Trouver la distance de Hausdorff entreAet B : 1

UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences

Section de math´ematiques

Analyse II r´eelle

S´erie 7 30 novembre 2004

1. SoitT S⊂R² d´efini en r´ep´etant ind´efiniment le proc´ed´e suivant : on part d’un carr´e de sommetsA, B, C, Ddans le plan. On le partage en 9 carr´es ´egaux, de cot´e ´egal au tiers du cˆot´e du carr´e de d´epart, on enl`eve le carr´e du milieu.

Puis on recommence avec les 8 carr´es restants, et ainsi de suite. La figure ci-contre montre le r´esultat apr`es 3 ´etapes (on appelle ce fractal le ”tapis de Sierpinski”).

Trouvez des transformations affines contractantes wi, i= 1, . . . , N telles queT S =w₁(T S)∪ · · · ∪w^N(T S). Cal- culez la dimension de Hausdorff deT S.

2. Trouver la distance de Hausdorff entreAet B : 1. A=

(x, y)∈R²|x²+ (y−1)²= 1 ,B=

(x, y)∈R²|x²+ (y+ 3)²= 9 2. A= [0,1]⊂R,B= ensemble de Cantor

3. A=

(x, y)∈R²|x²+y²−1 = 0 ,B=

(x, y)∈R²|x²(1 +n¹)²+y²(1−₂¹n)²= 1 , o`un∈N.

3. Trouver la limite des suites deK(R²) suivantes : 1. Xn={(x, xⁿ),0≤x≤1}

2. Xn=

(x, y)∈R²|x²(1 +_n¹)²+y²(1−₂¹_n)²= 1

4. SoientA⊂Rⁿ un sous-ensemble quelconque, non vide etx∈Rⁿ. 1. Montrer que

d(x, A) = 0⇐⇒x∈A . 2. Montrer que siA est ferm´e, il existea∈Atel qued(x, A) =d(x, a).

3. Montrer que, pourA⊂Rⁿ quelconque, la fonctionf :Rⁿ→R,x7→d(x, A) est continue.