Rôle des projections dans la théorie des inverses généralisés

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université de BATNA

Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

Présenté Pour l’Obtention du Diplôme de Magister en Mathématiques Option: Analyse Fonctionnelle

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: KARA Abdessalam

Soutenu publiquement le: 02/10/2012…….. devant le jury composé de:

NOUI Lemnouar Prof Université de Batna Président GUEDJIBA Said Prof. Université de Batna Rapporteur AYADI…Abdelhaid Prof Université d’Oum el Bouaghi Examinateur BENACER Rachid Prof. Université de Batna Examinateur

Rôle des projections dans la théorie

des inverses généralisés

Je dédie ce modeste travail à:

Ø

Mes

chers parents;

Ø

Mes frères et mes sœurs;

Ø

Mon encadreur Said;

Ø

Tous mes amis surtout: Mohamed, Adel, Samir, ,

Noureddine Hakim et Hicham et kamel;

Ø

Mes collègues des mathématiques;

Ø

Tous les proches que j’ai mentionnés et les autres que

j’ai oubliés veuillez m’excuser.

Au terme de ce travail, je voudrais exprimer mes

sincères remerciements à Monsieur GUEDJIBA Said

professeur au département de mathématiques de l'Université

de Batna d'avoir accepter d'être le rapporteur de ce

mémoire, pour ses précieux conseils et encouragements tout

au long de ce travail.

Mes remerciements vont vivement à toutes les personnes qui

ont contribué de près ou de loin à la réalisation de ce

travail.

Je remercie également tous les enseignants des département

de mathématiques de l’universités de Batna et d’Oum el

bouaghi qui ont participé à ma formation pendant tout le

cycle universitaire.

Sans oublier les membres du jury qui ont bien voulu

examiné ce travail.

Mémoire de magister

Sommaire

Chapitre 1: les inverses généralisés ... 3

Introduction ... 3

1-1 Préliminaires ... 3

1-2 Inverse intérieur ... 4

1-3 Inverse extérieur ... 7

1-4 Inverse généralisé ... 8

1-5 Inverse intérieur topologique... 11

a- Inverse droit intérieur topologique ... 11

b- Inverse Gauche intérieur topologique ... 12

1-6 inverse généralisé topologique ... 14

1-7 L'inverse généralisé de Moore- Penrose ... 15

a- L'inverse généralisé de Moore- Penrose d'un opérateur linéare... 15

b- L'inverse généralisé de Moore- Penrose d'une matrice ... 16

1-8 inverse de Drazin ... 22

1-9 Le groupe inverse ... 24

1-10 L'inverse pondéré ... 25

Chapitre 2: Propriétés minimales ... 28

Introduction ... 28

Mémoire de magister

2-2 Solution minimale d'une équation linéaire dans espace normé ... 29

inverse intérieur orthogonal ... 30

2-3 Solution minimale d'une équation linéaire dans espace Hilbert ... 31

Chapitre 3: Inverse généralisé à projections prédéterminées ( )_, ... 39

Introduction ... 39

3-1 Proprétés de l'inverse intérieur……… ... 39

a- Formule d'un projecteur ... 43

b- La définition de l'inverse ( )_, ... 43

3-2 Les Méthodes du calcul ( )_, ... 49

a- Méthode de groupe inverse ... 49

b- Méthode de décomposition ... 50

3-3 les Méthodes numériques de calcul _{du A}( )_, ... 53

a- Méthode itérative d'ordre 1 ... 54

b- Méthode itérative d'ordre ... 59

Chapitre 4: EP Opérateurs ... 65

Introduction ... 65

4-1 Ep opérateur et représetation matricielle ……… ... 65

4-2 Caractérisations des EP opérateurs ... 68

4-3 produit des EP opérateurs ... 70 Bibliographie

ℛ( ) ∶= { ω ϵ W; ω = (v) , v ϵ V }.

/ ∶= La restriction de au sous espace vectoriel T. ( ) ∶= {v ϵ V , (v) = 0 }.

V + V ∶= { v + v ; v ϵ V , v ϵ V }.

V ∔ V ∶= La somme directe de deux espaces vectoriel. I ∶=L’application identitéque . ℐ( ) ≔ {ℬ; ℬ = , ℬ linéaire}. θ_{( ) ≔ {ℬ; ℬ ℬ = ℬ, ℬ linéaire}.} T _{( )} ≔ T; T un supplémentaire de ( ) dans V . Sℛ( ) ≔ {S; S un supplémentaire de ℛ( ) dans W}. P_{( ( ))} ≔ P; P = P; ℛ(P) = ( ) . Q ℛ( ) ≔ {Q; Q = Q; ℛ(Q) = ℛ( )}.

ℒ(

)

Span _{∶= ∑ β x∈ ; x ∈ , β ϵ}

P Est un projecteur orthogonal où _{ℛ(P) = L .}

P_, Est un projecteur tels que _{P ϵ}

ℒ

A∗ _{La matrice adjoint de A.}

L’application linéaire accessit de la matrice ℂ , _{( ) l'espace des matrices × sur}

A{1} ≔ {AℬA = A; ℂ , _{( ) et ℬ ℂ} , _{( )}} A{2} ≔ {ℬAℬ = ℬ; ℂ , _{( ) et ℬ ℂ} , _{( )}}

A{1,2} ≔ {AℬA = A et ℬAℬ = ℬ; ℂ , _{( ) et ℬ ℂ} , _{( )}} [X , Y ] = 0 ⇔ XY - YX = 0

Mémoire de magister ﺔﺤﻔﺻ1

Introduction générale

La notion d’inversibilité est une notion très importante dans tous les domaines de mathématiques. L’équation _{= possède une solution unique lorsque l’opérateur linéaire} A est inversible, malheureusement, on ne se trouve pas toujours dans ce cas, en pratique, on obtient souvent des données sous forme d’une matrice rectangulaire qui est un opérateur non inversible, ou bien dans le cas général on se trouve avec un opérateur non surjectif ou non injectif, ou d’inverse non borné. Dan ce cas on essaie de trouver un opérateur qui possède le maximum de propriété que possède l’inverse s’il existait, un tel opérateur sera appelé un inverse généralisé de .

Pour un opérateur on peut définir différents types d’inverses généralisés, qui, malgré leurs différences, possèdent tous des propriétés communes, notamment leurs relations avec les projections.

Dans ce travail, on contente d’exposer différents types d’inverses généralisés, en basant d’une manière essentielle, sur leurs liens avec les projecteurs en question.

Ce travail est constitué de quatre chapitres, le premier est une simple introduction à la notion de l’inverse généralisé, avec des propriétés élémentaires, le deuxième chapitre expose les propretés minimales des inverses généralisés dans un espace euclidien ou hilbertien dans un cas plus général, où le rôle des projecteurs est bien visible.

Mémoire de magister ﺔﺤﻔﺻ2

Dans le troisième chapitre on traite la notion d’inverse généralisé noté ( )_, C’est-à-dire lié à un projecteur à image et noyau prédéterminés.

Le quatrième chapitre est consacré aux inverses généralisés aux projecteurs égaux, notés EP inverses, l’étude est faite sur des espaces euclidiens de dimension finie, ou bien sur des espaces de Hilbert.

Chapitre 1:

Les inverses

Généralisés

Mémoire de magister Page 3

Chapitre 1: les inverses généralisés

Introduction

Soient _{V et W deux espaces vectoriels sur le même corps et un opérateur linéaire défini} de _{V dans W.}

Au début de ce chapitre nous définissons l'inverse généralisé _{ℬ de , qui est la solution au} système suivant:

ℬ =

ℬ ℬ = ℬ

……..(++)

Où: _{ℬ est un opérateur linéaire défini de W dans V .}

Remarquons que le système précédent admet plusieurs solutions, ce qui a conduit à la définition de l'inverse généralisé ≉_{, unique de , qui est la solution du système suivant:}

(1)

⎩

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎧

ℬ ℬ = ℬ

ℬ =

ℬ =

ℬ = − P

Tels que _{P et des projecteurs sur ( ) et ℛ( ) respectivement.}

1-1 Préliminaires

1-1-1 Définition: Soient _{V et V deux espaces vectoriels de V ; on dit que V et V sont}

supplémentaires si _{V ∩ V = {0 } et V + V = V.}

De façon équivalente: tout vecteur _{v ϵ V s'écrit de manière unique v + v = v}

Mémoire de magister Page 4

1-1-2 Proposition: Tout sous espace vectoriel possède un supplémentaire.

1-1-3 Définition : On appelle opérateur linéaire _{: V → W, toute application telle que} ∀ v , v ϵ V , (v + v ) = v + v et ∀ v ϵ V, ∀ α ϵ , on ait ( v) = α v. Soit P un opérateur linéaire défini de _{V dans lui même.}

1-1-4 Définition: On dit que P est un projecteur si _{P = P.}

1-1-5 Proposition: tout projecteur P décompose _{V en somme directe de deux sous espaces}

V et V Tels que:

_{V ⨁ V = V, Où V = (P) et V = ℛ(P).}

1-1-6 Proposition: toute somme directe détermine un projecteur _P. Preuve:

Soit V ⨁ V = V , quel que soit v ϵ V il existe ( v , v ) Unique tel que v + v = v , on définie _{P par P( v + v ) = v . Alors P est linéaire et P = P .}

1-1-7 Proposition: Soit _{P : V V un opérateur linéaire, alors les assertions suivantes sont} équivalentes: a) _{P = P} b) _{P(v) = v; ∀ v ϵ ℛ(P)} c) _{ℛ(I − P) = (P)} d) _{ℛ(P) = (I − P)} e) _{V = ℛ(I − P) ⨁ ℛ(P)}

1-2 Inverse intérieur

1-2-1 Définition: Soit _{ℬ: W V un opérateur linéaire, on dit que ℬ est un inverse} intérieur de _{, si ℬ = .}

Mémoire de magister Page 5 a) ( ℬ) = ℬ et b) (ℬ ) = ℬ c) _{ℛ( ℬ) = ℛ( ) et d) ( ) = (ℬ )} Preuve: ) ℬ = ⟹ ℬ ℬ = ℬ ⟹ ( ℬ) = ℬ . ) ℬ = ⟹ ℬ ℬ = ℬ ⟹ (ℬ ) = ℬ . ) ℛ( ) = ℛ( ℬ ) ⊂ ℛ( ℬ) ⊂ ℛ( ). d) _{( ) ⊂ (ℬ ) ⊂ ( ℬ ) = ( )}

1-2-3 Théorème : Tout opérateur linéaire admet un inverse intérieur linéaire. Preuve:

Soit est un opérateur linéaire défini de _{V dans W}

On pose _{= T ⨁ ( ) et ℛ( ) ⨁ S = c'est-à-dire T est un Supplémentaire de} ( ) dans et S un supplémentaire de ℛ( ) dans , on considère

/ = ( . ; : T ℛ( )), Alors admet un inverse ℬ: ℛ( ) T , on définit ℬ sur dans par : ℬ( ) = ℬ( ), ∀ ℛ( ) et ℬ( ) = 0 ; ∀ S.

Exemple:

Soit _{A est un opérateur linéaire de ℓ dans lui mémé, définie par: A( ; ; …) = (0; ; ; …)}

On définit l'opérateur _{ℬ de ℓ dans lui mémé par:} ℬ( ; ; …) = ( ; ; …)

Donc,

_{AℬA( ; ; … ) = Aℬ(0; ; ; … ) = A( ; ; …)}

1-2-4 Remarque: On considère l’équation _{= tel que et}

Mémoire de magister Page 6

si ℬ est une solution de l'équation = pour tout appartenant à ℛ( ).

1-2-5 Proposition: Soit _{ℬ est un inverse intérieur de , alors ( − ℬ ) est un projecteur}

sur _{( ).} Preuve:

( − ℬ ) = + ℬ – 2 ℬ = − ℬ

Et _{( − ℬ ) = − ℬ = , ∀ ( ); ( . ; ℛ( − ℬ ) = ( )).}

1-2-6 Proposition: Soit _{ℬ: est un inverse intérieur linéaire de , alors} = ( ) ⨁ ℛ(ℬ ) = ℛ( ) ⨁ ( ℬ).

1-2-7 Proposition: _{Les propriétés suivantes sont équivalentes:} a) _{ℬ ℐ( ) .} b) ( ℬ) = ℬ et ℛ( ℬ) = ℛ( ). ) (ℬ ) = ℬ et ( ) = (ℬ ). d) (ℬ ) = ℬ et = ( ) ⨁ ℛ(ℬ ). e) ( ℬ) = ℬ et = ( ℬ) ⨁ ℛ( ). f) (ℬ ) = ℬ et (ℬ) ∩ ℛ( ) = {0}. Preuve:

a) _{⇒ ), on applique la proposition (1-2-2) ; nous trouvons )} ) _{⇒ c), il est évident que ( ℬ) = ℬ}

Par (1-2-2) et (1-2-5) on a ℛ( − ℬ ) = (ℬ ) = ( ) ) _{⇒ d), = (ℬ ) ⨁ ℛ(ℬ ) = ( ) ⨁ ℛ(ℬ )}

) ⇒ e), Il est évident que ( ℬ) = ℬ = ( ℬ) ⨁ ℛ( ℬ) = ( ℬ) ⨁ ℛ( ) )_{⇒ f), il est évident que (ℬ ) = ℬ ,}

Mémoire de magister Page 7

On suppose _{ϵ (ℬ) ∩ ℛ( ) et ≠ 0}

ℬ = 0 ⟹ ℬ = 0, on a donc contradiction parce que ( ℬ) ∩ ℛ( ) = {0}. Il est évident que f) implique _{ℬ = .}

1-2-8 Proposition: Soit _{ℬ un inverse intérieur de , on pose P = I − ℬ et = ℬ} ℚ≀ _{et P}≀ _{des projecteurs sur ℛ( ) et ( ) respectivement, on définit ℬ}≀ _{par :}

_ℬ≀ _{= ( + P − P}≀_{)ℬ( − + ℚ}≀₎ Alors, ℬ≀ _{est un autre inverse intérieur de .} Preuve:

ℬ≀ _{= ( + P − P}≀_{)ℬ( − + ℚ}≀_{) = ( + P − P}≀_{)ℬ = ℬ = .}

1-3 Inverse extérieur

1-3-1 Définition: Soit _{ℬ: est un opérateur linéaire, on dit que ℬ est un inverse} extérieur de _{, si ℬ ℬ = ℬ.}

1-3-2 Proposition: Soit _{ℬ: un inverse extérieur de , alors:} a) _{(ℬ ) = ℬ et ( ℬ) = ℬ.}

b) _{ℛ(ℬ ) = ℛ(ℬ) et (ℬ) = ( ℬ)}

c) _{= (ℬ ) ⨁ ℛ(ℬ) et = (ℬ) ⨁ ℛ( ℬ)} Preuve:

Semblable à la preuve de la proposition (1-2-2).

Proposition: Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) _{ℬ ( )}

b) (ℬ ) = ℬ et ℛ(ℬ ) = ℛ(ℬ)

c) (ℬ ) = ℬ et = (ℬ ) ⨁ ℛ(ℬ) d) ( ℬ) = ℬ et (ℬ) = ( ℬ)

Mémoire de magister Page 8

e) ( ℬ) = ℬ et = (ℬ) ⨁ ℛ( ℬ) e) _{( ℬ) = ℬ et ( ) ∩ ℛ(ℬ) = {0}} Preuve:

Semblable à la preuve de la proposition (1-2-7).

1-3-4 Conséquence: _{Si ℬ ℐ( ) et ℬ ℐ( ), alors ℬ ℬ ℐ( ) ∩ ( )}

1-4 Inverse généralisé

que _{ℬ est un inverse généralisé de .}

1-4-2 Proposition: Tout opérateur linéaire admet un inverse généralisé. Exemple:

On rappelle que C(_{[0; 1]) est l'espace vectoriel des fonctions continues sur [0;1]}

Soit _{: C([0; 1]) C([0; 1]) un opérateur linéaire ,tel que ( ( )) = ( ) .} On défini _{ℬ de C([0; 1]) dans lui même par ∶ ℬ( ( )) = (√ )}

Nous avons,

_ℬ ( ) = ℬ( ( ) ) = ( ( )) ℬ ℬ ( ) = ℬ ( (√ ) = ℬ( ( )) Alors, _{ℬ est un inverse généralisé de .}

1-4-3 Proposition: Soit _{ℬ est un inverse généralisée de , alors:} a) _{( ℬ) = ℬ et (ℬ ) = ℬ .}

b) _{(ℬ) = ( ℬ) et ( ) = (ℬ ).} c) _{ℛ( ℬ) = ℛ( ) et ℛ(ℬ ) = ℛ(ℬ).} D’autre part,

Mémoire de magister Page 9

= ( ) ⨁ ℛ(ℬ) , = (ℬ) ⨁ ℛ( ). Preuve:

On utilise les propositions (1-2-2) et (1-3-2).

1-4-4 Remarque: Si _{ℬ est un inverse généralisé de , alors ℬ est un projecteur sur ℛ( )}

et _{ℬ est un projecteur sur ℛ(ℬ) .} On suppose que

_{= T ⨁ ( ) et = ℛ( ) ⨁ S.}

Soient _{P et deux projecteurs sur ( ) et ℛ( ) respectivement tels que} (P) = T et ( ) = S

Alors, le système suivant:

(1) ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ = = = = − P Admet une solution unique, on la note par ≉_{, .}

Preuve: _≠

= = = = = .

La construction est illustrée par le diagramme commutatif suivant: ≉_,

_{− P J − P} T ℛ( ) _T L'inverse généralisé ≉_{, est donné par:}

,

≉ _{= .}

Mémoire de magister Page 10

1-4-6 Théorème: Soient _{P et deux projecteurs tels que ℛ(P) = ( ) et ℛ( ) = ℛ( ),}

alors, le système: (2) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = = − P = Admet la solution unique ₌ ≉_{, .} Preuve:

On suppose_{que ≠}

= = ( ) = ( − P) = = ( ) = = = .

Il est évident que ≉_, est une solution du système _(2).

1-4-7 Proposition: Soit _{: P( ( ))× (ℛ( )) T ( )× Sℛ( )} est une application Définie par: _{(P, )=(T, S) . Alors, est une bijection.}

Preuve:

Si _{(T, S) T ( ) × Sℛ( )⟹ = T ⨁ ( ); = ℛ( ) ⨁ S}

Par (1-1-6) il existe deux projecteurs _{P et sur ( ) et ℛ( ) respectivement} alors, est surjective.

(P, ) = (P , ) ⟹ (T, S) = (T , S ) ⟹ T = T et S = S par (1-1-5 ) on a _{P = P et = ; donc est injective.}

1-4-8 Remarque: On note la solution par ≉_{, ou ,} .

1-4-9 Proposition: Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) _{ℬ est un inverse généralisé de .}

b) ( ℬ) = ℬ = (ℬ) ⨁ ℛ( ). ) (ℬ ) = ℬ et = ( ) ⨁ ℛ(ℬ) .

Mémoire de magister Page 11

d) ( ℬ) = ℬ , (ℬ) = ( ℬ) et ℛ( ℬ) = ℛ( ). e) (ℬ ) = ℬ , ℛ(ℬ ) = ℛ(ℬ ) et ( ) = (ℬ ).

f) ℬ = ℬ , = où ∶= / , = T ⨁ ( ) , = ℛ( ) ⨁ S. Tel que _{est un projecteur sur ℛ( ).}

g) ℬ est un inverse intérieur de , s’il vérifie: ℬ ( ) = , ∀ T et ℬ( ) = 0; ∀ S. Et

ℬ ( + ) = ℬ( ) tels que ℛ( ); ∀ S. h) _{ℬ = ℬ , = ( − P)ℬ tels que ℬ = .}

P et sont des projecteurs sur ( ) et ℛ( ) respectivement. Preuve:

On utilise les propositions (1-2-7) et (1-4-3).

1-4-10 Proposition: Soient ℬ , ℬ deux inverses intérieurs de , on pose

ℬ = , ℬ = , _{− P = ℬ et − P = ℬ ,} Alors: ) ℬ ℬ = ≉ _, b) ≉ _, = ≉ _, , ≉ Preuve: ) ℬ ℬ = ℬ = , − ℬ ℬ = − ℬ = P . b) ≉ _{, = ℬ ℬ = (ℬ ℬ ) (ℬ ℬ ) =} ≉ _, ≉ _{, .}

1-5 Inverse intérieur topologique

Mémoire de magister Page 12

ℛ( ) ∶= la fermeture de ℛ( ) dans W, un projecteur sur W tels que :

ℒ

W = ℛ( ) ⨁ S

∶= ℛ( ) ⨁ S = ℛ( ) ⨁ ( ) Maintenant on considère _{: ⟶} et _{∶= /}

Si _ℬ ∼ : est un inverse intérieur de et ℬ ∼ = , alors

ℬ ∼ est dit un inverse droit intérieur topologique.

Soit _{ℬ un inverse intérieur de , si ℬ est un projecteur (continue) sur ℛ( ) dans} On a, par la Proposition (1-2-8)

_ℬ ∼ = ℬ(I − ℬ + )

est un inverse droit intérieur topologique.

Nous utilisons la notation _{, ∶= inverse droit intérieure topologique.}

1-5-1 Proposition: [18]Soit _{un projecteur continue sur ℛ( ), alors admet inverse droit} intérieur topologique si et seulement, s’il existe un opérateur linéaire, noté par

, vérifiant : (5) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ , : ℛ( ) ⨁ ( ) ⟶ , = sur , = sur ℛ( ) ⨁ ( )

Soient et W des espaces de dimension finie, où W est un espace de Hilbert et est le projecteur Orthogonal sur _{ℛ( ), alors admet un inverse droit intérieur topologique ,} ; vérifie:

Mémoire de magister Page 13

₍₃₎ , = sur ( , )∗ = ,

b- Inverse gauche intérieur topologique

Soit un opérateur défini sur _{D( ) ⊂ dans W tel que un espace vectoriel topologique}

1-5-2 Définition: Soit _{D( ) ⊂ , on dit que le domaine de est décomposable par rapport}

au projecteur _P

ℒ

Dans ce cas nous appelons :

CP ∶= D( ) ∩ ( ), est le support de

1-5-3 Définition: Soit _{ℬ un inverse intérieur linéaire de . Si ℬ admet une extension au}

projecteur _{( − P )}

ℒ

Nous utilisons la notation _{, ∶= Inverse gauche intérieur topologique.}

1-5-4 Théorème: Soit : D( ) un opérateur linéaire. Si = , , alors D( ) est décomposable par rapport à P .

Preuve: ∀ ( ); = ( − P ) = 0 ⟹ ∀ ( ); P = Donc, _{( ) ⊂ ℛ(P}) = ( − P ) ; ∀ D( ) ⟹ P = − ; ∀ D( ) _{⟹ P = − = 0; ∀ D( )} Alors, _{P (P); ∀ D( )}

Nous avons, _{ℛ( ) = (P); donc, D( ) ⋂ (P) est dense dans (P).}

Mémoire de magister Page 14

Alors, admet un inverse gauche intérieur topologique. Preuve:

Soit _{un inverse intérieur de , on écrit}

P = − . Soit _{P la restriction de P à D( )} Par la propriété (1-2-8)

_{= (2 − − P) et = − P} Aussi,

ℛ( ) = (P) = (P) ∩ D( ) = CP , qui est dense dans (P) = ℛ( − P).

Si _{et sont des espaces de dimensions finies, où est un espace de Hilbert, soit P le} projecteur orthogonal sur _{( ), alors}

admet un inverse gauche intérieur topologique _, , vérifie:

(4) , = ( , )∗ = ,

1-6 Inverse généralisé topologique

Ci-après: _{W et sont des espaces vectoriels topologiques}

1-6-1 Définition: Soit : _{D( ) ⊂ ⟶ est un opérateur linéaire, si U vérifie :}

1) U est un _{inverse droit intérieur topologique de .} 2) U est un _{inverse gauche intérieur topologique de .} 3) U _{U = U.}

Alors, U est dit un inverse généralisé topologique, on le note par ⋆_, .

1-6-2 Théorème: [18]Soit : _{D( ) ⟶ W un opérateur linéaire, si le domaine de est}

Mémoire de magister Page 15

alors admet l'inverse généralisée topologique unique (relatif au choix de P et ) noté par ⋆_, et vérifie: · _D ⋆_{, = ℛ( ) ⨁ ( ).} · _ℛ ⋆_{, = ( ).} · ⋆_{, = ( ).} · ⋆_{, = − P ; pour tout D( ).} · ⋆_{, = ; pour tout D} , ⋆ _.

1-6-3 Théorème: Soit

ℒ

topologique dans _{V et ℛ( ) = ℛ( ) admet un supplémentaire topologique dans W, soient P} un projecteur sur _{( ) dans V et un projecteur sur ℛ( ) dans W, alors admet l'inverse} généralisé topologique unique noté par ⋆_{, qui vérifie les équations suivantes:}

· ⋆_{, = sur V} · ⋆_, , ⋆ ₌ , ⋆ _{sur W} · ⋆_{, = − P ; pour tout V} · ⋆_{, = ; pour tout W} Preuve: On définie ⋆_, par: , ⋆ _{= ; (P)} , ⋆ ₌ , ⋆ _, , ⋆ _{= 0} où = + , ℛ( ) et ( ) Il est évident que l'inverse généralisé est unique

Mémoire de magister Page 16

Ci-après on présente quelque des inverses généralisés:

1-7 Inverse généralisé de Moore- Penrose

Ce genre d’inverses généralisés est le plus important, car il conserve une bonne partie des propriétés des inverses ordinaires, telle que l'unicité de l'inverse, les propriétés de symétrie et beaucoup d'autres qui font concept central en algèbre linéaire, analyse numérique et dans diverses applications.

a- L'inverse de Moore-Penrose d'un opérateur linéaire Soient _{ℋ et ℋ des espaces de Hilbert.}

1-7-7 Proposition: Soient _A

ℒ

unique de _{A, on le note par A , qui vérifie les équations suivantes:}

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ = … (1) = … (2) = I − P _{( )} … (3) = Pℛ( ) … (4)

A est appelé l'inverse de Moore-Penrose de l’opérateur A. Preuve:

(_{A) et ℛ(A) sont des sous espace fermé dans ℋ et ℋ alors ils existent deus projecteurs} Orthogonaux _{P ( ) et Pℛ( )} sur (_{A) et ℛ(A) respectivement, tels que}

_{ℋ = (A) ⨁ P ( ) = (A) ⨁ ( )} Et

ℋ = ℛ(A) ⨁ Pℛ( ) = ℛ(A) ⨁ ℛ(A) Par (1-6-3) A existe et A défini par:

Mémoire de magister Page 17

A ( ) = 0; ∀ ℛ( ) et A = ( /ℛ( ∗)) ; ∀ ℛ( ).

b- L'inverse de Moore-Penrose d'une matrice

Soit _ℂ , _{(ℂ), on définit : ℂ → ℂ par:}

( ) = 0; ∀ ℛ( ) et = ( /ℛ( ∗₎) ; ∀ ℛ( ).

Remarquons que _{est un inverse généralisé de .} 1-7-1 Proposition: Soit _ℂ , _{(ℂ), alors}

) = 0, ∀ ( ) et = , ∀ ℛ( ∗_{) = ℛ( ).} ) = 0, ∀ ℛ( ) et = , ∀ ℛ( ) .

) est le projecteur orthogonal sur ℛ( ∗_{) = ℛ( )dans ℂ .} ) est le projecteur orthogonal sur ℛ( ) dans ℂ .

Preuve: ) = 0 ; ∀ ( ) ⟹ = 0; ∀ ( ) Et _{ℛ( ); ∀ ℛ(} ∗_{) ⟹ = (} /ℛ( ∗)) = ; ∀ ℛ( ∗). b) _{∀ ℛ( ) ⟹ = 0, ∀ ℛ( ) ⟹ = 0, ∀ ℛ( )} Et ∀ ℛ( ) _{⟹ = (} /ℛ( ∗₎) ⟹ = ( _/ℛ( ∗₎) = . ) Nous avons, ℛ( ) = ℛ( )

Appliquons a) de la Proposition (1-7-1) on trouve _{est un projecteur de ℛ( ) sur ℂ} Soient _{, ℂ , nous avons}

Mémoire de magister Page 18 〈 , 〉 = 〈 ( + ), + 〉 _{= 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 = 〈 , 〉.} 〈 , 〉 = 〈 + , ( + )〉 _{= 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 = 〈 , 〉.} Donc, _{( )}∗ ₌

d) De même façon, nous montrons que est le projecteur orthogonal sur _{ℛ( ) .}

1-7-2 Définition de l'inverse généralisé de Moore: Si ℂ , _{(ℂ), alors l’unique}

inverse généralisé qui vérifie les équations suivantes: 1) = Pℛ( ∗)

2) _{= Pℛ( )}

1-7-3 Définition de l'inverse généralisé de Penrose : _ℂ , (_{ℂ), alors est la solution}

unique du système suivant:

(s) ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ = … (1) = … (2) ( )∗ _{= … (3)} ( )∗ _{= … (4)}

1-7-4 Théorème: Les deux définitions précédentes _{sont équivalentes .}

Preuve:

supposons que, = Pℛ( ∗₎ et = P_{ℛ( )} , on applique (c) et (d) de (1-7-1), alors:

et sont des projecteurs orthogonaux. D’autre part,

_{= Pℛ(} ∗₎ = P_{ℛ( )} = .

Mémoire de magister Page 19

= Pℛ( ) = .

Enfin, _{est une solution du système (s).}

Réciproquement, si est une solution du système (s) alors,

Nous avons_{, = ⟹ = ⟹ ( ) =}

Par (1-7-1) on a

_{( )}∗ _{= et ℛ( ) = ℛ( ) = ℛ(} ∗₎ Donc_{, = Pℛ(} ∗₎ .

De la même façon, nous montrons que _{= Pℛ( ).}

1-7-5 Remarque: On montre que _{est une solution unique du système (s)}

Preuve:

On suppose que l'on a , deux inverses de Penrose de

_{= = ( )}∗ _{= ( )}∗ ∗ _{= ( )}∗ ∗ ∗

_{= ( )}∗_{( )}∗ ₌ ( _{)( ) =}

_{= = ( )}∗_{( )}∗ ₌ ∗_{( )}∗ ∗_{( )}∗ ₌ ∗_{( )}∗ _{= ( )}∗ _{= ( ) = .}

1-7-6 Proposition: Soient _ℂ , _{(ℂ); ℂ, alors:}

a) _{( ) =}

b) _{( )}∗ _{= (} ∗_{) .}

c) _{( ) =} tels que si _{≠ 0, alors = et si = 0, alors = 0.}

d) ∗ ₌ ∗ ₌ ∗_.

e) _{= (} ∗ ₎ ∗ ₌ ∗₍ ∗_{) .} f) ₍ ∗ _{) = (} ∗_{) .}

Mémoire de magister Page 20 Preuve: a) _{( ) : ℂ ℂ} ∀ ℛ( ∗_{); ( ) = ((} /ℛ( ∗)) ) = (( /ℛ( ∗)) ) = Et ∀ ℛ( ∗_{) , ( ) = 0, Donc ( ) = .} b) _{∀ ℛ(} ∗_), ∗ _{= (} ∗ /ℛ( )) = (( /ℛ( ∗)) )∗= ∗ . D'autre part_, (( ∗_{) ) = ℛ(} ∗_{) ; (( )}∗_{) = ℛ( ) = ℛ(} ∗_{) .} c) Evident. d) ∗ _{= P} ℛ( ∗) ∗= ∗ et ∗ = ∗Pℛ( ) = ∗

Puisque _et sont des projecteurs orthogonaux sur _ℛ( ∗_{) et ℛ( ) respectivement .}

e) ∗₍ ∗_{) =} ∗ ∗ ₌ ∗ ∗ _{= ( )}∗ _{= =}

D'autre part,

₍ ∗ ₎ ∗ ₌ ∗ ∗ ₌ ∗ ∗ _{= ( )}∗ _{= =}

f) Il suffit de vérifier que la matrice ₍ ∗_{) est une solution du système de Penrose suivant:}

(s1) ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ( ∗ ) = ( ∗ _{) (} ∗ _{) =} ( ( ∗ ₎₎∗ _{= (} ∗ ₎ (( ∗ _{) )}∗ _{= (} ∗ ₎

Mémoire de magister Page 21 (s11) ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ( ) = ( ) ( ) = ( ( ))∗ _{= ( )} (( ) )∗ _{= ( )} 1-7-8 Proposition: Soit A ϵ ℂ , _{(ℂ), alors:} 1. _{ℛ(A) = ℛ(AA ) = ℛ(AA}∗_).

2. _{ℛ(A ) = ℛ(A}∗_{) = ℛ(A A) = ℛ(A}∗_A). 3. _{ℛ(I − AA ) = (AA ) = ℛ(A}∗_{A) .}

4. _{ℛ(I − A A) = (A A) = (A) = ℛ(A}∗_{) .}

1-7-8 Théorème: Soit _{A ϵ ℂ} , (_{ℂ), si { , , … , } est une base de ℛ(A}∗_{) et}

{ , , … , } est une base de (A∗_{), alors}

A = [ , , … , , 0, … ,0][A , A , … , A , , , … , ] Preuve:

En utilisons la définition de _{A , nous trouvons}

A [A , … , A , , , … , ] = _{[A A , … , A A , A , A , … , A} ] = _{[ , , … , , 0, … ,0]}

Autre part,

{ A , A , … , A , , , … , } est une base de ℂ , donc A = [ , , … , , 0, … ,0][A , A , … , A , , , … , ] Exemple: Calcul de _A Soit _{A =} 1 0 1 2 1 10 31 0 −1 −1

Mémoire de magister Page 22 2 1 3 0 −1

−1 est une base de ℛ(A ∗₎ A 2 1 3 = 2 52 −1 et A −1 0 −1 = −1 −4 ₋₁ 2 Donc, A 2 52 −1 = 2 1 3 et A −1 −4 ₋₁ 2 = −1 0 −1 Nous devons maintenant calculer la base de _{ℛ( )}

On remarque que _{ℛ( ) = (A}∗₎ On résout le système A∗ _{= 0,} Nous obtenons = ⎝ ⎜ ⎛ 1 − 0 − ⎠ ⎟ ⎞ + ⎝ ⎜ ⎛ 0 − 1 − ⎠ ⎟ ⎞ donc, A ⎝ ⎜ ⎛ 1 − 0 − ⎠ ⎟ ⎞ = 0 et A ⎝ ⎜ ⎛ 0 − 1 − ⎠ ⎟ ⎞ = 0 Donc A ⎝ ⎜ ⎛ 2 −1 1 0 5 2 _{−1 0} −4 − − 1 −1 2 − _{− ⎠} ⎟ ⎞ = 2 0 0 0 1 −1 0 0 3 −1 0 0 Nous avons, _{ℂ = ℛ( ) ⊕ ℛ( )} Donc_{, A =} 2 0 0 0 _{1 −1 0 0} 3 −1 0 0 ⎝ ⎜ ⎛ 2 −1 1 0 5 2 _{−1 0} −4 − − 1 −1 2 − _{− ⎠} ⎟ ⎞

1-8 Inverse de Drazin

1-8-1 Lemme: [3]pour toute matrice carrée _{A il existe un nombre positive telle que ℂ = ℛ(A ) ⨁ (A )}

Mémoire de magister Page 23

ℂ = ℛ( ) ⨁ ( ) , qui est aussi le plus petit entier positif tel que rg( ) = rg( ) S'appelle l'indice de _{, on le note par ind ( ).}

si est inversible on a, ind ( ) = 0 .

1-8-3 Lemme: Si _{est une application linéaire sur ℂ et ind( ) = , alors l'application}

définie par: _{: ℛ ℛ} ; telle que _{= /ℛ} est inversible. Preuve:

ℛ = ℛ = _{ℛ .}

1-8-4 Définition: Si _{ϵ ℂ} , _{(ℂ), l'inverse de Drazin de est une matrice carrée d'ordre n}

notée _{qui satisfait les équations suivantes:}

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = = = : est l’indice de

1-8-5 Définition: Soit _{ϵ ℂ} , _{(ℂ) , ind( ) = et tout vecteur de ℂ s'ecrit de manière} unique _{= + aù ϵ ℛ( ) et ϵ ( ). On définit sur ℂ par:}

= _/ℛ , _{est appelée l'inverse de Drazin de l’opérateur} 1-8-6 Proposition: Soit _{ϵ ℂ} , _{(ℂ) et ind( ) = , alors :}

a) _{ℛ( ) = ℛ( ) et ( ) = ( ).}

b) _{= = Pℛ ,} .

c) _{( − ) = ( − ) = P , ℛ .}

d) _{= ; ∀ ≥ où est un nombre entier positif.} e) _{Si est inversible alors, =}

Preuve:

Mémoire de magister Page 24 b) Nous avons, ℛ( ) = ( ) ⊂ ℛ( ) = ℛ( ) ⊂ ℛ( ) Donc _{, ℛ( ) = ℛ(} ) = ℛ( ) Aussi_{, ( ) = ( ) ⊃ ( ) = ( ) ⊃ ( )} Donc _{, ( ) = ( )= (} )

D’autre part, il est évident que _{(AA ) = (A A) = AA .}

d) _{∀ ≥ , = = = =}

1-9 Le groupe inverse

1-9-1 Définition: Soit _{une matrice carrée d'ordre n, on considère le système suivant :}

(G) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = = =

si est une solution du système (G) , alors on dit que est le groupe inverse de on le note par #

1-9-2 Proposition: Soit une matrice carrée d'ordre _{, et de rang r, alors les propriétés}

suivantes sont équivalentes : 1) rg ( _{)= rg ( ).} 2) _{ℛ( ) = ℛ( ) .} 3) _{ℛ( ) ⨁ ( ) = ℂ .} 4) # _existe.

Preuve:

On a évidemment que 1) et 2) sont équivalentes.

Mémoire de magister Page 25

On va montrer l'équivalence entre 2) et 4)

4)_{⟹ 2), le système (G) est équivalent au système suivant:}

(_G1) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = = = Donc, _{ℛ( ) = ℛ( ) ⊂ ℛ( ) ⊂ ( ) , alors ℛ( ) = ℛ( ).}

2)⟹ 4), Soit = tels que _{ϵ ℂ} , , _{ϵ ℂ} , et rg _{= ;( , et forment la} factorisation de même rang de ).

Remarquons que, _{ϵ ℂ} , D'autre part, _{ℛ( ) = ℛ( )} Alors, est inversible

On pose = ( ) , remarquons que une solution du système (G) . 1-9-3 Proposition: Quand le groupe inverse de _{existe, il est unique.} Preuve:

Supposons que nous avons deux groupe inverses # et #. On applique successivement les trois équations de (G), on obtient:

# ₌ # ₌ # ₍ #_{) =} #₍ # ₎ #₌ # #₌ #₍ #₎ #

= ₍ # ) # ₌ # ₌ #_.

1-10 Inverse pondéré

1-10-1 définition: Soit _{B ϵ ℂ} , _{(ℂ), on dit que la matrice B est auto-adjointe, ou}

Hermitienne, si B∗ _{= B.}

Mémoire de magister Page 26

Soit B une matrice carrée d’ordre à coefficients réels ou complexes. On dit que la matrice _{B est positive, si ∀ ϵ ℂ 〈B , 〉 ≥ 0 .} 1-10-3 Définition : (Matrice définie positive)

Soit _{B une matrice carrée d’ordre à coefficients réels ou complexes. . On dit que B est une} définie positive si _{B est positive et = 0 ⟺ 〈B , 〉 = 0 .}

On rappelle que le produit scalaire standard sur _{ℂ , est défini par :}

∀ , ℂ : 〈 , 〉 = ∑ ; = ( , … , ), = ( , … , ). Soit N une matrice définie positive d'ordre

La formule ci –dessous, définit un produit scalaire sur _ℂ

_{[ , ] = 〈 , 〉 = 〈N , 〉}

1-10-4 Proposition: Soit _{B une matrice hermitienne. La matrice B est positive si et seulement}

si toutes ses valeurs propres sont positives .

Elle est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

1-10-5 Remarque: toute matrice hermitienne et définie positive est inversible.

Soient M et N deux matrices d'ordre et respectivement. Alors, le système suivant :

(w1) ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ = = ( )∗_{= N N} ( )∗ _{= M M}

Admet une solution unique, elle s'appelle l'inverse généralisé pondéré de _{, on le note} par _, .

Mémoire de magister Page 27

1-10-6 Proposition: le système (w1) admet une solution unique.

Preuve:

On suppose que l'on a _{, deux inverses généralisés pondérés de}

= = M ( )∗_{M = M ( )}∗_{M = = N( )}∗ _{= N( )}∗_N = _{= .}

1-10-7 Proposition: On suppose que est une solution de (w1)

1) Si _{ℂ muni du produit scalaire}

_{[ , ] = 〈 , 〉 = 〈M , 〉 , ℂ}

Alors_, est le projecteur orthogonal sur _{N ℛ(A}∗_{), on note par ∶ I − P} ( ) 2) Si _{ℂ muni du produit scalaire}

[ , ] = 〈 , 〉 = 〈N , 〉 ; , ℂ

Alors, est le projecteur orthogonal sur ℛ( ) , on le note par ∶ P_{ℛ( )} Preuve: 1) = ⟹ = ⟹ ( ) = , ℂ [ , ] = 〈(N ), 〉 = 〈 , (N )∗ _{〉 = 〈 , (N ) 〉 = 〈 N , ( ) 〉} = _{[ ,} ] Donc_{, ( )}∗ ₌ ℛ( ) = (N N) = (N A N) = (( N ) N) = (N ) = N ℛ(A∗₎ 2) De la même manière, nous pouvons prouver que est le projecteur orthogonal sur _{ℛ( ).}

Chapitre 2:

Propriétés

minimales

Mémoire de magister Page 28

Chapitre 2: Propriétés minimales

Introduction

Dans ce chapitre on utilise les inverses généralisés pour déterminer les solutions approximantes de l’équation linéaire _{A =}

2-1 Orthogonalité dans les espaces normés

Soit _{un espace normé} et ⊂ . _{( , ) = {‖ − ‖; ∈ }}

On définit une notion d’orthogonalité comme suite : ⊥ ⇔ ( , span{ }) = ‖ ‖.

⊥ ⇔ ( , ) = ‖ ‖; ∀ ; ⊂ .

L’orthogonalité dans un espace normé n'est pas nécessairement symétrique.

Soit _{ℳ un sous espace vectoriel dans et ℳ admet un supplémentaire topologique dans} Pℳ ∶={ P

ℒ

( , Pℳ) ≥ 1 ∶= P Pℳ : ( , P) ≥ 1

2-1-1 Proposition: Soit _{P Pℳ}; alors les propriétés suivantes sont équivalentes : ) ‖ −P ‖ = 1.

) (P ) ⊥ ℛ(P ).

) ∀ , ‖ − P ‖ ≤ ‖ − ‖; ∀ ℳ. Preuve:

Supposons _{), soit (P ), z ℛ(P ), alors}

_{‖ ‖ = ‖( −P )( − )‖ ≤ ‖ − ‖} Donc,

Mémoire de magister Page 29

∀ (P ) , ℛ(P ) = ‖ ‖, Supposons b), soit _{et z ℛ(P ), alors}

_{‖ − ‖ = ‖( −P ) − P ( − )‖ ≥ ( −P ) , ℛ(P ) = ‖ − P ‖.} Supposons c), _{∀ ; il existe ( , ) unique tel que = +}

Où = P ℛ(P ) et = ( −P ) ( )

_{‖ ‖ = ‖ − (− )‖ ≥ ‖ − P ‖ = ‖ ‖ = ‖( −P ) ‖} Par conséquent, _{‖ −P ‖ = 1.}

Si _{P Pℳ et P vérifie l’une des conditions de la proposition précédente, alors} ℛ(P ) est le supplémentaire orthogonal de (P ).

Mais, _{(P ) n'est pas nécessairement un supplémentaire orthogonal de ℛ(P ).}

2-1-2 Exemple:

Tout sous espace de co-dimension égale à 1 admet un hyperplan supplémentaire orthogonal. Soit _{et ≠ (par Hahn –Banach) existe} ∗ _{tels que ( ) = 1, ‖ ‖ = 1} on défini_{t P par : P = − ( )}

‖ ‖ , alors ( ) = ℛ(P) et ‖ P− ‖ = 1

En général, dans les espaces normés les supplémentaires orthogonaux des sous espaces sont rares.

2-2 Solution minimale d'une équation linéaire dans un espace normé.

, on dit que est une solution approximante de l'équation = si minimise ‖ − ‖ C'est-à-dire ‖ − ‖ ≤ ‖ − ‖ ; ∀ .

Soit un espace normé, on dit que est une solution minimale si une solution approximante et _{‖ ‖ < ‖ ‖ ; ∀}

Mémoire de magister Page 30

est l’ensemble des solutions approximantes de l'équation _{A =}

Inverse intérieur orthogonal.

2-2-1 Définition: Soit : un opérateur linéaire. On dit que _{est un inverse droite} intérieur orthogonal de _{si = , et ‖ − ‖ = 1, on le note par ,} .

Soit _{: un opérateur linéaire. On dit que est un inverse gauche intérieur} orthogonal de _{, si = , et ‖ − P ‖ = 1, on le note par ,} .

On dit que est un inverse intérieur orthogonal de , si est un inverse droite intérieur orthogonal et est un inverse gauche intérieur orthogonal de _{; C'est-à-dire}

= , = , . On le note par , .

2-2-2 Théorème: Soit _{: un opérateur linéaire, si , = est un inverse}

Droite intérieur de _{, alors:}

_{∀ ; est une solution approximante de l'équation = .} Preuve: Par la proposition (2-1-1) on a: ‖ − ‖ ≤ ‖ − ‖; ∀ ℛ( ) Mais, = ; = ℛ( ) ⊕ ( ) Alors, ₌ Minimise ‖ − ‖

2-2-3 Théorème: Soit _{: D( ) un opérateur linéaire; D( ) ⊂} , _{, = est un}

inverse gauche intérieur orthogonal de et _{l'équation = admet une solution , alors} est une solution minimale de l'équation = .

Mémoire de magister Page 31

Remarquons que,

+ est une solution de l'équation = où ( ). Maintenant nous cherchons la solution minimale. Par la proposition (2-1-1) on a_∶

_{‖(I − P) ‖ ≤ ‖ − ‖; ∀ ℛ(P)} Mais; _{( ) ⊂ ℛ(P). Donc,}

_{‖(I − P) ‖ ≤ ‖ − ‖; ∀ ( )}

Alors, _{(I − P)} est une solution minimale de l'équation ₌ Mais, _{(I − P)} = _{= = .}

2-2-4 Théorème: Soient : D( ) ⊂ un opérateur linéaire et est un inverse

orthogonal de _{, si pour tout appartenant à , il existe dans ℛ( ) unique tel que ‖ − ‖ < ‖ − y‖; ∀ ℛ( )}

Alors, _{est une solution minimale de l'équation = .} Preuve:

Par le théorème (2-2-2) on a:

est l’unique solution approximante de l'équation _{= , donc est l’unique} solution de l'équation ₌ .

On applique le théorème (2-2-3) à l'équation ₌ , nous trouvons = = est une solution minimale de l’équation _{= .}

2-3 Solution minimale d'une équation linéaire dans un espace de Hilbert

2-3-1 Théorème:[17] Soient _{ℋ un espace de Hilbert et C une partie convexe Fermée non vide}

de _{ℋ. Pour tout ℋ; il existe un et un seul point de C en lequel la fonction} ‖ − ‖ Atteint son minimum, pour tout y C .

Mémoire de magister Page 32

2-3-2 Définition: Si _{ℱ est un sous espace vectoriels fermé d'un espace de Hilbert ℋ.}

On appelle projecteur orthogonal sur _{ℱ l'opérateur ℱ}: _{ℋ ℋ qui associe à tout} vecteur _{ℋ sa projection orthogonal sur ℱ. On pose ℱ =}

2-3-3 Proposition: Si _{ℱ est un sous espace vectoriel fermé dans un espace de Hilbert ℋ,}

alors pour tout _{ℋ, d( , ) = { ( , ); ℱ} ⇔ 〈 − , 〉 = 0 ; ∀ ℱ} Preuve: ‖ − ‖ ≤ ‖ − ( + )‖ = ‖ − ‖ − 2 〈 , − 〉 + ‖ ‖ Par conséquent, 2 〈 , − 〉 ≤ ‖ ‖ , on pose = 〈 , − 〉 , ℝ, alors 2 |〈 , − 〉| ≤ |〈 , − 〉|‖ ‖ et quand 0, alors 〈 , − 〉 = 0 ; ∀ ℱ. ⟸) Si 〈 − , 〉 = 0 ; ∀ ℱ, alors _{‖ − ‖ = ‖ − ‖ + ‖ − ‖ ≤ ‖ − ‖ ; ∀ ℱ.}

2-3-4 Proposition: Soient _{ℋ un espace Hilbertien et ℱ un sous-espace vectoriel fermé}

Dans _{ℋ, alors ℋ = ℱ ⊕ ℱ .}

Nous rappelons que si _{ℱ est un sous espace fermé d’un espace de Hilbert, alors ℱ admet} un supplémentaire orthogonal _{ℱ , dans ce cas le projecteur est auto-adjoint.}

Réciproquement, si P est un projecteur auto-adjoint sur un espace de Hilbert, alors ( ) ⊥ ℛ( ) et ⊥ est symétrique.

2-3-5 Proposition: Soit _ℂ , _{, alors :} a) _{ℛ( ) = (} ∗)

b) _{( ) = ℛ(} ∗) Preuve:

Mémoire de magister Page 33

a) _{y ϵ ℛ(A) ⟺ 〈 A ; y〉 = 0 ; ∀ ℂ ⟺ 〈 ;} ∗_{y〉 = 0 ; ∀ ℂ ⟺} ∗_{y = 0 ; ∀ ℂ}

_{⟺ y (} ∗_).

2-3-6 Définition: Soient _ℂ , _{(ℂ) et ℂ . On dit que ℂ est une solution minimale}

de l'équation _{A = si pour tout ℂ ‖A − ‖ ≤ ‖A − ‖ et ‖ ‖ < ‖ ‖;} est l’ensemble des solutions approximantes de l'équation _{A = .}

2-3-7 Proposition: Si _{ϵ ℂ} , et _{= , alors}

) est projecteur sur ℛ( ), on le note par P_{ℛ( ), ( )} . b) ℂ = ℛ( ) ⨁ ( ).

Preuve:

a) _{∀ ϵ ℛ( ) ⟹ ∃ ϵ ℂ : = ⟹ ∃ ϵ ℂ = ⟹ = .}

b) Evident.

2-3-8 Proposition: Soient _ℂ , , = et ℂ , _{, alors :}

_{= Pℛ( ), ( ) , = Pℛ( ), ( )} . Preuve: = ⟹ ( ) = et = ⟹ ( ) = On applique ( 2-3-7) sur et on a : = P_{ℛ( ), ( )} = P_{ℛ( ), ( )} et _{= Pℛ( ), ( ) = Pℛ( ), ( )} . 2-3-9 Proposition: Si _{ℂ = ⨁ M, alors: ℛ P}∗_{, = , P}∗_{, = et P}∗_{, = p ,} . Preuve:

Mémoire de magister Page 34

_{ℛ P}∗_, = _{(P, ) =} et _(P∗_{, ) = ℛ(P, ) = .} Par (2-3-7) nous pouvons écrire, _P∗_{, = P}

, . 2-3-10 Théorème: Soit _{ℂ = ⨁ on a:} = si et seulement si _P, = _P∗_, Preuve: ⟹) ℛ P∗, = P , = = _{et P}∗_{, = ℛ(P, ) = = M}

D'autre part, on emploie la proposition (2-3-9) on a: _P∗_{, = P,} . P∗_{, = P} , ⟹ ℛ P∗, = , donc = . 2-3-11 Proposition: Soit _ℂ , on a: ) = et ( )∗ _{= ⟺ = P} ℛ( ), ℛ( ) . ) = et ( )∗ _{= ⟺ = P} ℛ( ), ℛ( ) . Preuve: a) _{⟹) = ⟹ ( ) = et par (2-3-8) on a : = Pℛ( ), ( ).}

D'autre part, par la proposition (2-3-10) on a : _{( ) = ℛ( )} Donc; _{= Pℛ( ), ℛ( ) .}

⟸) = Pℛ( ), ℛ( ) ⟹ = Pℛ( ), ℛ( ) = . ( ) = ⟹ ℂ = ℛ( ) ⨁ ( ) = ℛ( ) ⨁ ( ) Car _{( ) = ℛ(( )}∗₎

2-3-12 Proposition: Soient _ℂ , _{, Y ℂ} , _{, Y = et ( Y)}∗_{= Y .}

Mémoire de magister Page 35

Preuve:

Si est une solution de l'équation _{= Y, alors :} = Y ⟹ = Y =

= Y ⟹ ( )∗_{= ( Y)}∗_{= Y ⟹ ( )}∗ ₌ Réciproquement, _{Y = Y = ( )}∗_{( Y)}∗ ₌ ∗ ∗ _Y∗ ∗

= ∗ ∗ _{= ( )}∗_{= .}

2-3-13 Théorème: Soient _ℂ , _{, ℂ et ℂ} , _.

Si _{= et ( )}∗_{= alors, une solution approximante de l'équation A = .} Réciproquement, si _{Y minimise l'équation A = , alors Y = et ( Y)}∗= _Y. Preuve: ∀ ϵ ℂ , ∀ b ϵ ℂ on a: _{A −Pℛ( ), ℛ( ) b ϵ ℛ( )} et _{Pℛ( ), ℛ( ) b − b = Pℛ( ), ℛ( ) − I b = Pℛ( ) , ℛ( )b ϵ ℛ(A)} On écrit, _{A − b = (A − Pℛ( ), ℛ( ) b) + ( Pℛ( ), ℛ( ) b − b)} Nous avons; _{‖A − b‖ = A − Pℛ( ), ℛ( ) b + Pℛ( ), ℛ( ) b − b} Donc, _{‖A − b‖ ≥ A − Pℛ( ), ℛ( ) b}

Par conséquent, _{minimise l'équation A = si et seulement si est une solution de} l'équation A = P_{ℛ( ), ℛ( )} .

Par la proposition (2-3-11) nous avons, A = P_{ℛ( ), ℛ( )} A = P_{ℛ( ), ℛ( )} ⟹ A = A , donc minimise A = Réciproquement, _{si Y minimise l'équation de A = , alors :}

Mémoire de magister Page 36

Y est une solution de l’équation A = pℛ( ), ℛ( ) c'est –à-dire AY = pℛ( ), ℛ( ) donc_{, AY = pℛ( ), ℛ( )}

par la proposition (2-3-12) nous avons: _{Y = et ( Y)}∗ _{= Y.}

2-3-14 Proposition: Soient _ℂ , _{, Y ℂ} , _{, Y = et ( Y)}∗_{= Y}

une solution de l'équation _{= Y si et seulement si = et ( )}∗ _{= .} Preuve:

si une solution de l'équation _{= Y , alors :} = Y ⟹ = Y = et

= Y ⟹ ( )∗ _{= (Y )}∗ _{= Y ⟹ ( )}∗ _{= .} Réciproquement, _{Y = Y = (Y )}∗( )∗₌ ∗ _Y∗ ∗ ∗

= ∗ ∗ _{= ( )}∗ _{= .} 2-2-15 Lemme_{: Soit ℂ} , , on définie _{sur ℛ(} ∗_{) dans ℛ(A), par:} = _{; ∀ ϵ ℛ(} ∗₎

alors, _{est une bijection} :

∀ ϵ ℛ(A) ⟹ ∃ ϵ ℂ : = = Donc, est surjective.

∀ , ′ _{ϵ ℛ( ∗), =} ′_{⟹ =} ′_{⟹ ( −} ′_{) =0 ⟹ ( −} ′_{) = 0} Nous avons,_{ℂ = ( ) ⨁ ℛ(} ∗_{) ⟹ ( )⋂ℛ(} ∗_{) = {0}}

( − ′_{) = 0 et ( −} ′_{) ϵ ℛ(} ∗_{) ⟹ −} ′_{= 0 ⟹ =} ′ Donc, est injective.

Mémoire de magister Page 37

2-3-16 Proposition_{: Soient ℂ} , _{, ℛ(A), alors L'équation A = admet une solution}

minimale unique. :

Par le lemme (2-2-15) on a :

L'équation _{A = admet une solution unique} telle que _ℛ( ∗₎ ∀ ϵ ( ); = + est une solution de l'équation A = D'autre part, nous avons :‖ ‖ = ‖ ‖ + ‖ ‖ ⟹ ‖ ‖ ≥ ‖ ‖.

2-3-17 Théorème: Soit _ℂ , _{, ℂ} , _{telles que = et ( )}∗_{= .}

Si l'équation _{A = admet une solution, alors est une solution minimale unique.}

Réciproquement, si l'équation A = admet une solution, et Y est une solution minimale telle que _{Y ℂ} , _{, alors Y = et (Y )}∗ _{= Y .}

:

Nous avons, A = ⟹ = ⟹ =

Donc, par conséquent, est solution de l'équation _{A =}

On utilise (2-3-16); il existe _ℛ( ∗_{) unique telle que soit solution minimale de} l'équation _{A = .}

D'ailleurs, _{ℛ( ) = ( ) = ℛ(} ∗) et par le lemme (2-3-15) on a : ₌ .

Réciproquement, si est une colonne de la matrice _{, alors Y ℛ(} ∗₎ Par(2-3-14) _{on a: = Y ;}donc _{= Y} ,

Et par laProposition (2-3-12) on a :

Mémoire de magister Page 38

Exemple:

Soient _ℂ , _{, ℂ , On considère l'équation A =}

Par le théorème (2-3-13): est une solution approximante de l'équation _{A = .} Donc, est une solution de l'équation _{A = A}

Par le théorème(2-3-17): _A est une solution minimale unique de l'équation _{A = A}

Chapitre 3:

Inverse

généralisé à

projections

Prédéterminées

,

( )

Mémoire de magister Page 39

Chapitre 3: Inverse généralisé à projections prédéterminées

Introduction

Dans ce chapitre plusieurs méthodes sont exposées pour trouver l'inverse généralisé d'une matrice dont le _{noyau S et l'image T sont donnés, on le note par} ( )_, .

3-1 Propriétés de l'inverse intérieur

3-1-1 Rappel: Soit E une matrice carrée d'ordre _{n. On dit que E est un projecteur si E = E.}

3-1-2Proposition: Si _{ϵ ℂ} , , _{ϵ {1} et ϵ ℂ , alors = admet une solution si}

et seulement si l'équation _{= admet une solution.} Preuve:

⟹) = ⟹ = avec = .

⟸) = ⟹ = ⟹ = .

3-1-3 Lemme: Soient _{ϵ ℂ} , _{et B ϵ ℂ} , _{, alors} a) _{ℛ( B) = ℛ( ) ⟺ rg B = rg}

b) _{( B) = (B) ⟺ rg B = rg B}

3-1-4 Lemme: Soient _{ϵ ℂ} , , _{ϵ ℂ , ϵ {1}, alors} a) ∗ _ϵ ∗ _{1}

b) rg _{≤ rg}

c) Si _{ϵ ℂ} , _{et ϵ ℂ} , _{sont inversibles, alors: ϵ {1}} d) _{et sont projecteurs.}

Mémoire de magister Page 40 Preuve: a) _{= ⟹ ( )}∗ ₌ ∗ _⟹ ∗ ∗ ∗ ₌ ∗ _⟹ ∗ _ϵ ∗ _{1}. b) rg ( _{) = rg (} )_{≤ min{rg( ), rg( )} ≤ rg( ).} c) et d) sont évidentes. e) _{Par le lemme (3-1-3) on a:} rg ( ) = rg ( ) et rg( ) = rg ( ) Par conséquent, nous obtenons,

rg _{= rg = rg .}

3-1-5 Lemme: Soient _{ϵ ℂ} , _{, ϵ {1}, alors}

a) _{= ⟺ = n}

b) _{= ⟺ = m}

Preuve:

a) ⟹) = ⟹ rg ( ) = n ⟹ rg ( ) = n; car, rg _{( ) = rg( )}

⟸) rg ( ) = n, ce qui implique que est inversible.

= ⟹ ( ) = ⟹ ( ) ( )( ) = ( ) ( ) ⟹ = .

b) De la même manière, nous pouvons prouver que _{= ⟺ = m}

3-1-6 Lemme: Soient _{ϵ ℂ} , _{, ϵ {1}, alors}

_{ϵ {1,2} ⟺ rg ( ) = rg( ).} Preuve:

⟹) = ⟹ ℛ( ) = ℛ( ) ⟹ rg ( ) = rg( ) Par le Lemme (3-1-4) _{rg ( ) = rg( )} Donc, par conséquent

Mémoire de magister Page 41 ⟸) rg( ) = rg( ) ℛ( ) ⊂ ℛ( ) ⟹ ℛ( ) = ℛ( ) D’autre part, _{= ∀ ϵ ℂ} , Alors, _{= = ⟹ = = .}

3-1-7 Définition: Soit une matrice rectangulaire, telle que _{ϵ ℂ} , . On dit que les matrices et forment la décomposition de même rang de _{si =} , _{ϵ ℂ} , _{et ϵ ℂ} ,

3-1-8 Théorème: Soit _{ϵ ℂ} , , alors il existe deux matrices _{et telles que ϵ ℂ} , _,

ϵ ℂ , et = . Preuve:

Soit _{ϵ ℂ} , _{, les colonnes de forment une base de ℛ( ), donc} rg ( )= et est la matrice unique qui vérifie l’équation A = Nous avons _{rg( ) ≤ rg( ) , donc rg( ) =}

3-1-9 Lemme: (Langenhop) Soit _{une matrice carrée d'ordre n, on suppose que}

= , ϵ ℂ , et ϵ ℂ , . _{Alors, = si et seulement si =} Preuve: Par le lemme (3-1-5) _{= = ϵ {1} , ϵ {1}.} D’autre part, _{= ⟹ = = ⟹ = ⟹ =} Maintenant, on suppose que ₌

= _{⟹ = = = .}

Mémoire de magister Page 42 a) _{= ⟺ rg ( B) = rg( ).} b) = ⟺ rg ( B) = rg(B). 3-1-11 Lemme: Si _{ϵ ℂ} , _{et = , alors} a) ∗ _{et I− sont projecteurs.} b) _{ϵ {1,2}.} c) _{= ⟺ ϵ ( ).} d) _{( ) = ℛ(I − )} e) _{(I − ) = (I − ) = 0.} f) sont {0,1} les valeurs propres de . Preuve:

a), b) et e) sont évidentes.

c) = ⟺ = ⟺ = où = ⟺ ϵ ℛ( ) d) ϵ ( ) ⟺ – = ⟺ (I − ) = ⟺ ϵ ℛ(I − )

f) _{= ⟹ = ⟹(1− ) = 0}

_{⟹ = 1 ou = 0 .} 3-1-12 Lemme: Soit _{ϵ ℂ} , _{, ℂ = ⨁ M , alors} a) _{P, = ⟺ ℛ( ) ⊂ .}

b) P, = ⟺ ( ) ⊃ M

P, est un projecteur sur de direction M dans ℂ . Preuve:

a) _{⟹) ℛ( ) = ℛ P, ⊂ ℛ P, = .}

⟸) ∀ ϵ , P, = ⟹ ∀ ϵ ℛ( ), P, = _{⟹ ∀ ϵ ℂ , P, =}

Mémoire de magister Page 43

b) _{⟹) ( ) = P , ⊃ P, = M}

_{⟸) Par le lemme (3-1-11)}

_{P , = ℛ I − P, = M} Donc _{I − P, = 0 ; car ( ) ⊃ M .}

En 1974 Ben-Israel a introduit la notion de ( )_,

a- Formule d'un projecteur

3-1-13 Théorème: Soit _ℂ =M ⨁ , alors il existe un projecteur unique noté

par _{P, , vérifiant∶}

ℛ P, = et P, = M. Preuve:

Soit _{{ , , … , } une base de et { , , … , } est une base de M,} On définit l'opérateur _P, par:

_{P, =} { , , … , }

0 { , , … , } … … … … . (∗) Il est évident que _P, est un projecteur.

On va montrer que _P, est unique (∗) ⟺ P, [U, V] = [U, 0]

[U, 0] est une matrice de la forme [ , , … , , 0 , … , 0 ] [U, V] est une matrice de la forme [ , , … , , , , … , ]

[U, V] est inversible parce que { , , … , , , , … , } est une base de ℂ Donc l'équation _{P, [U, V] = [U, 0] admet une solution unique et P , = [U, 0][U, V] .}