H157. Une réunion post-confinement
Dans cette salle S qui réunit trente six personnes, toute personne connaît(1) exactement le même nombre k de participants.
Dans toute paire de personnes qui se connaissent, on constate que l’une et l’autre ont exactement quatre connaissances communes dans S et dans toute paire de personnes qui ne se connaissent pas, l’une et l’autre ont exactement deux connaissances communes dans S.
Déterminer k.
(1) Nota : évidemment, si A connaît B, B connaît A.
Solution de Paul Voyer
Il y a 18k paires de personnes qui se connaissent et 18(35-k) paires de personnes qui ne se connaissent pas, soit en tout 18*35 = 630 paires de personnes.
Pour chacune des paires de personnes A et B qui se connaissent, A connaît 4 personnes connues de B et k-5 personnes inconnues de B.
Les liaisons entre "le monde de A" et "le monde inconnu de A" sont pour chacun des points B connus de A les k-5 personnes connues de B du schéma.
Ces liaisons sont au nombre de k(k-5)
Chaque point C, inconnu de A a deux liens avec deux des personnes connues de A.
Les liaisons entre "le monde de A" et "le monde inconnu de A" sont les deux liaisons communes à A et D sur le schéma.
Pour chaque paire de personnes A et S qui ne se connaissent pas, A connaît 2 personnes connues de C et k-2 personnes inconnues de C.
Comme il y a 35-k points C, les liaisons sont au nombre de 2(35-k)
On a compté les mêmes liaisons entre "le monde de A" et "le monde inconnu de A" de deux façons différentes.
On doit donc avoir :
k(k-5) = 70-2k, soit k²-3k-70 = 0
2 280 9 3
k
La racine positive est : k = 10
