Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
R APPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES
1 E N VRAC
1 Simplifier pour tout n ∈ N
∗les expressions sui- vantes : 1) 3
n+2− 3
n+1− 7 × 3
n+ 5 × 3
n−1.
2) 4
n3
2n− 1
2
n3
n+ 1 . 3) 32 × 8
n−12
2n+2− 4
n. 4) 5
n× 12
210
n× 6
4. 5) 16
n+1+ ( − 4)
2n+1+ ( − 2)
4n8
n.
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2 Soient x, y ∈ R . Déterminer, en fonction de x, y et | x − y | , une expression explicite :
1) de : max
x, y + min x, y , 2) de : max
x, y − min x, y , 3) puis de : max
x, y et min x, y
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3 On note (u
n)
n∈Nla suite définie par : u
0= 3 et pour tout n ∈ N : u
n+1= u
2n− u
n. Montrer que pour tout n ∈ N : u
n¾ 3 × 2
n.
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4 Montrer par récurrence que pour tous x ∈ [0, 1]
et n ∈ N : 1 − nx ¶ (1 − x)
n¶ 1 1 + nx .
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2 M AJORATIONS / MINORATIONS
5 Proposer un encadrement des quantités suivantes : 1) 2x
2− x + 1
x
2+ p
x + 2 + 3 pour x ∈ [ − 1, 1].
2) x − y
2+ 3
x
2+ y
2− y pour tous x, y ∈ [1, 2].
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6 1) Quelle est la valeur minimale sur [1, + ∞ [ de la fonction x 7−→ x
2− x + 1 ?
2) En déduire un exemple de réel λ > 0 pour lequel pour tout x ¾ 1 : x + p
x
x
2− x + 1 ¶ λ x .
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7 1) Montrer que pour tout x ∈ R
+\ 1 : x
2− 3x + 2
x + p
x − 2 =
p x + 1 (x − 2) p x + 2 . 2) En déduire que pour tout x ∈ [0, 2] \
1 :
x
2− 3x + 2 x + p
x − 2
¶ 2.
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3 É QUATIONS , INÉQUATIONS
8 Résoudre les équations suivantes d’inconnue x : 1) | 4 − x | = x. 2)
x
2+ x − 3 = | x | . 3) | x + 2 | + | 3x − 1 | = 4. 4) p
1 − 2x = | x + 7 | . 5) x | x | = 3x + 2. 6) x + 5 = p
x + 11.
7) x = 1 + p
x
2− 2. 8) x + | x | = 2 x .
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9 Résoudre en fonction du paramètre a ∈ R l’équation : p
x + p
x + 1 = a d’inconnue x ¾ 0.
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10 Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue x : 1)
x
2− 6x + 4
¶ 1. 2) x + 2 < | 2x − 5 | .
3) x
x + 1 ¶ x + 2
x + 3 . 4) | 3x − 5 | ¶ | 2x + 3 | . 5) | x − 1 | ¶ | 2x + 1 | + 1. 6) x + 3 ¶ p
x + 5.
7) x + 5
x
2− 1 ¾ 1. 8) x + 1
x ¶ | x + 4 | + 3.
9) x
2− 4 | x | + 3 > 0. 10) | x + 3 | >
x
2− 3 . 11) p
| x + 2 | ¶ | x − 10 | . 12) p
x
2− 1 < 2 − x.
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4 I NÉGALITÉS ET SUBSTITUTIONS 11 Soient x, y ¾ 0.
1) Montrer que : p
x + y ¶ p x + p
y.
2) En déduire que si x ¾ y : p x − p
y ¶ p x − y.
3) En déduire que :
p x − p y
¶ p
| x − y | .
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12 1)
a) Montrer que pour tout x > 0 : x + 1 x ¾ 2.
b) En déduire que pour tous x, y, z > 0 de somme s : 1
x + 1 y + 1
z ¾ 6 − s.
2) a) Montrer que : p
x y ¶ x + y
2 pour tous x, y ¾ 0.
b) En déduire que pour tous x, y, z ¾ 0 : (x + y)( y + z)(z + x) ¾ 8x yz.
c) En déduire, après avoir développé le pro- duit : (x + y + z)
1 x + 1
y + 1 z
, que pour tous x , y,z > 0 de somme s : 1
x + 1 y + 1
z ¾ 9 s . 3) Des inégalités 1)b) et 2)c), l’une est-elle
meilleure que l’autre, et si oui laquelle ?
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13 1) Montrer que : p
x y ¶ x + y
2 pour tous x, y ¾ 0.
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