TP2 : circuits R, L,C : courbes transitoires des systèmes d’ordre 1 et 2 circuits R,L, C en oscillations forcées

(1)

courbes transitoires des systèmes d’ordre 1 et 2 circuits R,L, C en oscillations forcées

Objectifs (connaissances théoriques : TD1, TD5)

A l'issue de cette séance, l'étudiant devra être capable de :

 Comprendre ce qu’est une impédance (TD1),

 Mesurer le module et l’argument d’une impédance (TD1),

 Retrouver ces valeurs à partir de calculs théoriques (TD1),

 Tracer la réponse à un échelon d’un système d’ordre 1 : mesurer son gain et sa constante de temps (TD5),

 Comprendre la résolution d’une équation différentielle d’ordre 1 (TD5),

 Mesurer les constantes caractéristiques d’un système d’ordre 1 (TD5)

Préparation

Soient les chronogrammes ci – dessous de signaux mesurés à l’oscilloscope :

Pour la voie 1, trouver l’amplitude V_1MAX et la fréquence f1 du signal.

V_1max=1.8*1v=1.8v

Pour la voie 2, trouver l’amplitude V_2MAX et la fréquence f₂du signal.

V_2max=2.2*0.5v=1.1v

Evaluer le décalage temporel tentre les 2 signaux.

t=0.6*25 us= 15 us

Modéliser ces signaux par 2 équations dans lesquelles doivent apparaître V_1MAX, f₁, V_2MAX, f₂ et t. V₁(t)=V_1max Sin(2f1t+1) avec 1=0

V₂(t)=V_2max Sin(2f2t+2)= V_2max Sin(2f2(t+t)) avec =2-1=2=w*t

(2)

1) Oscillations forcées : impédances

1.1) Mesure d’impédance par méthode Voltmètre/Ampèremètre

Mesure 1 : mesure d’une résistance

 Réaliser le montage ci – contre avec





100 R

et

R

_P 

100

^(boîte à décade). Le signal v_E(t) est un signal sinusoïdal d’amplitude crête – à – crête 10 V.

 Pour des fréquences de 100, 200 Hz, 400 Hz, 600 Hz, 800 Hz, 1 kHz et 2 kHz, relever la tension U et le courant I. Evaluer les incertitudes de mesures.

 Tracer R en fonction de la fréquence.

Incertitude sur la mesure R :

2 . ) .

(

I

U dI I dU I

d U

dR   

^{, donc :}

2 ).

( ).

) ( ( ) (

I

U I u I U u I

u U R

u   

R_P

v_E(t)

A

R V

Mesure 2 : mesure d’un condensateur

R

v_E(t)

A

C V

vE(t) est une tension sinusoïdale d’amplitude 5 V.

 Réaliser le montage ci – contre avec





1 k

R

et C = 100 nF. Choisir comme ampèremètre un multimètre numérique.

 Pour des fréquences de 100 Hz, 200 Hz, 400 Hz, 600 Hz, 800 Hz à 1000 Hz, relever la tension U et le courant I. Evaluer les incertitudes de mesures.

 Tracer U/I en fonction de la fréquence, puis tracer la courbe U en fonction de la grandeur

f I

.

2 . Evaluer la pente de la courbe, comparer à la valeur

C

1 . Conclure sur quelle courbe

représente le module de l’impédance

Z

et quelle courbe permet de retrouver la valeur intrinsèque du condensateur C.

(3)

I Z

U 

_c

.

On aura donc pour les valeurs mesurées :

U  Z

_c

^. I

^avec

wc c jwc

Z



¹



¹

on aura donc :

f c wc

I

U 1

2 . 1 1

 



En traçant U/I en fonction de f, on aura une variation sous forme de 1/x.

f

f I U c

 . 2

 1

En traçant U en fonction de (I/2f), on aura une variation linéaire avec la pente égale à 1/c.

Dipôle à vide: lorsque le dipôle n'est pas chargé (interrupteur ouvert), la tension (U) aux bornes du dipôle est égale à la force électromotrice (E) de ce dipôle. Le courant ne passe pas; l'intensité est nulle.

Point E sur l'axe des tensions.

Dipôle en charge: on ferme l'interrupteur, le courant passe dans la résistance. Il reste faible tant que la résistance est grande.

En faisant décroître la valeur de la résistance, le courant passe de plus en plus. L'intensité (I sur les abscisses) augmente, mais c'est la tension qui fléchit.

On observe dans notre expérience que la décroissance est linéaire.

Dipôle en court-circuit: on diminue la résistance à zéro, on ne peut faire passer plus de courant.

L’intensité est maximale : C'est l'intensité de court-circuit I_cc.

(4)

Mesure 3… si le temps le permet : mesure d’une inductance

 Reprendre les mesures en remplaçant C par une inductance L avec

R

100 et L = 11 mH. Tracer U/I en fonction de la fréquence, puis tracer la courbe

I U

.

2 en fonction de la fréquence et conclure

I Z

U 

_L

.

On aura donc pour les valeurs mesurées :

U  Z

_L^.

I

^avec

Z

_L ^ ^jLw ^^Lw^{on aura}

donc :

f

Lw

L

I

U   2  .

En traçant U/I en fonction de f, on aura une variation linéaire avec comme pente 2L.

f I L

U .

2 



En traçant

I U

 2

en fonction de

f

, on aura une variation linéaire avec comme pente L.

(5)

1.2) Mesure d’impédance à l’aide de l’oscilloscope

Préparation

 Dans le schéma ci – contre exprimer la tension U1 mesurée sur la voie 1 et la tension U2 mesurée sur la voie 2 en fonction de

Z

^{, i et R}M .

i R Z

U ₁  ( 

_m

).

i R U ₂ 

_m

.

 Trouver une condition pour que la tension mesurée sur la voie 1 soit très proche de la tension aux bornes de

Z

^.

Il faut que

Z

^>>

R

m

 Décrire un protocole qui permet de mesurer le module et l’argument de

Z

^.

v_E(t)

R_M

Voie 1

Voie 2

Z

i

Le schéma correspond à un schéma de diviseur de tension de tel sorte que :

E Z Rm U Rm

 

2

dans le cas où

Z

^>>

R

m^{on aura}

E  U ₁

^donc,

2 1 U

Rm Z

U  Rm 

ce qui induit : Rm Z Z Rm

U U

2



1





On peut donc utiliser cette égalité pour calculer la valeur de Z :

Rm Rm

Z

U U U

U

max 2

max 1 2

1 



Mesure 4 : mesure d’une inductance

Z

: L = 11 mH,

R

_M 100

Le signal v_E(t) est un signal sinusoïdal d’amplitude crête – à – crête 10 V.

 Pour des fréquences de 10 kHz, 20 kHz, 30 kHz, 40 Hz, 50 kHz, et 60 kHz, relever U1MAX, U_2MAX et

t retard ou l’avance de la tension u₁(t) par rapport à la tension u₂(t).

 Remplir un tableau de mesure du type : f

U_1MAX U2MAX

t

M MAX 2

MAX 1

. R U Z



U

f

* 360

* t ) Z

arg(

 

(6)

 Tracer

Z

en fonction de la fréquence et

arg( Z )

en fonction de la fréquence.

Mesure 5 : mesure d’une impédance R, L série

Z

:

R



1 k

, L = 11 mH,

R

_M 100

 Faire les mesures pour des fréquences de 100 Hz, 1 kHz, 4 kHz, 5 kHz, 10 kHz, 20 kHz, 30 kHz, 40 kHz, 60 kHz, 70 kHz et 100 kHz

 Tracer

Z

en fonction de la fréquence et

arg( Z )

en fonction de la fréquence.

Conclusion

 Comparer les résultats aux valeurs théoriques du module et de l’argument de l’impédance.

En régime sinusoï dal, on a pour :

 un conducteur ohmique de résistance R : Z

R

= R,

 un condensateur de capacité C : Z

_C

= 1/(Cω),

 une bobine idéale d'inductance L : Z

L

= Lω.

Exemple calcul d’impédance et la phase (pour f=50 Hz, L=0.5H et R=50 Ohm:

(7)

2) système d’ordre 1

Préparation

Soit le schéma suivant, dans lequel v_E(t) est une tension carrée qui varie de 0 à 10 V.

v_E(t) est un échelon de tension : à t = 0, le signal passe de 0 à E.

 Donner l’équation différentielle liant v_S(t) à v_E(t).

Mettre d’équation différentielle sous la forme : E

. K ) t ( dt v

) t ( dv

S

S  

 .

R = 1 k

C = 100 nF v_E(t)

vS(t) i(t)

E=U_R+U_C E=R.i+U_C

Avec : i=dq/dt et U_C =q/c et donc i= C*(dU_C/dt) R*C*(dU_C/dt)+U_C=E

Solution sans seconde membre : R*C*(dU_C/dt)+U_C=0 Uc=A*e^-t/(R*C)

Solution partilière : Uc=B=cst R*C*0+B=E donc B=E Uc=A*e^-t/(R*C)+E

A t=0, UC=0v 0=A*e⁰+E A=-E

Donc la solution finale est : U_C=E*(1-e^-t/(R*C))

(8)

 A l’aide d’une équation aux dimensions, trouver l’unité de la constante  = RC et du gain K.

Résoudre l’équation différentielle.

[]=[RC]=[R].[C]=[u]/[i].[q]/[U]= [q]/[i]=T donc  est une constante de temps

Manipulation

 Réaliser le montage. v_E(t) est une tension carrée qui varie de 0 à 10 V.

 Visualiser vS(t) et vE(t) . Prendre une fréquence telle que le régime permanent apparaisse. Dessiner le schéma dans le compte-rendu en indiquant les appareils de mesure utilisés.

Mesure des grandeurs caractéristiques du système

 Mesurer en régime permanent le rapport

E S

V V



 (variation de la sortie / variation de l’entrée).

 Pour des valeurs successives de R de 1 k et 2.2 k, mesurer le temps que met le signal de sortie pour passer à 0 à 63% de sa variation.

Allure de la courbe d’évolution au cours du temps :

à t=, Uc=E(1-exp(-1))=0.63E, donc Uc est égale à 63% de E

Remarque :

 caractérise la rapidité de la charge ; plus  est élevée, plus la charge est lente.

Au bout de 5, on considère que le régime permanent est atteint à t=5, Uc=E(1-exp(-5))=0.993 E

 Reprendre toutes les mesures avec une tension carrée qui varie de 0 à 5 V.

Exploitation des mesures

 Commenter les résultats obtenus pour les mesures de

E S

V V



 .

 Justifier la valeur théorique du temps que met le signal pour passer de 0 à 63% de sa variation.

 Proposer une solution pour visualiser la forme du courant i(t). La mettre en œuvre et commenter les résultats.

Concernant l’évolution de l’intensité lors de la charge :

i(t)=dq/dt et U_C =q/c et donc i(t)= C*(dU_C/dt)=C* E*((1/)*e^-t/(⁾)=(CE/)*e^-t/(⁾

TP2 : circuits R, L,C : courbes transitoires des systèmes d’ordre 1 et 2 circuits R,L, C en oscillations forcées

courbes transitoires des systèmes d’ordre 1 et 2 circuits R,L, C en oscillations forcées

Objectifs (connaissances théoriques : TD1, TD5)

Préparation

1) Oscillations forcées : impédances

1.1) Mesure d’impédance par méthode Voltmètre/Ampèremètre

100

R

R

100

2

. ) .

(

I

U dI I dU I

d U

dR   

2

).

( ).

) ( ( ) (

I

U I u I U u I

u U R

u   

1 k

R

Z

I Z

U 

.

U  Z

. I

Z

1

1

f c wc

I

U 1

2 . 1 1

 



f

f I U c

 . 2

 1

R

I Z

U 

.

U  Z

I

Z

Lw

I

U   2  .

f I L

U .

2 



I U

 2

f

1.2) Mesure d’impédance à l’aide de l’oscilloscope

Z

i R Z

U 1  ( 

).

i R U 2 

.

Z

Z

R

Z

Z

i

E Z Rm U Rm

 

2

Z

^. I

¹

¹

U ₁  ( 

i R U ₂ 

E  U ₁