EP Opérateurs - Rôle des projections dans la théorie des inverses généralisés

Introduction

Soit ℋ un espace de Hilbert,

ℒ

(ℋ), un EP opérateur ou opérateur à projection égales et tel que A = A ; mais notre exposé on commencera par une définition équivalente. Dans ce chapitre on présente aussi les conditions nécessaires et suffisantes pour que le produit de deux opérateurs EP avec images fermées soit un EP opérateur avec une image fermée .

4-1 EP opérateur et représentation matricielle

4 -1-1 Définition: Soit A un opérateur linéaire de ℋ dans lui même. On dit que A est

EP opérateur linéaire où bien opérateur à projection égales si ℛ(A) = ℛ(A∗).

4-1-2 Proposition

:

[ 11] Soit

ℒ

(ℋ) ; s'il existe

ℕ

telle que ℛ(A ) = ℛ( A ), alors A existe et A

ℒ

(ℋ).

A ∶= L'inverse de Drazin de A.

4-1-3 Remarque: si =1, alors A = A#

A#∶= Groupe inverse de A

4-1-4 Proposition:[11 ] Soient A

ℒ

(ℋ) et ℋ = (A) ⨁ ℛ(A), alors la représentation

matricielle de A par rapport à la somme orthogonale ℛ(A) ⨁ (A) = ℋ est de la forme A = A_{0 0}⁰ : ℛ(A)

(A)

ℛ(A) (A) et A# = A ⁰

0 0 ^{; où}^{A =A}^{/ℛ( )}^:^{ℛ(A) ℛ(A) est bijectif.}

Mémoire de magister Page 66 A = A 0 0 0 ^: ℛ A^∗ (A) ℛ(A) A^∗ Et A = A ⁰

0 0 ^{tel que}^{A = A}^/ℛ( ^∗⁾^:^ℛ(A

∗) ℛ(A)

4-1-6 Remarque: Si A est EP opérateur linéaire on a: A = A#

4-1-7 Théorème: Soient A

ℒ

(ℋ) et ℛ(A) = ℛ(A). Si [A A , A + A ] = 0 et [AA , A + A ] = 0, alors A est EP opérateur.

Preuve:

[A A , A + A ] = 0 ⟹ (A A )(A A ) = AA , donc ℛ(A A) ⊆ ℛ(AA ) ⟺ ℛ(A∗) ⊆ ℛ(A) De la même manière, nous pouvons prouver que [AA , A + A ] = 0 ⟹ ℛ(A) ⊆ ℛ(A∗).

4-1-8 Proposition: Soit une matrice de type n_×n et rg( ) = , les propriétés suivantes sont équivalentes:

1) est EP matrice 2) = #.

3) ℂ = ( ) ⨁ ℛ( ).

4) il existe une matrice unitaire U telle que

= U _{0 0 U}⁰ ∗; où A =A_{/ℛ( )}: ℛ(A) ℛ(A) Preuve:

1) ⟹ 2) Par les définitions ( 1-7-2) et (1-9-1) on a: = #. 2) ⟹ 3) = #⟹ ℛ( ) = ℛ( #) ⟹ ℛ( ∗) = ℛ( ).

3) ⟹ 1) ℂ = ( ) ⨁ ℛ( ) = ( ) ⨁ ℛ( ∗) alors, ℛ( ) = ℛ( ∗). Nous allons prouver l'équivalence entre 3) et 4)

Mémoire de magister Page 67

Soit { , , … , } une base de ℛ( ) et { , , … , } une base de ( )

Remarquons que = { , , … , , , , … , } est une base ℂ , par le théorème de Gram-Schmidt il est possible, à partir d’une famille libre de vecteurs de ℂ , de construire une famille orthonormées qui engendre le même espace. Donc U∗ est une matrice de passage de la base à la base orthonormée.

4-1-9 Théorème: Soit une matrice de type n_×n, les propriétés suivantes sont équivalentes:

1) est EP matrice 2) [A A , A + A ] = 0 3) [AA , A + A ] = 0 4) [A A , A + ∗ ] = 0 5) [AA , A + ∗ ] = 0 6) [ A , A A ] = 0 7) [ A , AA ] = 0 Preuve:

Il est évident que 1) implique les autre propriétés. On va montrer que 2) ⟹1)

[A A , A + A ] = 0 ⇔ A A + A − A = A ⇔ A (A + I − A ) = A ⟹ ℛ(A) ⊆ ℛ(A∗) Donc; ℛ(A) = ℛ(A∗) parce que rg(A) = rg(A∗).

La preuve des 3) ⟹1), 4) ⟹1), 5) ⟹1) est semblable à celle de 2) ⟹1). Maintenant; on montre que 6) implique 1)

[ A , A A ] = 0 ⇔ A = A A ⟹ AA = (A A)(AA ) ⟹ ℛ(A A) ⊆ ℛ(AA ) Donc, ℛ(A A) = ℛ(AA ); parce que rg(A A) = rg(AA )

Mémoire de magister Page 68

D’autre part, AA et A A sont des projecteurs orthogonaux, alors AA = A A

4 2 Caractérisations des EP opérateurs

4-2-1 Lemme:[12]Soient ℋ , ℋ deux espaces de Banach B

ℒ

(ℋ ) et B

ℒ

(ℋ , ℋ ).

On définit par:

= B1 B2

0 0 ^:^ℋℋ¹2 ℋ1 ℋ2 Alors, B ^# existe si et seulement si # existe ;Dans ce cas # = B1^# (B₁^#)²B₂

0 0 ^.

4-2-2 Lemme: Soit

ℒ

(ℋ) et ℛ( ) = ℛ( ),

a) La représentation matricielle de par rapport à la somme orthogonale ℛ( ) ⨁ ( ∗) est de la forme: = 1 2 0 0 ^: ℛ( ) ∗ ℛ( ) ∗ …….(1-1) B = ^∗+ ^∗ : ℛ( ) ℛ(L) définie positive, alors:

= ¹^∗B⁻¹ 0 2^∗B⁻¹ 0 En plus, si ind( )=1 alors: est inversible et # = 1⁻¹ 1⁻² 2

0 0

b) la représentation matricielle de par rapport à la somme orthogonale ℛ( ∗) ⨁ ( ) est de la forme: = ³ 0 4 0 ^: ℛ ^∗ ( ) ℛ ^∗ ( ) …….(1-2) U = ^∗ + ^∗ : ℛ( ) ℛ( ) est définie positive, alors

Mémoire de magister Page 69

= ^U ^∗ ^U ^∗

0 0

En plus, si ind( )=1 alors,

est inversible et # = ³⁻¹ 0 4 3⁻² 0 Preuve: a) On a, ∗ = ¹^∗ 0 2^∗ 0 ^{nous obtenons} ^∗⁼ ^{B 0}0 0 ^. Donc, ( ∗)# = ( ∗) = B ⁰ 0 0 D’autre part, = ∗( ∗) = 1^∗ 0 2^∗ 0 ^B −1 0 0 0 ⁼ ¹ ∗B⁻¹ 0 2^∗B⁻¹ 0 ^.

Nous appliquons le lemme (4-2-1), on obtient l'expression de ^# ^# = 1⁻¹ ₁⁻² ₂

0 0

b) Nous appliquons les résultats de la partie précédente de la preuve à ∗ et on trouve les adjoints de ( ∗) et ( ∗)#.

Dans le théorème suivant nous considérons des opérateurs à l'image fermée et d'indice égale à 1 Ces opérateurs sont simultanément Moore-Penrose et groupe inverse, mais les deux inverses sont en général différents.

4-2-3 Théorème: Soient

ℒ

(ℋ)et ℛ( ) = ℛ( ), alors est EP opérateur si et seulement

si ind( ) = 1 et l'une des conditions suivantes est vérifiée: 1) # = # . 2) # = # . 3) ^{# ∗} = ∗ #. 4) # = # .

Mémoire de magister Page 70 5) # = # . 6) # = # 7) # = # 8) # = # 9) # = ^# 10) = # 11) = # 12) = ∗ # 13) # = 14) # = Preuve: Si ind( ) = 1, il est évident que les conditions sont équivalentes. Donc, il suffit montrer que , est un EP opérateur si et seulement si ind( ) = 1 et la condition (4) est valable. Si est un EP opérateur, alors de (4), on obtient les équations suivantes: = et = #. Réciproquement, ind( ) = 1 ⟹ = # et par la représentation (1-1) L'équation (4) est équivalente à 1⁻¹ 1⁻² 2 0 0 ⁼ ¹ −1 0 0 0 L’équation = 0 implique =0

Donc, par le lemme (4 -3-2) A est un EP opérateur.

4-3 produit des EP opérateurs

4-3-1 Lemme: Soient A et B deux opérateurs linéaires de ℋ dans lui même si A = A∗

et B = B∗, alors: (AB)∗= AB si et seulement si BA = AB. Preuve:

(AB)∗= AB ⟹ B∗A∗= AB ⟹ BA= AB. Réciproquement, (AB)∗= B∗A∗ = BA = AB.

4-3-2 Proposition: Soient A , B

ℒ

(ℋ) sont EP opérateurs tels que ℛ(A) = ℛ(A) et ℛ(B) = ℛ(B). Si BA = AB, alors AB est un EP opérateur et ℛ(AB) = ℛ(AB). Preuve:

Mémoire de magister Page 71

Nous avons, A#A = AA# et B#B = BB#

Par [10];A#, A, B#, B sont mutuellement commutatifs, et on a (AB)# = B#A# =B A et (ABB#A#)∗ = (BB#AA#)∗= (BB AA )∗ = (AA )∗(BB )∗= AA BB = AA#BB# = ABB#A# (B#A#AB)∗ = (A#AB#B)∗ = (A AB B)∗ = (B B)∗(A A)∗= B BA A = B#BA#A = B#A# AB. Exemple: Soient A = ⁰ 0 0 ^{et B =} 0 0 0 Il est évident que A et B sont EP matrices Nous avons, BA = AB = ⁰

0 0 Donc, AB est EP matrices.

4-3-3 Remarque: Soient A , B

ℒ

(ℋ), dans [8] on a démontré que si ℛ(A) , ℛ(B)

et ℛ(AB) sont fermés, alors les propriétés suivantes sont équivalentes: a) (AB) = B A .

b) ℛ(A∗AB) ⊂ ℛ(B) et ℛ(BB∗A∗) ⊂ ℛ(A∗).

4-3-4 Théorème: Soient A , B

ℒ

(ℋ) des EP opérateurs tels que ℛ(A) = ℛ(A) et ℛ(B) = ℛ(B). Si ℛ(A) = ℛ(B), alors: (AB) =B A .

Preuve:

On a ℛ(A∗) = ℛ(A) = ℛ(B) = ℛ(B∗).

ℛ(A∗AB) = A∗Aℛ(B) = A∗Aℛ(A∗) = ℛ(A∗) = ℛ(B) ℛ(BB∗A∗) = BB∗ℛ(B) = ℛ(B) = ℛ(A∗)

Donc, par la remarque (4 -3-3), on a (AB) = B A

4-3-5 Proposition: Soit est EP matrice carrée de type n ×n, alors: = = ( ∗ ) ∗

Mémoire de magister Page 72

Preuve:

On a = ( ∗ ) ∗ et = , alors: = ( ∗ ) ∗

4-3-6 Proposition: Soient , B des EP matrices de même ordre, les propriétés suivantes sont

équivalentes: 1) B est EP matrice. 2) ( B) = 0 et B ( B) = 0. 3) ( ) ⊂ ( B) et ℛ( B) ⊂ ℛ(B). 4) ( B) = ( ) + (B) et ℛ( B) = ℛ( ) ∩ ℛ(B) Preuve: 1) ⟹ 2) On a , = = 0 Par la Proposition précédente on a:

( B) = U( B)∗ = UB∗ ∗ = UB∗( )∗ = 0 ( B)∗ est EP matrice, alors: B∗ ∗= U B

B∗ ∗B = U BB = 0 ⟹ ( B)∗B =B ( B) = 0

2) ⟹ 3) ( B) = 0 et ℛ( ) = ( ), donc ( ) ⊂ ( B) B ( B) = 0 et ℛ(B) = (B ), donc ℛ( B) ⊂ ℛ(B).

3) ⟹ 4) Supposons que ( ) ⊂ ( B), on définit sur ( B) (B) dans ( ) + (B) par: + (B) = B

est un isomorphisme, donc dim( ( ) ∩ (B)) = dim ( B) − dim (B) ℂ = (B) ⨁ ℛ(B), nous déduisons que:

( ( ) ∩ ℛ(B)) ⨁ (B) ⊂ ( ) + (B) ⊂ ( B)

Mémoire de magister Page 73

Et ( ) ∩ ℛ(B)) ⨁ (B) = ( ) + (B) = ( B) Ensuite, ℛ( B) ⊂ ℛ(B) implique que (B∗) ⊂ (( B)∗)

de la même manière, nous pouvons prouver que (( B)∗) = ( ∗) + (B∗) ce que est équivalent à ℛ( B) = ℛ( ) ∩ ℛ(B).

4) ⟹ 1) ( B) = ( ) + (B) implique ℛ( B)∗) = ℛ( ∗) ∩ ℛ(B∗) ℛ( B)∗) = ℛ( ∗) ∩ ℛ(B∗) = ℛ( ) ∩ ℛ(B) = ℛ( B).

: ﺺﺨﻠﻣ

ﺤﺒﻟا اﺬھ ﻲﻓ ضﺮﻌﺘﺴﻧ

ﺚ

ﺚﯿﺣ ،ﺔﯿﻄﺨﻟا تاﺮﺛﺆﻤﻠﻟ ﺔﻤﻤﻌﻤﻟا تﺎﺑﻮﻠﻘﻤﻟا ﺔﯾﺮﻈﻧ ﺔﺳارد ﻲﻓ تﺎﻃﺎﻘﺳﻹا رود

ضﺮﻌﺑ أﺪﺒﻧ

تﺎﻃﺎﻘﺳﺈﺑ ﺔﻘﻠﻌﺘﻤﻟا ﺔﻤﻤﻌﻤﻟا تﺎﺑﻮﻠﻘﻤﻟا ضﺮﻌﺘﺴﻧ ﺎﻤﻛ ،تاﺮﺛﺆﻤﻟا هﺬﮭﻟ ﺔﯿﺒﯾﺮﻘﺘﻟاو ﺎﯿﻧﺪﻟا صاﻮﺨﻟا

رﻮﺼﻟا ةدﺪﺤﻣ

ةاﻮﻨﻟا و ة

؛ﺎﻘﺒﺴﻣ

تﺎﻃﺎﻘﺳﻹا ﺔﯾوﺎﺴﺘﻤﻟا تﺎﺑﻮﻠﻘﻤﻟا ﺔﯾﺮﻈﻧ ﺮﯿﺧﻷا ﻲﻓ ضﺮﻌﺘﺴﻧ ﺎﻤﻨﯿﺑ

.

Abstract :

We expose some topics related to the role of projectors in the theory of

generalized inverses, we begin by mentioning some minimal and approximant

properties , next we expose the theory of generalized inerses related to

projectors with predetermined image and kernel, and in the end the EP

operators are discussed.

Mémoire de magister

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