Oscillations pendulaires et de relaxation

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Oscillations pendulaires et de relaxation

M. R. Fortrat

To cite this version:

44.

OSCILLATIONS PENDULAIRES ET DE RELAXATION

Par M. R. FORTRAT.

Sommaire. 2014 Discussion de la

définition des oscillations de relaxation de van der Pol. Cette

défi-nition ne _{s’applique pas} à la _plupart des oscillations décrites sous ce _{nom, qui s’opposent} aux oscillations

pendulaires par leur caractère d’irréversibilité. Les oscillations de relaxation s’établissent dans les

systèmes qui évoluent entre deux _régimes et _passent alternativement de l’un à l’autre en décrivant un _cycle dans un sens déterminé. S’il arrive que l’organe qui crée les deux _{régimes impose} une ampli-tude déterminée aux oscillations de _relaxation, cette constance ne _peut pas être considérée comme

une règle générale.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME _12, JANVIER

_1951,

Les oscillations de relaxation ont été

décrites

_par

van der Pol en

_particulier

dans un Mémoire célèbre

paru dans l’Onde

électrique

en

_{I g3o}

[1].

Il les

_associe,

en même

_temps

_qu’il

_{les oppose} aux oscillations

sinusoïdales,

car il les définit l’une et l’autre comme

deux cas extrêmes d’un même

_{type général. Après}

avoir discuté les conclusions d’une étude

_purement

quantitative,

il décrit

_{plusieurs exemples,}

mais sans

bien

_indiquer

comment ils se rattachent à

_{l’équation}

qui

sert de

_point

de

_départ

à son étude.

Les oscillations

_pendulaires

_libres,

_qui

avaient été étudiées d’une manière

_approfondie

_{par Pierre}

Curie,

peuvent

être

_{représentées}

_par une

_équation

différentielle linéaire du deuxième ordre à coeffi-cients constants de la forme

Les trois coefficients

A, B

et C sont

_positifs.

En

Mécanique,

-A d2x

est une force

_d’inertie,

-

B dx

est

dt2 dt

une force d’amortissement

_(frottement

ou

rayon-nement)

et -Cx est une force de

_rappel

vers une

position d’équilibre

stable x = o. Cette même

équation

se

_présente

aussi en

Électricité.

On sait que les oscillations décrites par

l’équa-tion

₍₁₎

sont des

_{équations pendulaires}

amorties pourvu que B ne _{soit pas}

_trop

_grand

_par

_rapport

à AC.

Pour entretenir les

_{oscillations,}

il faut _compenser l’amortissement _par un

_{apport périodique}

_{d’énergie.}

Parmi les

_procédés

très _{variés que l’on}

_emploie,

l’un des

_plus

intéressants consiste à se servir d’une

lampe

triode dont la

_grille

est _{influencée par les} oscillations à

_entretenir,

_l’énergie

nécessaire leur étant

_apportée

_{par le} courant

_plaque.

On

_peut

entretenir ainsi non seulement des oscillations

électriques,

mais aussi des oscillations

_mécaniques

telles que les oscillations d’un

diapason

ou d’une corde.

Quand

la triode est montée en classe

A,

son rôle consiste à

_ajouter

au

_premier

membre de

l’équa-dx

tion

₍₁₎

un terme

-B dx

_qui

_{compense le} terme d’amortissement. On a

_pris

l’habitude de dire que la

triode

_ajoute

une résistance

_négative

-B à la

résis-tance

_positive

_+B

et _par

_conséquent

détruit l’amor-tissement.

Mais en fait les choses sont moins

_simples,

car il

est évidemment

_impossible

de créer une réaction

qui

compense

rigoureusement

la résistance

d’amor-tissement ;

on crée une réaction

_légèrement

_trop

grande,

de manière que

l’amplitude

des oscillations

augmente,

et c’est l’arrivée du

_{point représentatif}

dans les

_régions

où les

_{caractéristiques}

sont courbes

qui

limite

_{l’amplification}

et maintient

_{l’amplitude}

constante à

_partir

d’une certaine

_grandeur.

C’est donc la forme des

_{caractéristiques}

bien

_plus

que la

grandeur

de la réaction

qui

limite

l’amplitude.

Les

_{caractéristiques}

_jouent

un rôle

_important

dans le Mémoire de van der Pol

_auquel

nous nous

reportons

au début de cet article. Cet auteur

géné-ralise l’étude de Pierre Curie en admettant que le

terme d’amortissement‘ est moins

_simple

_{que dans}

l’équation (1),

mais que B _{y est} une fonction de x,

négative

quand x

est

_petit,

_positive

_{quand x}

est

grand.

S’il en est

ainsi,

les

_amplitudes

augmentent

quand x

est

_petit

_{parce que}

- B

est alors un

incré-2A

ment;

elles diminuent au contraire

_{quand x}

est

grand,

puisqu’alors

-

B

devient un décrément.

2A

Que

l’on

_parte

d’oscillations initiales de faible

ou de

_{grande amplitude,}

un même

régime

s’établit au bout de

_quelque

_temps

et

_persiste

indéfiniment. Pour faire une étude

_{quantitative,}

on

_peut

choisir un cas

_{particulièrement simple}

et

remplacer

_par

exemple ( 1 )

par

ou

Le terme Bx - Dx3 est _{introduit par}

_{l’organe qui}

entretient les oscillations et il se déduit de sa «

carac-téristique

» de fonctionnement.

Par un

_changement

convenable des

_variables,

y

compris

le

temps,

on amène

_{l’équation (2)}

à la forme

Van der Pol

_indique

un

_procédé

_{d’intégration}

gra-phique

de cette

_{équation, qui}

_permet

de construire

avec assez de sûreté :

n La courbe

_qui

_{représente y’}

en fonction

_{de y}

et _{que, pour}

_plus

de

facilité,

j’appellerai

désormais l’«

_image

» des oscillations. Cette courbe se

_rapproche

rapidement

d’une courbe fermée

_qui

est le

_cycle

limite

_(cycle

de Poincaré

_[2]).

20 La courbe

_{qui représente}

_y en fonction du

temps

et _{que l’on déduit}

_{graphiquement}

de

_l’image

déjà

dessinée.

_Quand

_l’image

est le

_cycle

limite,

y est une fonction

_périodique

du

_temps.

Quand s

est

_petit,

le

_cycle

limite est très voisin d’un cercle décrit par le

point représentatif

avec une

vitesse

_angulaire

constante : _{le rayon de} ce cercle

est

_B/2,

_qui

annule bien en _moyenne

_{1 - y2.}

Ce

_cycle

limite se déforme de

plus

en

plus

à mesure _que

augmente,

mais il définit

_toujours

les oscillations d’une manière très _{stricte : pour}

_chaque

valeur de 2, il y a une

_période

et une

_amplitude

déterminées.

D’autre

_part,

_{alors que les oscillations} sont encore

presque sinusoïdales

lorsque 2

=

o,1, elles n’ont

plus

cette forme

_{quand s}

= i et s’en écartent de

plus

en

_plus

au fur et à mesure _quel e

_augmente.

En examinant

_l’aspect

des

_{courbes y}

=

f(1)

quand E

est

_grand,

van der Pol a été

_frappé

de

constater

_qu’elles

_{reproduisaient}

des formes oscilla-toires

_qui

avaient

_échappé

_{jusqu’alors}

à

_l’analyse,

et il a cru

_pouvoir

ramener toutes les oscillations

au

_{type représenté}

_par

_{l’éq.uation}

03C8

étant

_{négatif quand}

_{y est}

_{petit, positif}

et croissant

quand

y est

grand.

Van der Pol se trouve ainsi

amené à définir les oscillations de relaxation _par

l’équation

(4)

où s est

_grand.

_{Il les oppose} aux oscilla-tions sinusoïdales

_qui

sont

_{représentées}

_{par la même}

équation quand 8

est

_petit.

Cette doctrine est très séduisante et elle est devenue presque

classique;

elle a fait par

_{exemple l’objet}

d’un

exposé

intéressant par Le Corbellier

_[3].

Pourtant,

lorsque

l’on examine cette classification de

_{plus près,}

on

_éprouve

un sentiment de malaise

bien traduit par cette

_phrase

du livre de

Rarl:hau-son

_{[4] :}

« Dans le

_fond,

il

_n’y

a _{pas de différence}

entre _{les deux genres (1’()scillations. Mais les}

oscilla-tions de relaxation se

_comportent

_quand

même,

pratiquement

d’une manière toute différentu ».

Parmi les oscillations que tout le monde s’accorde

à considérer comme de

relaxation,

certaines ont un

aspect

tellement

_{caractéristique,}

_{que l’on doit}

pouvoir

trouver un critère certain de

_{classification,}

traduisant une différence de nature et non _pas

seu-lement l’ordre de

_grandeur

d’un coefficient.

Nous allons examiner un certain nombre d’oscilla-tions entretenues et nous serons amenés à les classer

en deux

_{catégories : pendulaires}

_d’une

_part,

de

relaxation d’autre

_part,

les oscillations

_pendulaires

pouvant

s’écarter notablement de la forme

sinusoï-dale,

mais s’exécutant

_toujours

de

_part

et d’autre d’une

_position

_{d’équilibre.}

L’entretien

_exige

un

_apport

_{d’énergie;}

celle-ci

provient

d’une source

_qui

débite

_l’énergie

sous une

tension continue où ne se trouve aucune cause de

périodicité.

1.

_{L’expérience}

de Janet. - Nous

commen-cerons _par ces oscillations assez

compliquées,

_parce

qu’elles

illustrent bien la théorie de van der Pol :

nous _{y voyons des oscillations}

_pendulaires

non

sinusoïdales;

la source

_d’énergie

est le moteur

_qui

entraîne la

_{dynamo-série}

du

_montage

_que nous

allons décrire.

Les oscillations s’établissent dans le rotor d’une

magnéto

ou d’une

_dynamo

à excitation

indépendante,

dont l’induit est _{alimenté par} une

_dynamo

série

maintenue en rotation uniforme par le moteur

qui

l’entraîne.

Fig. 1.

La

_{caractéristique}

e =

1(i)

d’une

_{dynamo-série}

a l’allure de la courbe u3

= f(J)

dans le

fer,

elle

présente

un

_palier

de saturation. La différence de

potentiel

entre les bornes est V = e - ri. Si l’on ferme la machine sur un circuit de résistance

_R,

43

avec la droite Y - Ri.

_Signalons

enfin que la

carac-téristique

est

_symétrique

_par

_rapport

à

_l’origine

().

Ceci étant

_rappelé,

revenons à l’association de la

_{dynamo-série}

avec la

_{magnéto. Appelons}

R la résistance du rotor de la

_magnétio,

L sa

_self,

n le nombre de tours de son

_{enroulement, 6b}

le flux

magnétique

total,

m la vitesse

_angulaire,

Le

_couple

moteur n 03A6 i de la

_magnéto

n’est

_équilibré

que par le

couple

d’inertie,

donc

et,

en éliminant w,

ou

Par

_analogie

avec

_{l’équation}

_{qui représente}

des oscillations

_{électriques,}

nous

écrirons C

au lieu

de

(n03A6)2, q

au lieu

de

_{idt, v}

au lieu de V-Ri et

l’équation

devient

Comme i ==

dt

on

_peut

écrire

La

_{caractéristique v}

en fonction de i se déduit très

facilement de la

_{caractéristique}

V. Si l’on _remarque que v ressemble à

ai-bi3,

v’ ressemble à a - 3 bi2

et

₍₅₎

est du

_type

₍₃₎

et en tout cas

_{(4). L’expérience}

de Janet est bien une illustration de la théorie de

van der Pol.

Il est facile de

_comprendre

comment les oscillations

se

_produisent.

La

_magnéto

étant immobilisée et

mise en

_circuit,

le courant s’établit à une valeur I. A ce moment on libère le rotor de la

_{magnéto, qui}

est soumise au

_couple

n 03A6 I;

il démarre et accélère

sa

_rotation,

créant une force électromotrice de

_plus

en

_{plus grande.}

Le courant diminue et

_s’annule;

mais le rotor de la

_magnéto

étant

_lancé,

il continue à

tourner,

devenant

_générateur

de courant

_négatif

qu’il

envoie dans la

_{dynamo-série,}

_qui,

une fois

amorcée,

redevient

_{génératrice,}

freine le rotor de la

magnéto,

la lance en sens

_contraire,

etc. Le même processus se

_répète

avec une

_amplitude

_qui

croît

de moins en moins vite et devient stationnaire. Tout cela résulte de

_{l’équation}

_(5),

dont nous

allons effectuer

_{l’intégration}

_graphique

_{par la} méthode de Liénard

_[5].

Prenons comme variables

Sur le

_graphique

_{( fig.}

₂₎

le

_point

M d’une courhe

Fig. 2.

intégrale

a _{pour coordonnées x}

_{et y :}

donc

donc,

le

_long

de la courbe

_intégrale,

Cette relation

_exprime

_{que la courbe}

_intégrale

_qui

passe par le

point

M y est normale à la droite

BM,

autrement dit

_qu’elle

est

_tangente

à un arc de cercle

centré sur B.

Pour construire une courbe

_intégrale,

nous

_traçons

une série due

parallèles

à

Oy,

nous déterminons les

points

B

_qui

leur

_{correspondent, puis,}

de chacun de ces

points

comme centre, nous

_traçons

des arcs

de cercle

_coupant

les

_parallèles

à

_Oy.

Cela

fait,

la courbe

_intégrale

se dessine bien. On voit sur la

figure

3 comme elle évolue

rapidement

vers le

cycle

limite de Poincaré

_qui

y a été dessiné.

Remarquons

tout de suite que la

caractéris-tique v

=

1(i)

n’est pas

spécifique

du mécanisme

auquel

elle est

_liée;

elle

_dépend

_par

_exemple

de la vitesse de rotation du rotor de la

_{dynamo-série.}

La

_période

et

_{l’amplitude}

du mouvement

station-naire,

comme celle du courant

_(sur

le

_{cycle limite)}

dépendent

de cette vitesse de rotation.

ont des

_{significations}

différentes;

elles n’ont que les abscisses communes, les ordonnées ne

_{représentent}

pas la même

grandeur.

Il y a d’une

_part

la

caracté-ristique,

dont un arc limité est _parcouru

alterna-tivement dans les deux sens _{par le}

_point

représen-tatif

_qui

_{oscille pour ainsi dire de}

_part

et d’autre

Fig.3.

du

_point

0

_{qui représente}

la

_position

_{d’équilibre,}

mais

_{d’équilibre}

_instable,

car le moindre écart

s’exagère jusqu’à

ce _que les oscillations

_atteignent

leur

_amplitude

stationnaire. Au contraire l’«

_{image »}

du _mouvement, avec le

_cycle

limite

_auquel

elle

aboutit,

représente

à peu

près

la vitesse avec

_laquelle

le

_{point représentatif}

_parcourt

l’arc de

caractéris-tique.

Cette vitesse est PM. Sa connaissance

_permet

de construire

_{graphiquement}

x, donc

i,

en fonction

de t

_(fig.

3

_bis).

Fig 3 bis.

2.

_Charge

et

_décharge

d’un condensateur à travers un tube au néon. - Nous allons

examiner maintenant des oscillations que tout le monde s’accorde à considérer comme des oscillations de

relaxation : les oscillations observées dans un tube au néon monté suivant le schéma de la

_figure

4.

Le condensateur C se

_charge

à travers la résistance

R;

quand

la différence de

_potentiel

entre ses bornes

est assez

_élevée,

il se

_décharge

à travers le tube au

néon mis en série avec une résistance r,

_puis

le même processus se

_répète.

Cette

_expérience,

très souvent décrite avec des variantes

nombreuses,

a été

_précisée

_par

_Moussiegt

_[1].

Posons

v1 mesure la somme des f. é. m. _que l’on rencontre en

allant de H

_jusqu’à

B à travers la source de courant

Fig.4.

et la résistance R : elle vaut

donc

et comme

Par ailleurs le courant i et la différence de

_{potentiel v}

sont _{liés par} une relation traduite

_{graphiquement}

par la

caractéristique

du tube au néon. C’est une

caractéristique

en _{N par}

_rapport

aux variables i

et v. Elle est

_{représentée}

dans la

_figure

5 par la

courbe

OB’ABAIC,

où la

_partie

descendante AB a

été dessinée en traits

_interrompus.

Sur cette

courbe v =

1(i).

Mais,

d’autre

part, v

=

VI - ri.

45

à la fois sur la

_{caractéristique}

et sur la droite

_{v == v,-ri}

Comme il y a trois

_points

de

rencontre,

on

_pourrait

penser

qu’il

y a trois

_{régimes possibles}

_{représentés}

par chacun de ces

_points..Il

n’en est

rien,

et c’est le

_point

essentiel

_qui

a été

_signalé

_par

_Moussiegt.

En

_régime

_permanent,

on aurait

_{d’après (6) :}

Traçons

cette droite

_{qu’on appelle}

la droite de

charge.

L’un des

_points

P ne

_représente

un état

d’équilibre

que s’il se trouve sur D en même

_temps

que sur la

_{caractéristique,}

On

pourrait

discuter la

stabilité,

mais l’essentiel n’est pas

là,

car la branche descendante est

_{plus qu’instable}

_,elle

est inaccessible.

En

effet,

à

_gauche

de

_D,

à droite de

D,

Lorsqu’on

applique

la

tension,

le courant s’établit suivant OA. Tout

_près

de

A, v

atteint un

_maximum,

le

_point

_{représentatif}

ne

_peut

_plus

_monter,

_puisqu’il

lui faudrait

_quitter

la

_{caractéristique;}

il ne

_peut

_pas

descendre,

puisque

Pl ne

_peut

_pas

_décroître;

il ne

peut

pas non

_plus

rester en A

_puisque

alors

_dvl

serait

nul,

alors que v n’est pas

égal

à E -

_(R

₊

_r)i.

Il

ne reste

_qu’une

_{possibilité;}

le

_{point représentatif}

saute de A en Al. Mais

là,

il faut que v1

_décroisse;

aussitôt en effet le

_{point représentatif}

_parcourt

l’arc

AIB,

arrive à

_{peine plus}

_{loin que B} et saute de

nouveau, cette fois de B en B’. Il remonte en

A,

saute en

_A’,

_etc.,

décrivant le

_cycle

B’AA’BB’. Pour

_interpréter

cette

_opération,

nous _pouvons

faire abstraction de la branche

_AB,

_{puisqu’elle}

est

inaccessible et _{dire que la}

_{caractéristique}

se _compose

de deux arcs de courbe OA et BC

_{représentant}

deux

_régimes

différents : d’une

_part

la

_décharge

par ionisation

spontanée

et la

décharge

de Townsend

_(OA),

d’autre

_part

la

_décharge

autonome

luminescente

_(BC).

Quand

on

_applique

la

_tension,

on crée le

_premier

régime,

mais le courant i étant

_faible,

la chute de tension

_{correspondante}

dans R est faible et le condensateur se

_charge.

En A on atteint la tension

d’allumage

le tube devient

lumineux,

tandis que le courant

_prend

une bien

_{plus grande}

valeur

_qui

crée une forte chute de tension dans .R et

décharge

C. On

atteint le

_potentiel

d’extinction en

_B;

la

_décharge

autonome cesse avec la luminescence et le courant

se réduit de nouveau au courant d’ionisation

spon-tanée,

reproduisant

le même

_cycle.

En fait cette

_description

est un _peu

_trop

sché-matique ;

il est en

_particulier

_impossible

d’éviter

toute

self-induction,

mais les observations à

l’oscillo-graphe cathodique

confirment cette

_description

dans l’ensemble.

Le caractère essentiel de ces

_{oscillations,}

_{par où}

elles se

_distinguent

surtout des oscillations

pendu-laires,

est le _{passage alterné} d’un

_régime

à un

_autre,

aucun des états par

_lesquels

le

_système

_passe ne

pouvant

être un état

_{d’équilibre.}

Nous nous _{proposons de montrer que} ce caractère se retrouve dans la

_plupart

des oscillations _{que l’on}

a

_pris

l’habitude de considérer comme de relaxation :

à

_l’origine,

_{il y} a

_toujours

une source

_d’énergie

et

un _organe dans aucun

_{desquels n’apparaît}

direc-tement un caractère

_périodique;

mais

_l’organe

a

deux

_régimes

de fonctionnement et les oscillations de relaxation sont dues au _passage alternatif de

l’un à l’autre.

3. Oscillations du

_{dynatron. -}

_’Rappelons

que le

dynatron

est une triode dont la

grille

est

portée

à un

_{potentiel positif}

élevé

(30o

à

4oo

V),

la

_plaque

étant

_portée

à un

_{potentiel positif}

moins

élevé.

_Lorsqu’on

fait croître le

_potentiel

de la

_plaque,

Fig. 6.

V,

le courant

_{plaque, i,}

d’abord nul

_augmente

pro-gressivement ;

il diminue ensuite à cause de l’émission

d’électrons secondaires

_qui

sont _{absorbés par la}

grille, puis

il recommence à

_augmenter

au fur et à

mesure _{que, le}

_potentiel

V de la

_plaque

continuant à

_augmenter,

la

_plaque

réabsorbe elle-même de

plus

en

_plus

les électrons secondaires

_qu’elle

avait émis.

Fig. 7.

Le

_potentiel

V de la

_plaque

est lié au courant _par

Traçons

la droite V = E - Ri sur le même

graphique

que la

caractéristique (fig.

7).

Dans la

_région

à droite de

_D,

à

_gauche

de

_D,

Il en résulte que T’arc AB est

inaccessible,

les autres arcs

étant forcément _parcourus dans le sens des flèches. Il

s’établit des oscillations suivant le

_cycle

AA’BB’A.

Le

_dynatron

fonctionne alternativement sous deux

régimes :

le

_régime

OA,

courant

direct,

le

_{régime BA’C,}

courant direct avec émission secondaire. Lors du

fonctionnement,

on _{passe alternativement d’un}

régime

à

_l’autre,

le

_régime

transitoire AB étant exclu.

Les oscillations du

_{dynatron correspondent}

à celles du tube au néon selon la

_règle

de dualité

_qui

fait

_correspondre

deux

_phénomènes

_par

_échange

simultané des

_potentiels

et des

_intensités,

des selfs

et des

_capacités;

des résistances et des conductances.

Dans les deux

_exemples

_que nous venons

d’exa-miner,

nous avons trouvé une

_{caractéristique}

en N

analogue

à la

_{caractéristique}

en S de la

dynamo-série du

_{premier exemple.}

L’existence de cette

caractéristique n’y

a nullement la même

_importance

puisque

les branches à

_pente

_positive

sont seules effectives. Il _{semble que l’on ait accordé à} cette

caractéristique

un rôle

_qu’elle

n’a pas dans les

oscillations de relaxation et

_qu’il

soit

_impossible

de trouver une

_{généralisation qui}

ramènerait toutes

les oscillations à un modèle

_unique.

C’est ce _que nous allons essayer de montrer avec les

_exemples

qui

suivent.

4. Le culbuteur. - Nous allons examiner

maintenant,

dans le domaine de la

_mécanique,

deux oscillations très

_simples

_{que l’on considère}

habituellement comme les oscillations de relaxation les

_{plus typiques :}

le culbuteur et le vase de tantale.

Nous _supposerons le culbuteur _{constitue par} un

fléau AC mobile autour de l’axe 0 et

_pouvant

osciller entre deux

_positions

extrêmes définies _par les

_angles

oc et

[3,

et déterminées par les butoirs

_B

et

_{B,. Le}

fléau

_porte

d’un côté un vase V

_qui

_peut

recevoir de

l’eau,

dont le centre de

_gravité

reste

sur la verticale de

A,

de l’autre côté un

_contrepoids.

Le centre de

_gravité

du fléau reste à

_gauche

de la verticale et au-dessus de l’horizontale de l’axe 0.

Quand

le vase est

_vide,

le culbuteur

_appuie

contre

le butoir

_B1;

il reste

_appuyé

contre ce

_butoir,

_même

quand

le vase contient de

_l’eau,

_aussi

_longtemps

que la masse d’eau est assez

_faible,

à côté de celle du

_fléau,

_{pour laisser subsister}

_{l’inégalité}

Le culbuteur bascule dès _que

_mgL

cos u devient

légèrement supérieur

à

_MgI

cos

_(03B1

₊

_0).

Il bascule alors

_{complètement,}

le fléau allant buter contre

_B2

tandis que le vase V se vide

_rapidement.

_{Dès que}

le culbuteur bascule de nouveau en sens contraire. Ainsi le culbuteur ne

_peut

se trouver immobile que dans deux

positions

seulement :

10 Il bute

_B,

et se trouve soumis au

_couple

tant _que

t1 >

o. Dès que

_T1

_{o, il culbute et vient}

s’appuyér

contre

_B2

avec le

_couple

aussi

_longtemps

_que

l’?

est

_négatif.

Il culbute

contre

_B,

_{dès que}

T2

devient

_positif.

Représentons

les

_couples

en fonction de m, le

point représentatif

décrit

A’B,

saute en

C,

décrit

CD,

saute en

_{A’, etc.,}

décrivant le

_cycle

A’BCD. Ce

gra-phique

n’a rien de commun avec une

_{caractéristique}

au sens où nous l’entendons dans les

_figures

i et 2.

Du reste on ne

_peut

_pas

_représenter

le fonctionnement

du culbuteur par une

_équation

du

_type

_{(4), puisqu’il}

n’existe pas de force de

rappel

pour introduire le

terme _{y. La même remarque}

_s’applique

à la

_plupart

des oscillations _{de relaxation que} nous allons décrire.

3. Le vase de tantale. -- Il esL alimenté par

un débit constant

_{D1 puis}

_{vidé par} un

siphon

avec un débit

_D2’

la différence des

_pressions

entre les deux extrémités du

_siphon

Représentons graphiquement

le débit du

_siphon

47

à

1,

ce débit est nul. Au moment où h devient

_égal

à

l,

le

_siphon

_s’amorce,

le débit

_prend

sa valeur de

régime

qui

persiste

tant _{que le niveau libre du}

liquide

est au-dessus de h = o. Il

_augmente

un instant

pendant

que le

siphon

se

_vide,

si le tube est assez

étroit pour que l’eau de la colonne ascendante soit

entraînée,

puis

s’annule.

Ici encore, le

point représentatif

du

régime

du

siphon

décrit un

_cycle

OABCDO en

_passant,

_presque en _sautant, d’un

_régime

à l’autre.

6. Tourbillons

_{périodiques.}

--

Les

oscillations

auxquelles

nous _pensons sont d’abord celles des tourbillons alternés ou allées de tourbillons décrits par Bénard et étudiés en

_particulier

_{par Karman.}

Tout le monde s’accorde à les classer

_parmi

les oscillations de

relaxation,

sans raison bien

_précise,

probablement

avec ce seul sentiment que toute

oscillation

_qui

n’est pas sinusoïdale est de relaxation.

Pour

_simplifier,

nous ne considérerons pas les

allées de tourbillons derrière un obstacle

_cylindrique,

mais les tourbillons annulaires

_qui

se détachent

périodiquement

derrière un obstacle

_sphérique,

immergé

dans un fluide en écoulement

_régulier.

Quand

le fluide coule

lentement,

le

_régime

est

laminaire et la

_poussée

sur l’obstacle est due

uni-quement

à la viscosité : si l’on en fait

abstraction,

la face arrière

reçoit

la même

_poussée

_{que la face} antérieure.

Si la vitesse de l’écoulement

augmente,

les filets fluides se détachent derrière l’obstacle et il se forme

un tourbillon annulaire stable d’autant

_plus

intense que l’écoulement est

plus rapide.

C’est le

régime

turbulent à

_sillage

en coeur. Ce tourbillon est soumis à deux forces : une _{force exercée par le}

_liquide

en

mouvement et la

_poussée

de l’obstacle. Tant _que le tourbillon ne

bouge

_{pas, c’est que les deux forces} se font

_équilibre.

Mais

_quand

la vitesse du fluide devient assez

_grande,

le fluide entraîne le

_tourbillon.

Un tourbillon annulaire se détache

_{périodiquement}

derrière l’obstacle.

On

_peut

dire

_qu’il

se détache

_quand

la force

_qui

s’applique

contre l’obstacle devient

_négative.

Le tourbillon reste dès lors soumis à une force constante

puisque

son mouvement est

_uniforme,

une

partie

seulement de cette force

_prenant

son

_{point d’appui}

sur l’obstacle.

L’analyse

détaillée serait sans doute très

difpl-cile,

mais il suffit des

_{renseignements}

_que

_peut

fournir

_l’analyse

dimensionnelle. Il semble que la force avec

_laquelle

le tourbillon

_agit

sur l’obstacle

ne

_dépende

_{que de} son intensité

_I,

de sa distance D à

l’obstacle,

de la densité du fluide et de sa vitesse d’écoulement. La force

_dépendrait

alors de I et de D par le

quotient

jr

et il y aurait deux

régimes :

10 le tourbillon se forme en restant collé derrière

l’obstacle,

7 augmente,

D variant peu.

2° Le tourbillon se

_décolle,

I restant constant et D

_augmente,

tandis _{que le tourbillon}

_{s’éloigne.}

Cela donne naissance au

_cycle

OABCO décrit

dans le sens des flèches.

_Chaque

_tourbillon

donne naissance à un

_cycle

_identique

et la force exercée

sur l’obstacle varie

périodiquement.

Un nouveau

tourbillon naît aussitôt que le

précédent

s’est décollé et avant

_qu’il

ait cessé de faire sentir son

action;

cela ne modifie pas le

_cycle

OABCO,

mais

chaque cycle

est

_attaqué

avant _{que le}

_précédent

soit achevé : il faut en tenir

_compte

si l’on veut

évaluer la force exercée sur l’obstacle en fonction du

_temps.

Sans connaître de loi

_quantitative

sur

cette

force,

on

_peut

_penser

qu’elle

a, en fonction

du

_temps,

l’allure de la courbe ABC

_(fig.

12

bis).

Le

_cycle

suivant A’B’C’ commence _{aussitôt que le}

tourbillon se décolle et la résultante est la courbe en

Lraits gras.

une

_grande

flamme éclairante de _gaz, on _y

voit

les

volutes _{formées par} ces tourbillons annulaires. Pour

les voir avec une flamme de

bougie,

il est bon de

projeter

cette flamme en ombre chinoise sur un

écran blanc avec une source de lumière presque

ponctuelle

et

_brillante,

comme un

_petit

cratère

positif

d’arc au charbon. Si

l’atmosphère

environ-nante est très

_calme,

on voit très bien les tourbillons se former et se détacher tour à tour. Leur sens

est

_opposé

à celui des tourbillons derrière un obstacle

et ils

_produisent

une succion de la flamme.

Quand

les tourbillons se forment un _peu

_{trop bas,}

on voit la flamme vaciller : le vacillement d’une flamme de

bougie

est un

_exemple

d’oscillations de relaxation.

Pour une connaissance

plus précise

des oscillations

de ces

_tourbillons,

il faudrait connaître

_plus

de choses sur eux. Karman et Rubach

_[7]

ont établi que, dans les allées de tourbillons

alternés,

le pro-duit UT de la vitesse d’écoulement par la

période

de décollement des tourbillons est constant. Cela

amène _{à penser que les} tourbillons se détachent

toujours

lorsqu’ils

atteignent

la même intensité

et _{inciterait à penser que le}

_cycle

OABCO de la

figure

12 serait

_toujours

le

même,

_quelle

_{que soit}

la vitesse du fluide et ne

_dépendrait

_{que de la forme}

de

_{l’obstacle,}

de son _{rayon s’il} est

_sphérique.

Les oscillations auraient une

_amplitude

constante et

une

_période

variable.

En

_résumé,

_{il semble que les} oscillations des

tour-billons rentrent bien dans la même

_catégorie

_que celles

des

_exemples

4 et

_5,

_{parce que l’on y} rencontre

un

_cycle

invariable décrit par alternance de deux

régimes,

avec une vitesse

_qui

_dépend

de la vitesse

d’écoulement.

L’exemple

suivant est

_peut-être

encore moins

simple;

il est très

instructif

et montre

_qu’on

n’est pas

plus

fondé à opposer les oscillations sinusoïdales

aux oscillations de relaxation

_qu’aux

oscillations

pendulaires

auto-entretenues.

7. Vibrations d’une corde frottée par un

archet. -- Pour

simplifier

le

_{raisonnement,}

nous

remplacerons

la corde par une corde idéale dont la

masse serait concentrée en son

_centre,

où l’archet frotte. _{On sait que l’archet doit être}

_{colophané :}

la

_colophane

a _{certainement pour but}

_{d’augmenter}

le coefficient

de frottement,

mais nous

_admettrons,

- cela

paraît

nécessaire -

que le coefficient de frottement au _repos est nettement

_supérieur

au

frottement de mouvement.

Appelons

u la vitesse de

_{l’archet, v}

la vitesse de la corde au.

_point

frotté. Si u était très

_grand,

l’archet

glisserait

sans cesse sur la corde et ne modifierait

pas son

_mouvement,

_{même pour l’amortir. En}

effet,

le mouvement sans frottement solide étant

défini par

cette

_équation

devient,

si l’on

_ajoute

une force de frottement constante

_f,

Le frottement solide

_{remplace x}

_par

x2013 f

sans

k influer ni sur

dx, ni

sur

d2x

·

lnfl uer nI sur

dt ni sur dt.

Si l’on

_représente,

les vibrations de la corde dans

un

_diagramme

en

_prenant

comme coordonnées

k- x

na

ou (,j x et v =

dx,

le

point représentatif

du mouvement

dt amorti est la

_spirale

le centre étant le

_point

de coordonnées v = o et ú)

-f

k*

Si maintenant la vitesse de l’archet devient inférieure à la vitesse maximum de la

corde,

celle-ci adhère à l’archet

_quand

sa vitesse est u

_{(point A)}

et l’archet la conduit

_jusqu’au

point

B,

où la force de frottement n’est

_plus

_{suffisante pour entraîner} la

corde;

celle-ci se libère et le

point

représentatif

49

L’archet la saisit de nouveau

_lorsque

le

_point

arrive en

_A,

etc.

La corde oscille avec une

_période

nettement

supé-rieure à sa

_période

_{propre :} en

_effet,

l’archet la conduit

de

_{l’élongation}

A à

_{l’élongation}

B avec une

vitesse

u

toujours

inférieure à la vitesse avec

_laquelle

la

corde, libre,

irait de

_{l’élongation}

de A à celle de

B i .

Pour modifier la

_période

_{propre le moins}

_possible

tout en entretenant les vibrations de la

_corde,

il, faut tirer l’archet

_plus

vite

_{(u’ > u)}

tout en

appuyant

moins

_fort,

de

façon

à entraîner la corde du

_point

A’ au

_point

Br. Le mouvement réel diffère alors _{extrêmement peu d’un} mouvement

_sinusoïdal,

et il serait difficile de faire

_apparaître

la différence dans un

_graphique

_{représentant x}

en fonction de

temps.

Toutes ces considérations

_{s’appliquent}

à une

corde réelle dont la masse est

_répartie

uniformément

sur toute sa

_longueur.

Il faut faire intervenir la

position

du

_point

frotté sur la corde.

_L’exposé

sortirait du cadre de cette discussion et

_n’y

_ajouterait

rien.

Pour nous

_résumer,

nous constatons _{que deux}

régimes

se succèdent au cours d’une

_{période :}

l’un

d’eux,

représenté

par la droite AB ou

_A’B’,

_pendant

lequel

la corde adhère à

l’archet, l’autre,

représenté

par l’arc de

spirale

BCA ou

_B’CA’,

_pendant

_lequel

la corde oscille librement. Cette constation nous

amène à conclure que

si,

en toute

_rigueur,

ces

oscilla-tions sont bien des oscillations de

_relaxation,

elles

peuvent

néanmoins être extrêmement voisines d’oscil-lations

sinusoïdales,

si l’on choisit convenablement les conditions du frottement de l’archet. Le violo-niste

_{s’attache justement}

à faire dominer le

_régime

sinusoïdal en réduisant autant

_qu’il

le

_peut

le

_régime

d’entraînement _par l’archet. Il devient _presque

légitime

de

_parler

d’oscillations

_pendulaires

_simples

non amorties.

Il ne faut _{pas opposer les oscillations sinusoïdales}

aux oscillations de

relaxation,

ce dernier

_exemple

montrant _{que des oscillations de relaxation}

_peuvent

avoir un caractère sinusoïdal aussi

_marqué

_que des

oscillations

_pendulaires

entretenues.

Conclusion. - On

pourrait

énumérer encore

beaucoup

d’autres oscillations de relaxation.

Signa-lons les machines à valve ou à soupape,

_qui,

sans

cet

_accessoire,

auraient un mouvement

_pendulaire

d’aller et retour et où la valve crée un

_régime

nouveau

et une sorte d’irréversibilité en substituant le parcours

d’un

_cycle

à un aller et retour _{par la même voie :}

c’est le cas des _pompes. C’est aussi celui de la machine

à _{vapeur à}

_piston,

où le

_cycle

_peut

faire

succéder

plus

de deux

_régimes,

_par

_exemple

le

_cycle

de Carnot fait se succéder

_quatre

_régimes.

DÉFINITIONS. - Ces

exemples

conduisent à proposer les définitions suivantes :

A. Oscillations

_pendulaires

libres. --- Ce

sont les oscillations bien connues _{définies par}

_{l’équation}

avec des coefficients

_positifs

_constants,

h étant assez

petit.

B. Oscillations

_pendulaires

auto-entretenues. - Ce

sont les oscillations

_{représentées}

_par

_{l’équation}

de van der Pol :

avec les conditions h > o,

f(x)

=-I

_{quand x}

= _o,

f(x)

o

_{quand x}

est assez

_{petit, f(x)}

> o

_{quand x}

est

_grand.

Les oscillations

_pendulaires

se

_produisent

autour

d’un état

_{d’équilibre x}

= o

qui agit

comme centre d’attraction avec la force 2014kx : c’est un balancement

comparable

à celui du

_pendule

_mais,

avec deux

différences

_{importantes :}

I° La

_{position x}

= o est

instable,

car dès que le

système

prend

un

_léger

_mouvement,

la force

2014hf(x)dx/dt

l’exagère jusqu’à

ce _que,

f(x)

devenant

_positif,

la

force

_2014hf(x)

dx/dt

devienne une force

_{d’amortissement,}

avec un sens

_opposé

à celui

de dx/dt

.

2° Les oscillations stationnaires ne sont _pas

sinu-soïdales

_quand

h est

_grand.

C. Oscillations de relaxation. - Ce terme

s’applique

aux oscillations d’un

_{système qui}

évolue entre

deux

_régimes

distincts et _{passe alternativement}

de l’un à

_l’autre,

souvent _par sauts et sans _passer

par un état intermédiaire

_qui

serait un état

d’équi-libre.

Si l’on

_accepte

ces

_{définitions,}

on ne

_peut

_pas

admettre,

comme on le lit

_quelquefois,

_{que les} oscillations de relaxation ont une

_amplitude

déter-minée et une

_fréquence

_arbitraire,

_{tandis que les}

oscillations

_pendulaires

ont une

_fréquence

déter-minée et une

_amplitude

arbitraire.

Les oscillations

_pendulaires

_simples

libres ont en

effet une

période

déterminée et une

_amplitude

arbitraire et cela reste _{à peu}

_près

vrai

_quand

il existe un faible amortissement. Mais dès

qu’on

fait

_agir

une

_énergie

extérieure

_qui

_compense

l’amor-tissement,

les oscillations

stationnaires,

représentées

par le

cycle

limite de

Poincaré,

ont une

période

et une

_amplitude

déterminées. La résonnance est un cas très intéressant où le

_cycle

limite est un cercle parcouru par le

point représentatif

avec une vitesse

angulaire

constante : les oscillations sont

50

étudiées en

_premier

lieu et

_qui

sont les

_types

les

plus

habituels,

l’amplitude

est constante tandis que la

_{fréquence dépend}

de l’alimentation

_(tension

élec-trique

ou

débit

liquide).

Par

contre,

il n’est pas

question

de constance de

_{l’amplitude}

dans la corde frottée. On

_pourrait

concevoir des doutes sur la

légitimité

de cette classification si l’on ne trouvait

pas d’autres

exemples

d’oscillations à

amplitude

variable.

Les

_premiers

_exemples,

choisis

_uniquement

parce

qu’ils

sont les

_plus

habituels et en tout cas très

caractéristiques,

peuvent

paraître

conçus pour réa-liser une

amplitude

invariable. On

peut

faire

dispa-raître cette invariance par une

_légère

complication

supplémentaire.

Prenons par

exemple

le vase de tantale et

modi-fions-le de

_{façon qu’il}

s’amorce

Fig. 14.

par un autre

procédé

_que l’affleu-rement du

_liquide

au

raccorde-ment des deux branches. A cet effet le tube du

_siphon

est

_percé

en C d’un orifice assez _{étroit pour} ne _pas

_gêner

le fonctionnement

du

_siphon.

La branche

_longue

est

obturée en bas par un bouchon B

tenu au bout d’un levier mobile

autour d’un axe horizontal 0 et

appuyé

contre le _{tube par} un

contrepoids

P. Le tube DB

s’em-plit

par l’orifice

C,

avec un débit

proportionnel

à la hauteur du niveau libre au-dessus de C

jus-qu’à

ce aue l’eau atteigne une a

hauteur suffisante au-dessus de B _{pour faire basculer}

le levier et amorcer le

_siphon.

Le _{calcul n’a pas}

_grand

intérêt,

il

confirme,

ce

que l’on

prévoit

sans

_lui,

_{que, dans} ce

_dispositif,

l’amplitude

varie avec le débit

_qui

alimente le vase

de tantale : elle

_augmente

_quand

ce débit

_augmente;

la

_fréquence

est bien

_plus

constante _que

_{l’amplitude}

si le réservoir a une

_grande

section.

Cependant

les oscillations restent du même

_type,

et cet

_exemple

_{suffit à prouver, à}

_l’appui

de ce _que

montrait

_déjà

la corde

frottée,

_{qu’en général,}

dans les oscillations de

_relaxation,

_{l’amplitude,}

comme

la

_période,

_dépendent

de toutes les circonstances du fonctionnement du

_système

oscillant.

COUPLAGE. - Nous

terminerons par une brève considération sur le

_couplage

d’un

_système

à oscilla-tions de relaxation avec un

_système

à oscillations

pendulaires.

Partant de cette _{idée que la}

_période

des oscillations de relaxation est mal

_{déterminée,}

on dit souvent _{que le}

_{couplage ajuste}

la

_période

du

système

à relaxation sur celle du

_{système pendulaire.}

L’adaptation

n’est pas à sens

_unique

et elle

dépend

du

_{problème posé.}

Considérons _par

_exemple

le sifflement du vent sur les fils

_{télégraphiques.}

Il est dû aux vibrations du fil entretenues par les

tourbillons alternés que le fil provoque dans l’air

en écoulement uniforme. Le

_système

à oscillations

harmoniques

est

_couplé

avec un

_système

à oscillations de relaxations. Le son fondamental de cette « _corde

vibrante » _{est très grave,} mais

_parmi

_ses

harmoniques

de _rang

_élevé,

dont les

_fréquences

sont relativement

très

_voisines,

c’est celui dont la

_période

est la

_plus

voisine de l’oscillation de relaxation

_qui

est excité presque seul. Sans doute

réagit-il

sur le courant

d’air pour lui

imposer

sa _propre

_fréquence;

en

effet,

ces tourbillons constituent un

_système

assez

_labile,

très sensible à une faible variation de

_pression

et _par

_conséquent

très

_adaptable

à une influence

extérieure.

Cette accommodation est certainement encore

plus marquée

dans un

_tuyau

à embouchure de flûte. Les vibrations de l’air du

_tuyau

sont excitées

et entretenues _{par les tourbillons alternés que le}

souffle provoque sur l’embouchure du

_tuyau.

Elles commandent à leur tour le décollement des

tour-billons

_qui

les entretiennent.

Que

se

_{passe-t-il quand}

des

_systèmes

à oscillation de relaxation

_{plus rigides}

sont

_couplés

à des

_sytèmes

à oscillations

_{pendulaires ?}

Il ne semble pas que le

problème

ait été étudié

_{systématiquement.}

On s’est arrêté

_plutôt

aux

_systèmes

à relaxation

ali-mentés _par

_impulsion

et constituant des

démulti-plicateurs

de

_fréquence.

Les

_exemples

traités ont été

_{schématisés;}

dans chacun

_d’eux,

la réalité

_{ajoute plus}

ou moins de

complications,

mais seulement dans le

_détail;

elle laisse subsister les

_principaux

caractères _par

lesquels

nous avons

_essayé

_{de bien marquer la}

différence entre les deux

_types

d’oscillations auto-entretenues.

Manuscrit reçu le 12 _{juillet 1950.}

BIBLIOGRAPHIE. [1] Oscillations sinusoïdales et de relaxation. Onde _électrique,

I930, 9, 245 à 256, 293 et 3I2. [2] ANDRONOW A. - Les

cycles limites de Poincaré et la

théorie des oscillations auto-entretenues. C. R. Acad.

Sc., I929, 189, 559.

[3] Les systèmes auto-entretenus et les oscillations de relaxa-tion. Conférences d’actualités scientifiques et indus-trielles, 27, Hermann, Paris, I93I.

[4] Les tubes à vide et leurs applications (traduction LABIN) 3, 9I.

[5] Étude des oscillations entretenues. Rev. gén.

Électr.,

I928, 90I-946.