Rappeler ce que cela signifie

Espaces préhilbertiens

0.1. Minimisation d’une fonction (**)

On pose f :

R³ → R (a, b, c) 7→ R1

0(ln(t)−a−bt−ct²)² dt Déterminer :

inf

(a,b,c)∈R³

f

0.2. Théorème de réduction simultanée (**)

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N^∗ et p, q deux formes bilinéaires symétriques surE. On se donne une baseB deE et on noteA= Mat_B(p), B= Mat_B(q).

1) On noteraB= (e1, ..., en). Rappeler ce que valent les coefficientsai,j et b_i,j des matricesAetB en fonction des formes pet q.

2) On suppose dorénavantq non dégénérée. Rappeler ce que cela signifie.

En particulier, qu’en déduit-on pour la matriceB?

3) Montrer qu’il existe une base simultanément orthogonale pourpetq si et seulement si la matriceB⁻¹Aest diagonalisable dansM_n(R).

4) Montrer que c’est toujours le cas siqest définie et positive. Montrer que cette base peut alors être choisie orthonormale pourq.

5) SoitA∈ Sn(R) etB ∈ S_n⁺⁺(R). Montrer qu’il existeP ∈GL_n(R) etD diagonale telle queA=^tP DP, B=^tP P.

Correction On note

ϕ:

E→ M_n,1(R)'Rⁿ x7→X = MatB(x)

l’application qui associe à un vecteurxdeE ses coordonnées dans la base B. Dans la suite, étant donnéx∈E, on désignera parXle vecteur-colonne ϕ(x) (sans éventuellement reparler de l’applicationϕ).

1) On rappelle que, par définition de la matriceA:

∀x, y∈E, p(x, y) = (X, AY) =^tXAY

Prenonsx=ei, y=ej, c’est-à-dire :

X =





















 0 ... 1 0 ... 0























=Ei, Y =Ej

Alors :p(e_i, e_j) =^tE_iAE_j=a_i,j.

2) Par définition,qest non dégénérée si et seulement si pour toutx₀∈E : (∀y∈E, q(x0, y) = 0)⇒x0= 0

C’est équivalent au fait queB soit inversible. En effet : B est inversible⇔kerB={0}

⇔ {X∈Rⁿ, BX = 0}={0}

⇔

X ∈Rⁿ, ∀Y ∈Rⁿ, ^tY BX= 0 ={0}

⇔ϕ({x∈E, ∀y∈E, q(x, y) = 0}) ={0}

Remark 0.1. — Faisons une remarque importante qui nous servira pour la suite. On a noté A = MatB(p). Supposons que l’on se donne B⁰ une seconde base deE. Alors, quelle va être la matriceA⁰= Mat_B(p) ? Notons P la matrice de passage de Bà B⁰. Autrement dit P = MatB(B⁰) (c’est la matrice obtenue en exprimant les vecteurs de base de B⁰ en fonction des vecteurs de la baseB). Sixest un vecteur deE, alors il est représenté par X ∈ Rⁿ dans la base B et par X⁰ dans la base B⁰, et ils sont reliés par relation :X=P X⁰. Mais alors, pourx, y∈E :

p(x, y) =^tXAY =^tX⁰A⁰Y⁰

En injectant dans cette relation les égalitésY =P Y⁰, X =P X⁰, il vient :

tX^0tP AP Y⁰=^tX⁰AY Autrement dit :

A⁰ =^tP AP

Remark 0.2. — Si pest une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectorielE, alorspadmet une baseBdans laquelle elle est orthogonale. En effet, prenons une baseB0surEet notonsA= MatB₀(p). La matriceAest

symétrique donc diagonalisable dans une base orthonormale, c’est-à-dire qu’il existeP ∈O_n(R), Ddiagonale telles que :

D=^tP AP

Mais alors, d’après la remarque précédente, cela signifie précisément qu’il existe une base B de E telle que Mat_B(p) = D. Puisque la matrice est diagonale, la baseBest bien orthogonale pour p.

3) On dit qu’une baseB = (e₁, ..., e_n) est orthogonale pour la forme bili- néairepsi et seulement si :

∀i6=j∈[|1, n|], p(ei, ej) = 0

Ainsi, dire quepetqadmettent une baseB= (e₁, ..., en) orthogonale pour petq revient à dire que pour touti6=j ∈[|1, n|], p(ei, ej) =q(ei, ej) = 0.

Par conséquent, d’après la remarque précédente, si p et q admettent une base orthogonale communeB⁰, cela signifie qu’il existe deux matrices diagonalesD_petD_q, ainsi qu’une matrice de passageP(= Mat_B⁰(B)) telles que :

A=^tP DpP, B=^tP DqP

Mais par hypothèse,qest non dégénérée, c’est-à-dire queB est inversible et par conséquentD_q également. Donc :

B⁻¹A=P⁻¹(D⁻¹_q D_p)P

AlorsB⁻¹Aest diagonalisable car semblable à une matrice diagonale.

Réciproquement, on suppose queB⁻¹Aest diagonalisable. On peut donc écrire :

Rⁿ= M

λ∈Sp(B⁻¹A)

E_λ(B⁻¹A) Si on notee_λ=ϕ⁻¹(E_λ), alors ceci se réécrit en :

E= M

λ∈Sp(B⁻¹A)

eλ

On montre alors plusieurs choses.

(1) La matrice B⁻¹A n’est pas symétrique, mais elle possède la même propriété remarquable que les matrices symétriques : ses sous-espaces sont orthogonaux pour les formespet q. En effet, prenons λ6=µet x∈e_λ, y∈e_µ. Il vient :

p(x, y) =^tXAY =^tXB(B⁻¹AY) =µ^tXBY =µq(x, y)

Mais dans l’autre sens, on a également :

p(y, x) =^tY AX=^tY B(B⁻¹AX) =λ^tY BX =λq(y, x) =λq(x, y) Etp(y, x) =p(x, y) puisque les formespetqsont symétriques. D’où :

0 = (λ−µ)q(x, y)

Or, par hypothèse λ 6= µ, donc q(x, y) = 0 et on en déduit que p(x, y) = 0. Autrement dit, la somme des espacese_λ est orthogonale pourpetq.

(2) Les formespetqsont proportionnelles sur les espaceseλ. En effet, si x, y∈e_λ, alors :

p(x, y) =^tXAY =^tXB(B⁻¹AY) =λ^tXBY =λq(x, y)

(3) Par hypothèse,p_|eλ est symétrique (puisquepl’est) donc d’après une des remarques précédentes que nous avons faites,p_|eλ admet une base orthogonale Bλ de e_λ. Par le point (2), il est clair que Bλ est aussi orthogonale pourq.

On pose alors la base concaténée :

B= M

λ∈Sp(B⁻¹A)

Bλ

Mais, d’après le point (1), il s’agit également d’une base orthogonale pour petq. Cela conclut la question.

4) On suppose donc dans cette question queq est symétrique définie po- sitive. En terme matriciel, cela signifie donc queB ∈ S_n⁺⁺(R). Montrons alors que B⁻¹A est diagonalisable, ce qui permettra de conclure par la question précédente. On sait que l’on peut écrire, avecP ∈On(R) :

B=^tP







λ₁ (0) . ..

(0) λn





P,

où lesλ_i >0. La technique consiste à montrer queB⁻¹A est semblable à une matrice diagonale. Pour cela, on pose :

M =







√λ1 (0) . ..

(0) √

λ_n





P

On remarque en particulier que^tM M=B. D’où :

B⁻¹A=M^−1tM⁻¹A=M^−1tM⁻¹AM⁻¹M

Ainsi, B⁻¹A est semblable à ^tM⁻¹AM⁻¹. Mais c’est une matrice symé- trique, carAest symétrique. Donc, on sait qu’elle est diagonalisable. Ainsi B⁻¹Aest diagonalisable.

Remark 0.3. — On a utilisé une technique astucieuse en faisant appa- raître un terme facticeM⁻¹M dans le calcul.

D’après la question précédente, on sait donc qu’il existe une base B de E dans laquelle p et q sont simultanément orthogonales. On note B = (e₁, ..., e_n) cette base. Mais alors, si on considère la baseB⁰= 1

pq(e1, e1)e₁, ..., 1 pq(en, en)e_n

!

(ce qui est licite puisqueq est définie positive etq(ei, ei)>0), il est clair qu’elle est orthonormale pourq.

5) C’est en fait une version matricielle du résultat précédent. On s’aide pour cela de la remarque préliminaire que nous avons formulée. On prend E = Rⁿ et notons Bc la base canonique de Rⁿ. On considère p et q les formes bilinéaires surRⁿ définies par :

A= MatB_c(p), B= MatB_c(q)

D’après le résultat précédent, on sait qu’il existe une baseBdeRⁿ, ortho- gonale depet orthonormale deq. Autrement dit :

Mat_B(p) =D=







λ1 (0) . ..

(0) λn





, Mat_B(q) =In

Mais alors, d’après la remarque préliminaire, on sait qu’il existe une matrice de passageP telle que :

A=^tP DP, B=^tP P