Travaux dirigés Signaux n°6 – Correction

TD S6 Signaux 2016/17

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Travaux dirigés Signaux n°6 – Correction

Exercice 1 : Calculs d’impédances

Montage 1 : Z₁= R+ 1

jCω =R− j Cω Montage 2 :

Z₃ =R+ 1

1 R+Y_C =R+ R

1+ jRCω =

(

1+ jRCω

)

^R+R

1+ jRCω =

(

2+ jRCω

)

^R

1+ jRCω Montage 3 :

Z₄ =R+ 1

Y_L+Y_C = R Y

(

_L+Y_C

)

⁺¹

Y_L+Y_C =1+ jR Cω −

(

1 Lω

)

j Cω −

(

1 Lω

)

^.

Exercice 2 : Circuit RLC série en RSF.

On considère i t

( )

^{= Imcosωt}. On cherche e(t) sous la forme e t

( )

^{= Emcos}

(

^ωt+ϕ

)

. L’impédance complexe du dipôle est Z =R+ jLω + 1

jCω ^{=R+ j L}ω − 1 Cω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟. La loi d’Ohm généralisée nous donne : E_m =Z I_m= R+ j Lω − 1

Cω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥I_m. Ainsi, E_m = E_m = R² + Lω − 1

Cω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

I_m=134,5V .

De plus, ϕ = Arg E_m= Arg R+ j Lω − 1 Cω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= Arctan 1

R Lω − 1 Cω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥=1,41rad car cosϕ est positif.

Exercice 3 : Détermination d’une inductance.

La voie X traduit donc la tension d’alimentation e(t) et la voie Y est une image de l’intensité du courant.

Quand les signaux sont en phase, cela signifie que le circuit est purement résistif, l’impédance du circuit est donc réelle.

Calculons l’impédance équivalente : Z=Z_rL+Z_RC+R=r+ jLω + RZ_C

R+ZC

+R=r+ jLω + R

jRCω+1+R. Réduisons l’expression à l’aide du conjugué :

Z=r+ jLω+ R

(

1−jRCω

)

(

RCω

)

^{2+1 +R=r+R+}

(

^RCωR

)

^{2+1+ j Lω− R}

2Cω

(

RCω

)

²⁺¹

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟. Comme les signaux sont en phase, Z est réelle d’où : Lω − R²Cω

RCω

( )

^{2+1=0⇔L= R}

2C RCω

( )

^2+1.

AN : L= 100²×10.10⁻⁶ 100×10.10⁻⁶×2π ×180

( )

^2+1=44mH

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Exercice 4 : Circuit RLC parallèle en RSF.

1. On considère un circuit RLC parallèle en régime alternatif sinusoïdal (u t

( )

^{= E0cosωt}). Ainsi, Y =Y_R +Y_C +Y_R = 1

R+ jCω+ 1 jLω ⁼

1

R+ j Cω − 1 Lω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟. 2. En introduisant Q= RCω₀ = R

Lω₀ = R C

L , on peut exprimer C= Q

Rω₀ et 1

L= Qω₀

R d’où

Y = 1

R+ j Qω

Rω₀ −Qω₀ Rω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1 R+ jQ

R u−1 u

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ où u= ω

ω₀ ⁼ω ^LC. 3. Z = 1

Y = R

1+ jQ u−1 u

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⇒Z = Z = R

1+Q² u−1 u

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 . Quand u→0, Q u− 1 u

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ → −Q

u → −∞ d’où

Z→0. Quand u→ ∞, Q u−1 u

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟→Qu→ ∞ d’où R→0. On cherche u1 et u2 tels que Z u

( )

_1,2 ^{= R}₂ c’est à dire Q² u−1

u

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =1. En résolvant les équations du second degré obtenues on trouve alors, en éliminant les solutions négatives (cf cours) : u_1,2 = ± 1

2Q+ 1+ 1 4Q² . 4. Il est découle alors u₂−u₁ = 1

Q. A la fréquence de résonance, u=1 et Z=R. Le circuit est purement résistif.

5. A basse et haute fréquence le circuit est donc équivalent à un fil

Exercice 5 : Détermination des paramètres d’un circuit RLC série.

Résultats théoriques :

1. L’impédance du circuit s’écrit : Z =R+ jLω+ 1

jCω =R+j Lω− 1

⎛ Cω

⎝⎜ ⎞

⎠⎟. D’après la loi d’Ohm généralisée, on en déduit : I = e0

R+j Lω− 1 Cω

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

.

2. L’amplitude Im de i(t) est alors : I_m = I = e₀ R²+ Lω − 1

Cω

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

3. A la résonance, l’amplitude est maximal, donc le dénominateur est minimal : Lω− 1

Cω ^=0⇔Lω = 1

Cω ^⇔ω² = 1

LC. La pulsation de résonance est donc : ω0 = 1

LC . La bande passante du circuit est donnée par la relation : Δω =ω₀

Q où Q= Lω₀

R d’où Δω = R L

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Exploitation des résultats expérimentaux :

4. Le montage réalisé est représenté ci-contre. Il faut qu’une patte de la résistance soit reliée à la masse de l’alimentation. E(t) est le signal de plus grande amplitude.

On peut évaluer le déphasage entre e(t) et u(t). On a une période d’environ T = 700µs et un décalage temporel 0,7x200=140µs d’où ϕ =2π¹⁴⁰

700=1, 3rad =74° (u(t) est bien en avance sur e(t)). Il s’agit du premier point de la figure 35.

5. Par lecture graphique, on trouve une fréquence de résonance (maximum d’intensité) de 2,4 kHz.

Ainsi : ω0 =2πf₀ =1, 5.10⁴rad/s.

6. A la résonance, le circuit est purement résistif, donc i = e0 / R. Par lecture graphique, on trouve Imax = 18 mA et e0 = 6 V d’où R = 6 / 0,018 = 330 Ω.

7. La bande passante est l’intervalle de fréquence pour lequel I>I_max 2. O peut la lire directement sur la courbe de la figure 34 : On trouve Δf =2900−2100=800Hz⇔ Δω =5.10³rad/s. Il s’agit également de l’intervalle de fréquence pour lequel la phase est comprise entre – π/4 et +π/4. Les résultats sont cohérents.

8. La bande passante est reliée au facteur de qualité par la définition : Δω =ω₀

Q d’où Q= ω0

Δω =1, 5.10⁴ 5.10³ =3. 9. Comme Δω = R

L, on en déduit : L= R Δω ⁼

330

5.10³ =66mH. De plus ω0 = 1

LC ⇔C= 1

Lω₀² =67nF.

Exercice 6 : Résonance aiguë.

1. A basse fréquence, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et sa tension est voisine de celle du générateur. On en déduit : E0 = 6V.

2. A la résonance, E_max≈E₀.Q. On en déduit : Q= E_max

E₀ = 75

6 =12, 5.

3. Si le facteur de qualité est élevé (ce qui est le cas ici), la résonance se produit pour une pulsation proche de ω0. Ainsi : ω₀ ≈ω_r =2πf_r =5027rad/s.

4. On sait pour un circuit RLC que : ω0 = 1

LC et Q= Lω₀

r . Ainsi : L= 1

Cω₀²0,198H et r= Lω0

Q =80Ω.

5. Passons en notation complexe. En utilisant le pont diviseur de tension, on trouve : U_Cm = Z_C.E_m

R+Z_L+Z_C . En multipliant numérateur et dénominateur par YC, il vient : U_Cm = E_m

Y_C.R+Y_C.Z_L+1= E_m

jCωR−LCω²+1