H157 – Une réunion post-confinement [**** à la main]
Dans cette salle S qui réunit trente-six personnes, toute personne connaît exactement le même nombre k de participants. Dans toute paire de personnes qui se connaissent, on constate que l’une et l’autre ont exactement quatre connaissances communes de S et dans toute paire de personnes qui ne se connaissent pas, l’une et l’autre ont exactement deux connaissances communes de S.
Déterminer k.
Solution proposée par Daniel Collignon
Représentons le problème sous la forme d'un graphe à 36 sommets : 1 sommet par personne, 2 personnes se connaissant générant une arête.
Fixons 1 sommet s comme référence. Soit A les k sommets qui sont directement reliés à s.
Désignons par B l'ensemble des 36-1-k sommets restants.
Nous allons compter de 2 manières les arêtes ab avec a dans A et b dans B.
Pour tout sommet a de A, il y a exactement 4 sommets communs avec s, donc dans A. Les k- 1-4 autres sommets voisins de a sont alors dans B. D'où k*(k-1-4) arêtes de type ab.
Pour tout sommet b de B, il y a exactement 2 sommets communs avec s, donc dans A. D'où (36-1-k)*2 arêtes de type ab.
Ainsi nous avons la relation k(k-5)=2(35-k) ou encore (k-10)(k+7)=0, d'où k=10.
Pour être complet, il resterait à exhiber un tel graphe fortement régulier (36,10,4,2) : il est connu comme "6x6 rook graph".
