Dans cette salle S qui réunit trente six personnes, toute personne connaît exactement le même nombre k de participants. Dans toute paire de personnes qui se connaissent, on constate que l’une et l’autre ont exactement quatre connaissances communes dans S et dans toute paire de personnes qui ne se connaissent pas, l’une et l’autre ont exactement deux connaissances communes dans S.
Déterminer k.
Puisque chacun a quatre connaissances communes avec chaque personne qu’il connait, k≥5.
Chacune des n (=36) personnes peut être représentée par un sommet d’un graphe, et le fait de se connaitre est représenté par une arête reliant deux personnes : il y a exactement k arêtes partant de chacun des n sommets, soit au total kn/2 arêtes : n est impair, k est pair : donc k≥6.
Partant d’une personne (origine), on définit l’ensemble A des k personnes qu’elle connait, et l’ensemble B des personnes qu’elle ne connait pas.
Classons les arêtes en quatre catégories :
- celles qui relient l’origine aux points de A, au nombre de k
- celles qui relient deux points de A : il y en a quatre qui partent de chaque point, soit 2k - celles qui relient deux points de B : chacun est sommet de k-2 arêtes soit (k-2)(n-k-1)/2 - celles qui relient un point de A à un point de B : on peut les recenser de deux façons : chaque
point de A a k-5 arêtes qui vont dans B et chaque point de B a 2 arêtes qui vont dans A donc 2(n-k-1)=k(k-5) : 2n=k2-3k+2=(k-1)(k-2) ; ce qui permet de déterminer k.
On vérifie par ailleurs que cela est cohérent avec le nombre d’arêtes calculé plus haut : kn/2=k+2k+2(n-k-1)+(n-k-1)(k-2)/2=3k+kn/2+n-(k+1)(k+2)/2 : on retrouve bien 2n=(k-1)(k-2). Ici n=36, 2n=72=8*9 donc k=10.
