 2

( ; ) 2

2 arg 2

2 2

D A

B A D A

B A

D A

B A

z z

AB AD ADAB z z z z

ABCD i

z z

AB AD AB AD z z

z z

     

 −

  =

= =

  − −

  

 =  =   −− =  − =

( ) 1 2

D A

D B A A D

B A

z z

i z i z z z z i

z z

− =  = − +  = − −

− et AB=DCz_C =z_B−z_A+z_Dz_C = −4

Exemple 3 : Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct

(

^{O u v; ,}

)

, déterminer l’ensemble des points M d’affixe z, tels que ^arg

 

²

1 2 2

z i

z ⁺ i  

  = −

 + − 

 

On pose A(-i) ; B ( -1+2i )

  ( ) ^{ }

 

arg 2 ; 2

1 2 2 2

décrit le 1/2 cercle de diamètre AB d'abscisses négatives z i

BM AM

z i

M

   

 +  = −  = −

 + − 

 



IV. Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul La fonction f définie sur par f( ) =cos +isin et à valeurs dans vérifie :

• pour tous réels  et ', ^f

(

^{ + '}

)

^{= f}

( ) ( )

^{  f '}

• les fonctions cosinus et sinus étant dérivables sur , en prolongeant la propriété de dérivation, on obtient : ^{f '}

( )

^{ = −sin+icos =i}

(

^{cos+isin}

)

^=if

( )

^ par analogie avec la fonction exponentielle, on adopte la définition suivante :

Définition : Pour tout réel



, on a e^i =cos +isin remarque : eⁱ⁰ 1 eⁱ 1 eⁱ² i e ⁱ² i

 

 −

= = − = = −

cos sin cos ² sin ² 1

ei^ = +i  = +  =

Définition :

Tout nombre complexe non nul, de module r et d’argument



, s’écrit z =re^i ; cette écriture est la forme exponentielle de z.

Exemple : Déterminer la forme exponentielle de ^z_A^{= −2 2i 3}

1 3 3

2 2 3 4 4 cos sin 4

2 2 3 3

i

zA i i i e

  ⁻

      

= − =  − =  − + − =

Règles de calculs : Pour tous réels r et r’ strictement positifs, on a :

Exemple : Déterminer la forme exponentielle de z 3ieⁱ⁴



= −

4 2 4 4

3 ⁱ 3 ^{i i} 3 ⁱ

z ie e e e

 ₋   ₋ 

= − =  =

Formule d’Euler : Pour tout réel



_{on a} cos et sin

2 2

i i i i

e e e e

i

   

 = ^{+ −}  = ^{− −}

Démonstration : Pour tout réel



_{on a} ^{cos sin (1)}

cos( ) sin( ) cos sin (2)

i i

e i

e i i





 

   

−

 = +



= − + − = −



(1)+(2)

(1) (2) 2 cos

(1) (2) 2 sin

i i

i i

e e

e e i

 

 





−

−

 +  + =



−  − =

 soit

cos 2

sin 2

i i

i i

e e

e e

i

 

 





−

−

 = +



 = −



Formule de Moivre : Pour tout réel



on a

(

^{cos +isin}

)

^{n =cos(n)+isin(n)}

Exemple : A l’aide de la formule de Moivre, exprimer cos(3 ) en fonction de cos( ) et sin(3 )

en fonction sin( )

On pose ^{A=cos(3 ) +isin(3 ) =}

(

^{cos+isin}

)

³

3 3 3 3 3

cos 3cos ² sin 3cos ² sin ² sin cos 3 cos ² sin 3cos sin ² sin

A=  + i  + i +i  =  + i   −  −i 

(

^{cos3 3cos sin ²}

) (

^{3cos ² sin sin3}

)

A= −   +i  − 

Par identification on a

3 3 3

3 3 3

cos 3cos sin ² cos 3 cos 3cos (1 cos ² ) cos 3 cos 3 4 cos 3cos 3cos ² sin sin sin 3 3(1 sin ² ) sin sin sin 3 sin 3 4sin 3sin

          

          

 − =  − − =  = −

  

  

− = − − = = − +

  

  

En vrac, propositions supplémentaires soit ₁ ^{6 2} et ₂ 1

2

z = −i z = −i

a) calculer le module et un argument de z₁ et z₂

b) en déduire le module et un argument de ¹

2

z z

c) en déduire cos 12

 

 

  et sin 12

  

 

 

a) soit ₁ ^{6 2}= 2 ^{3 1}

2 2 2

z −i  i 

=  −  car z₁ = 2 donc arg( )1

 

2 z = − 6

soit ₂ 1 = 2 ^{2 2}

2 2

z i  i 

= −  −  car z₂ = 2 donc arg( )2

 

2 z = − 4 b) ¹

2

z

z ^{1 1}

2 2

= z 1 z

z z = et ¹ 1 2

 

2

arg arg arg 2

4 6 12

z z z

z

   

 

= − = − =

 

 

donc ¹

2

cos sin

12 12

z i

z

 

   

=  +   et ₁

( ) ( )

2

6 2 6 2

6 2

2(1 ) 4 4

z i

z i i

+ −

= − = +

−

d’où

(

^{6 2}

) (

^{6 2}

)

cos et sin

12 4 12 4

 ⁺  ⁻

 =  =

   

   

1) Donner la forme trigonométrique du nombre complexe 4 2 (-1 + )i

2) Trois nombres complexes z z z₁, ,_{2 3} ont pour produit 4 2 (-1 + )i

Leurs modules sont en progression géométrique de raison 2 Leurs arguments sont en progression arithmétique de raison

4



De plus z₁ a un argument dans l’intervalle ^_ ^_

 ; 

 2

Déterminer le module et un argument de z z z₁, ,_{2 3}

Exemple : Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct

(

^{O u v; ,}

)

, on donne les points A, B, C d’affixes z_A= − +1 i 3 z_B= − −1 i 3 z_C =2

Donner la forme trigonométrique du nombre complexe ^{B C}

A C

z z

z z

−

− puis en déduire la nature du triangle ABC.

Exemple : Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct

(

^{O u v; ,}

)

, on donne les points A et B d’affixes z_A = +1 i z_B = − +2 3i .

Déterminer les affixes des points C et D tels que ABCD soit un carré direct.