OD2 – Ondes acoustiques dans les fluides A – Travaux dirigés

OD2 – Ondes acoustiques dans les fluides

A – Travaux dirigés OD21 – Intensité sonore

1°) La surpression et l'amplitude de déplacement sont reliées par : 𝑝𝑝 ₁ = 𝑍𝑍𝑣𝑣 ₁ ⇒ _{𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝜇𝜇 0 𝑐𝑐 𝜔𝜔𝜉𝜉 ��� 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒}

𝑣𝑣

donc l'onde de fréquence deux fois plus grande correspond à une surpression deux fois plus grande. Son intensité sonore 𝐼𝐼 =< 𝑝𝑝 ₁ 𝑣𝑣 ₁ > est quatre fois plus grande que celle de l'autre onde.

𝐼𝐼 ₂ = 4𝐼𝐼 ₁ En décibels 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 10 log � _𝐼𝐼 ^𝐼𝐼

𝑟𝑟é𝑒𝑒

� , elle est supérieure de 6dB à celle de l'autre onde : 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑2} − 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑1} = 10 log � 𝐼𝐼 ₂

𝐼𝐼 ₁ � = 10 log(4) = 6𝑑𝑑𝑑𝑑

2°) L'intensité sonore est augmentée de 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 10 log(9) = 9,5 dB quand on triple l'amplitude de l'onde.

3°) Nous avons vu que 𝑝𝑝 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝜔𝜔𝜉𝜉 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} donc ici 𝑝𝑝 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} = 50𝑃𝑃𝑃𝑃 en prenant c= 340 m.s

et 𝜇𝜇 ₀ = 1, 3 𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚 ⁻³ . L'intensité sonore correspondante est de 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 10 log � _2.10 ⁵⁰

� = 128 dB, voisine du seuil de douleur.

4°) Un seul pétard émet une intensité sonore inférieure de 10 log 2 = 3 dB à celle qu'émettent les deux pétards, donc une intensité sonore de 87 dB. En effet :

𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑1} = 10 log � 𝐼𝐼 ₁

𝐼𝐼 _{𝑟𝑟é𝑒𝑒} � 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐼𝐼 _{𝑑𝑑𝑑𝑑2} = 10 log � 𝐼𝐼 ₂

𝐼𝐼 _{𝑟𝑟é𝑒𝑒} � = 10 log � 2𝐼𝐼 ₁ 𝐼𝐼 _{𝑟𝑟é𝑒𝑒} �

⇒ _{𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑1 = 𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑2 −} 10𝑙𝑙𝑙𝑙𝑘𝑘2 = 87𝑑𝑑𝑑𝑑

OD22 – Tuyau d’orgue

OD23 – Fréquences propres d’une sphère rigide

OD24 – Le vent porte le son

3°) a)

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑝𝑝 ₁ = 𝑐𝑐 ² 𝜇𝜇 ₁ µ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑒𝑒 + µ _{0 𝑣𝑣 0} ^{𝜕𝜕𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑥𝑥 = − 𝜕𝜕𝑝𝑝 ₁

𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁ 𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑒𝑒 + µ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 ₀ 𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0

⇒ _� µ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑥𝑥 = − 𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑒𝑒 − 𝑣𝑣 ⁰

𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 µ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝑣𝑣 0 �− 𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑒𝑒 − 𝑣𝑣 ⁰

𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 � = −𝑐𝑐 ² 𝜕𝜕𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥

⇒

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ µ ₀ ^{𝜕𝜕 2 𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕𝑥𝑥 = − 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑒𝑒 ² − 𝑣𝑣 ₀ 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑒𝑒 µ ₀ ^{𝜕𝜕 2 𝑣𝑣 1}

𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 ₀ �− 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕𝑥𝑥 − 𝑣𝑣 ⁰

𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 ² � = −𝑐𝑐 ² 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 ²

⇒ ₋ ^{𝜕𝜕 2 𝜇𝜇 1}

𝜕𝜕𝑒𝑒 ² − 𝑣𝑣 ₀ 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝑣𝑣 ₀ �− 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕𝑥𝑥 − 𝑣𝑣 ⁰

𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕 ² 𝑥𝑥 � = −𝑐𝑐 ² 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇 ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 ²

⇒ ^{𝜕𝜕 2} µ ₁

𝜕𝜕𝑒𝑒 ² + 2𝑣𝑣 ₀ 𝜕𝜕 ² µ ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑒𝑒 = (𝑐𝑐 ² − 𝑣𝑣 ₀ ² ) 𝜕𝜕 ² µ ₁

𝜕𝜕𝑥𝑥 ²

B – Exercices supplémentaires OD25 – Ondes sphériques

1°) La surpression vérifie l'équation de d'Alembert tridimensionnelle :

∆𝑝𝑝 ₁ = 1 𝑐𝑐²

𝜕𝜕²𝑝𝑝 ₁

𝜕𝜕𝑒𝑒 ²

Dans le problème à symétrie sphérique qui nous intéresse, cette équation s'écrit : 1

𝑟𝑟

𝜕𝜕²(𝑟𝑟𝑝𝑝 ₁ )

𝜕𝜕𝑟𝑟² = 1

𝑐𝑐²

𝜕𝜕²𝑝𝑝 ₁

𝜕𝜕𝑒𝑒 ² ⇔ ^{𝜕𝜕²(𝑟𝑟𝑝𝑝 1 )}

𝜕𝜕𝑟𝑟² = 1

𝑐𝑐²

𝜕𝜕²(𝑟𝑟𝑝𝑝 ₁ )

𝜕𝜕𝑒𝑒 ²

La fonction ( 𝑟𝑟𝑝𝑝 1 ) vérifie l'équation de d'Alembert unidimensionnelle donc se met sous la forme :

𝑝𝑝 ₁ (𝑟𝑟, 𝑒𝑒) = 𝑓𝑓 �𝑒𝑒 − 𝑟𝑟𝑐𝑐�

������� 𝑟𝑟

𝑜𝑜𝑜𝑜𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠ℎé𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑𝑒𝑒

+ 𝑘𝑘 �𝑒𝑒 + 𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑐𝑐�

�������

𝑜𝑜𝑜𝑜𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠ℎé𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑𝑒𝑒

2°) Utilisons l'équation d'Euler linéarisée dans le cadre de l'approximation acoustique :

𝜕𝜕𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑒𝑒 = − 1 𝜇𝜇 ₀

𝜕𝜕𝑝𝑝 ₁ Or : 𝜕𝜕𝑟𝑟

𝑝𝑝 ₁ (𝑟𝑟, 𝑒𝑒) = 𝑝𝑝 ₀

𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟)

⇒ 𝜕𝜕𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑒𝑒 = − 1 𝜇𝜇 ₀ � 𝑝𝑝 ₀

𝑟𝑟 (−𝑖𝑖𝑘𝑘)𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) − 𝑝𝑝 ₀

𝑟𝑟² 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) �

= 𝑝𝑝 ₀

𝜇𝜇 ₀ 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) �𝑖𝑖𝑘𝑘 + 1 𝑟𝑟 � Donc :

𝑢𝑢 = 𝑝𝑝 ₀ 𝜇𝜇 ₀ 𝑟𝑟 � 1

𝑖𝑖 ω ^{� 𝑒𝑒} 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) �𝑖𝑖𝑘𝑘 + 1

𝑟𝑟 � + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒

= 𝑝𝑝 ₀ 𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 � 𝑐𝑐

𝑟𝑟²𝑖𝑖𝜔𝜔 + 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑖𝑖

𝑟𝑟𝑖𝑖𝜔𝜔 � 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒

= 𝑝𝑝 ₀

𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 �− 𝑖𝑖𝑐𝑐 𝑟𝑟²𝜔𝜔 + 1

𝑟𝑟 � 𝑒𝑒 ^{𝑟𝑟(ω 𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟)} + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 ce qui donne (en éliminant tout champ statique) :

𝑢𝑢�⃗(𝑟𝑟, 𝑒𝑒) = 𝑝𝑝 ₀ 𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 � 1

𝑟𝑟 − 𝑖𝑖𝑐𝑐

𝜔𝜔𝑟𝑟² � 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑟𝑟 = 𝑢𝑢�⃗ ₁ (𝑟𝑟, 𝑒𝑒) + 𝑢𝑢�⃗ ₂ (𝑟𝑟, 𝑒𝑒) 𝑙𝑙ù 𝑢𝑢�⃗ ₁ (𝑟𝑟, 𝑒𝑒) = 𝑝𝑝 ₀

𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 1

𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢�⃗ ₂ (𝑟𝑟, 𝑒𝑒) = 𝑝𝑝 ₀

𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 �− 𝑖𝑖𝑐𝑐

𝜔𝜔𝑟𝑟² � 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑟𝑟

Le premier terme, en ¹ _𝑟𝑟 , prédomine quand r est grand, il est appelé champ lointain, le second, en, ¹

𝑘𝑘𝑟𝑟² = _{2𝜋𝜋𝑟𝑟²} ^𝜆𝜆 , prédomine quand r est petit, il est appelé champ proche.

La limite entre les deux champs est de l'ordre de la longueur d'onde : si 𝑟𝑟 ≫ 𝜆𝜆, �𝑢𝑢�⃗ 1 � ≫ �𝑢𝑢�⃗ 2 � et inversement si 𝑟𝑟 ≪ 𝜆𝜆 .

Le champ proche est en quadrature de phase avec la surpression, la valeur moyenne de 𝑝𝑝 ₁ (𝑟𝑟, 𝑒𝑒)𝑢𝑢 ₂ (𝑟𝑟, 𝑒𝑒) est donc nulle (si 𝑝𝑝 ₁ est en 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑒𝑒), 𝑢𝑢 ₂ est en 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑒𝑒) et réciproquement). Seul le champ lointain, en phase avec la surpression, contribue à l'intensité de l'onde.

3°)

Soit : 𝑢𝑢 = _𝜇𝜇 ^𝑠𝑠

0

𝑐𝑐 �− _𝑟𝑟 ^{𝑟𝑟𝑐𝑐}

_𝜔𝜔 + ¹ _𝑟𝑟 � 𝑒𝑒 ^{𝑟𝑟( ω 𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟)} = ^𝑠𝑠

_𝜇𝜇 ^{(𝑟𝑟,𝑑𝑑)}

0

𝑐𝑐 �1 − _{𝑟𝑟𝑘𝑘} ^𝑟𝑟 � ⇒ _{𝑍𝑍 =} ^𝜇𝜇

^𝑐𝑐

1−

= ^𝜇𝜇

^𝑐𝑐

1−

Si 𝑟𝑟 ≪ 𝜆𝜆, 𝑍𝑍~𝑖𝑖𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑟𝑟 est imaginaire pure : la surpression et la vitesse sont en quadrature (le champ proche prédomine).

Si 𝑟𝑟 ≫ 𝜆𝜆, 𝑍𝑍~𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐 c'est l'impédance d'une onde plane progressive. À des distances grandes devant la longueur d'onde, l'onde apparaît comme quasi-plane.

4°) Au niveau de la sphère pulsante, la composante normale de la vitesse du fluide est égale à celle de la sphère donc 𝑢𝑢(𝑟𝑟(𝑒𝑒), 𝑒𝑒) = −𝑃𝑃 ω _{𝑐𝑐𝑖𝑖𝑠𝑠(} ω _𝑒𝑒). L'amplitude des mouvements de la sphère étant petite, nous écrirons cette condition en 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟 ₀ et non en 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟(𝑒𝑒). D'autre part, λ = 6.8𝑚𝑚 ≫ 𝑟𝑟 ₀ ∶ au voisinage de la sphère, le champ des vitesses se réduit au champ proche. Finalement, en écrivant la condition ci-dessus en notation complexe, nous arrivons à l'expression :

− 𝑝𝑝 0

𝜇𝜇 0 𝑐𝑐 𝑖𝑖

𝑘𝑘𝑟𝑟 ₀ ² = 𝑖𝑖𝑃𝑃𝜔𝜔 𝑐𝑐𝑃𝑃𝑟𝑟 𝑢𝑢�⃗(𝑟𝑟, 𝑒𝑒) = 𝑝𝑝 0

𝜇𝜇 0 𝑐𝑐 � 1 𝑟𝑟 −

𝑖𝑖𝑐𝑐

𝜔𝜔𝑟𝑟 ² � 𝑒𝑒 𝑟𝑟(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑟𝑟) 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑟𝑟 ⇔ _{𝑝𝑝 0 = −𝑃𝑃𝜇𝜇 0 𝜔𝜔²𝑟𝑟 0} ² Or la puissance d'émission sonore P est égale à :

𝑃𝑃 = 〈𝑝𝑝 1 (𝑟𝑟, 𝑒𝑒)𝑢𝑢(𝑟𝑟, 𝑒𝑒)〉 = 1

2 𝑅𝑅𝑒𝑒 �𝑝𝑝 ₁ (𝑟𝑟, 𝑒𝑒)𝑢𝑢 ^∗ (𝑟𝑟, 𝑒𝑒)� = 𝑝𝑝 ₀ ²

2𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝑟𝑟² = 𝑃𝑃²𝜇𝜇 ₀ 𝜔𝜔 ⁴ 𝑟𝑟 ₀ ² 2𝑐𝑐𝑟𝑟²

Cette puissance est proportionnelle à 𝑃𝑃²𝑟𝑟 ₀ ² 𝜔𝜔 ⁴ ∶ plus le son est grave, plus 𝑟𝑟 ₀ doit être grand (a doit rester petit devant 𝑟𝑟 ₀ ) donc les sources de petites tailles ne sont pas adaptées à la production de sons graves.

Une intensité sonore de 90 dB correspond à : 90 = 10 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑘𝑘 � 𝑝𝑝 ₀ ²

2𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝑟𝑟² 1

10 ⁻¹² � ⇔ _{− 3 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑘𝑘 �} ^{𝑝𝑝 0 2} 2𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝑟𝑟² � ce qui est équivalent à : 𝑝𝑝 ₀ = (2. 10 ⁻³ 𝜇𝜇 ₀ 𝑐𝑐𝑟𝑟²)

= 0.9𝑃𝑃𝑃𝑃 avec r=1 m.

Alors : 𝑃𝑃 = _𝜇𝜇 ^𝑠𝑠

0

(2𝜋𝜋𝑒𝑒)

𝑟𝑟

= 2.9𝑚𝑚𝑚𝑚 .

La valeur obtenue est assez grande. L'approximation 𝑃𝑃 ≪ 𝑟𝑟 ₀ est tout juste vérifiée (le

rapport entre les deux est égal à 0, 059).

OD26 - Détermination de la célérité des ondes acoustiques

1°) Nous pouvons rechercher les solutions sous forme d'ondes stationnaires ou bien comme superposition d'ondes planes progressives harmoniques, l'une dans un sens, l'autre dans l'autre. La première méthode est plus logique puisqu'il y a deux conditions aux limites, la seconde est plus simple à mettre en œuvre grâce à la notion d'impédance acoustique.

- Première méthode :

Cherchons la surpression sous la forme : 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = 𝑝𝑝 ₀ 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑒𝑒 + 𝜓𝜓)𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐(𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝜑𝜑)

où 𝜔𝜔 est la pulsation du haut-parleur et 𝜔𝜔 = 𝑘𝑘𝑐𝑐. La vitesse particulaire s'en déduit grâce à une des deux équations de couplage, par exemple l'équation d'Euler linéarisée :

𝜕𝜕𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑒𝑒 = − 1 𝜌𝜌 ₀

𝜕𝜕𝑝𝑝 Il vient : 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = _ρ ^𝑠𝑠

𝜕𝜕𝑥𝑥

0

c 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑒𝑒 + 𝜓𝜓)sin(𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝜑𝜑) Les conditions aux limites sont :

- vitesse nulle en x = 0,

- vitesse égale à celle du haut-parleur en x = L.

La première relation donne : 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑠𝑠𝜑𝜑 = 0 . On choisit 𝜑𝜑 = 0 (un choix différent ne fait que changer le signe de 𝑝𝑝 0 .

Le déplacement de la membrane du haut-parleur est 𝜉𝜉(𝑒𝑒) = 𝜉𝜉 ₀ 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑒𝑒)sa vitesse est 𝑣𝑣(𝑒𝑒) = −𝜔𝜔𝜉𝜉 ₀ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑠𝑠 ( 𝜔𝜔𝑒𝑒 ).

La deuxième condition aux limites s'écrit : u(L,t) = v(t), soit : 𝑝𝑝 ₀

ρ ₀ c 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑒𝑒 + 𝜓𝜓)sin(𝑘𝑘𝑘𝑘) = −𝜔𝜔𝜉𝜉 ₀ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑒𝑒) Nous en déduisons que 𝜓𝜓 = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝 ₀ = − ^{𝜔𝜔𝜉𝜉} _{sin(𝑘𝑘𝑘𝑘)}

^ρ

^c

La surpression dans le tuyau est donc : 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = − 𝜔𝜔𝜉𝜉 ₀ ρ ₀ c

sin(𝑘𝑘𝑘𝑘) cos( ω 𝑒𝑒) cos(𝑘𝑘𝑥𝑥).

- Deuxième méthode :

Cherchons la surpression sous la forme :

𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = 𝑝𝑝 ₁ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑖𝑖(𝜔𝜔𝑒𝑒 + 𝑘𝑘𝑥𝑥)) + 𝑝𝑝 ₂ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑖𝑖(𝜔𝜔𝑒𝑒 − 𝑘𝑘𝑥𝑥)) La vitesse s'écrit :

𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = 1

𝑍𝑍 _𝑎𝑎 �− 𝑝𝑝 1 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑖𝑖(𝜔𝜔𝑒𝑒 + 𝑘𝑘𝑥𝑥)) + 𝑝𝑝 ₂ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑖𝑖(𝜔𝜔𝑒𝑒 − 𝑘𝑘𝑥𝑥))�

où 𝑍𝑍 _𝑎𝑎 = ρ ₀ c

On pose : 𝜉𝜉(𝑒𝑒) = 𝜉𝜉 ₀ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑖𝑖𝜔𝜔𝑒𝑒)

Les conditions aux limites donnent :

• en x = 0 : 𝑝𝑝 ₁ − 𝑝𝑝 ₂ = 0

• en x = L : _𝑍𝑍 ¹

𝑎𝑎

� 𝑝𝑝 ₂ exp(−ikL) − 𝑝𝑝 ₁ exp(ikL)� = iωξ ₀

ce qui donne 𝑝𝑝 ₁ = 𝑝𝑝 ₂ = − _{2sin(𝑘𝑘𝑘𝑘)} ^{𝜔𝜔𝜉𝜉}

^ρ

^c . La surpression est donc égale à : 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = − 𝜔𝜔𝜉𝜉 ₀ ρ ₀ c

sin(𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐(𝑘𝑘𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑖𝑖𝜔𝜔𝑒𝑒) ou encore : 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑒𝑒) = − ^{𝜔𝜔𝜉𝜉} _{sin(𝑘𝑘𝑘𝑘)}

^ρ

^c 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐(𝑘𝑘𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑒𝑒)

2°) Les nœuds de pression sont espacés de ^𝜆𝜆

2 , avec c = λ f et 𝛾𝛾 = ^{𝑀𝑀 𝑐𝑐} _{𝑅𝑅𝑅𝑅}

𝑐𝑐𝑃𝑃𝑟𝑟 𝑐𝑐 = � ^{𝛾𝛾𝑅𝑅𝑅𝑅} _𝑀𝑀 . L'application numérique donne :

• pour f = 300 Hz, λ = 114 cm, c = 342 m.s

et 𝛾𝛾 = 1, 40 ;

• pour f = 500 Hz, λ = 68, 2 cm, c = 341 m.s

et 𝛾𝛾 = 1, 39 ;

• pour f = 988 Hz, λ = 34, 7 cm, c = 342 m.s

et 𝛾𝛾 = 1, 40 . On prendra c = 342 m.s

et 𝛾𝛾 = 1,40.

3°) Il y a résonance quand sin(kL) = 0 donc pour les fréquences 𝑓𝑓 _𝑜𝑜 = ^{𝑜𝑜𝑐𝑐} _2𝑘𝑘 . Avec les valeurs numériques précédentes, les résonances ont lieu pour des fréquences égales à 118 Hz, 236 Hz, 354 Hz, 472 Hz, 590 Hz, 708 Hz, etc. Les fréquences relevées par l'expérimentateur font bien partie de cette suite.

En x = 0, à la résonance, l'amplitude de vibration maximale des couches d'air est très

grande devant l'amplitude de vibration du haut-parleur. Le haut-parleur peut donc être

considéré comme un nœud de vibration c'est-à-dire une paroi rigide et on se trouve dans

le cas d'un tuyau fermé à ses deux extrémités. Il y a résonance quand la fréquence du

haut-parleur est une des fréquences propres du tuyau.

OD27 – Dérivation de l’équation des ondes sonores

OD28 - Influence du milieu sur la propagation d’une onde sonore

1°) La surpression p est constante p=p

. La solution de l'équation différentielle est : 𝑝𝑝 ₀ = _𝜒𝜒 ¹

𝑠𝑠

𝜌𝜌

�𝜇𝜇 + 𝜏𝜏 ^{𝑑𝑑𝜇𝜇} _{𝑑𝑑𝑑𝑑} �

⇔ 𝜇𝜇 𝜏𝜏 + 𝑑𝑑𝜇𝜇

𝑑𝑑𝑒𝑒 = 𝜌𝜌 ₀ 𝑝𝑝 ₀ 𝜒𝜒 _𝑆𝑆 𝜏𝜏

⇒ 𝜇𝜇(𝑒𝑒) = 𝜌𝜌 ₀ 𝑝𝑝 ₀ 𝜒𝜒 _𝑆𝑆 �1 − 𝑒𝑒 ^{−𝑑𝑑𝜏𝜏} �

µ retrouve donc la valeur 𝜌𝜌 ₀ 𝑝𝑝 ₀ 𝜒𝜒 _𝑆𝑆 qu'après un certain temps de l'ordre de quelques τ.

2°)

a) Equation du mouvement : ρ _� ^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝑒𝑒 + �𝑣𝑣⃗. 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑃𝑃𝑑𝑑 ����������⃗�𝑣𝑣⃗� = −𝑘𝑘𝑟𝑟𝑃𝑃𝑑𝑑 ����������⃗ (𝑝𝑝 0 + 𝑝𝑝 )

⇒ � ρ _{0 +} µ _⏟

≪ ρ

�

⎝

⎜ ⎛ 𝜕𝜕𝑣𝑣⃗

� 𝜕𝜕𝑒𝑒

𝑜𝑜𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑒𝑒 1 𝑒𝑒𝑜𝑜 𝑣𝑣

+ �𝑣𝑣⃗. ������� 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑃𝑃𝑑𝑑 ����������⃗�𝑣𝑣⃗

𝑜𝑜𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑒𝑒 2 𝑒𝑒𝑜𝑜 𝑣𝑣

⎠

⎟ ⎞

= −𝑘𝑘𝑟𝑟𝑃𝑃𝑑𝑑 ����������⃗ � 𝑝𝑝 ⏟ ₀

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒

+ 𝑝𝑝�

On se limite aux termes du premier ordre donc tout produit de deux termes du premier ordre est un deuxième ordre et sera négligé d’où :

ρ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝑒𝑒 = −𝑘𝑘𝑟𝑟𝑃𝑃𝑑𝑑 ����������⃗ 𝑝𝑝

En projection sur le vecteur 𝑢𝑢 ����⃗, cette relation devient : _𝑥𝑥 ρ ₀ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝑑𝑑 = − ^{𝜕𝜕𝑠𝑠} _{𝜕𝜕𝑥𝑥} b) Conservation de la masse :

𝜕𝜕𝜌𝜌

𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑣𝑣(𝜌𝜌𝑣𝑣⃗) = 0 or 𝜌𝜌 = 𝜇𝜇 + 𝜌𝜌 ₀

⇒ 𝜕𝜕 µ

𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑣𝑣(𝑣𝑣⃗ ). (𝜇𝜇 + 𝜌𝜌 ₀ ) + 𝑣𝑣⃗. 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑃𝑃𝑑𝑑 ����������⃗ (𝜇𝜇 + 𝜌𝜌 ₀ ) = 0 Or 𝜇𝜇 ≪ 𝜌𝜌 ₀ et 𝑣𝑣⃗. 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑃𝑃𝑑𝑑 ����������⃗𝜇𝜇 est un terme d'ordre 2 ≪ ^{𝑑𝑑𝜇𝜇} _{𝑑𝑑𝑑𝑑}

Donc :

𝜕𝜕 µ

𝜕𝜕𝑒𝑒 + 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑣𝑣 ( 𝑣𝑣⃗). (𝜌𝜌 0 ) = 0 ⇒ 𝜕𝜕 µ

𝜕𝜕𝑒𝑒 = −𝜌𝜌 0 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝑥𝑥 3°) Posons 𝑐𝑐² = _𝜒𝜒 ¹

𝑠𝑠

𝜌𝜌

d'où 𝑝𝑝 = 𝑐𝑐² �𝜇𝜇 + 𝜏𝜏 ^{𝑑𝑑𝜇𝜇} _{𝑑𝑑𝑑𝑑} � d'où en dérivant deux fois par rapport à x :

𝜕𝜕 ² 𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥 ² = 𝑐𝑐² � 𝜕𝜕²𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑥𝑥² + τ ^{𝜕𝜕 3 𝜇𝜇}

𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕𝑥𝑥² �

Et :

𝜕𝜕 ² 𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥 ² = 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑥𝑥 �−𝜌𝜌 ₀ 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝑒𝑒 � = 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑒𝑒 �−𝜌𝜌 ₀ 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝑥𝑥 � = 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑒𝑒 � 𝜕𝜕𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑒𝑒 � = 𝜕𝜕 ² 𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑒𝑒 ²

⇒ 𝜕𝜕²𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑒𝑒² − 𝑐𝑐² � 𝜕𝜕²𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑥𝑥² + τ ^{𝜕𝜕 3 𝜇𝜇}

𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕𝑥𝑥² � = 0 Or : 𝜇𝜇 = _𝑐𝑐 ^𝑠𝑠

− 𝜏𝜏 ^{𝑑𝑑𝜇𝜇} _{𝑑𝑑𝑑𝑑}

⇒ 𝑑𝑑 ² 𝑝𝑝

𝑑𝑑𝑒𝑒 ² − 𝑐𝑐 ² � 𝜕𝜕 ² 𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥 ² + τ ^{𝜕𝜕 3 𝑝𝑝}

𝜕𝜕𝑒𝑒𝜕𝜕𝑥𝑥 ² � = 0

4°) Soit 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 0 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑥𝑥) ⇒ −𝜔𝜔² + 𝑐𝑐²�𝑘𝑘 ² + 𝜏𝜏𝑘𝑘 ² 𝑗𝑗𝜔𝜔� = 0

⇒ 𝑘𝑘 ² = 𝜔𝜔² 𝑐𝑐²

1 1 + 𝑗𝑗𝜏𝜏𝜔𝜔 si 𝜔𝜔𝜏𝜏 ≪ 1 , après développement limité :

𝑘𝑘 = 𝜔𝜔

𝑐𝑐 �1 − 𝑗𝑗𝜏𝜏𝜔𝜔 2 � Posons 𝛼𝛼 = ^{𝜔𝜔²𝜏𝜏} _2𝑐𝑐 d'où : 𝑘𝑘 = ^𝜔𝜔 _𝑐𝑐 − 𝑗𝑗 α

⇒ 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 ₀ 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝑑𝑑−𝑘𝑘𝑥𝑥) = 𝑝𝑝 ₀ 𝑒𝑒 ^{−𝛼𝛼𝑥𝑥} 𝑒𝑒 𝑗𝑗�𝜔𝜔𝑑𝑑−𝜔𝜔𝑐𝑐𝑥𝑥�

avec le facteur d'atténuation 𝑒𝑒 ^{−𝛼𝛼𝑥𝑥} et la vitesse de phase c.