•
OSCILLATIONS FOCEES :
1)
OSCILLATEUR MECANIQUE FORCE
m + h + k x = Fe
Equation différentielle en x :
La solution de cette équation est : x(t) = xm sin (ωt + 𝜑𝜑Rx
On associe à chaque terme de l’équation un vecteur de Fresnel : )
Kx [KXm ; 𝜑𝜑Rx
h
]
[hω Xm ; 𝜑𝜑Rx
m
+𝜋𝜋/2]
[mω2 Xm ; F
𝜑𝜑Rx+ 𝜋𝜋]
e(t) [Fm ; 𝜑𝜑Re
]
CONSTRUCTION de FRESNEL : CONSTRUCTION de FRESNEL :
1/C > Lω2 ω < ω0
0< 𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Rq
1/C < Lω
<𝜋𝜋2 0<Δt<T/4
2
ω > ω0
𝜋𝜋
2< 𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Rq
1/C = Lω
<
π
T/4<Δt <T/2
2
ω =ω0
𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Rq=𝜋𝜋2 Δt = T/4
u(t) q(t)
tg(𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Rq
)
>0
u(t) q(t)
tg(𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Rq ) <
0
u(t) q(t)
tg(𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Rq )
∞
Xm= si ω=ω0 Xm=Fm
tg ( 𝜑𝜑Re
/hω - 𝜑𝜑Rx) =h ω/K- m ω
• Resonance d’elongation
2
Xm est maximale ωr2= ω02- h2/2m Avec h<h
2
limite= m ω K >mω
0√2
ω < ω
2 0
0< 𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rx<𝜋𝜋2 0<Δt<T/4
K< mω ω > ω
2 0
𝜋𝜋
2 < 𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rx< π T/4<Δt <T/2
K =mω
ω = ω
2 0
𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rx=𝜋𝜋2 Δt = T/4
Fe(t) x(t)
tg(𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rx
) > 0
Fe(t) x(t)
tg(𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rx ) < 0
Fe(t) x(t)
tg(𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rx )
∞ d2x
dt2 dx dt
Kxm
hωxm
mω2xm
Fm
Kxm
hωxm
mω2xm
Fm
Kxm
Fm
mω2xm
hωxm
Fe(t) est toujours en avance de phase sur x(t)
(1/C)qm
Rωqm
Lω2qm
Um Rωqm Um
Lω2qm
(1/C)qm
u(t) est toujours en avance de phase sur q(t)
Rωqm
Um Lω2qm
(1/C)qm
d2x dt2 dx dt
Fm
√h2ω2 + (k – mω2)2
OSCILLATEUR ELECTRIQUE FORCE
Equation différentielle en q :
L + R + q = ue
La solution de cette équation est : q(t)= Qm sin (ωt + 𝜑𝜑q)
On associe a chaque terme de l’équation un vecteur de Fresnel : q/C [(1/C).Qm ; 𝜑𝜑q]
R [R ω Qm ; 𝜑𝜑q+ π/2]
L [L ω2 Qm ; 𝜑𝜑q+ π]
Ue(t) [Um ; 𝜑𝜑u]
d2q dt2
dq
dt 1
C
Qm= si ω=ω0 Qm=Um/Rω tg ( 𝜑𝜑u- 𝜑𝜑q) =R ω/(1/C) – Lω2
• Resonance de charge.
Qm est maximale ωr2= ω02- R2/2L2 Avec R<R limite= L ω0√2
Um
√R2ω2 + [(1/C) – Lω2]2 dq
ddt2q dt2
1
m + hV + K ∫Vdt =F Equation différentielle en V
La solution de cette équation est
e
V(t) = Vmsin (ωt + 𝜑𝜑Rv
On associe à chaque terme de l’équation un vecteur de Fresnel : )
hV [hVm; 𝜑𝜑Rv
m [mωV ]
m ; 𝜑𝜑Rv K ∫Vdt
+𝜋𝜋/2]
[(K/ω)Vm ; 𝜑𝜑Rv
F
- 𝜋𝜋/2]
e(t) [Fm, 𝜑𝜑Re
]
CONSTRUCTION de FRESNEL : CONSTRUCTION de FRESNEL : 1/Cω < Lω
ω > ω0
0< 𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Ri u(t) est en avance de phase sur i(t).
<𝜋𝜋2
1/Cω > mω ω < ω0
- 𝜋𝜋
2< 𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Ri u(t) est en retard de phase sur i(t).
< 0
1/Cω = Lω ω = ω0
𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Ri
u(t) est en phase avec i(t).
= 0
u(t) i(t)
i(t) u(t) u(t) i(t) K/ω < mω
ω > ω0
0< 𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rv F(t) est en avance de phase sur v(t).
<𝜋𝜋2
K/ω > mω ω < ω0
- 𝜋𝜋
2< 𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rv F(t) est en retard de phase sur v(t).
< 0
K/ω =mω
ω =ω0
𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rv F(t) est en phase avec v(t).
= 0
Fe(t) v(t)
v(t) Fe(t) Fe(t) v(t)
𝜑𝜑u- 𝜑𝜑q= f(ω) 𝜑𝜑u- 𝜑𝜑q
ω0 ω π/2
π Qm=f(ω)
ωr ω0 ω Qm
CUm
Xm=f(ω)
Fm
K
ωr ω0 ω Xm
𝜑𝜑e- 𝜑𝜑x= f(ω)
𝜑𝜑e- 𝜑𝜑x
ω0 ω π/2
π
dV dt
dV dt
Equation différentielle en i :
L + R i + 1/C ∫idt = ue la solution de cette équation est : i(t)=Imsin (ωt + 𝜑𝜑i)
On associe à chaque terme de l’équation un vecteur de Fresnel : Ri [RIm ; 𝜑𝜑i]
L [Lω Im ; 𝜑𝜑i+ π/2]
(1/C)∫ idt [(1/Cω)Im ; 𝜑𝜑i- π/2]
ue(t) [Um ; 𝜑𝜑e]
di dt
di dt
(K/ω)V m
hVm
mωVm
Fm
mωVm
mωVm
(K/ω)V m
(K/ω)V m
Fm
Fm
hVm
hVm
(1/Cω)I m
RIm
LωIm
Um RIm
(1/Cω)I m
LωIm
Um
Um
LωIm
(1/Cω)I m
RIm
2
Vm=
tg ( 𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rx) =
Propriétés de la résonance de vitesse Propriétés de la résonance d’intensité
*Vm est maximale. *Im
*K/ω = mω ω = ω
est maximale.
0. *1/Cω = Lω ω = ω0
* F
.
e(t) et v(t) sont en phase. * ue
* F
(t) et i(t) sont en phase.
e(t) est quadrature avance de phase sur x(t). *ue
*Le facteur de qualité : Q = K/(hω
(t) est quadrature avance de phase sur q(t).
0) = m ω0/h *Le facteur de qualité : Q = 1/(Cω0) = Lω0 Etude Energétique Etude Energétique
/h
*Em= ½ Kx2 + ½ mv2. *E= (1/2C) q2 + (1/2)Li2
* = F
.
ev – hv2. * = uei – Ri2
Puissance moyenne. Puissance moyenne.
.
*Pm= cos(𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rv) *Pm= cos(𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Ri Or F
)
m= ZVm et cos(𝜑𝜑Re- 𝜑𝜑Rv)=h/Z. Or Um= ZIm et cos(𝜑𝜑Ru- 𝜑𝜑Ri Soit donc : P
)=R/Z.
m=½ hVm2
Soit donc : Pm= ½ RIm
Fm
2
√h2+ [(k/ω) – mω)]2
Im=
tg ( 𝜑𝜑u- 𝜑𝜑i) = Um
√R2tot+ [(1/Cω) – Lω]2
K/ω – mω h
[(1/C ω) – Lω] Rtot
Vm=f(ω)
ωr = ω0 Fm
h
ω Vm
Im=f(ω)
0 ωr = ω0 Um
Rtot
ω Im
𝜑𝜑e- 𝜑𝜑v = f(ω)
𝜑𝜑e- 𝜑𝜑v
0 π/2 - π/2
ω0 ω
Z= f(ω)
0 ω ω0
Z= f(ω)
0 ω ω0 h
Rtot 𝜑𝜑u- 𝜑𝜑i = f(ω)
𝜑𝜑u- 𝜑𝜑i
0 π/2 - π/2
ω0 ω
tg(𝜑𝜑e- 𝜑𝜑v)= f(ω)
tg(𝜑𝜑e- 𝜑𝜑v)
0 ω0 ω
tg(𝜑𝜑u- 𝜑𝜑i)= f(ω)
tg(𝜑𝜑u- 𝜑𝜑i)
0 ω0 ω
dEm
dt
FmVm
2 dEm
dt
dE dt
FmVm
2
UmIm
2
3
