1 Simplifier pour tout n ∈ N

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

R APPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES

1 E N VRAC

1 Simplifier pour tout n ∈ N

^∗

les expressions sui- vantes : 1) 3

ⁿ⁺²

− 3

ⁿ⁺¹

− 7 × 3

ⁿ

+ 5 × 3

ⁿ⁻¹

.

2) 4

ⁿ

3

²ⁿ

− 1

2

ⁿ

3

ⁿ

+ 1 . 3) 32 × 8

ⁿ⁻¹

2

²ⁿ⁺²

− 4

ⁿ

. 4) 5

ⁿ

× 12

²

10

ⁿ

× 6

⁴

. 5) 16

ⁿ⁺¹

+ ( − 4)

²ⁿ⁺¹

+ ( − 2)

⁴ⁿ

8

ⁿ

.

————————————–

2 Soient x, y ∈ R . Déterminer, en fonction de x, y et | x − y | , une expression explicite :

1) de : max

x, y + min x, y , 2) de : max

x, y − min x, y , 3) puis de : max

x, y et min x, y

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3 On note (u

_n

)

_n∈N

la suite définie par : u

₀

= 3 et pour tout n ∈ N : u

_n+1

= u

²_n

− u

_n

. Montrer que pour tout n ∈ N : u

_n

¾ 3 × 2

ⁿ

.

————————————–

4 Montrer par récurrence que pour tous x ∈ [0, 1]

et n ∈ N : 1 − nx ¶ (1 − x)

ⁿ

¶ 1 1 + nx .

————————————–

2 M AJORATIONS / MINORATIONS

5 Proposer un encadrement des quantités suivantes : 1) 2x

²

− x + 1

x

²

+ p

x + 2 + 3 pour x ∈ [ − 1, 1].

2) x − y

²

+ 3

x

²

+ y

²

− y pour tous x, y ∈ [1, 2].

————————————–

6 1) Quelle est la valeur minimale sur [1, + ∞ [ de la fonction x 7−→ x

²

− x + 1 ?

2) En déduire un exemple de réel λ > 0 pour lequel pour tout x ¾ 1 : x + p

x

x

²

− x + 1 ¶ λ x .

————————————–

7 1) Montrer que pour tout x ∈ R

₊

\ 1 : x

²

− 3x + 2

x + p

x − 2 =

p x + 1 (x − 2) p x + 2 . 2) En déduire que pour tout x ∈ [0, 2] \

1 :

x

²

− 3x + 2 x + p

x − 2

¶ 2.

————————————–

3 É QUATIONS , INÉQUATIONS

8 Résoudre les équations suivantes d’inconnue x : 1) | 4 − x | = x. 2)

x

²

+ x − 3 = | x | . 3) | x + 2 | + | 3x − 1 | = 4. 4) p

1 − 2x = | x + 7 | . 5) x | x | = 3x + 2. 6) x + 5 = p

x + 11.

7) x = 1 + p

x

²

− 2. 8) x + | x | = 2 x .

————————————–

9 Résoudre en fonction du paramètre a ∈ R l’équation : p

x + p

x + 1 = a d’inconnue x ¾ 0.

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10 Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue x : 1)

x

²

− 6x + 4

¶ 1. 2) x + 2 < | 2x − 5 | .

3) x

x + 1 ¶ x + 2

x + 3 . 4) | 3x − 5 | ¶ | 2x + 3 | . 5) | x − 1 | ¶ | 2x + 1 | + 1. 6) x + 3 ¶ p

x + 5.

7) x + 5

x

²

− 1 ¾ 1. 8) x + 1

x ¶ | x + 4 | + 3.

9) x

²

− 4 | x | + 3 > 0. 10) | x + 3 | >

x

²

− 3 . 11) p

| x + 2 | ¶ | x − 10 | . 12) p

x

²

− 1 < 2 − x.

————————————–

4 I NÉGALITÉS ET SUBSTITUTIONS 11 Soient x, y ¾ 0.

1) Montrer que : p

x + y ¶ p x + p

y.

2) En déduire que si x ¾ y : p x − p

y ¶ p x − y.

3) En déduire que :

p x − p y

¶ p

| x − y | .

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12 1)

a) Montrer que pour tout x > 0 : x + 1 x ¾ 2.

b) En déduire que pour tous x, y, z > 0 de somme s : 1

x + 1 y + 1

z ¾ 6 − s.

2) a) Montrer que : p

x y ¶ x + y

2 pour tous x, y ¾ 0.

b) En déduire que pour tous x, y, z ¾ 0 : (x + y)( y + z)(z + x) ¾ 8x yz.

c) En déduire, après avoir développé le pro- duit : (x + y + z)

 1 x + 1

y + 1 z

‹

, que pour tous x , y,z > 0 de somme s : 1

x + 1 y + 1

z ¾ 9 s . 3) Des inégalités 1)b) et 2)c), l’une est-elle

meilleure que l’autre, et si oui laquelle ?

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13 1) Montrer que : p

x y ¶ x + y

2 pour tous x, y ¾ 0.

1

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R APPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES

2)

a) En déduire que : x

x

⁴

+ y

²

¶ 1

2x y pour tous x, y > 0.

b) En déduire que pour tous x, y > 0 : x

x

⁴

+ y

²

+ y

x

²

+ y

⁴

¶ 1 x y .

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14 1) Montrer que : x y + y

x ¾ 2 pour tous x, y > 0.

2) En déduire que pour tous a, b, c > 0 : a

b + c + b c + a + c

a + b ¾ 3

2 (inégalité de Nesbitt).

3) À quelle condition les inégalités des ques- tions 1) et 2) sont-elle des égalités ?

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2