Travaux dirigés Signaux n°1 px () , t = A cos () t − kx

TD S1 Signaux 2013/14

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Travaux dirigés Signaux n°1

Exercices d’application

Exercice 1 : Longueur d’onde des infrasons et ultrasons.

Dans l’air, à température ambiante, la célérité des ondes sonores est de l’ordre de 340 m.s^-1. 1. Quelle est la longueur d’onde d’une onde infrasonore de fréquence égale à 10 Hz ?

2. A partir de quelle fréquence se place-t-on dans le domaine des ultrasons ? En déduire l’inéquation vérifiée par les longueurs d’onde des ultrasons.

3. Déterminer la longueur d’onde associée à un ultrason de fréquence ν = 40 kHz.

Exercice 2 : Propagation d’un onde sinusoïdale.

Soit l’onde p x,

( )

(

)

1. Rappeler les relations liant ω, T, k et λ.

2. Tracer l’allure de l’onde aux instants t = 0, t = T/8, t = T/4 et t = T/2. On pourra calculer la distance (exprimée par rapport à la longueur d’onde) sur laquelle l’onde s’est propagée pendant une certaine durée.

3. Que dire de l’allure de l’onde à l’instant t = T ?

Exercice 3 : Evolution temporelle d’une onde

On considère l’onde p(x,t=0) représentée ci-contre se propageant à la célérité c = 2 m.s^-1 dans le sens des x croissants.

1. Représenter la forme de l’onde à l’instant t = 1s 2. Un récepteur est placé à l’abscisse x0 = 10 m. tracer

l’évolution temporelle du signal reçu par ce récepteur.

Exercice 4 : Cuve à onde

Une cuve à onde est un dispositif permettant de créer des ondes circulaires à la surface de l’eau (comme un caillou jeté dans l’eau). La fréquence d’excitation des ondes (notée ν) est réglable. On observe la forme des ondes grâce à un miroir.

1. Le dispositif étant placé dans le noir, de manière à supprimer toute lumière parasite. L’opérateur utilise un stroboscope émettant un flash très bref toutes les périodes T0. Qu’observe-t-on si T0 = 1/ν ?

2. Existe-t-il d’autres valeurs de T0 qui donnent la même observation ?

3. Pour déterminer la longueur d’onde, on mesure la distance radiale correspondant à l’écart entre 11 rides (la première est numérotée 0, la dernière 10). On divise ensuite le résultat par 10. Quel est l’intérêt de cette méthode ?

4. On donne, pour différentes valeurs de fréquence νk, la longueur d’onde λk déduite de la mesure précédente. Quelle relation doit-on retrouver entre ces valeurs ?

νk (Hz) 30 40 50 60

λk (mm) 7,7 6,0 5,2 4,5

5. Quelle variation relative de la célérité c obtient-on ici ?

p(x,t=0)

0 2 4 6 8 10 x(m)

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Exercice 5 : Diffraction des ondes

On rappelle que pour une figure circulaire, le demi angle au sommet du cône de diffraction est donné par la relation : sinθ =1, 22λ/d

1. On utilise un laser rouge de laboratoire λ = 630nm. Son faisceau est envoyé sur un cache percé d’un trou de forme circulaire de diamètre d. Un écran est situé à une distance de 5m.

Pour d1 = 100 µm et d2 = 200 µm, quel est le diamètre de la tache de diffraction observée au centre de l’écran ?

2. On utilise un émetteur à ultrason ( ν = 40 kHz) de diamètre 12 mm.

a. Calculer la longueur d’onde (on rappelle que la vitesse du son dans l’air est c = 340 m/s ) b. Donner l’angle du cône d’émission de l’émetteur utilisé.

Exercices de raisonnement (sans calculs)

Exercice 6 : Dans l’axe des points sources.

Deux ondes de même fréquence sont émises par des points sources S1 et S2 dans des directions voisines de l’axe (S1S2) qui les joint. Un écran est placé perpendiculairement à cet axe. On note C l’intersection.

1. Sans faire de calculs, peut-on prévoir la forme de la figure d’interférence ?

2. Les vibrations sont émises en phase par les sources S1 et S2. A quelle condition le point C est-il un lieu d’interférences constructives ? destructives ?

Exercice 7 : Ondes de marée

Le phénomène de marée est dû à l’attraction de la Lune et du Soleil sur les masses d’eau océaniques. L’élévation du niveau de l’eau se propage de proche en proche, à la manière d’une onde, qui se réfléchit sur les côtes continentales.

Comment peut-on expliquer qu’il existe des lieux, appelées points amphidromiques, où l’amplitude de marée est toujours nulle ?

Pour aller plus loin

Exercice 8 : Effet Doppler

Un véhicule de pompier roule à la vitesse constante v, en émettant une sirène (onde sonore) que l’on modélisera par une série de bips émis à la période T se propageant à la vitesse cs.

1. Quel est l’intervalle de temps qui sépare deux bips pour un pompier situé à l’intérieur du véhicule ?

2. A la date t = 0s, le camion s’éloigne de l’observateur. Montrer que le récepteur reçoit les bips tous les T’. Exprimer T’ en fonction de T, v et cs.

3. Sans calculs, déterminer la période T" des bips lorsque le véhicule s’approche de l’observateur.

Application : Les radars routiers utilisent l’effet Doppler pour mesurer la vitesse V d’un véhicule. Ils émettent une onde électromagnétique de fréquence ν se propageant à la vitesse de la lumière. Après réflexion sur le véhicule, l’onde revient en présentant un retard avec une nouvelle fréquence : υ'=υ 1±2V

c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟.

4. Justifier rapidement l’expression donnée ci-dessous.

5. La fréquence d’émission est de l’ordre de υ =2.10¹⁰Hz, en déduire l’ordre de grandeur de la différence de fréquence Δυ pour un véhicule respectant les limitations de vitesse.

C S1 S²

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Exercice 9 : Notes sur une corde de guitare.

Une corde de guitare se modélise comme une corde vibrante d’axe Ox, de longueur L = 64,2 cm fixée à ses deux extrémités.

1. Que peut-on dire de l’amplitude des vibrations en x = 0 et x = L ?

Les ondes se propageant sur une telle corde sont des ondes stationnaires dont l’ébranlement y se met sous la forme : y(x,t)=Acos

( )

n

⎛ x

⎝⎜

⎞

⎠⎟.

2. Montrer que la longueur de la corde est liée à la longueur de la corde par la formule : L=nλn 2 où n est un entier.

3. Représenter l’allure des vibrations pour les cas n = 1 ; n = 2 et n = 3

4. On veut que la fondamental ( cas n = 1) corresponde à un Do3. Déterminer la célérité c de l’onde sur la corde. (Remarque : La célérité de l’onde peut être modifiée en agissant sur la tension) 5. Quelles sont les notes correspondant aux harmoniques n allant de 2 à 7 ? (Remarque : Une

fréquence doublée correspond à une même note avec un changement d’octave)

6. L’accord Do, Mi, Sol est harmonieux. Lequel des harmoniques précédents doit-on chercher à supprimer ? Où veut-il mieux gratter la corde de guitare ?

Do3 Do3# Re3 Re3# Mi3 Fa3 Fa3# Sol3 Sol3# La3 La3#

f (Hz) 262 277 294 311 330 350 370 392 415 440 466