H157. Une réunion post-confinement ****
Dans cette salleSqui réunit trente-six personnes, toute personne connaît(1)exactement le même nombre kde participants.
Dans toute paire de personnes qui se connaissent, on constate que l’une et l’autre ont exactement quatre connaissances communes dansSet dans toute paire de personnes qui ne se connaissent pas, l’une et l’autre ont exactement deux connaissances communes dansS.
Déterminerk.
(1) Nota : évidemment, siAconnaîtB,BconnaîtA.
Solution de Claude Felloneau
On ak=10.
SoientP1,P2, ...P36les 36 personnes. On noteA=¡ ai,j¢
la matrice carrée d’ordre 36 définie par : Pour 16i636 et 16j636 ,ai,i=0 etai,j=
½ 1 siPietPjse connaissent
0 siPietPjne se connaissent pas.
Aest une matrice symétrique etA2=¡ bi,j¢
est telle que : - Sii6=j,bi,j=
36
X
r=1
ai,rar,j=
36
X
r=1
ai,raj,rest le nombre de connaissances communes aux personnesPi etPj. On a doncbi,j=
½ 4 siai,j=1
2 siai,j=0 soitbi,j=2+2ai,j. - De plus, commeai,r ∈©
0, 1ª ,bi,i=
36
X
r=1
¡ai,r¢2
=
36
X
r=1
ai,r est le nombre de connaissances de la personnePi
soitk.
AinsiA2=2A+(k−2)I+2JoùI est la matrice unité etJla matrice dont tous les coefficient sont égaux à 1.
SoitX la matrice à 36 lignes et une colonne dont tous les termes sont égaux à 1.
On aA2X=2AX+(k−2)X+2J X.
OrAX=k XetJ X =36Xdonck2X=2k X+(k−2)X+72X d’oùk2−3k−70=0.
L’unique solution positive de cette équation est 10, donck=10.
Pourk=10, la matriceAci-dessous convient.
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