Mathématiques : quelques exercices Racines carrées

Mathématiques : quelques exercices Racines carrées

Les exercices suivants sont à réaliser sans calculatrice.

Petit conseil : pense aux nombres carrés

Exercice 1

Pour chaque situation, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Trouve la bonne réponse sans utiliser la calculatrice

Exercice 2 : Simplifie les radicaux suivants:

Exercice 3 : effectue. Donne une réponse simplifiée au maximum.

Exercice 4 : effectue. Donne une réponse simplifiée au maximum.

1) √5 . √2 2) 7√5 . √5 3) √24. √3 4) 3√6. √12 5) √2⁵. √2

6) (−2√7)² 7) 2. (2√3 − √5) 8) √12. (√48 − √5) 9) √5. (√6 + √15) 10) 2√3. (√5 − 2)

Exercice 5 : rationnalise les dénominateurs suivants

SOLUTIONS

Exercice 1

Exercice 2

1) 6√10 2) 4√2 3) 8√2 4) 8√3 5) 10√10 6) 3√14 7) 7√2 8) 4 √6 9) 5√22 10) 2√6 11) 1089 12) 300 √10 13) 5√6 14) 6√14 15) 5√10 16)6√6 17)2√57 18) 6√11 19) 12√2 20) 9√3

Exercice 3

1) 9√5 2) − √3 3) 5√2 4) 4√7 5) 2√6 6) 7√2 7) − 2√2 8)7√3 9) − 2√5 10) 5√6 11) − 7√3 12) 22√5 13) 36√3 14) − 37√2 15) − 7√6 16) − 16√7 17) − 27√2 18) − 9√2 19)43√11 20) − 11√6

Exercice 4 1) √10 2) 35 3) 6√2 4) 18√2 5) 8

6) 28

7) 4. √3 − 2√5 8) 24 − 2√15 9) √30 + 5√3 10) 2√15 − 4√3

Exercice 5

𝟏) 𝟓 𝟐) 𝟑√𝟏𝟎

𝟏𝟎 𝟑)𝟓√𝟔

𝟏𝟐 𝟒) 𝟗

𝟐𝟎 𝟓)𝟓

𝟔 𝟔) 𝟐

Le théorème de Pythagore

Exercice 1 : calcule la longueur manquante

Exercice 2 : complète les tableaux si tu sais que le triangle DEF est rectangle en F.

Exercice 3 : quelle la plus grande longueur qu’il est possible de parcourir en ligne droite dans ce terrain de football ?

Exercice 4 : à quelle distance doit-être placé le pied de cette échelle de 10 mètres pour atteindre exactement le sommet du mur de 8,25 mètres ?

Exercice 5 : Un arbre a été abattu par la

foudre. Quelle était la hauteur de l’arbre au

départ ? (Exprime ta solution en mètre).

Exercice 6 : Quelle est la longueur de la diagonale de ce pavé droit ? C’est-à- dire la longueur |BC| ?

Petit truc : commence par calculer |AB|

Exercice 7 :

Pour apprendre son métier, un apprenti maçon a monté un mur en briques de 0,90 m de hauteur. Son patron arrive pour vérifier son travail : il marque un point B à 80 cm du sol et un point A à 60 cm du pied du mur. Il mesure alors la distance entre les points A et B et il obtient 1 m.

L’apprenti a –t-il bien construit son mur perpendiculaire au sol ? Justifie

Exercice 8 :

Antoine aimerait réaménager sa chambre.

Il installe une nouvelle armoire qui a une hauteur de 2,10 m alors que la pièce a une hauteur de 2,20m. Pourtant, il n’arrive pas à redresser l’armoire. Peux-tu expliquer pourquoi ?

Solutions

Exercice 2

Exercice 3

La plus grande longueur est 125 mètres

Exercice 4

Le pied de l’échelle doit être placé à 5,65 mètres du mur

Exercice 5

La hauteur totale de l’arbre est de 24 mètres

Exercice 6

|AB| = 5√5 |𝐵𝐶| = √141

Exercice 7

Le mur est perpendiculaire au sol car le triangle ABC est rectangle.

Récirpoque de Pythagore : 0,8² + 0,6² = 1²

Exercice 8

La face avant de l’’armoire peut être considérée comme un rectangle, et donc en la coupant suivant sa diagonale, on a un triangle rectangle dont les deux côtés

perpendiculaires ont pour mesure 0,7 m et 2,1 m. D’après le théorème de Pythagore, l’hypoténuse mesure √0,7² + 2,1² = √4,9 ≈2,2136 mètres et est donc légèrement plus grande que la hauteur du plafond.

Ainsi Antoine ne peut pas redresser l’armoire à moins de forcer comme une brute, quitte à casser le coin de l’armoire ou bien, s’il a anticipé en faisant ce calcul, monter directement l’armoire à la verticale plutôt qu’à l’horizontale.

Les puissances

1. Trouve la bonne réponse

A B C D

(√3)

√3

3

1 3

0 −1

3

(−2

)

2

−2

( 1 4 )

3

(−2)

4,21. 10

42 100 −0,000 421 0,004 21 0,000 421

3 − 2

5

2

3 2

1 7

2

2. Calcule. Tes réponses seront exprimées sous forme de nombres entiers ou de fractions irréductibles.

a) 3

= f)

=

b) (−5)

= g) 4

. 4

=

c) −2

= h) (

)

=

d) (

)

= i)

=

e) 0,25

= j)

=

3. Réduis et écris ta réponse sans exposant négatif (les lettres représentent des nombres réels non nuls)

a) (−2𝑥

𝑦)

= f) (

)

= b) 𝑥

. 𝑥

= g)

= c) 𝑥

. 𝑥

= h)

=

d) 3𝑥

. (−2𝑥

) = i) (−3𝑥

𝑦

)

= e) (−3𝑥

𝑦²)

= j)

=

4. Pour chaque exercice, calcule et écris ta réponse en notation scientifique a) 3500 . 0,000 000 02 =

b) 25 . 10

. 300 . 10

=

5. Petit problème de neurones

Le cerveau est incontestablement l’organe le plus complexe du corps humain.

Notre cerveau contiendrait 100 milliards de neurones. Des études ont prouvé qu’à partir de 30 ans, le nombre de neurones baissait d’environ 100 000 par jour.

Combien de neurones un homme de 50 ans aurait-il déjà perdus ? Exprime ta réponse en notation scientifique.

Solutions

1. B/B/D/A

2. a)

b)

c)

d)

e) 16 f) 3². 2

= 144 g)

64

h)

4

i) 6. (−2

) = −48 j) 1 3. a)

b)

c) 1 d)

e)

f)

4

g) 𝑥 h)

𝑥³

i)

9𝑥⁶

j) 𝑥

4. a) 3,5. 10

. 2. 10

= 7. 10

b) 2,5. 10.10

. 3. 10

. 10

= 7,5.10

5. Un homme de 50 ans a perdu: 100 000. 20 .365 = 7,3 .10

neurones

Les polynômes

1. Trouve la ou les bonne(s) réponse(s)

2. Calcule (d’abord sans calculatrice, ensuite, vérifie ton résultat)

𝐴(𝑥) = 4𝑥

− 4𝑥

+ 5𝑥 + 3 𝐵(𝑥) = −2𝑥² − 3𝑥 + 4

𝐴(1) =

𝐴(−3) =

𝐵(0) =

𝐵(−√2 ) =

3. Réduis et ordonne

a) 4𝑥

− (2𝑥² + 𝑥

) − 𝑥 + 1 = b) (𝑥² − 2). (3𝑥² + 𝑥

− 1) =

c) −2𝑥. (−5𝑥² − 𝑥 + 1) + (3𝑥 + 7)² = d) 3𝑥

. (−2𝑥²) + 2𝑥

− 𝑥 + 1 =

e) 2. (3𝑥

+ 2𝑥 − 8) − 3. (4𝑥

+ 3𝑥 − 1) =

4. Dans les divisions suivantes, calcule le reste. Ensuite, effectue-les.

a) (4𝑥² − 4𝑥 + 4): (𝑥 − 2)

b) (−3𝑥

− 2𝑥² + 𝑥 − 1): (𝑥 + 1)

5. Détermine la valeur de b pour que le reste de la division suivante soit nul.

(4𝑥

− 3𝑥

+ 𝑥 + 𝑏) : (𝑥 − 2)

Solutions

1. 1. A 2.A 3. BD 4. BD 5. B 6. AB 7. A 8. C 9. B 10. D 11. A 12. C 13. BC 14. A 15. A 2. 𝐴(1) = 8 𝐴(−3) = −156 𝐵(0) = 4 𝐵(−√2) = 3√2

3. a) 3𝑥

− 2𝑥² − 𝑥 + 1

b) 𝑥

+ 3𝑥

− 2𝑥

− 7𝑥² + 2

c) 10𝑥

+ 11𝑥² + 40𝑥 + 49

d) −6𝑥

+ 2𝑥

− 𝑥 + 1

e) −6𝑥

− 5𝑥 − 13

4. a) r = 12 Q(x) = 4x + 4 b) r = -1 Q(x) = -3x² + x

5. 𝑟 = 𝐴(2) = 0 → 4. 2

− 3. 2

+ 2 + 𝑏 = 0

64 − 12 + 2 + 𝑏 = 0 54 + 𝑏 = 0

𝑏 = −54