Problème H128 – Solution de Jean Drabbe
Le théorème de Turán dont on trouvera plusieurs démonstrations dans [1] et [2] (*) permet de déterminer (à un isomorphisme près, bien sûr) l'assemblée vérifiant les conditions imposées par l'énoncé :
L'assemblée formée de 7 femmes et de 6 hommes. Toutes les femmes se connaissent entre elles, tous les hommes se connaissent entre eux, mais deux personnes de sexes différents ne se connaissent pas.
Cette assemblée réunit N = 13 membres.
Appelons-la A et désignons la (N+1)ième personne par C.
Si C connaît exactement 5 personnes de A , il existe une femme F et un homme H qui lui sont inconnus. Le sous-groupe {F , H , C} rend la nouvelle assemblée non conviviale.
Par contre, si C connaît les 6 hommes de A , la nouvelle assemblée reste conviviale.
(*) Le problème ne fait intervenir que le cas k = 3 de l'article [1]. On peut donc se limiter à la lecture de l'une des deux premières démonstrations de cet article.
Il est utile de noter que le graphe auquel est appliqué le théorème de Turán est défini par la relation « x ne connaît pas y » .
[1] Aigner, M., Turán's Graph Theorem, The American Mathematical Monthly 102 (1995), 808-816.
Cette publication est accessible (gratuitement) sur un site de la Mathematical Association of America :
http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Aigner808-816.pdf
[2] van Lint, J. and Wilson, R., A Course in Combinatorics, Cambridge University Press (1992).