Amortissement des ondes circulaires à la surface de l'eau

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Amortissement des ondes circulaires à la surface de l’eau

Jean Baurand

To cite this version:

AMORTISSEMENT DES ONDES CIRCULAIRES A LA SURFACE DE L’EAU

Par JEAN BAURAND.

Laboratoire de

_Physique

de l’Ecole Normale

_Supérieure.

Sommaire. - On étudie une méthode de mesure du coefficient d’amortissement des ondes circulaires

sur l’eau. Influence de la forme des ondes sur la valeur de ce coefficient.

Domaine de validité de la loi en

$$1/~r

relative à l’amplitude de ces ondes.

On cherche ensuite si la valeur du coefficient de viscosité déterminé par mesure de l’amortissement des ondes, est d’accord avec les résultats que donnent les mesures usuelles.

1. Introduction. -

_{L’amplitude}

des ondes circu-laires à la surface d’un

_liquide,

à une distance r du

a,e

-centre,

peut

être mise sous la forme

201320132013,

le

terme

B/r

.exponentiel

étant dû à la viscosité du

_liquide,

le déno-minateur à la forme circulaire des

_ondes,

Cette relation

ne _{convient évidemment pas} au

_voisinage

immédiat de la source : les

_{approximations}

_{admises pour arriver à}

cette formule ne sont _{valables que si} r

_dépasse

_quelques

longueurs

d’onde des onles

_{superficielles.}

Pour vérifier cette

_{expres>ion,}

Watson

₍₁₎

détermine le rayon de courbure dans une section verlicale

_radiale,

aux sommets et aux creux : _pour

_ceci,

un faisceau de lumière

_cylindrique

tombe verticalement sur la surface

liquide; après

réflexion sur la

_surface,

la lumière est

concentrées aux

_foyers

réels aux creux, virtuels aux sommets : ce sont les distances de ces

_foyers

à la

sur-face

_qui,

doublées,

donnent les rayons de courbure et

par suite les

amplitudes.

Les ondes

_{superficielles}

étant nécessairement de très

faible

_amplitude,

_{afin que les ondes} se

_rapprochent

le

plus possible

de la forme

_{sinusoïdale,}

_{les rayons de} courbure sont

_grands,

les faisceaux déliés et il semble difficile de déterminer avec

_beaucoup

d’exactituue la

position

des

_foyers;

Watson

_n’indique

aucune limite d’erreurs dans ses résultats : avec des ondes de

)...==0,4

cm, pour des distances à la source variant de

1 à

3,’~

cm ou de 3 à Il cm, il trouve

ceci : p

étant le

rayon de courbure aux crêtes

_successives,

la courbe

log

p fonction de r est une

_droite;

ce.

_qui

_signifie

que,

dans ces

_{expériences,}

_{l’amplitude}

des ondes est dr la .forme autrement dit que ces ondes

_peuvent

être

considérées comme

_rectilignes.

2. Méthode de mesure de l’inclinaison

_{dû_plan}

tangent. - Je me suis

_proposé

de

_rependre

ces

recherches en ulilisant une _{méthode que}

_j’ai

décrite ailleurs

_{(2 )}

et que

je rappelle

brièvement : elle

permet

(1) l’hysical 1902, 9’13, p. 20.

(2) Annales de 10c t e, 1932, 18, p. 132.

de mesurer

_l’angle

_{que fait} avec le

_plan

horizontal,

le

plan

tangent

en un

_point

à la surface du

_liquide,

à un instant donné.

Un faisceau vertical de lumière

_parallèle

traverse

une fente très étroite

F,

perpendiculaire

à un _{rayon de}

propagation

des

ondes;

cette lumière traverse le

_liquide,

se réfracte à la

_surface,

et le faisceau réfracté

_après

passage dans une

_lentille,

vient former une tache, bande

étroite normale à la fente d’un

_{cylindre enregistreur;}

,

les

_{déplacements}

de cette tache

mesurent,

à un coeffi- cient

_{d’amplification près, l’angle}

du

_{plan tangent}

et

du

_plan

horizontal.

Malheureusement,

ce coefficient

_{d’amplification}

reste

petit.

Pour

_{l’augmenter,}

il faudrait

_augmenter

la

dis-tance au

_cylindre

de la surface de l’eau, ce

_qui,

en même

temps,

augmenterait

les dimensions de la tache

lumi-neuse ; la fente source devant _{être très étroite par suite} des très courtes

_longueurs

d’onde

_utilisées,

il en résulte que l’éclairement de cette tache devient insuffisant. Le

_papier

sensible n’est

_plus

_{impressionné.}

Son

rem-placement

par un film

_plus

sensible laisse subsister

l’agrandissement

de la

_tache,

dont les

_{déplacements}

deviennent

_plus

difficiles à mesurer : la

_précision

des mesures _{n’est pas} ou

_{guère augmentée.}

Dans le

_montage

utilisé le

_déplacement

de la tache en centimètres est

environ 12 fois la valeur de l’inclinaison

_exprimée

en

radians.

3. Détermination du coefficient

d’amortisse-ment des ondes. -- Si l’on admet

_{l’expression}

de

~

l’amplitude

y =

a e -,

la valeur maximum de

l’incli-Vr

naison du

_{plan tangent}

est _{donnée par}

et le

_{déplacement z}

de la tache lumineuse sur la fpn le

du

_cylindre

_{enregistreur est}

_{donné par â} =

ki, k

iacteur

d’amplification.

’

70

Pour

_{déterminer fi je}

mesure les

_{déplacements}

zo et

,v,

deg taches lumineuses

_provenant

de fentes situées aux

distances y et r

_{-~- b}

du

_centre;

en toute

_rigueur

que l’on

peut remplacer

par

l’erreur ainsi commise est dans les conditions de

l’ex-f

péi ience

(r = 5 cm),

inférieure

â

_{pour les ondes} 00

_ , , , , 1 , , ,

de A

_{= 1,7}

cm et inférieure à

_0

_{pour 1...} -

_0,()

_cm;

1U Ut.

elle est sensiblement

_{proportionnelle}

au carré de la

loiigtieur

d’onde,

d’où une

_première

nécessité d’utiliser des ondes de

_fréquence

élevée.

La détermination

_{de ~}

ne

_comporte

_plus

_{que les} me-suras de

_{r, b}

et des deux

_{déplacements}

,~a et des ta( hes lumineuses.

fi. Précision des mesures. - Le calcul d’erreurs

montre _{que, même si l’on admet} sur r et b _{de grosses} erreurs

_(dr

=

_{t ~}

_mm, db

= ~

mm; en réalité elles

sont certainement

_plus

_faibles),

l’erreur

_{sur dépend}

uniquement

de celles commises sur zo et .~1

En

_{rpmplaçant Zl}

_par sa valeur fonction de Zo on

_peut

alors

chercher,

pour une valeur de r

_donnée,

_quelle

es i la valeur de b

_qui

conduit à l’erreur

_d5

minimum. Pour r = 5 cm on trouve b = n cm. Mais ,~1 étant en

général

un _peu

_trop

_petit

et sa mesure

_plus

_délicate,

j’ai pris

une valeur de b un _peu

_plus

faible b = 6 cm.

olais l’erreur

_{sur 5}

reste

_{grande :}

ceci est dû au fait

1

que c’est 1 erreur absolue

_{sur qui}

est

_égale

à -

_près

à la somme des errenrs relatives sur zo et zi, et à la

valeur faible

_{des ~}

mesurés.

Les déplacements

peuvent

être mesurés à

2013

_{mmprès ;}

10

sur un

_{enregistrement,}

où les

_amplitudes

sont variables et sur

_{lequel plusieurs}

mesures

_peuvent

être

faites,

les calculés varient entre 4 et 10 millièmes. Les

vah’urs

de ~

oscillent entre

0,077

et

_0,081,

avec valeur

moyenne 0,080.

La _{mélhode n’est donc pas très}

_précise.

J ai i’abord utilisé une seule lentille recevant les faisceaux lumineux

_provenant

des deux

_fentes,

ce

_qui

présente

l’inconvénient

_{d’éloigner}

les taches lumineuses l’une de

l’autre,

et

_d’employer

surtout les bords de la

lentille,

nécessairement de

_grand

diamètre. J’ai

rem-placé

la lentille

_unique

_par une série de lentilles

placées

l’une à rôté de

l’autre,

de même distance focale

(300

mm à moi n s de

_{9 /~}

mm

_près),

dont les centra

optiques

sont à la même distance que les fen tes

envoyant

la lumière.

5. Nécessité d’ondes

_{superficielles defréquence}

élevée. - Par suite de l’erreur absolue assez

_grande

commise dans la mesure

_{de fi,}

il est nécessaire de ne déterminer que

des ~

assez

_grands.

Pour cette

_discussion,

_j’ai

admis la relation suivante entre le coefficient

_{d’amortissement #}

et le coefficient de viscosité (.1

(voir § 7).

Si, partant

de la

_longueur

_{d’onde pour}

_laquelle

la vitesse de

_phare

est

_minimum,

on

_augmente

_À,

_V

aug-mente

_et

diminue.

Pour les ~

_{plus petits,}

on écrit

Or,

la formule de _{Kelvin étant satisfaite pour} ces ondes de faible

_À,

la vitesse de

_phase

est _{donnée par}

A constante

_capillaire,

la

_profondeur

est infinie. D’où .

- - - .

quand

1

_diminue,

_(toujours

à

_partir

du À à V

mini-mum)

~’2 X et T

_diminuent,

_{donc ~}

_augmente.

Mais les

_fréquences

élevées

_présentent

des

inconvé-nients :

Le

_déplacement

z, devient bientôt

trop

faible pour être mesuré et

_surtout,

_plus

1, est

_faible,

_plus

il est difficile de

_produire

des ondes

_qui

se

_rapprochent

du

profil

sinusoïdal.

Les

_longueurs

d’onde que

j’ai

utilisées sont toutes,

comprises

entre

_1,7

cm

_(minimum

de la vitesse

de-phase)

et

_0,5

cm.

6. Influence de l’état du

_{cylindre. -}

Les ondes-sont

_produites

_{par l’un}

_quelconque

des

_procédés

_que

j’ai

décrits ailleurs

_{(’) ;}

le

_problème

est d’ailleurs

_simple

puisque

l’on

_peut

attendre

_{qu’un régime}

_permanent

soit

_établi,

tant en ce

_qui

concerne les oscillations de la lame ou du

diapason,

qu’en

ce

_qui

concerne les

vibrations

_{superficielles.}

Le

_cylindre

est,

obligatoirement,

un

_cylindre

formé de

_{deux parties :}

_{la partie}

_inférieure,

_{mouillée par l’eau.} la

_{partie supérieure,}

non _{mouillée par}

l’eau,

_grâce

à un

paraffinage

par

exemple.

71

mouillé par l’eau

(laiton

chauffé),

ou non mouillé par

l’eau

_(laiton

_paraffiné),

le coefficient d amortissement est

_toujours

_beaucoup

_plus

_grand

_{que dans le} cas d’un

raccordement normal de l’eau à la surface du

_cylindre.

Les conditions de

_production

des ondes restant les

mêmes, ~ == 0,076

avec le

_système

des deux

_cylindres,

tandis

_{que ~}

=

_0,2~0

avec un

_cylindre

_{de laiton propre.}

Si, comme

_{je l’admets,}

cette _{grosse variation} est due à la forme des

ondes,

il y a là une

_façon

de voir si les ondes

_produites

sont bien

sinusoïdales ;

la vérification serait très

_précise,

mais un _{peu difficile à mettre} en

oeuvre.

Les

_expériences

sont faites en faisant tourner le

cylindre enregistreur

très

lentement,

afin que le

papier

sensible

_puisse

être

_{impressionné}

_(manque

de

_lumière).

De sorte _{que la forme de l’onde} ne

_peut

_pas être décelée par

aspect

des

_{enregistrements.}

Il est d’ailleurs

parfai-tement illu·oire de

_chercher,

sur des

_{enregistrements}

d’aussi

_petites

dimensions si l’onde est sinusoïdale.

Quand

les ondes ne sont _pas

sinusoïdales,

le

coeffi-cient p

n’est

_plus

le coefficient

_dépendant

delà viscosité,

qui figure

dans

_{l’expression}

de

_{l’amplitude;}

c’est seu-lemPnt le nombre calculé par la dernière formule du

paragraphe

3.

Malgré l’emploi

d’un

_cylindre

en deux

_parties,

la méthode n’est _{pas à l’abri}

_d’erreurs,

comme le montrent

les résultats suivants : -.

Si l’on

_paraffine

le

_{cylindre supérieur}

et si on

me-sure

_{p, on trouve ~}

=

0,1189

_(limitos

extrêmes

_{de ~}

0,0>3

et

_0,094;

le

_dfi

calculé est

_0,008).

On laisse fonc-tionner le

_{vibreur; après}

40

_{min, ~ -}

_0,115,

la fré-quence

n’ayant

pas

varié;

20 min

_{plus tard fi =}

_0,140

et encore 30 min

_plus

_{tard ~}

_=U,~~O

_{(la température}

ne _{s’est élevée que} de

_0°,1).

Si, après

chaque enregistrement

permettant

de

me-surer

_fi,

on

_photographie

les

_plans

_tangents

horizon-taux,

on voit immédiatement que,

seules,

les ondes

produites

immédiatement

_{après paraffinage,}

sont

régu-lières,

symétriques,

et

_peuvent

être sinusoïdales. Les autres montrent une

_dissymétrie

croissante;

elles ne sont _{certainement pas sinusoïdales et s’en}

éloignent beaucoup.

Il faut remarquer que,

malgré

cette

_{dissymétrie,}

les ondes conservent à très peu

près

leurs

caractéris-tiques ;

dans les

_{exemples précédents,}

les 7~ sont

et la

_fréquence

reste bien constante 56,5 _par sec. Je pense

qu’il

faut attribuer ces _{grosses variations}

du coefficient d’amortissement à la forme des

_ondes;

avec le

_temps,

elles ne _{restent pas}

_(même

au

_voisinage

de la

_source)

sinusoïdales. Ceci n’est _{pas dû à} une altération de la surface du

_cylindre

inférieur mouillé par l’eau, car

_si,

_après

_plusieurs

heures de

fonctionne-ment du

_système,

on chauffe fortement ce

_cylindre

inférieur,

comme on l’a fait au

début,

on ne retrouve

pas la valeur initiale du

~3,

mais

_toujours

une valeur

plus

élevée.

Cette altération est due à la substance

_qui

recouvre le

_{cylindre supérieur.}

On

_peut

penser soit à une disso-lution extrêmement faible de la

_paraffine

dans

_l’eau,

la

paraffine

restant

_{(peut être)}

à la

surface,

soit à une modification de la

_{paraffine qui}

deviendrait mouillable

par l’eau.

En effet

_quand

le

_{cylindre producteur}

d’ondes est

un

_cylindre

de laiton fortement chauffé avant de le

placer

sur

_{l’appareil,}

_{le ~}

est

_toujours

nettement

_plus

grand

ce

_qui

est d’accord avec l’état

_{dissymétrique}

des-ondes que donne ce

_cylindre.

Pour confirmer la

_chose,

j’ai

mesuré,

_{après repuraffinage}

récent,

le coefficient d’amortissement pour 1V = 56 , 5 et 1 = i4o5, ~0.089.

Le

_cylindre

_ayant

fonctionné

_pendant

une heure et

demie, ~

est monté à

0,24-4.

Le bassin a été vidé et le même

_{cylindre repris}

le

_{lendemain; pour IV= 56,5}

et t =

t. i07,

=

0,0xi

(je

n’interprète

d’ailleurs pas

cette diminution

_{du ~,}

l’élévation de

_température

étant

trop

faible).

Le

_{cylindre ayant}

été laissé peu de

temps

en

mouve-ment et en contact avec l’eau

_(quelques

_{minutes) 3}

a été trouvé

_égal

à

~1,~~0.

L’eau du bassin restant la même,

_j’ai

cherché à sécher la

_paraffine

_{par courant} d’air. J’ai trouvé

~

voisin de O. t 50. C’est donc la deuxième

_hypothèse

qui

a le

_plus

de chance d’être valable et en

_conséquence

la mesure du coefficient d’amortissement ne

_peut

se faire

_qu’avec

un

_cylindre

_supérieur

fraîchement

paraf-finé Il faudrait

_remplacer

la

_paraffine

_par une subs-tance

_qui

ne se _{laisse nullement mouiller par}

_l’eau,.

même avec le

_temps.

7. Variation de

_{l’amplitude}

avec la distance.

- J’ai cherché

si,

dans les conditions où

_{l’expérience}

est

_possible

avec le

_{montage réalisé,}

_{l’amplitude}

varie

en raison inverse de la racine carrée de la distance. Pour

_cela,

_{je mesure ~}

en déterminant le maximum de l’inclinaison du

_{plan tangent}

horizontal aux dis-tances r = cm et r

+ b

=1 1 cm de _{la source,}

_puis

8 et 1.4 _cm, enfin 11 et 17 cm. Ces valeurs

_{de ~}

sont

Si

_j’avais

_{admis pour}

_{l’amplitude}

_y =

j’au-rais obtenu

-

= e4’b. Dans

l’expérience

ci-dessus,

les.

1

’

sont

_0,149

et

_{0,150 - 0,129 - 0,119.}

Dans une autre série

_{d’expériences,}

on obtient

La

_longueur

d’onde est X -==

0,54

cm. Ces résultats

montrent que, pour des distances à la source

com-prises

entre 10 et 30

_{longueurs d’onde,}

lés ondes ne

peuvent

pas encore être considérées comme

recti-lignes.

Et on

_peut

même admettre, avec ces

_nombres,

qu’il

faudrait

_dépasser

une soixantaine de

_longueurs

d’onde au _{moins pour que,} en ce

_qui

concerne le coefficient

d’amortissement,

les ondes

_puissent

être

72

8. Relation entre le coefficient

d’amortisse-ment des ondes et le coefficient de viscosité du

liquide. -

On

_peut

établir une relation entre l’amor-tissement des ondes

_liquides

et la viscosité du

_liquide

en _{écrivant que la}

_perte

_d’énergie

due à la viscosité par unité de

temps

est

égale

au taux de variation de

l’énergie

mécanique.

Le résultat du calcul est le

sui-vant : _{pour des ondes}

_rectilignes,

_{l’exposant fi}

de

Pour des ondes

circulaires,

le calcul conduit au

même résultat si l’on admet des

_{approximations}

de l’ordre de

_grandeur

suivant : -.

Pour des ondes de

_{fréquence 50,}

avec a

= 0,6

cm,

V = 30

_cm/sec

et en

_prenant

_toujours

r au moins

égal

à 5 cm, les termes laissés de côté dans

l’exponen-1 /

tielle reviennent à

_négliger

0-0

devant fi

erreur

ifl

0Ù0

° 00

Î

ln erleure a

10000

Même en

_prenant

X = 7

cm, V = 3à,5

cm/sec,

N -

_5,,

l’erreur introduite est encore inférieure à

1 _{pour 100. La} mesure

_{de ~}

_{n’étant faite que} sur des

ondes de

_fréquence

assez

_grande

et cette mesure n’étant pas extrêmement

précise,

on

_peut

donc conserver _pour

ces ondes _{circulaires la même relation que pour les} ondes

_rectilignes

-

9. Résultats relatifs à l’eau. - Il n’est

évidem-ment

_pas

_question

de faire de ces

_expériences

une

méthode de mesure des coefficients de viscosité : les

appareils employés

sont

_beaucoup

_{trop encombrants,}

difficiles à

utiliser,

et la détermination

de ~

est faite avec une

_précision

bien insuffisante. J’ai seulement voulu chercher s’il y avait accord entre

_{les p.}

ainsi mesurés et ceux que donnent les méthodes de mesure

usuelles.

Pour

déterminer p.

connaissant

_~3,

il faut avoir les valeurs de la

_longueur

d’onde et de la vitesse de

phase.

Ces

_{grandeurs peuvent}

soit se mesurer directement

sur un

_{enregistrement}

des

_{plans tangents}

horizon-taux

_{(1) (l’escamotage}

du

_système

de mesure

de N

permet

cet

_{enregistrement),}

soit se déduire de la

(1) Annales de _physique, 1932, 18, p. M2.

mesure de la

_fréquence

du

_système

producteur

d’ondes

(les

formules de Kelvin relatives aux ondes

superfi-cielles

_ayant

été

_{vérifiées).}

J’ai

_employé

les deux méthodes. Les erreurs

com-mises sont _{à peu}

_près

les mêmes. La

_longueur

d’onde est connue à

1/ 150

près,

la vitesse à

_{1/120 près.}

Si l’on

prend

comme valeur moyenne de l’erreur relalive sur

le coefficient d’amortissement

_4/100,

l’erreur de mesure sur it est

Le coefficient de viscosité de l’eau à une

tempéra-ture

_donnée,

_{calculé par la méthode}

_{précédente,}

est

systématiquement

inférieur à celui que donnent les autres méthodes de mesures ; le tableau suivant donne pour

quelques températures

les valeurs de

_{105 p.}

_que

j’ai

obtenues et dans la dernière

_colonne,

les valeurs de

_{105 p, d’après}

_{Leroux (~)}

_(méthode

du

_cylindre

entraîné).

Il me semble assez difficile

_{d’interpréter}

cette

diffé-rence et surtout son

_signe.

Lorsque

les ondes

_{s’éloignent}

du

_profil

_sinusoïdal,

ou

_{lorsqu’elles}

sont

_{d’amplitude}

_trop

_grande

le coeffi-cient (J. obtenu est

beaucoup

trop

grand.

Il diminue

avec

_{l’amplitude}

et

_quand

les ondes se

_rapprochent

de leur forme idéale.

Quoique

la

_précision

insuffisante des mesures ne

permette

pas

d’exprimer

de

façon

précise

la variation de fi. en fonction de la

_{température,}

on

_peut

remar-quer que le coefficient moyen de

température de Eu

est du même c drd que celui _{que donnent les} mesures de Leroux.